结构力学——力法对称性的利用 共22页

X1 1
M1
X3 1
X2 1
M2
M3
12210
13310
11X1 Δ1P 0 22X2 23X3 Δ2P 0 32X2 33X3 Δ3P 0
基本方程分为两组：
一组只含反对称未知量 一组只含正对称未知量
3. 对称性利用之荷载分组
a a aa
FP 2
FP 4
EI 2EI EI
EI EI
FP 8
3
3
3
3
6 56
56 4
+ = 5 6
56
56
4
4
4
8
56
56
56
56
56
EI
a EI
EI EI
2EI 2EI
FP
EI
2EI EI
a a aa
3
6
6
3
3
56
56
56
56
56
4
8
8
8
4
56
56
56
56
56
M图(FPa)
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
q
q
ql
q l
1/4结构
X1 基本体系
1
M
图
1
ql2/8
ql2/8
MFra Baidu bibliotek
图
P
【解】 1 基本体系 2 力法方程
11 X11P0
3 求系数，解方程
11 l EI
1Pql3 12EI
X1 ql2 12
4 MM1X1MP
q
q
ql
q l
ql2/12
ql2/12
ql2/12 M图
ql2/12
P
P
P
P
对称荷载
反对称荷载
（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形
q
P
P
基本受力特点： 正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的； 反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。
（4）特殊截面 —— 对称轴通过的截面
A
内力
位移
A
正对称
FQ FN M
A
Ｍ、FＮ称为正对称内力
1.奇数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
q
q
C
C
q
q
C C
②反对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
2.偶数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
P
P
C
P
C
P
P
C
P
P
C
C
② 反对称荷载作用下的半刚架
FP
FP
FP
FP
FP
A
EI
EI EI
EI
22
2
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
第五章 力 法
5.8 对称性的利用
1. 结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。
几何对称 支承对称 刚度对称
（2）荷载的对称性
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和 作用点对称的荷载。
反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点 对称，方向反对称的荷载。
FP
FP
2FP
＝
+
只要结构是对称的，
FP
FP
对称性的利用就成为
可能！
正对称荷载作用下:
X3 X3
X2
X2
FP
FP FP
X1 X1
FP
Δ1P 0
X1 0
X1 1 X3 1
X2 1
FP
对称结构在正 对称荷载作用 下，反对称未 知量为零。其 FP 结构的内力和 变形是对称的。
反对称荷载作用下:
FＱ称为反对称内力
A
反对称
反对称
2. 对称性利用之选择对称基本结构
X3 X3
X2
X2
2FP
2FP
X1 X1
选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称 基本未知量
11X112X213X31P 0 21X122X223X32P 0 31X132X233X33P 0
q
2a
a
a
qa2 8
M图
半边结构
X1＝1
M
图
1
qa2/2
M
图
P
【解】
1 基本体系
2 力法方程
11X11P0
3 求系数和自由项，解方程
11

a3 3 EI
1P


qa4 8EI
X1

3qa 8
4 MM1X1MP
例:用力法计算图示结构。
EI
a EI
EI EI
2EI 2EI
FP
EI
2EI EI
合理利用对称性的关键在于：
保证计算模型的受力特性、变形情况与 原结构完全一致。
X3 X3
X2
X2
Δ2P 0 Δ3P 0
FP
FP FP
X1 X1
FP X2 0 X3 0
X1 1 X3 1
X2 1
FP
对称结构在反
对称荷载作用
下，对称未知
量为零。其结
FP
构的内力和变 形是反对称的。
三. 取半个结构计算
要使半结构能等效代替原结构的受力 和变形状态。关键在于被截开处应按原结 构上的位移条件及相应的静力条件设置相 应合适的支撑。