测量误差的基本知识解析

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用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
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可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图
5曲-1线中称各为矩误形差的分顶布边曲折线线。就成为一条光滑的曲线，如图5-2所 示。1 该
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5.2.1 中误差
中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进
行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根， 称为中误差。用m表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观 测 ， 观 测 值 为 ： l1 ， l2 ， … ， ln ， 其 真 误 差 为 ： ⊿ 1 ， ⊿2，…，⊿n
学习误差理论知识的目的： 根据一组带有偶然误差的观测值 ➢ 求出未知量的最可靠值 ➢ 评定观测成果的精度
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粗差： 也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还 包含粗差（错误）。
当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱 到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从 而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统 计的方法来研究。
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➢ 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观
测量的大小无关。
➢ 在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精 度。
分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段 为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认 为两段距离观测结果的精度相同？
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误差区间 dΔ
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″
>24″
∑
负误差
个数 k 频率 k/n
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
e
其函数式为：
2
y f ()
1
e
2 2 2
2
即正态分布曲线上任一点 的纵坐标y均为横坐标Δ的函 数。标准差大小反映观测精 度的高低，定义为：
lim n
[ 2 ] n
上式可知，σ的大小决定于
一定条件下偶然误差出现的绝
对值的大小。
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偶然误差的统计特性
➢ 有限性： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的
0
0
181
0.505
正误差
个数 k 频率 k/n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.072
11
0.031
以上三方面统称为观测条件 观测成果的精确度称为“精度”
➢ 等精度观测 ➢ 不等精度观测
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5.1.2 测量误差的分类
系统误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差 出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差 称为系统误差。
系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计 算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
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系统误差的消除：
（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的 地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横 轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。
（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和 高差改正。 光电测距仪的加常数和乘常数的改正。
则中误差为：
m
12
2 2
2 n
[]
n
n
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用真误差计算中误差：必须知道真值
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两组观测值中误差：
[] 47
m1
2.17"
n
10
[] 132
m2
3.63"
n
10
第一组观测值精度高于第二组 中误差能突出反映大误差的影响
即，本章关注的内容是偶然误差
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5.1.3 测量误差的特性
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的 规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发 现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全 部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之 和不一定等于真值180°(表5-1)
5.1 测量误差概述
5.1.1 测量误差的概念与来源
误差：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间， 或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可 避免的差异叫做误差。
△=L-X
△— 测量误差 X— 真值 L— 观测值
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观测误差产生的三个原因
仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在 残余误差 观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制 外界条件的影响：测量时外界自然条件如温度、湿 度、风力等的变化。
概率为0； ➢ 单峰性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； ➢ 对称性：
绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； ➢ 抵偿性：
当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于 零。
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5.2 评定精度的标准
所谓精度，是 指误差分布的集中 与离散程度。如误 差分布集中（曲线 a），则观测精度 高；若误差分布离 散（曲线b），则 观测精度就低。
（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在 一个允许的范围内。
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偶然误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果 单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这 种误差称为偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律 但大量的偶然误差具有统计规律。