美丽的数学

在人体中，人的粗细血管直径之比总是 3 2: 1，这种比值的分支 导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少．
美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“阿波罗号飞船” 所携带的礼物对策时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学 中用以表示“勾股定理”(毕达哥拉斯定理)的简单、明快的数形图， 它似乎应为宇宙所有文明生物所理解。
由上看来．数学符号对于表现数学的简洁性，是何等重要。这 就是说：数学符号简化了复杂的数学理论，且通过它可把远离的数 学理论巧妙地联系起来． 如果说十、一、×、十、… 等在数学上不过是一个符号，那么 行列式和矩阵记号的出现，则是数学语言上的大胆创新，它的绝妙 处已为它在现代数学发展中的作用所显示． 数学符号的发明相使用，确实经过了漫长的过程(而时至今日， 这个过程仍在继续)，这里面由于人们审美观念(当然包括使用上的 方埂、简洁)的变化，使得数学符号本身也不断地变化——直至它 们被世人所接受． 虽然我们还只能说，它发展成今天的符号系统尚并不完美，但 人们深信：随着数学的发展，随着人们审美观念的发展，数学符号 将不断地得以完善．
相传古印度人西塔发明了(国际)象棋，国王决定重赏西塔． “我不要您的重赏，陛下,‖ 西塔说, ―我只要您能在我的棋盘上 赏些麦子：在第一格放一肢，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每 格放的麦粒都比它前面一格多一倍，我只求能放满64格就行。” “区区小数，几粒麦子，这有何难，来人……‖国王命令道。 然而一动手放起来，国王便傻眼了：这些麦粒总数为l十2十 22十…十263＝264 - 1，它们的体积有12×1012立方米，若把它们堆 成高4米，宽10米的“麦墙‖，将有3×108公里长，这大约是全球 两千年所产小麦的总和。 “两人生日问题”也是一个令人难以捉摸、难以凭空想象的例 子。367个人中问，肯定会有两个人的生日相同，因为一年至多有 366天(闰年才如此)。人的头发踞估计约为15万根左右，那么在一个 十五万人口的城市里，肯定至少有两人的头发根数一样。然而话又 讲回来，真的让你找出头发一样多的两个人来，这绝非轻而易举的 事． 全世界任意找六个人当中，至少有三个人或者彼此都相识，或 者彼此都不认识．
瑞士数学家雅谷.伯努利(1654—170加，生前对螺线(被誉为 生命之线)有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时 碑文上还写着：“虽然改变了，我还是和原来一样．”这是一句既 刻画螺线性质，又象征他时数学热爱的双关语。
数学美那么令人神往，使人陶醉． 数学美的特征是什么? 概括起来讲有简洁性、和谐性和奇异 性。
2．抽
象
美
数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。 —— 恩格斯 数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事 物如有相同酌量和形。便可用相同的数学方法，因而数学必然也必 须抽象。 物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是 用数学语言表达的。万有引力的思想历史上早就有之，但只有当 牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万 有引力定律。爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于荣 曼几何所提供的数学幅架和手段． 在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这 是基于数学本身的特点——抽象性的．数学中不少新的概念、新 的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的． 数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话 说：数学概念正是从众多事物共同特性中抽象出来的．
１．ｅiπ＋１＝０. ２．多面体的欧拉公式：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２. ３．质数有无穷个. ４．正多面体只有五个. 5 . 1/1２+1/2２＋1/３２＋1/42＋…＋ … ＝π2/6. ６. 由闭的单位圆盘到本身的连续映射必有一个不动点. ７．√ ２ 是无理数． ８．π是超越数． ９．平面上的地图，只用四种颜色，可以让相邻的区域的颜色 都不同（四色定理）． 10.形如４n+1的质数，可唯一表示成两个整数的平方和．
据说能看见9张脸的智商有180了。
柱子是圆的还是方的？不仔细看还真以为是方的。
那个红衣女人是真实的还是拼图里的？
有几个黑点？
是静的还是动的？
看着黑点身体前后移动,发现了什么？
只要你能在图中找出9颗心，就可以许个愿望，找的越多，你 将来越幸福。
欺骗眼睛的图形
将图3中面积为13×13=169的正方形, 裁剪成图中标出的四块 几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21 ＝168，比正方形少了一个单位的面积，这是这么回事呢？
看看那些数学家们，他们生前献身子数学，死后在他们的墓碑 上，刻着代表着他们生平业绩的标志，也刻着他们对于数学美的 挚灼的爱恋． 古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马乱兵之手后 (死前他正在地上演习几何题，并对乱兵说，“不要弄坏我的 图”)，人们为纪念他便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形， 以纪念他发现“球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积 约三分之二”的著名定理． 德国数学家高斯(1777—1855)，在他研究发现了正十七边形 的“尺规作法”后．便放弃原来立志学文的打算而献身于数 学．以至在数学上作出许多重大贡献．他的墓碑底座就是按照他 生前的遗愿做成正十七边形的棱柱． 十六世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到 小数后二十三位，后人称之为‘鲁道夫数”，他死后人们使把这 个数刻到他的墓碑上以示铭记．
一、数学美的简洁性
华罗庚教授说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之 巧、地球之变、生物之谜、日用之繁、……无不可用数学表述． 数学之所以用途如此之广，是由其自身的待点决定． 简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁．数 学家L J．莫德尔说；在数学里美的各个属性中，首先要推祟的 大概是简单性了。 自然界原本就是简洁的：光是直线方向传播——这是光传播 的最短路线；植物的叶序排布(比如某些植物相邻两叶片在茎上 排布夹角为137 o 28’ )是植物叶子通风、采光最佳的布局，某些攀 缘植物如藤类，它们统着攀依物螺旋式的向上延长，它们所选的 螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的． 大雁迁徒时排成的人字形一边与其飞行方向夹角54 o 44’ 8‖， 这从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的， 即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种角度)．
1994年，国际数学家大会第三次在苏黎士召开，当时发行的 纪念邮票的图案是伯努利和他的大数律。
德国于1998年发行，这次国际会议是在柏林。1998年柏林国际 数学家大会设计的邮票包括了“矩形求方”问题的一种解法，该 问题是要把整数边的矩形分成具有整数边的大小不等的正方形。
希腊于1955年8月20日发行，为了纪念毕达哥拉斯定理。
数学中有很多这种欺骗我们眼睛的图形，请看下面这两个图 形，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们 将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？
最优美的十个数学定理
数学定理一般都被误认为是枯燥无味的，但数学家们有他们自己的审美标 准，能从大家认为干瘪瘪的定理中发现美。1998年,Ｄ.Wells在针对数学界发出问 卷，评选最优美的数学定理。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明、最优 美的数学定理让许多大数学家打分。最后，根据统计结果，公布了数学家心中认 为最美丽的数学定理。这些定理的确都很简明，定理叙述最多两行字。 前十名分别是：
1.
符 号 美
数学是上帝用来书写字宙的文字。 —— 伽利略 甲骨文字中数字是用下面符号表示的(形象、自如)：
在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字
阿拉伯数字是印度人发明的，后传人阿拉伯国家，经阿拉 伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符。
在埃及出土的三干六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号：
中国十大风景名胜（1）——北京故宫
中国十大风景名胜（2）—— 八达岭长城
中国十大风景名胜（3）——长江三峡
中国十大风景名胜（4）—— 杭 州 西 湖
中国十大风景名胜（5）——苏州园林
中国十大风景名胜（6）——安徽黄山
中国十大风景名胜（7）——桂林山水
中国十大风景名胜（8）——秦始皇兵马俑
它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的却是 一个代数方程式，用今天的符号表示即
圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数，1737年 Euler首先倡 导用希文π来表示它。无理常数 e 和虚数单位 i 都是首先表示的。
代数学就其某种意义上，就是符号形式的运算．关于一些数学 符号的产生可见下表
“美”只有数学化以后才有标准。不久前美国心理学家 麦克· 克尼根从“选美”活动入选者的照片中，做了统计分析， 且给出美女的“数量化”的标准： (1)服睛的宽度占眼园所在面部位置的3／10； (2)下巴长度占脸长的1／5； (3)从服珠到眼眉的距离是脸长的1／10； (4)从正面端详，眼珠竖长占脸长的1／14； (5)鼻部面积占脸整个面积的5％以下； (6)嘴占嘴所在脸部宽度的50％. 当然，仅有上面的数字是不够的(因为选美标准还有其它方 面要求，再者不同地区、不同种族对美的标准也不尽一样)，但 这确实说明数学在美学研究中的作用。
莫斯科夜景
维也纳夜景
作为哥伦布1492年到达美洲400周年庆典的一部分，首届国际 数学家大会于1893年在芝加哥的世界哥伦布博览会上召开，并发 行了第一枚纪念邮票
1978年，国际数学大会在赫尔辛基召开，纪念邮票图案为微分 几何
在欧洲和北美洲以外举办的第一次国际数学家大会于1990年 在京都召开。纪念邮票的图案是一个日本折纸构成的多面体。
中国十大风景名胜（9）——承德避暑山庄
中国十大风景名胜（10）——台湾日月潭
湖南张家界
童话世界——九寨沟
人间瑶池——黄龙
天涯海角
东岳泰山
扬州春色
峨眉山
圆明园
西藏风光（1）—— 青藏高原
西藏风光（2）珠穆朗玛峰
西藏风光（3）—— 布达拉宫
西藏风光（3）—— 布达拉宫
西藏风光（4）—— 青藏高原雪峰
数学的美
社会的进步，就是人类对美的追求的结晶。 —— 马克思 数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且拥有至高的美。 —— 罗素
在当今的科学分类研究中，许多学者称哲学和数学是普遍科 学，且认为二者可应用于任何学科和任何领域，其差别在于刻 画现实世界时使用的方法和语言不同；哲学使用的是自然语言， 数学使用的是人二语言(数学符号)；督学使用的是辩证逻辑方法， 而数学使用的是形式逻掸与数理逻辑方法．这样哲学家有时可 以‘感觉到”思维的和谐，而数学家则有时可以‘感觉到”公 式与定理的和谐美。 数学也是自然科学的语言，因此它具有一般语言文学与艺术 所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上也都具有 自身约某种美、即所谓数学美．因而数学美是具体、形象、生 动的．数学美的起源遥远、历史悠久． 古希腊著名的学者毕达哥拉斯对数学有根源的造诣，其中毕 氏达理(在我国称勾服定理）正是他的杰作(为此他的弟子们曾举 行了狂大的“百牛大祭”以资庆贺)
周末大讲堂
美丽的数学， 数学的美丽
爱到心破碎， 也别去怪谁， 只因为相遇太美， 就算流干泪、 伤到底、Leabharlann Baidu心成灰也无所谓
——— 琼瑶《还珠格格》主题歌《雨蝶》
自然界的美
自然界中的美可谓是五光十色。 争奇斗妍，媚态百生 金光闪烁，通透鲜红，黑白分明，灿烂夺目 巍峨的山峰，挺拔的青松 奔腾的江河，咆哮的大海 … …
世界风景名胜（1）
世界风景名胜（2）
世界风景名胜（3）
世界风景名胜（4）
世界风景名胜（5）
世界风景名胜（6）
世界风景名胜（7）
世界风景名胜（8）
世界风景名胜（9）
世界风景名胜（10）
世界风景名胜（11）
世界风景名胜（12）
加拿大的千岛湖上的两个小岛
旧金山夜景
巴西Copacabana 夜景
同一个拉普拉斯方程 (椭圆型偏微分方程) 它既可用来表示稳定的热传导过程平衡态、溶质动态平衡、弹性薄 膜的平衡，也可表示静态电磁场的位势、真空中的引力势、不可压 流体的定常运动等等． 这个方程由于抽象性而成为普适(当然，方程自身的形式也是 很美的，除了符号美外，它还具形式美：对称、整齐)，这显然也 是数学本身的一大特点。 有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让 人感到吃惊…… 一位联台国卸任的官员曾说过：1980年在纽约和日内瓦举行 联台国会议期间，仅九月至十二月，共印刷二亿三干五百万页文 件，而全年共印刷大约十八亿页文件．如果把这些文件首尾桔起 来，将长达二十七万公里．照此速度印发文件，两年内文件总长可 铺至月球。