漫谈天体运动问题的十种物理模型

漫谈天体运动问题的十种物理模型
闫俊仁
（山西省忻州市第一中学 034000）
航空航天与宇宙探测是现代科技中的重点内容，也是高考理综物理命题的热点内容，所涉及到的知识内容比较抽象，习题类型较多，不少学生普遍感觉到建模困难，导致解题时找不到切入点．下面就本模块不同类型习题的建模与解题方法做一归类分析。

一、“椭圆轨道”模型
指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上． 由于受数学知识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性。

例1 天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是
8.9X1010m ，但它离太阳的最远距离不能测出。

试根据开普勒定律计算这个最远距离，已知太阳系的开普勒常量k ＝3.354X1018m 3／s 2。

解析 设哈雷彗星离太阳的最近距离为，最远距离为R 2，则椭圆轨道半长 轴为2
21R R R += 根据开普勒第三定律k T
R =23，得 13222R kT R -=
=m m 103218109.83600243657510354.38⨯-⨯⨯⨯⨯⨯）（
=5.224⨯1012m
二、“中心天体——圆周轨道”模型
指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体（环绕天体）以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用。

解答思路 由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得
r T
m r mw r v m ma r Mm G n 2222)2(π==== 式中M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量， a n 、v 、w 和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解。

此类模型所能求出的物理量也是最多的。

（1）对中心天体而言，可求量有两个：
①质量M=2324GT r π，②密度ρ=3
233R GT r π，特殊地，当环绕天体为近地卫星时(r ＝R)，有ρ=
23GT π。

（2）对外绕大体而目，可求量有六个： ①线速度r GM v =，②角速度2r GM w =，③周期GM
r T 324π=，④向心加速度a n =2r GM ，⑤向心力2r Mm G F =，⑥轨道所在处的重力加速度g ′=2r
GM （各式推导略）
（3）可求第一宇宙速度
物体在地球表面附近环绕地球运转，其实就是“中心天体——圆周轨道”模型，求第一宇宙速度有两种方法：
由R v m R
Mm G 22=，得 R GM v =； 或由R v m mg 2=，得gR v =； 其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量，R 为该星球
的半径，g 为该星球表面的重力加速度。

依据已知条件，灵活选用计算公式。

例2（2006年全国理综卷Ⅰ第16题）我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。

已知月球质量约为地球质量的
41，月球的半径约为地球半约811，地球上的第一宇宙速度约为7.9km ／s ，则该探月卫星绕月运行的速度约为 ( )
A ．0.4 km ／s
B ．36 km ／s
C ．11 km ／s
D ．1.8 km ／s
解析 设地球质量、半径分别为M 、R ，月球质量、半径分别为m 、r ，则
81M m =，R r 41=。

在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m 0，则g m R
GMm 020= ；即2gR GM =，在月球表面，满足2r g GM '=，由此可得g g Mr
mR g 811622=='，地球表面的第一宇宙速度s km gR v /9.71==，在月球表面，有v ′=./8.19
2924181161s km v gR R g r g ≈==⨯='
三、“同步卫星”模型
地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全球通信和转播电视信号。

同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天体——环绕天体”模型．同步卫星具有四个一定：
①定轨道平面：轨道平面与赤道平面共面；
②定运行周期：与地球的自转周期相同，即T ＝24h ； ③定运行高度：由222()()()Mm G m R h R h T
π=++，得同步卫星离地面的高度为： km R GMT h 4322106.34⨯≈-=π
④定运行速率：s km /0.3r
G M υ≈= 一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星，即可实现全球通信(两极有部分盲区)．为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心的张角不能小于3。

，这样地球的同步轨道上至多能有120颗通信卫星。

可见，空间位置也是一种资源。

例3 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为了，不考虑大气对光的折射。

解析 设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离，有 222()mM G mr r T
π= 春分时，太阳光直射地球赤道，如图1所示，图中圆正表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心．由图可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆时针方向)，其正下方的观察者将看不见它。

据此再考虑到对称性，有risn R θ=,22t T θπ=,2Mm G mg R
= 由以上各式可解得3122)4arcsin(gT R T
t ππ= 四、“天体相遇”模型
两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近．若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近．两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远。

设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间2，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2x 的整数倍，则两卫星又相距最近，即''12(21).t t n ωωπ-=-(n=1,2,3……)；如果经过时间't ，两卫星与地心连线半径转过的角度相差n 的奇数倍，则两卫星相距最远，即),3,2,1.()12(21⋯=-='-'n t t n πωω
例4(2006年江苏物理卷14题) 如图2所示，A 是地球的同步卫星。

另一卫星月的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为A 。

已知地球半径为R ，地球自转角速度为ωо
，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。

(1)求卫星月的运行周期；
(2)如卫星月绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、月两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，他们再一次相距最近?
解析 (1)由万有引力定律和向心力公式得
22
24()()B Mm G m R h R h T π=++ ①
.2mg R
Mm G = ② 联立①、②两式得 2
3)(2gR h R T B +=π ③ (2)由题意得 (ωB -ω0)t=2π ④
由③式得
B ω= ⑤
代人④式得0t ω==-
对一些未知天体，通过测量一些数据并应用万有引力定律的计算，可以发现和预测未知天体的一些物理量。

五、“地球自转忽略”模型
在地球表面，分析计算表明：物体在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应，近似地认为质量为m 的物体重力等于所受的地球引力，即2Mm mg G
R = 所以，地表附近的重力加速度为利
用这一思路，我们可推出“黄金代换式”GM=gR 2 若物体在距地面高处，则有
'2()Mm mg G
R h =+所以，在距地面高A 处的重力加速度为'22()()GM R g g R h R h ==++ 例5 “神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为m 的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度时，加速度为2
g a =，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的1716
，已知地球的半径为R,g 为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度。

解析 设此时火箭升空高度为h ，此处重力加速度为g ’，对火箭内测试仪平台上的小物体，应用牛顿第二定律，有'.F mg ma -= 根据万有引力定律，有'2
'
2221,.()M g R g G r r g R h =∞=+ 将17,216g a F mg ==代入上式解得.3
R h = 六、“星体自转不解体”模型
指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴(某点)做匀速圆周运动，其
特点为：
①具有与星球自转相同的角速度和周期；
②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．
因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽然相同，但周期不同)，也不同于同步卫星的运转（二者周期虽相同，但轨道半径不同）。

这三种情况又极易混淆，同学们应弄清。

例6 如果一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T ；然后，用弹簧秤测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力仅为两极的90%．试写出星球平均密度的估算式。

解析 设星球的质量为M ，半径为R ，平均密度为ρ，砝码的质量为m ．砝码在赤道上失重：1-90%=10%，表明砝码在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为20.10.1.Mm F F G R
==⨯引向 而一昼夜的时间T 就是该星球的自转周期．根据万有引力定律和牛顿第二
定律，有22240.1.Mm G mR R T
π⨯= 又 34,3
M R ρπ=⋅ 所以，该星球平均密度的估算式为230.GT
πρ= 七、“双星”模型
对于双星问题要注意：
①两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；
②两星球绕两星球间连线上的某点(转动中心)做圆周运动的角速度ω或周期T 的大小相等；
③两星球绕转的半径r 1、r 2的和等于两星球间的距离L ，即12r r L += 例7(2001年北京春招题改编) 在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星．已知两颗恒星质量分别为m 1、 m 2，两星之间的距离为L ，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒
星的运转半径和角速度。

解析 两恒星构成的系统能保持距离L 不变，则两恒星转动的角速度(周期)相同，设它们的角速度为ω，半径分别为r 1、r 2，则它们间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，则 12r r L += ①
对恒星m l ： 212112.m m G m r L
ω= ② 对恒星m 2： 222122.m m G m r L
ω= ③ 联立①、②、③式解得
将 代人②式得
讨论：(1)当ml ＝m2时，
(2)当，m1》m2时，r 1≈r 2，r 2≈L ，这正是我们已熟知的人造地球卫星的运转模型．
说明万有引力公式和向心力公式中都有r这个物理量，但它们的含义不同：万有引力定律中的r是指两物体间的距离，而向心力公式中的r则指的是圆周运动的半径．一般情况下，它们二者是相等的，如月球绕地球的运动，但在此双星问题则根本不同：万有引力定律中的r：L，而向心力公式中的，则分别为r1和r：，它们的关系是
例8(2006年广东高考物理试题) 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为只的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m．
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少?
解析(1)第一种形式下，如图4甲所示，以某个运动的体为研究对象，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
(2)第二种形式下，设星体之间的距离为r，如图4乙所示，则三个星体做圆周运动的半径为，由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力
提供，由力的合成和牛顿第二定律，有
解得
八、“卫星变轨”模型
解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：
①若F供＝F求，供求平衡——物体做匀速圆周运动；
②若F供<F求，供不应求——物体做离心运动；
③若F供>F求，供过于求——物体做向心运动。

例9 2006年2月10日，面向社会征集的月球探测工程标志最终确定．上海设计师作品“月亮之上”最终当选．我国的探月计划分为“绕”“落”“回”三阶段．第一阶段“绕”的任务由我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”来承担．发射后，“嫦娥一号”探测卫星将用8天至9天的时间完成调相轨道段、地一月转移轨道段和环月轨道段的飞行。

其中，假设地一月转移轨道阶段可以简化为：绕地球做匀速圆周运动的卫星，在适当的位置点火加速，进入近地点在地球表面附近、远地点在月球表面附近的椭圆轨道运行，如图5所示．若要此时的“嫦娥一
号”进入环月轨道，则必须( ) A．在近地点P启动火箭向运动的反方向喷气
B．在近月点(远地点)Q启动火箭向运动的反方向喷气
C．在近月点(远地点)Q启动火箭向运动方向喷气
D．在近地点户启动火箭向运动方向喷气
解析要使月球探测卫星在地球椭圆轨道上变轨绕月球运行，则必须在近月点Q处点火减速，即启动火箭向运动的方向喷气使探测器减速，使月球对探测卫星的引力大于做圆周运动所需的向心力而做向心的变轨运动，正确答案为选项C。

九、“航天器对接”模型
航天器对接是指两个航天器(宇宙飞船、航天飞机、空间站等)在太空轨道会合并连接成一个整体．它是实现太空装配、补给、维修、航天员交换等过程的先
决条件．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接，所谓交会是指两个航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则是两个航天器相会后在结构上连成一个整体。

解答两个航天器的交会对接问题，其实质仍然是航天器的变轨运行问题，即根据圆周运动的向心力“供”和“求”关系进行分析。

例10 如图6所示，m1、m2：为两颗一前一后在同一轨道绕地球做匀速圆周运动的卫星，试述用何种方法可使卫星m2追上前面的卫星m1?
解析m2不能像在地面上行驶的汽车一样加大速度去追赶m1，而应先通过反向制动火箭把速度变小，这样万有引力就大于m2做匀速圆周运动所需要的向心力，从而轨道半径变小，在较低轨道上匀速圆周运动。

由于在较低轨道上m2的运行速率要大些，大于m1的运行速率，就会慢慢赶上前上方的m1，再在恰当位置m2通过助推火箭把速度变大，这时万有引力又小于所需要的向心力
m2将做离心运动，轨道半径将变大到与m1相同，这时m2就追上了m1。

十、“能量守恒”模型
在发射人造卫星(或探测器、太空飞船)过程中，火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射动能(速度)就越大。

利用功能关系或能量守恒可计算出发射人造卫星而运转于某圆轨道所需要的能量。

例11 设想宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，由月球表面乘坐返回舱返回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图?所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度，已知返回舱返回轨道的过程中需克服月球的引力做功，返回舱与人的总质量为，n，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响，则宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱?
解析返回舱在月球表面上，有
设轨道舱质量为mo，速度大小为υ，有
所以
返回舱与轨道对接时具有的动能为返回舱在返回过程中需克服引力做功
故返回舱返回时至少需能量
联立解①-⑤式得。