初中数学知识点精讲精析 圆的对称性
九年级数学《3-2 圆的对称性》课件
B
E
·
C
O
D
A
例2 如图，AB是⊙O 的直径， BC=CD=DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
ED
C
A
· O
B
例3 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
O·
B
C
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
第三章 圆
3.2 圆的对称性
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋 转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其 解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在 同圆或等圆”条件的意义.（难点）
圆的对称性
自主学习
圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
在 同 圆 或 等 圆 中
当堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么 （ D ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
C B
D
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现：
·
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD
O
A
那么，AB CD ，弦AB=弦CD
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关
系是否依然成立？为什么？
初三苏科版数学上册圆的对称性知识点
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理解圆的对称性及相关性质，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，是本课需要掌握的重点。
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圆的对称性知识点，希望对大家有用。
知识点
在生成圆算法中计算考虑使用对称性计算开销可以减小到原来的1/8。
对称性质原理：
(1)圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
(2)圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
(3)圆是满足y = x or y = -x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
通过上面三个性质分析得知，对于元的计算只需要分析其中1/8的点即可。
例如：分析出来目标点(x,y)必然存在
(x,-y),(-x,y),(-x,-y),(y,x),(y,-x),(-y,x),(-y,-x)的另外7个点。
课后练习
1. 下列说法中，不成立的是( )。
3.2圆的对称性- 九年级数学下册课件(北师大版)
2 如图，AB 是⊙O 的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与 线段AO 的长度相等的线段有( D )
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
3 在⊙O 中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则A︵B 与C︵D 的关系是( A )
︵︵
A. AB＝2CD
︵︵
B. AB＞2CD
C. A︵B＜2C︵D
D．不能确定
A．40° B．45° C．50° D．60°
2 把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的
虚线表示折痕，则B︵C 的度数是( C )
A．120° B．135° C．150° D．165°
3 如图，AB 是⊙O 的直径，AC＝CD，∠COD＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由． (2)求证：OC∥BD.
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
同学们， 下节课见！
5 如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，
分别交AD，BC 于点E，F，延长BA 交⊙A于点G. (1)求证：GE＝EF； (2)若BF 的度数为50°，求∠C 的度数．
(1)证明：如图，连接AF，则AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF. ∴∠GAE＝∠EAF.∴GE＝EF.
总结
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性： 一是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持不变， 因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线段都相等．
九年级下册数学精品课件2 圆的对称性
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1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
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4
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
圆心角
弧
·
O B
弦
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
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5
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B′ B
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1、 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AB = CD ， （1）如果AB=CD，那么___________
=2CD AB （ ）如果
AB=CD ，那么____________ ，
A E B D F
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD 于F，OE与OF相等吗？为什么？
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD
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例1
如图，在⊙O中， AB = AC ,∠ACB=60°,
A
⌒
⌒
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明：
∵ AB = ∴
AC
B
AB=AC．⊿ABC是等腰三角形
又∠ACB=60°，
·
O
60°
C
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴
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∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A′
B′
B
·O
A
·O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′ 重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′ 重合，B与B′重合． ︵ ︵
圆的对称性PPT演示课件
7
结论
二、点与圆的位置关系有三种：
A C O 到圆心的距离小于半径 的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半径 B 的点叫作圆外的点.
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要点归纳
二、点和圆的位置关系
设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？
P d P d P r
d
r
r d<r
点P在⊙O内 点P在⊙O外
练一练 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; AF, AD, AC, AE. 劣弧： AFE, AFC,AED, ACD. 优弧： (
D F A O C B E
(
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(
(
(
(
(
(
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探究
1.如图，在一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆 心重合，观察这两个圆是否重合.
C
·
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 . 2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直 线都是圆的对称轴
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O
D
议一议
如图,为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
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议一议 为什么通常把车轮设计成圆形？说说理由.
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的
距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中
D E B
四 条．
A
O
F
C
32
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A 上 . 3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4）， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ） A.在⊙O内 C.在⊙O外 B.在⊙O上 D.在⊙O上或⊙O外
初中数学知识点精讲精析 圆的对称性
3·2圆的对称性1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．Array如右图。
以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：①弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．②直径是弦，但弦不一定是直径．4.圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．5.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．证明此定理：如图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合.可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3—7，在⊙O中，AM=BM ，CD 是直径弧AD=弧BD ，CD ⊥AB 于MAC=弧BC.6.垂径定理的一个逆定理平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如上图，连结OA 、OB ，则OA ＝OB ．在等腰△OAB 中，∵AM ＝MB ，∴CD ⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O 关于直径CD 对称．∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与弧BC 重合，弧AD 与弧BD 重合．∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD7.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.圆的两条平行弦所夹的弧相等.符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．理由：如右图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF ，由垂径定理设弧AF=弧BF ，弧CF=弧DF ，用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF ，即弧AC=弧BD ，故结论成立．7.中心对称：中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．8.圆心角、弧、弦之间相等关系定理：圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD)在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：在同圆或等圆中②也相等①相等③在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．1.如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90 m ．求这段弯路的半径．[分析]要求弯路的半径，连结OC ，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE ⊥CD ，所以CF ＝21CD ＝300 cm ，OF ＝OE-EF ，此时就得到了一个Rt △CFO. 【解析】连结OC ，设弯路的半径为Rm ，则OF ＝(R-90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF ＝CD=×600＝300(m)．据勾股定理，得 OC 2＝CF 2+OF 2， 即R 2＝3002+(R-90)2．解这个方程，得R ＝545．∴这段弯路的半径为545 m ．2.如图,点A 是半圆上的三等分点,B 是BN 的中点,P 是直径MN 上一动点.⊙O 的半径为1,问P 在直线MN 上什么位置时,AP+BP 的值最小?并求出AP+BP 的最小值.【解析】作点B 关于直线MN 的对称点B′,则B′必在⊙O 上,且'B N NB .由已知得∠AON=60°,故∠B′ON=∠BON= 12∠AON=30°,∠AOB′=90°.连接AB′交MN 于点P′,则P′即为所求的点.此时,即AP+BP .3.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA ,C 为AB 的中点,AB 、OC相交于NM BP AO点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.【解析】是菱形,理由如下:由BC AC=,得∠BOC=∠AOC.故OM⊥AB,从而AM=BM.在Rt △AOM中,sin∠AOM=AMOA=,故∠AOM=60°,所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC, 故△BOC 与△AOC都是等边三角形, 故OA=AC=BC=BO=OC,所以四边形OACB是菱形.MCB AO。
圆形对称图形的知识点总结
圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。
无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。
2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。
将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。
3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。
这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。
4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。
这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。
5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。
通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。
总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。
这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。
因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。
初三下学期数学 圆的对称性 知识点精讲 教案 教学设计 课件
初三下学期数学圆的对称性知识点精讲知识点总结圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意:(1)圆的对称轴有无数条。
(2)圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后,仍与自身重合。
圆的对称性知识点1.连接圆上任意两点的线段叫弦2.经过圆心的弦叫直经，直径是特殊的弦，也是圆内最长的弦，半径不是弦3.圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧4.弦及所对的弧组成的图形叫弓形，弦的中点和所对弧中点的连线叫弓形的高5.圆心相同，半径不等的两个圆叫同心圆6.能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆是等圆7.顶点在圆心的角叫圆心角8.从圆心到弦的距离叫弦心距9.圆是轴对称图形，直接所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴10.园是中心对称图形，圆心为对称中心11.垂经定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并l平分弦所对的两条弧12.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧13.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧14.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦15.平行弦夹的弧相等16.根据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备:(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5) 平分弦所对的劣弧，上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论17.定理:在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等18.推论:在同园或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的心距中有一个量相等，那么它们所对的其余各种最都分别相等导学案3.2 圆的对称性主备人：温志鹏审核人：九年级数学集备组授课人：温志鹏【学习目标】课标要求：通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.目标达成：圆心角、弧、弦之间相等关系定理.学习流程：【课前展示】提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？提问二：圆是对称图形吗？（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）验证方法：折叠（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？【创境激趣】把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．【自学导航】=刚才到的=理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB 和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′．在上述操作过程中，你会得出什么结论?在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【展示提升】典例分析知识迁移，BE与CE的大小有什么关系？为什么？与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？【归纳总结】通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳) 利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理【板书设计】3.2 圆的对称性1 2 3【教学反思】、本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态课件及引导，让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣.（1）情景引入中运用媒体形象直观的展现了圆心角、弧、弦之间的关系，激发学生的学习兴趣，并让学生体会到数学对称之美（2）在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时，教师应用白板的旋转功能让学生观察——猜想——证明——归纳的数学过程，让学生既轻松又形象直观地获得了新知.总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.图文导学图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删。
北师大版九年级数学上册 专题3.3 圆的对称性(知识讲解)
专题3.3 圆的对称性（知识讲解）【学习目标】1．了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.理解圆的对称性；【要点梳理】知识点一、与圆有关的概念1.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.特别说明：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.2.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.特别说明：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.知识点二、圆心角和弧、弦的关系性质一：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等；性质二：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等知识点三、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
【典型例题】类型一、与圆有关概念的识别1．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆【答案】B解答：过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.考点：圆的有关定义.举一反三：【变式1】下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形B．一个圆的直径的长是它半径的2倍C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．直径是圆的弦，但半径不是弦【答案】C【分析】根据圆的特征，轴对称图形的定义，弦的定义逐项进行分析即可．解析A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项正确；B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项正确；C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项错误；D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项正确；故选：C．【点拨】本题主要考查了圆中的有关概念和性质，熟记性质是解本题的关键．【变式2】下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫做等弧B．半圆不是弧C．过圆心的线段是直径D．直径是弦【答案】D【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；B、半圆是弧，故错误，不符合题意；C、过圆心的弦是直径，故错误，不符合题意；D、直径是弦，正确，符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了圆的认识，解题的关键是牢记等弧的定义、直径的定义、弦的定义，难度不大．【变式3】下列4个说法中：①直径是弦；①弦是直径；①任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；①弧是半圆；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．解：①直径是最长的弦，故正确；①最长的弦才是直径，故错误；①过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；①半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，正确的有两个，故选B．【点拨】本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．类型二、圆心角、弧、弦的关系2．如图所示，在①O中，AC、BC是弦，根据条件填空：(1)若AC＝BC，则________________；(2)若AC BC=，则______________；(3)若①AOC＝①BOC，则______________．【答案】(1) AC BC=，①AOC＝①BOC；(2) AC＝BC，①AOC＝①BOC；(3) =，AC＝BC．AC BC【解析】本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来解决.解：本题中AC所对的弦是AC，所对的圆心角是①AOC；BC所对的弦是BC，所对的圆心角是①BOC.（1）若AC＝BC，则AC=BC，①AOC＝①BOC；（2）若AC=BC，则AC＝BC，①AOC＝①BOC；（3）若①AOC＝①BOC，则AC=BC，AC＝BC.举一反三：【变式1】如图，在①O中，AC BD，若①AOB＝40°，则①COD＝____．【答案】40°【解析】由“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得①AOC=①BOD，再得出①AOB=①COD.解：①在①O中，AC=BD，①①AOC=①BOD，①①AOC-①BOC=①BOD-①BOC，①①AOB=①COD=40°.故答案为40°.【变式2】如图，A、D是①O上的两点，BC是直径，若①D＝32°，则①OAC＝_______度．【答案】58【分析】根据①D的度数，可以得到①ABC的度数，然后根据BC是直径，从而可以得到①BAC的度数，然后可以得到①OCA的度数，再根据OA=OC，从而可以得到①OAC的度数．解：①①D=32°，①D=①ABC①①ABC=32°①BC是直径①①BAC=90°①①BCA=90°-①ABC=90°-32°=58°①①OCA=58°①OA=OC①①OAC=①OCA①①OAC=58°故答案为58．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3】一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为_____．【答案】2cm【分析】如图所示：首先作辅助线连接OA，OB，过O作OD①AB．根据特殊角的三角函数值求得AD的长度；然后由垂径定理求得AB的长度．解：连接OA，OB，过O作OD①AB．①一条弦把圆分成5：1两部分，①①AOB＝60°，①①2＝①1＝30°；又①OD①AB，OA＝2cm，①AD＝12OA＝1cm，①AB＝2AD＝2cm．故答案是：2cm．【点拨】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦间的关系．本题利用了一个周角是360°求得所求弦所对的圆心角的度数．类型三、圆的对称性综合3．已知：A 、B 、C 、D 是①O 上的四个点，且BC AD =，求证：AC =BD ．【答案】详见解析【分析】先根据BC AD =可得AC BD =，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得． 证明：①BC AD =①AC BD =①AC BD =【点拨】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等． 举一反三：【变式1】如图，AB 是O 的直径，//OD AC ．CD 与BD 的大小有什么关系？为什么？【答案】CD BD =，理由见解析【分析】连接CO ，根据平行线的性质可得2,1A C ∠=∠∠=∠，根据圆的半径相等，可得A C ∠=∠，等量代换可得12∠=∠，进而可得CD BD =．解：CD BD =，理由如下，如图，连接CO ，//OD AC ，2,1A C ∴∠=∠∠=∠，OA OC =，A C ∴∠=∠，12∠∠∴=，∴CD BD =．【点拨】本题考查了圆的性质，弧长与圆心角之间的关系，掌握弧和圆心角之间的关系是解题的关键．【变式2】如图，AB ，DE 是O 的直径，C 是O 上的一点，且AD CE =．BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？【答案】BE CE =，理由见解析【分析】根据对顶角相等得到AOD BOE ∠=∠，再根据圆心角、弧、弦的关系得AD BE ，再结合AD CE =，即可得到BE CE =，再根据圆心角、弧、弦的关系得即可证得BE CE =．解：BE CE =，理由如下：①AOD BOE ∠=∠，①AD BE ．又①AD CE =，①BE CE =．①BE CE =．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，熟练掌握了圆心角、弧、弦的关系是解决本题的关键．。
1.圆的对称性重点
圆的对称性一、知识梳理圆是一种“完美”的图形,其完美性不仅体现在它既是轴对称图形又是中心对称图形,而且体现在它的旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意的角度,都能余自身重合。
由圆的对称性引出了许多重要定理:垂径定理及推论;在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论。
这些性质在计算和证明中都有着广泛的应用。
一般是通过做辅助线构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形相结合。
熟悉一下基本图形、基本结论:二、考点聚焦考点一:垂径定理考点二:圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理。
三、典例精讲例1、(1(2008湖北鄂州已知在⊙O 中,半径5=r ,AB 、CD 是两条平行弦,且AB =8,CD =6,则弦AB 、CD 之间的距离是 ;弦AC 的长为。
(2(2012黑龙江绥化市,3分⊙O 为△ABC 的外接圆,∠BOC =100°,则∠A = 。
例2、已知如图,圆内接四边形ABCD 的两条对角线AC ⊥BD 于M 。
求证:EF ⊥DC ⇔AE =BE 。
例3、已知,如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于E 。
求证:AD OM 21=。
例4、如图,直线M N 交⊙O 于C 、D ,AB 是⊙O 的直径,AE ⊥M N 于E ,BF ⊥M N 于F 。
求证:(11tan tan =∠⋅∠BDF ADE(2当AE =a ,EF =b ,BF =c ,EAC ∠tan ,EAD ∠tan 是方程02=+-c bx ax 的根。
变式训练一、填空题。
1. (2006 南京市如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于G 、B 、F 、E ,cm AG 1=,cm DE 2=,则EF = 。
1题图 2题图3题图2. 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD 交AB 于点E ,且分AB 为2cm 和6两段,∠AEC=30°,则弦CD = 。
3. (2005 连云港如图,已知⊙O 的半径为5,点A 到圆心O 的距离是3,则过点A 的所有弦中,最短弦的长为。
15-第三章2圆的对称性
︵
︵
∠BOD=∠COD,∴BD =CD .∵OB=OC,∴△BOC是等腰三角形.又∵OA平
分∠BOC,∴OA⊥BC,即AD⊥BC.故①②③④均正确,因而选D. 答案 D
2 圆的对称性
栏目索引
题型一 运用圆心角、弧、弦之间的关系求角的度数
例1
(2019四川内江资中一模)如图3-2-2,AB,CD是☉O的直径,
(2)PE=PF.
证明 (1)如图,连接PO,
︵
︵
∵ PA=PB ,∴∠POC=∠POD.
∵C,D分别是半径OA,OB的中点,∴OC=OD.
又∵PO=PO,∴△PCO≌△PDO,∴PC=PD.
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°,
∴∠ACE=∠AEC,∴AE=AC,∴AE=CD.
2 圆的对称性
栏目索引
4.如图3-2-7,已知AB,CD是☉O的直径,DF∥AB交☉O于点F,BE∥DC交☉O
于点E.
(1)求证:BE=DF;
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).
图3-2-7
解析 (1)证明:连接OE,OF.
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形,实际上,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都 能与原来的图形重合,这种性质称为旋转不变性.圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特 例
2 圆的对称性
例1 下列说法正确的是 ( ) A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合
证明 如图,连接AG.
∵AB=AG,∴∠AGB=∠B.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠B,∠FAG=∠AGB,
圆的对称知识点总结
圆的对称知识点总结一、基本概念圆是平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。
这个固定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。
圆通常用一个大写字母表示圆心，用一个小写字母r表示半径。
二、对称性圆具有很强的对称性，主要表现在以下几个方面：1. 中心对称：圆的中心是对称轴，圆上的每一个点关于圆心都有对称点。
2. 旋转对称：以圆心为中心，任意角度旋转圆都不变。
3. 轴对称：圆上的任意一条直径都是圆的轴对称线，即圆上的任意一点与圆心连线的垂直平分线。
三、对称性的运用圆的对称性在数学、几何学和物理学等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，圆的对称性在解题过程中经常发挥重要作用，可以帮助我们简化问题、找到解题的突破口。
在建筑设计和艺术创作中，圆的对称性也常被运用，可以创造出和谐美观的作品。
四、圆的对称性性质圆的对称性具有以下性质：1. 对称轴上的任意两点的对称点也在对称轴上。
2. 对称轴上的点到对称轴的距离相等。
3. 对称变换保持了图形的大小和形状不变。
五、圆的对称性的应用圆的对称性在日常生活中也有着广泛的应用。
如镜子、会旋转的木马等等都具有对称性，因此在制作这些用具时，需要考虑图形的对称性，这样会使产品更加美观，使用起来也更加安全。
六、圆的对称图形圆拥有非常丰富的对称图形，例如：1. 圆形2. 半圆形3. 扇形4. 弧形5. 弦形这些对称图形在实际生活中都有着广泛的应用，如构造街道的拱门、钟表的表盘等。
七、圆的对称性的研究圆的对称性不仅仅在几何学中有重要的应用，在现代数学中也有着广泛的研究。
在拓扑学中，圆是一个最基本的几何图形，对称性是研究圆的基本属性的重要内容之一。
在几何结构、代数结构等领域中，圆的对称性也有着深入的研究和运用。
八、总结圆是一个非常特殊的几何图形，具有很强的对称性，对称性在数学、几何学和现实生活中都有着广泛的应用。
圆的对称性性质以及对称图形的研究都是数学领域的重要内容，对于学生来说，深入理解圆的对称性有助于提高他们的数学素养和数学思维能力。
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第二节圆的对称性
要点精讲
一、圆的对称性：
1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.
经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.
2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）
1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）
2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.
3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.
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像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
典型分析
1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）
A.1/2
B.1/4
C.1/6
D.1/8
【答案】B
【解析】连接AM 、BM.
∵MN ∥AD ∥
BC ，OM=ON ，
∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM
的面积.
再根据图形的轴对称性，得
阴影部分的面积=
扇形OAB 的面积=1/4圆面积
.
故选B.
中考案例
1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=
2.则BD 的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.
根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；
根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.
∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.
=
针对训练
1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）
A.（0，-2），（0，8）
B.（-2，0），（8，0）
C.（0，-8），（0，2）
D.（-8，0），（2，0）
2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）
A.2
B.4
C.6
D.8
3.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）
A.点A在圆外
B.点A在圆上
C.点A在圆内
D.不能确定
4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）
A.6＜r＜10
B.8＜r＜10
C.6＜r≤8
D.8＜r≤10
5.下列命题中，正确的是（）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.
A.①②③
B.③④⑤
C.①②⑤
D.②④⑤
6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
7.下列命题正确的是（）
A.顶点在圆周上的角叫做圆周角
B.圆内接平行四边形一定是矩形
C.平分弦的直径一定垂直于弦
D.与直径垂直的直线是圆的切线
8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A.AB中点
B.BC中点
C.AC中点
D.∠C的平分线与AB的交点
参考答案
1.【答案】B
【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.
故选B.
2.【答案】B
【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.
故选B.
3.【答案】C
【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C.
4.【答案】A
【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.
故选A.
5.【答案】B
【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.
故选B.
6.【答案】C
【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，
故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.
故选C.
7.【答案】B
【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.
故选B.
8.【答案】A
【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，
故选A.
扩展知识
轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。