线面垂直及面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点

1、若直线αβαβ( B ) A 、//αβ

B 、α不一定平行于β

C 、α不平行于β

D 、以上结论都不正确

2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o

,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为

H ,则H 一定在( B )

A 、直线AC 上

B 、直线AB 上

C 、直线BC 上

D 、△ABC 的内部

3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π与6

π

,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1

B 、3:1

C 、3:2

D 、4:3

4、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==o

,

12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值就是

5、已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A ,

若棱AB 上存在点P,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长

的取值范围就是 。

题型一:直线、平面垂直的应用

1、(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱

PC,AC,AB 的中点、 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，、 求证:(1) PA DEF P 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 、

证明: (1) 因为D,E 分别为棱PC,AC 的中点, 所以DE ∥PA 、

又因为PA ⊄ 平面DEF,DE ⊂平面DEF, 所以直线PA ∥平面DEF 、

(2) 因为D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点,PA ＝6,BC ＝8,所以DE ∥PA,DE ＝

12PA ＝3,EF ＝1

2

BC ＝4、 又因 DF ＝5,故DF 2＝DE 2＋EF 2,

所以∠DEF ＝90°,即DE 丄EF 、

又PA ⊥AC,DE ∥PA,所以DE ⊥AC 、

线面垂直

线线垂直

面面垂直

B`

A`B A

α

β

C

D

1

B 1

C B 1

1

D A D B

A

因为AC∩EF ＝E,AC ⊂平面ABC,EF ⊂平面ABC,所以DE ⊥平面ABC 、 又DE ⊂平面BDE,所以平面BDE ⊥平面ABC 、

2、 (2014,北京卷,文科)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,E 、F 分别为11A C 、BC 的中点、 (1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ;(2)求证:1//C F 平面ABE 、 证明:(1)在三棱柱111ABC A B C -中,

11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面

,AB ABE ⊂Q 平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面、

(2)取AB 的中点G,连接EG ,FG

Q E 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1

,2

FG AC FG AC ∴=

P , 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=Q P P ，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形, 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴P Q P 平面平面平面、

3.如图,P 就是ABC ∆所在平面外的一点,且⊥PA 平面ABC ,平面⊥PAC 平面PBC .求证AC BC ⊥.

分析:已知条件就是线面垂直与面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直..

证明:在平面PAC 内作PC AD ⊥,交PC 于D .因为平面⊥PAC 平面PBC 于

PC ,⊂AD 平面PAC ,且PC AD ⊥,所以PBC AD 平面⊥.又因为⊂BC 平面PBC ,

于就是有BC AD ⊥①.另外⊥PA 平面ABC ,⊂BC 平面ABC ,所以BC PA ⊥.由①②及A PA AD =I ,可知⊥BC 平面PAC .因为⊂AC 平面PAC ,所以AC BC ⊥.

说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以瞧到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.

4、 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ,如图,︒=∠90BSC ,︒=∠=∠60ASB ASC ,若截取a SC SB SA ===

(1)求证:平面ABC ⊥平面BSC ; (2)求S 到平面ABC 的距离.

分析:要证明平面ABC ⊥平面BSC ,根据面面垂直的判定定理,须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线.

(1)证明:∵a SC SB SA ===, 又︒=∠=∠60ASB ASC ,

∴ASB ∆与ASC ∆都就是等边三角形, ∴a AC AB ==,

取BC 的中点H ,连结AH ,∴BC AH ⊥.

在BSC Rt ∆中,a CS BS ==,∴BC SH ⊥,a BC 2=

,

∴2)22(222

2

2

2

a a a CH AC AH =-=-=,∴2

22a SH =. 在SHA ∆中,∴222

a AH =,2

22a SH =,2

2a SA =,

∴2

22HA SH SA +=,∴SH AH ⊥,∴⊥AH 平面SBC .

∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC .

或:∵AB AC SA ==,∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心,

又BSC ∆为∆Rt ,∴H 在斜边BC 上,

又BSC ∆为等腰直角三角形,∴H 为BC 的中点,

∴⊥AH 平面BSC .∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC . (2)解:由前所证:AH SH ⊥,BC SH ⊥,∴⊥SH 平面ABC ,

∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离,a BC SH 2

2

2==

, ∴点S 到平面ABC 的距离为

a 2

2

. 5、如图示,ABCD 为长方形,SA 垂直于ABCD 所在平面,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ,求证:AE ⊥SB ,AG ⊥SD 6、在四棱锥P-ABCD 中,侧面PCD 就是正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知底面就是面积为32的菱形,︒=∠60ADC ,M 就是PB 中点。 (1)求证:PA ⊥CD

(2)求证:平面PAB ⊥平面CDM 7、在多面体ABCDE 中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,⊥AE 面

D

C

B

A

S G E

F M

P