工程力学第四版张秉荣第一章

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推论证明
FHale Waihona Puke Baidu
A A
F
A
F F2
B
F2
B
F1
F1
在力 F的作用线上任选一点 B，并在B点加一组沿 设力 F 作用于刚体上 A 点。 除去F与F1所组成的一对平衡力，刚体上只剩 AB的平衡力F1和F2，且使F2＝F＝－F1。 F2，显然F2＝F。
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力的可传性原理说明，力是滑移矢量，它可以
的代数和。
退出
（1-11）
平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩
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三 力的平移定理
力的平移定理：
作用于刚体上的力,可以平行地移动到刚体上任一指定 点，为使该力对刚体的作用效果不变，必须同时附加 一力偶,其力偶矩等于原力对该指定点的力矩。
力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物 体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产 生的旋转作用。 F′ A· O A· O （b） A· F′ M O （ cc ） （ ）
1）力偶矩的大小。
2）力偶的转向。 3）力偶作用面——它的方位表征作用面在空间 的位置及旋转轴的方向；作用面方位由垂直于作用 面的垂线指向来表征。凡空间相互平行的平面，它
们的方位均相同。
凡三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以 相互置换。
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三、力偶的性质
性质1 力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的
F F ix i y FR y Fi y FR x Fi x cos , cos FR FR FR FR FR FR x FR y
2 2 2 2
3）合力投影定理
y
d2 c2 e2 b2
a2
O
d
c
F2
F3
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式（1-6）还可连续使用力的三角形法则来解决：
FR＝F1+F2+…+Fn＝∑F
F4 F3 FR O FR13 FR12 F1 F2
（1-6）
为求合力FR，只需将各力F1，F2，…，F4首尾相接，形成
一条折线，最后联其封闭边，从首力F1的始端O指向末力F4的 终端所形成的矢量即为合力FR的大小和方向。此法称为力多边 形法则。上述为两个或多个汇交力合成的方法。
2．力的单位
本书采用我国法定计量单位，
力的单位用N（牛［顿］）或kN
（千牛［顿］）。
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3．力的矢量表示 力是矢量
常用一个带箭头的线段来表示，
线段的长度按一定比例代表力的大
小，线段的方位和箭头表示力的方
向，其起点或终点表示力的作用位 置。该线段的延伸称为力的作用线。 用加粗体字母（如F ）代表力矢， 而并以明体字母 F表示力的大小。
FR F2
C
量得合力FR的近似值。
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平行四边形法则说明，力的运算可按矢量运算法则进
行，但因力为滑移矢，故限制了合力作用线必须通过前两 力之汇交点，其矢量式为
FR=F1+F2
式（1-4）的投影式为
（1-4）
FRx=F1x+F2x FRy=F1y+F2y
（1-5）
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本定律阐明了力是物体间的相互作用，其中作用与反作 用的称呼是相对的，力总是以作用与反作用的形式存在的， 且以作用与反作用的方式进行传递。
这里应该注意两力平衡公理与作用与反作用定律之间的
区别，前者叙述了作用在同一物体上两个力的平衡条件，后 者却是描述两物体间相互作用的关系。
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有时我们考察的对象是物系，物系外的物体与
第一章 力的基本运算与物体受力图的 绘制 第一节 力 的 概 念 第二节 力的基本运算 第三节 约束与约束力 第四节 物体的受力分析、受力图
小 结
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第一节
一、力的概念
力的概念
力的概念产生于人类从事的生产劳动之中。当人
们用手握、拉、掷及举起物体时，由于肌肉紧张而感受 例如，奔腾的水流能推动水轮机旋转，锤子的敲打会使
在力学上，以F与d的乘积冠以适当的正负号作为量度力
偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并 记作M(F,F')或M，即
M(F,F')=M=±F· d
力偶矩的单位为N· m或N· mm。
（1-9）
一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针取负值。
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力偶对物体的转动效应取决于下列三要素：
若有多个力F1，F2，…，Fn汇交作用于物体A处，显
然其合力FR的矢量式为
FR＝F1+F2+…+Fn＝∑F
式（1-6）的投影式为
（1-6）
FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx
FRy=F1y+F2y +…+Fny=∑Fy
影等于力系中各力同轴上投影的代数和。
（1-7）
式（1-7）即为合力投影定理：力系的合力在某轴上的投
F4
e
FR
FR x F1x F2 x F3 x F4 x
FR y F1 y F2 y F3 y F4 y
b
F1
a
a1 b1 c1 d1
e1
x
合力投影定理——合力在某一轴上的投影，等于
它的各分力在同一轴上投影的代数和。
FR x F1x F2 x Fnx Fix FR y F1 y F2 y Fny Fiy
F=200N 力的作 用线 F
A B

50N
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性质1（两力平衡公理）作用于同一刚体上的两个 力，使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是：此两力 必须等值、反向、共线。
两力平衡公理是刚体受最简单的力系作用时的平衡条件，
二、力的性质
如一物体仅受两力作用而平衡，则两力的作用线必定沿此两力作
Fy Fx cos , cos F F F Fx 2 Fy 2
A
j
O i
Fx
x
力在坐标轴上的投影是代数量，而分力则是矢量。 在直角坐标系中，它们之间的关系可表达为：
F Fx Fy Fx i Fy j
2）平面汇交力系合成的解析法 先计算出各分力在轴的投影，然后根据合力投影 定理计算出合力的大小与方向余弦。
力偶矩，而与矩心的位置无关。 证明：设在刚体某平面上A、B两点作用一力偶，现求此 力偶对任意点O的力矩，取x表示矩心O到F之垂直距离，按力 矩定义，F与F对O点的力矩和为
MO(F)+ MO(F') = F· x-F· (x-d)=F· d
即
MO(F)+ MO(F) =M(F,F)
故不论点选何处，力偶对该点之矩永远等于它的力偶矩，
绕红的铁块变形等等。可见，力作用于物体将产生两种 效果：一种是使物体机械运动状态发生变化，称为力的 外效应；另一种是使物体产生变形，称为力的内效应。
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到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间。
综上所述，在静力学的范畴内，力可定义为：
力是物体间的相互作用，这种作将引
沿其作用线滑移，但不能任意移至作用线以外的位
置。 必须指出，力的可传性原理不适应于研究物体 的内效应。例如，一根直杆受一对平衡力F、F 作 用时，杆件受压，若将两力互沿作用线移动而易位，
则杆变为受拉，但拉、压是两种不同的内效应。因
此，当研究物体的内效应时，力应视为固定矢量。
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起物体的机械运动状态发生变化。
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1．力的三要素
实践证明，力对物体的作用效应，是由力的
大小、方向和作用点的位置所决定的，这三个
因素称为力的三要素。例如，用扳手拧螺母时，
作用在扳手上的力，因大小不同，或方向不同， 或作用点不同，它们产生的效果就不一样。 F
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第二节 力的基本运算
一、平面汇交力系合成
1.几何法
1)力多边形法则 —— 求合力矢的几何作图方法。
F1
F2 F3 F4
b
c
F2
FR1
F3
d
FR2
F4
F2
F4
FR F1
e
FR
A
F1
a
结论:平面汇交力系可以合成为一个合力，合力作用线 通过汇交点，合力的大小和方向可由力多边形的封闭 边矢量确定，即等于各分力的矢量和。 矢量表达式： F R F1 F2 F3 Fn Fi
rBA
F´
F B
F
A
d
B
F´
四、平面力偶系的合成
M1 M2 F1=F'1=M1/d F2 A
F'1 d B F1 F'2
A FR
F'R d B
F2=F'2=M2/d
M=FRd=(F1-F2)d = M1+M2 若在刚体上有若干力偶作用，采用上述方法叠加，可得 合力偶矩为
M＝M1+ M2+…+ Mn=∑M
性质3（力的平行四边形 法则）作用于物体上某点两 力的合力也作用于该点，其
F1
A
B
D
FR F2
C
大小和方向可用此两力为邻
边所构成的平行四边形的对 角线来表示。
有时为简便起见，作图时可省 略AC与DC，直接将F2联在F1的末
F1
A
B
D
端，通过△ABD即可求得合力FR。
此法就称为求两汇交力合力的三角 形法则。按一定比例作图，可直接
二、力偶的概念及其运算法则 1力偶的定义
在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、 方向相反但不在同一作用线上平行力作用。例如图示的开门锁， 转动驾驶盘及拧水龙头等 。
F' F F'
F
F'
F
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二、力偶的三要素
由实例可知，在力偶的作用面内，力偶对物体的转动效 应，取决于组成力偶两反向平行力的大小F、力偶臂d的大 小以及力偶的转向。
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一个力也可以分解为两个分力，分解也按力的平行四边形
法则来进行。显然，由已知力对角线可作无穷多个平行四边形，
故必须附加一定条件，才可能得到确切的结果。 附加条件可能为：
1）规定两个分力的方向。
2）规定其中一个分力的大小和方向等。
F4
A
F2
FR
F1
F3
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例如，在进行直齿圆柱齿轮的受力
物系间的作用力称为外力，而物系内部物体间的相 互作用力称为内力。内力总是成对出现且呈等值、 反向、共线的特点，所以就物系而言，内力的合力 总是为零。因此，内力不会改变物系的运动状态。
但内力与外力的划分又与所取物系的范围有关，随
着所取对象范围的不同，内力与外力又是可以相互
转化的。
退出
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用点的连线，这类构件常被称为两力构件。
FAB
A
A
FAB
A
B
B C
D
B
FBA
FBA
G
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性质2（加减平衡力系原理）在已知力系上，
加上或减去任一的平衡力系，不会改变原力系对 刚体的作用效应。
推论（力的可传性原理）作用于刚体上的力，
可沿其作用线滑移到任何位置而不改变此力对刚 体的作用效应。
F3
2）平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分条件： 该力系的合力等于零。 即
F R Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件： 该力系的力多边形自行封闭。
F3 F2 F4
F1
Fn
2.解析法
1）力在直角坐标轴上的投影
y
Fy
Fy

F
B

Fx
Fx F cos Fy F cos
作用效应和原力偶相同，即力偶对于刚体上任意点 的力偶矩值不因易位而改变。 2）力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下， 可同时改变力偶中两反向平行力的大小、方向以及
力偶臂的大小。而力偶的作用效应不变。
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240N 4cm 60N 40N 1cm 6cm
240N· cm
各图中力偶的作用效应都相同。力偶的力偶臂，
而与力偶对矩心的相对位置无关。
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性质2 力偶在任意 坐标轴上的投影之和为 零，故力偶无合力，一
个力偶不能与一个力等
效，也不能用一个力来 平衡。 F

A
F'
B

Fx
Fx
x
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由于性质1、2的存在，对力偶可作如下处理：
1）力偶在它的作用面内，可任意转移位置。其
分析时，常将齿面的法向正压力Fn。
分解为推动齿轮旋转的即沿齿轮分 度圆圆周切线方向的分力——圆周力Ft
与指向轴心的压力——径向力F。
若已知Fn与分度圆圆周切向所形成 的压力角为，则
F

Ft Fn
Ft=Fncos F=Fnsin
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性质4（作用和反作用定律）若将两物体相互 作用之一称为作用力，则另一个就称为反作用力。 两物体间的作用力与反作用力必定等值、反向、 共线，但分别同时作用于两个相互作用的物体上。
力及其方向既然可改变，就可简明地以一个带箭头
的弧线并标出值来表示力偶。
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二、力偶矩 1、空间力系：力偶矩是一个矢量， 用M 表示 M r F
BA
M
A
2、平面力系： 力偶矩是一个标量 M = ±Fd 正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为–