第一章 第一节数与式实数及其运算

) D．8
2
2
3
考点二 例4
科学记数法
(5年4考)
(2017·潍坊)可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是
一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃
冰预测远景资源量就超过了1 000亿吨油当量．将1 000亿
用科学记数法可表示为( A．1×103 C．1×1011 )
B．1 000×108 D．1×1014
【分析】 首先将“ 1 000 亿”化为具体的数字，然后根据 科学记数法的表示方法将其表示出来即可． 【自主解答】 1 000亿＝100 000 000 000＝ 1×1011.故选
C.
对于科学记数法表示有理数x的问题，方法梳理如下表：
6．(2015·潍坊)2015年5月17日是第25个全国助残日，今 年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未 来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6
2
，4π ，
3 4
，….
知识点二
实数的有关概念
1．数轴：规定了_____、_________和_______的直线叫做数 原点 单位长度 正方向 轴，实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数：只有_____不同的两个数互为相反数，其中一个 符号 数叫做另一个数的相反数．特别地， 0的相反数是0；a＋b
个，它们互为_______，0的平方根是0，负数没有平方根． 相反数
a
(2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作____．正 数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0.
a
(3)立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，
对于给定的一个实数a，它的相反数是－a，它的倒数是 1 (a≠0)，它的绝对值等于数轴上实数a到原点的距离． a
1．(2017·安丘一模)－ 1 的倒数是( A. 1 B．8
8 C．－8
B．2
D.
C )
) D．－1
8(2017·深圳)－2的绝对值是( 2．
A．－2
C．－
B
1 2
1 2
命题角度❷ 例2
A．1.2×1011
C．1.26×1011
B．1.3×1011
D．0.13×1012
B
)
考点三
实数的大小比较
(5年1考)
例5 (2015·潍坊)在|－2|，20，2－1， 大的数是( )
2
这四个数中，最
A．|－2|
B．20
C．2－1
D.
2
【分析】 首先求出|－2| ， 20 ，2 －1 的值，然后根据实数比 较大小的方法判断即可． 【自主解答】 ∵|－2|＝2，20＝1，2－1＝0.5，
3
，－π ，－1，
D．－
3
9．(2017·安丘一模)估计
5 1 介于____________之间 2 ( ) C
B．1.5与1.6
A．1.4与1.5
C．1.6与1.7
D．1.7与1.8
考点四
实数的运算
(5年2考) ) D．8
例6 (2016·潍坊)计算：20·2－3＝( A．－ 1 B. 1 C．0
第一章 数与式 第一节 实数及其运算
知识点一 实数的分类 正整数 0 负整数 分数 无理数
常见无理数的形式归纳如下：(1)开方开不尽的数，如
2
，
tan 30°，…；(3)类似循环小数型，如1.010 010 001…， 4.151 151 115…，…；(4)π 型，如
5
，
11
，…；(2)某些三角函数值，如sin 60°，cos 45°，
8
8
【分析】 首先利用零指数幂、负整数指数幂的性质分别进 行计算，然后再根据实数的运算法则进行计算． 【自主解答】 20·2－3＝1× 1 ＝ 1 .故选B.
8
8
在实数的运算过程中，经常用到的公式有以下几种：a－p＝ (a－1)p＝ 1 ，a0＝1(a≠0)，同时注意与实数的绝对值、二
p a 次根式的运算、特殊角的三角函数相结合的题目．
法叫做科学记数法.
用科学记数法表示数m时，表示形式为a×10n.当|m|≥1时， n等于原数的正数位减1；当|m|<1时，n是一个负整数，其 绝对值等于原数的第一个非零数字前面0的个数．
知识点四
实数的大小比较
1．数轴比较法：在数轴上，右边点所表示的数比左边点所 表示的数___． 大 2．法则比较法：正数___0，负数___0，正数___一切负数；两 ＞ ＜ ＞ 个负数比较大小，绝对值大的反而小．
那么x叫做a的立方根或三次方根，记作___．正数的立方根
a 是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，每个实数
有且只有一个立方根．
3
平方根等于它本身的数有0；算术平方根等于它本身的数有 0和1；立方根等于它本身的数有－1，0和1.
知识点三
科学记数法
科学记数法：把一个绝对值大于10的数记作a×10n的形式， 其中 a 是整数位数只有一位的数， n 是正整数．这种记数方
A
)
A．B与C C．E与F
B．C与D D．A与B
13．(2017·淄博)运用科学计算器(如图是其面板的部分截 图)进行计算，按键顺序如下：
则计算器显示的结果是____． －7
则输出结果应为(
)
【分析】 首先根据计算器中按键的功能转化为算式，然后 进行计算． 【自主解答】 由题意知，所求式子为
故计算结果为
故选C.
讲：
运用计算器的常见误区
在运用计算器时，常见的误区有以下三点：①忽视对于第 二功能键的记忆；②对于计算器中的运算顺序不明确；
③计算错误．
练：链接变式训练13
12．(2017·潍坊)用教材中的计算器依次按键如下，显示 的结果在数轴上对应点的位置介于____________之间 (
且0.5＜1＜
＜2，
∴2－1＜20＜ 2 ＜|－2|，∴最大的数是|－2|.故选A.
2
在一组既有负数，又有0和正数的数中，若要求最小的数， 只要在负数中，找其最小数即可；若要求最大的数，只要 在正数中，找其最大的数即可．当一组数中有无理数时， 通常先把无理数转化为有理数再进行比较．
8．(2017·泰安)下列四个数：－3，－ 其中最小的数是( A．－π A B．－3 ) C．－1
＝0⇔a，b互为相反数；在数轴上，表示互为相反数的两个 点，分别位于原点两旁，并且它们与原点的距离_____．
相等
3．绝对值：在数轴上，表示一个数a的点与原点的_____ 距离 叫 做这个数的绝对值，记作|a|.
a 互为相反数的两个数的绝对值_____． 相等
-a
非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
后算加减；有括号的要先算括号内的；没有括号，在同一
级运算中，要按从左至右的顺序依次运算．
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算， 保证结果正确.
2.运算律 (1)加法交换律：a＋b＝_____． b＋a (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝__________． a＋(b＋c) (3)乘法交换律：ab＝___． ba (4)乘法结合律：(ab)c ＝______． a(bc) (5)乘法对加法的分配律： a(b＋c)＝_______． ab＋ac
)
2
2 2
1 2
命题角度❸
有理数与无理数 )
例3 (2014·潍坊)下列实数中是无理数的是( A.22 B．2－2
C． 7
D．sin 45°
【分析】 整数和分数统称为有理数，无限不循环小数和开 方开不尽的数是无理数． 【自主解答】 A，B，C是有理数，D是无限不循环小数，是
无理数．故选D.
讲：
3．零指数幂与负整数指数幂 (1)a0＝__(a≠0)． 1
1 (2)a－p＝____(a≠0， p为正整数). ap
考点一
实数的有关概念
(5年3考)
命题角度❶
实数的相反数、绝对值、倒数
例1 (2017·昌乐一模)计算－12的相反数是(
A．2 B．－2 C．1 D．－1
)
【分析】 只有符号不同的两个数互为相反数． 【自主解答】 ∵－12＝－1，－1的相反数是1，∴－12的相 反数是1.故选C.
岁精神残疾儿童约为11.1万人.11.1万用科学记数法表示
为( ) B．11.1×104 D．1.11×106 C ×104 A．1.11 C．1.11×105
7．(2016·源自文库坊)近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年 第一季度潍坊全市实现生产总值1 256.77亿元，将 1 256.77亿用科学记数法可表示为(精确到百亿位)(
区别有理数与无理数的常见误区
①只要看到带有根号的数就误认为是无理数；②误将有限
小数或无限循环小数当做无理数；③忽视 π 为无理数的事
实． 练：链接变式训练4
4．(2017·烟台)下列实数中的无理数是( A.
B
)
9
B．π
C．0
D. 1
3
5．(2017·凉山)有一个数值转换器，原理如下：
当输入的x为64时，输出的y是( A．2 B．3 C．2 A
10．(2014·潍坊)计算：82 11．(2017·潍坊二模)计算 ( 1 )－1－(1－π
014×(－0.125)2 015＝
________ －0.125 ．
)0的结果是_______．
2
27 2 3+1
－|2
3
－2cos 30°|＋
考点五
科学计算器
(5年1考)
例 7 (2017·烟台 ) 如图，若用我们数学课本上采用的科学 计算器进行计算，其按键顺序如下：
平方根、算术平方根、立方根
3
(2014·潍坊) B．0
A．－1
(1)
2
的立方根是( C． 1 D．±1
)
【分析】
先求出
3
3
(1) 2 的值，再求出它的立方根即可．
＝1，1的立方根是1.故选C.
【自主解答】
(1)
2
3．(2013·潍坊)实数0.5的算术平方根等于( A．2 C. B. D.
C
4．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数．用数学语言表 述：若a·b＝1，则a，b互为倒数．特别地，1和－1的倒数 还是它本身，0没有倒数．
5．平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：如果一个数x的_____等于a，即x2＝a，那么x叫 平方 做a的平方根，或二次方根，记作_____．正数的平方根有两
3．作差比较法：(1)若a－b>0，则a___b ＞ ；(2)若a－b＝0， 则a___b；(3)若a－b<0，则a___b. ＝ ＜ 4．平方比较法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理
数时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转
化为有理数，再进行比较或估值．
知识点五 实数的运算 1．运算顺序 在实数范围内的运算中，先算乘方、开方，再算乘除，最