3印度与阿拉伯数学
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列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一
北印度的道路，佛教产生
帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国
Байду номын сангаас
强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公
元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响
3.1 印度的数学
婆罗门教起源于公元前2000年 的吠陀教，形成于前7世纪，鼎盛 于前6－4世纪。 4世纪后，婆罗门教开始衰弱。 8、9世纪，婆罗门教逐渐发展 成为印度教。 印度教与婆罗门教没有本质区 别，都信奉梵天、毗湿奴、湿婆 三大神，主张善恶有报、人生轮 回，只有达到“梵我同一”方可 获得解脱，修成正果。
关外西天取经第一人 比唐玄奘早209年
北燕僧人昙无竭，于公元420年招集同志沙门25人，从龙城出发，远赴印度，取 回《观世音受记经》一部，译成汉文，收录在《大藏经》内，广为传诵。据考证， 昙无竭是继法显之后我国最早西行求法僧人之一，堪称关外西天取经第一人，比 唐僧玄奘西天取经还要早209年。 有关昙无竭是关外西天取经第一人的信息，来自于南北朝时期慧皎和尚编写的一 部史书《高僧传》，书中有关于昙无竭西天取经的文字记载。昙无竭，本姓李， 朝阳人，大概生于后燕时期，10来岁就出家到寺庙当沙弥，修炼苦行，遵守戒 律，念诵佛经，受到法师和众僧的器重。昙无竭常慨叹佛经残缺不全，听说僧人 法显等从古印度取回真经，下定决心亲赴西天取经。公元420年，昙无竭招集志 同道合的和尚僧猛、昙朗等25人，从燕都龙城出发，向西天行进。他们在中国 境内的西行路线大致为：龙城——今青海湖一带——今甘肃省河西走廊——今新 疆吐鲁番东——塔里木盆地北缘，途经今新疆喀什一带，攀登了帕米尔高原和昆 仑山等山脉。面对飞鸟难越的雪山、湍急的河水，以及两山之间以绳索为桥渡河 的险境，昙无竭一行25人没有停止西行的脚步，他们分3次过河，又用一整天翻 越雪山。过完雪山，同行25人竟然有12人半途坠崖而死。 为取得真经，昙无竭在天竺各地礼拜佛陀圣迹，寻访名师，学习梵文经典数年后， 从南天竺搭乘商船，漂印度洋，过南海，一行5人安全到达广州。回国后，昙无 竭住在江南某寺，弘扬佛法，直至去世。
“婆什迦罗号”人造卫星 （1979）
3.1.2 印度的代数
印度人对代数学作出了重大贡献.他们用缩写文字和一些记号 来描述运算.加法不用记号，被减数上面加个点表示减法.已知 的整数，前面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为 yāvat tāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未知数，那么用 各种颜色来区别：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,蓝色的)、 pī(pītaka，黄色的)、lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次 幂用varga一词的va这个音节来表示；三次幂用ghata的音节 gha来表示．并且借助va和gha两个符号表示未知数的更高次 幂：va va表示四次幂；va gha ghata表示五次幂；va gha表 示六次幂；va va gha ghata表示七次幂；va va va表示八次 幂； ...... 这套符号虽然不多，但足够使印度代数几乎称得上是符号代 数，并且符号比丢番图的缩写代数用得多． 虽然印度学者创立的符号很笨拙，符号本身即梵文字母的 形状很复杂，但是，他们的工作预示了新数学的发展方 向．他们的后继者——阿拉伯国家的学者不仅没有前进一步， 而且几百年来都是用“词语书写”来表示代数式及其运算．
关于圆的面积，婆罗摩笈多给出：粗糙计算时取π ＝3 计算了圆内接正6，12，24，48，96，192，384边 形的边长，从而得到π的值 为计算三角形的面积，除了通常的方法外，婆罗摩 笈多导出了所谓海伦公式，并把这个公式推广到圆 内接四边形的面积 用这些毕达哥拉斯数 来构造圆内接四边形 在印度的几何学中很 少见到命题的证明， 偶尔见到的证明也十 分简短，多数情形是把证明压缩为图形和指示语 “请看！”有时在图形旁边略加说明
婆罗门教、印度教的创造神梵天
3.1 印度的数学
在这样复杂的历史条件下，科学的发展在各时期不 同程度地受到政治动乱的抑制，但自古以来数学始 终是很受重视的科目．相传，佛祖悉达多· 乔达摩 (即释迦牟尼，公元前623—前544)幼时受传统的婆 罗门教育，用八年时间专门学习语文和数学．在印 度,数学的发展始终与天文学联系在一起．数学著作 大都是天文学著作中的某些篇章． 最早的数学著作《绳法经》(S．ulvasūtras)出现在 吠陀时代，它包含在古代婆罗门教的经典中，专讲 祭祀礼仪，其中包含毕达哥拉斯定理等数学知识
3.1.3 印度的几何与三角
印度学者在几何学方面的贡献明显地逊色于他 们在算术和代数方面的成就．在很多情形下，他们 的几何知识并不比亚历山大几何学家有多少进 步．例如，婆罗门笈多与亚历山大的塞翁（希帕蒂 娅的父亲）(Theon of Alexandria)的著作中的几何 部分就有许多相似之处． 婆罗门笈多著作中的几何部分有这样的特点： 在某些计算问题中，除给出精确的公式(当然有些问 题得不到精确公式)外，还给出在实际中便于应用的 近似法则
3.1.1 印度的算术
十进位值制记数法的使用和印度-阿拉伯数码的出现，不仅 在数学史上，而且在全人类文化史上都具有十分重要的意 义．
在十进位制记数系统产生以 前，在印度出现过各种不同的数 字和记数法，有些地区使用的数 字保持到很晚，现在很难研究出 它们之间的承袭关系．从公元前4 世纪到公元3世纪，在现今的东阿 富汗地区和旁遮普北部风行所谓 的音节数字与当时的古印度音节 文字有关．这可能是一种十进位 值制系统．数字1，4，10，20和 100用特殊记号表示，其它数由加 性原则写出，数字从右往左书 写．
在印度的各种数字系统中，至少从公元前2世纪起， 数字1，2，…，9就存在单独的符号，这些特殊符 号的存在是产生十进位值制记数法的基础．单位1 出现在表示单数事物如“太阳”、“月亮”的词语 中；而数字2出现在“双生子”，“眼睛”，“手” 这类词语中；数字5出现在“感官”(即五官)，“手 掌”中等等．数字的书写是从低位向高位，古印度 历数书中的天文表就这样表示数字，缺位时用特殊 符号标出 阿耶波多Ⅰ的著作中用音节表示数字，完全没有位 值制的特点．每一个数k· 10n(k＝1，2，…，9；n＝ 0，1，2，…)都被特殊音节所代替，丰富的梵文字 母能够给充分大的数字命名．但是，他的学生—— 婆什迦罗Ⅰ(Bhāskara Ⅰ， 629)却改进了这种记数 法，使数字的音节具有位值性，他还引进了表示空 位的音节．
公元500年以后，印度数学获得了较大的发展，印度数学的 成就在世界数学史上占有重要地位．许多数学知识由印度经 阿拉伯国家传入欧洲，促进了欧洲中古时期数学的发展． 希腊人和印度人发展数学的道路在许多方面都不相同．希腊 数学遵循着严格的逻辑叙述，所以几何学获得了重大的发 展．印度人则相反，不去求得严格的证明，而主要是发展实 用的数学，因此算术、代数和三角具有优势． 在5至16世纪，印度出现了许多著名的天文学家兼数学 家和一批杰出的著作．这些著作都是用印度的宗教和官方语 言梵文写的，就象伊斯兰国家中的阿拉伯语和中世纪西欧的 拉丁语一样．印度数学著作的最大特点是叙述得过于简练， 命题或定理的证明常被省略．运算法则的表述也极简短，又 常常以诗歌形式出现，再加上浓厚的宗教色彩，致使这些著 作更加晦涩难读．
对于乘法，各因子并列着写．一组数用线框起来相 当于加括号的意义．例如
印度代数的较大成就是引进了负数，当问题涉及到 债务或反向运动时，印度人使用了负数，他们像运 用正数一样运用负数．但是在有关一次方程的问题 中没有见到负数解． 印度学者解二次方程的方法比丢番图优越．在《阿 耶波提亚》中就有关于求解完全二次方程的问题
零的运算法则
建立了丢番图方程求解的 “库塔卡”法
“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）
3.1.2 印度的代数
婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年） 古印度数学最高成就《天文 系统之冠》（1150年）
《莉拉沃蒂》、《算法本源》 带着微笑眼睛的美丽少女，请 你告诉我，按照你理解的正确反 演法，什么数乘以3，加上这个乘 积的3/4，然后除以7，减去此商 的1/3，自乘，减去52，取平方根， 加上8，除以10，得2？
大约在6世纪上半叶改变了数字中数位的书写顺序， 开始从高位向低位书写，这可能是受希腊人的影 响．位值制记数原则包含这样三个因素：1．每一 位数都由该数位单位乘以相应的数字；2．省略每 个数位单位的符号；3．用确定的符号(零号)表示任 何数位上的空缺．所有这些因素在印度首先是局部 地、口头地应用，然后过渡到广泛地、文字上的普 及．不晚于6世纪，在印度产生了新的、整数的十 进位值制记数法，即用九个数字和表示零的小圆圈 可以写出任何数字，每个位置上的数字有明确意义， 同一个数字在不同位置上则代表不同数值． 7世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播．8世纪 末，这种记数法传入巴格达哈利发的宫廷中，印度 数字经阿拉伯人的改进传入欧洲后就被称为印度— 阿拉伯数字了．
在印度算术中，分数也有较完整的理论．分
数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分 子在上，分母在下，没有分数线．若是带分 数，则整数部分又写在分子之上．例如
则分 运数 算四
3.1.2 印度的代数
“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数 学
最早的印度数学家：阿耶波 多（476－约550年） 499年《阿耶波多历数书》 (圣使天文书)
带有数字0的运算是位值制系统计算的重要内容．印度 人不仅仅把0看作是“一无所有”或空位，而且把0看成是一 个数．这是印度算术的一大贡献．这种看法在3世纪时已经 出现．在天文学家瓦拉哈米希拉的著作中．瓦拉哈米希拉 (Varāha－Mihira)是6世纪著名学者．他通晓哲学、天文学 和数学，是《五大历数全书汇编》的作者．此书是希腊、埃 及、罗马和印度天文学的一部提要，最重要的一部分是《太 阳的知识》．(Sūrya Siddhānta)．其内容并不是有关太阳的 知识，而是由太阳神传授的知识，具有神话色彩．另外还包 括四部历数书．这部著作的计算图表是以希腊算法和亚历山 大算法为基础推算的 一个多世纪以后，婆罗门笈多在他的著作中有比较完整的叙 述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零还 是零；零乘正数、负数或零都是零．……零除以零空无一物， 正数或负数除以零是一个以零为分母的数．”最后一种情形 没有进一步说明．婆什迦罗Ⅱ把a÷0称为Khahara，与无穷 大有相似的含义．
3.1.3 印度的几何与三角
《吠陀》印度雅利安人的作品， 婆罗门教的经典
《绳法经》（前8－前2世纪）： 庙宇、祭坛的设计与测量，包含 几何、代数知识，如毕达哥拉斯 定理等 印度数学 吠陀时期(公元前10-前3世纪)
《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
悉檀多时期(公元5-12世纪) π的近似值3.1416
3 来自东方的继承者与传播者 ——印度与阿拉伯的数学
印度的数学 阿拉伯的数学
印度的数学
古印度简况
史前时期：公元前2300年前 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度
后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成
印度的数学
婆罗摩笈多（598－约 665年）
628年《婆罗摩修正体 系》(宇宙的开端)
乌贾因天文台
早期的三角学，是伴随着天文学而产生 的．在希腊化国家中，由于天文学的发展， 越来越多地利用三角关系作为辅助的计算工 具．例如，托勒密的著作中曾论述制作日晷 的原理，并保留有世界上最早的三角函数表， 即从0°到90°每隔半度的弦表． 希腊的天文学影响了印度天文学的发展， 这无疑也推动了三角学的进步．许多从希腊 人那里继承的计算法则发生了系统的变 化．首先是用正弦，即半弦代替全弦，它们 之间的关系是chord 2α=2sinα．
北印度的道路，佛教产生
帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国
Байду номын сангаас
强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公
元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响
3.1 印度的数学
婆罗门教起源于公元前2000年 的吠陀教，形成于前7世纪，鼎盛 于前6－4世纪。 4世纪后，婆罗门教开始衰弱。 8、9世纪，婆罗门教逐渐发展 成为印度教。 印度教与婆罗门教没有本质区 别，都信奉梵天、毗湿奴、湿婆 三大神，主张善恶有报、人生轮 回，只有达到“梵我同一”方可 获得解脱，修成正果。
关外西天取经第一人 比唐玄奘早209年
北燕僧人昙无竭，于公元420年招集同志沙门25人，从龙城出发，远赴印度，取 回《观世音受记经》一部，译成汉文，收录在《大藏经》内，广为传诵。据考证， 昙无竭是继法显之后我国最早西行求法僧人之一，堪称关外西天取经第一人，比 唐僧玄奘西天取经还要早209年。 有关昙无竭是关外西天取经第一人的信息，来自于南北朝时期慧皎和尚编写的一 部史书《高僧传》，书中有关于昙无竭西天取经的文字记载。昙无竭，本姓李， 朝阳人，大概生于后燕时期，10来岁就出家到寺庙当沙弥，修炼苦行，遵守戒 律，念诵佛经，受到法师和众僧的器重。昙无竭常慨叹佛经残缺不全，听说僧人 法显等从古印度取回真经，下定决心亲赴西天取经。公元420年，昙无竭招集志 同道合的和尚僧猛、昙朗等25人，从燕都龙城出发，向西天行进。他们在中国 境内的西行路线大致为：龙城——今青海湖一带——今甘肃省河西走廊——今新 疆吐鲁番东——塔里木盆地北缘，途经今新疆喀什一带，攀登了帕米尔高原和昆 仑山等山脉。面对飞鸟难越的雪山、湍急的河水，以及两山之间以绳索为桥渡河 的险境，昙无竭一行25人没有停止西行的脚步，他们分3次过河，又用一整天翻 越雪山。过完雪山，同行25人竟然有12人半途坠崖而死。 为取得真经，昙无竭在天竺各地礼拜佛陀圣迹，寻访名师，学习梵文经典数年后， 从南天竺搭乘商船，漂印度洋，过南海，一行5人安全到达广州。回国后，昙无 竭住在江南某寺，弘扬佛法，直至去世。
“婆什迦罗号”人造卫星 （1979）
3.1.2 印度的代数
印度人对代数学作出了重大贡献.他们用缩写文字和一些记号 来描述运算.加法不用记号，被减数上面加个点表示减法.已知 的整数，前面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为 yāvat tāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未知数，那么用 各种颜色来区别：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,蓝色的)、 pī(pītaka，黄色的)、lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次 幂用varga一词的va这个音节来表示；三次幂用ghata的音节 gha来表示．并且借助va和gha两个符号表示未知数的更高次 幂：va va表示四次幂；va gha ghata表示五次幂；va gha表 示六次幂；va va gha ghata表示七次幂；va va va表示八次 幂； ...... 这套符号虽然不多，但足够使印度代数几乎称得上是符号代 数，并且符号比丢番图的缩写代数用得多． 虽然印度学者创立的符号很笨拙，符号本身即梵文字母的 形状很复杂，但是，他们的工作预示了新数学的发展方 向．他们的后继者——阿拉伯国家的学者不仅没有前进一步， 而且几百年来都是用“词语书写”来表示代数式及其运算．
关于圆的面积，婆罗摩笈多给出：粗糙计算时取π ＝3 计算了圆内接正6，12，24，48，96，192，384边 形的边长，从而得到π的值 为计算三角形的面积，除了通常的方法外，婆罗摩 笈多导出了所谓海伦公式，并把这个公式推广到圆 内接四边形的面积 用这些毕达哥拉斯数 来构造圆内接四边形 在印度的几何学中很 少见到命题的证明， 偶尔见到的证明也十 分简短，多数情形是把证明压缩为图形和指示语 “请看！”有时在图形旁边略加说明
婆罗门教、印度教的创造神梵天
3.1 印度的数学
在这样复杂的历史条件下，科学的发展在各时期不 同程度地受到政治动乱的抑制，但自古以来数学始 终是很受重视的科目．相传，佛祖悉达多· 乔达摩 (即释迦牟尼，公元前623—前544)幼时受传统的婆 罗门教育，用八年时间专门学习语文和数学．在印 度,数学的发展始终与天文学联系在一起．数学著作 大都是天文学著作中的某些篇章． 最早的数学著作《绳法经》(S．ulvasūtras)出现在 吠陀时代，它包含在古代婆罗门教的经典中，专讲 祭祀礼仪，其中包含毕达哥拉斯定理等数学知识
3.1.3 印度的几何与三角
印度学者在几何学方面的贡献明显地逊色于他 们在算术和代数方面的成就．在很多情形下，他们 的几何知识并不比亚历山大几何学家有多少进 步．例如，婆罗门笈多与亚历山大的塞翁（希帕蒂 娅的父亲）(Theon of Alexandria)的著作中的几何 部分就有许多相似之处． 婆罗门笈多著作中的几何部分有这样的特点： 在某些计算问题中，除给出精确的公式(当然有些问 题得不到精确公式)外，还给出在实际中便于应用的 近似法则
3.1.1 印度的算术
十进位值制记数法的使用和印度-阿拉伯数码的出现，不仅 在数学史上，而且在全人类文化史上都具有十分重要的意 义．
在十进位制记数系统产生以 前，在印度出现过各种不同的数 字和记数法，有些地区使用的数 字保持到很晚，现在很难研究出 它们之间的承袭关系．从公元前4 世纪到公元3世纪，在现今的东阿 富汗地区和旁遮普北部风行所谓 的音节数字与当时的古印度音节 文字有关．这可能是一种十进位 值制系统．数字1，4，10，20和 100用特殊记号表示，其它数由加 性原则写出，数字从右往左书 写．
在印度的各种数字系统中，至少从公元前2世纪起， 数字1，2，…，9就存在单独的符号，这些特殊符 号的存在是产生十进位值制记数法的基础．单位1 出现在表示单数事物如“太阳”、“月亮”的词语 中；而数字2出现在“双生子”，“眼睛”，“手” 这类词语中；数字5出现在“感官”(即五官)，“手 掌”中等等．数字的书写是从低位向高位，古印度 历数书中的天文表就这样表示数字，缺位时用特殊 符号标出 阿耶波多Ⅰ的著作中用音节表示数字，完全没有位 值制的特点．每一个数k· 10n(k＝1，2，…，9；n＝ 0，1，2，…)都被特殊音节所代替，丰富的梵文字 母能够给充分大的数字命名．但是，他的学生—— 婆什迦罗Ⅰ(Bhāskara Ⅰ， 629)却改进了这种记数 法，使数字的音节具有位值性，他还引进了表示空 位的音节．
公元500年以后，印度数学获得了较大的发展，印度数学的 成就在世界数学史上占有重要地位．许多数学知识由印度经 阿拉伯国家传入欧洲，促进了欧洲中古时期数学的发展． 希腊人和印度人发展数学的道路在许多方面都不相同．希腊 数学遵循着严格的逻辑叙述，所以几何学获得了重大的发 展．印度人则相反，不去求得严格的证明，而主要是发展实 用的数学，因此算术、代数和三角具有优势． 在5至16世纪，印度出现了许多著名的天文学家兼数学 家和一批杰出的著作．这些著作都是用印度的宗教和官方语 言梵文写的，就象伊斯兰国家中的阿拉伯语和中世纪西欧的 拉丁语一样．印度数学著作的最大特点是叙述得过于简练， 命题或定理的证明常被省略．运算法则的表述也极简短，又 常常以诗歌形式出现，再加上浓厚的宗教色彩，致使这些著 作更加晦涩难读．
对于乘法，各因子并列着写．一组数用线框起来相 当于加括号的意义．例如
印度代数的较大成就是引进了负数，当问题涉及到 债务或反向运动时，印度人使用了负数，他们像运 用正数一样运用负数．但是在有关一次方程的问题 中没有见到负数解． 印度学者解二次方程的方法比丢番图优越．在《阿 耶波提亚》中就有关于求解完全二次方程的问题
零的运算法则
建立了丢番图方程求解的 “库塔卡”法
“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）
3.1.2 印度的代数
婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年） 古印度数学最高成就《天文 系统之冠》（1150年）
《莉拉沃蒂》、《算法本源》 带着微笑眼睛的美丽少女，请 你告诉我，按照你理解的正确反 演法，什么数乘以3，加上这个乘 积的3/4，然后除以7，减去此商 的1/3，自乘，减去52，取平方根， 加上8，除以10，得2？
大约在6世纪上半叶改变了数字中数位的书写顺序， 开始从高位向低位书写，这可能是受希腊人的影 响．位值制记数原则包含这样三个因素：1．每一 位数都由该数位单位乘以相应的数字；2．省略每 个数位单位的符号；3．用确定的符号(零号)表示任 何数位上的空缺．所有这些因素在印度首先是局部 地、口头地应用，然后过渡到广泛地、文字上的普 及．不晚于6世纪，在印度产生了新的、整数的十 进位值制记数法，即用九个数字和表示零的小圆圈 可以写出任何数字，每个位置上的数字有明确意义， 同一个数字在不同位置上则代表不同数值． 7世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播．8世纪 末，这种记数法传入巴格达哈利发的宫廷中，印度 数字经阿拉伯人的改进传入欧洲后就被称为印度— 阿拉伯数字了．
在印度算术中，分数也有较完整的理论．分
数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分 子在上，分母在下，没有分数线．若是带分 数，则整数部分又写在分子之上．例如
则分 运数 算四
3.1.2 印度的代数
“悉檀多”时代：以计算为中心的实用数 学
最早的印度数学家：阿耶波 多（476－约550年） 499年《阿耶波多历数书》 (圣使天文书)
带有数字0的运算是位值制系统计算的重要内容．印度 人不仅仅把0看作是“一无所有”或空位，而且把0看成是一 个数．这是印度算术的一大贡献．这种看法在3世纪时已经 出现．在天文学家瓦拉哈米希拉的著作中．瓦拉哈米希拉 (Varāha－Mihira)是6世纪著名学者．他通晓哲学、天文学 和数学，是《五大历数全书汇编》的作者．此书是希腊、埃 及、罗马和印度天文学的一部提要，最重要的一部分是《太 阳的知识》．(Sūrya Siddhānta)．其内容并不是有关太阳的 知识，而是由太阳神传授的知识，具有神话色彩．另外还包 括四部历数书．这部著作的计算图表是以希腊算法和亚历山 大算法为基础推算的 一个多世纪以后，婆罗门笈多在他的著作中有比较完整的叙 述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零还 是零；零乘正数、负数或零都是零．……零除以零空无一物， 正数或负数除以零是一个以零为分母的数．”最后一种情形 没有进一步说明．婆什迦罗Ⅱ把a÷0称为Khahara，与无穷 大有相似的含义．
3.1.3 印度的几何与三角
《吠陀》印度雅利安人的作品， 婆罗门教的经典
《绳法经》（前8－前2世纪）： 庙宇、祭坛的设计与测量，包含 几何、代数知识，如毕达哥拉斯 定理等 印度数学 吠陀时期(公元前10-前3世纪)
《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
悉檀多时期(公元5-12世纪) π的近似值3.1416
3 来自东方的继承者与传播者 ——印度与阿拉伯的数学
印度的数学 阿拉伯的数学
印度的数学
古印度简况
史前时期：公元前2300年前 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度
后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成
印度的数学
婆罗摩笈多（598－约 665年）
628年《婆罗摩修正体 系》(宇宙的开端)
乌贾因天文台
早期的三角学，是伴随着天文学而产生 的．在希腊化国家中，由于天文学的发展， 越来越多地利用三角关系作为辅助的计算工 具．例如，托勒密的著作中曾论述制作日晷 的原理，并保留有世界上最早的三角函数表， 即从0°到90°每隔半度的弦表． 希腊的天文学影响了印度天文学的发展， 这无疑也推动了三角学的进步．许多从希腊 人那里继承的计算法则发生了系统的变 化．首先是用正弦，即半弦代替全弦，它们 之间的关系是chord 2α=2sinα．