初中数学经典最值问题提高题
部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案
专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。
初中数学方程最值问题培优专题训练
初中数学方程最值问题培优专题训练引言初中数学方程最值问题是一类常见的数学问题，它要求在给定的条件下确定方程的最大值或最小值。
解决这类问题不仅需要掌握基本的方程求解方法，还需要灵活应用数学知识和技巧。
本文将介绍一些初中数学方程最值问题的培优专题训练，帮助学生提高解决这类问题的能力。
问题一：确定方程的最大值题目描述已知函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为常数，且 $a>0$。
求函数 $y$ 的最大值及对应的 $x$ 值。
解题思路根据函数的性质，当二次函数的系数 $a>0$ 时，函数的图像开口向上，最大值出现在顶点处。
因此，我们需要先求得函数的顶点坐标 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0=-\frac{b}{2a}$，$y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a}$。
最大值即为 $y_0$。
解答步骤1. 根据题目给出的系数$a,b,c$，计算出顶点坐标$(x_0,y_0)$。
2. 最大值为 $y_0$，对应的 $x$ 值为 $x_0$。
问题二：确定方程的最小值题目描述已知函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为常数，且 $a>0$。
求函数 $y$ 的最小值及对应的 $x$ 值。
解题思路与问题一类似，但当二次函数的系数 $a>0$ 时，函数的图像开口向上，最小值也出现在顶点处。
因此，我们仍然需要先求得函数的顶点坐标 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0=-\frac{b}{2a}$，$y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a}$。
最小值即为 $y_0$。
解答步骤1. 根据题目给出的系数$a,b,c$，计算出顶点坐标$(x_0,y_0)$。
2. 最小值为 $y_0$，对应的 $x$ 值为 $x_0$。
结论通过以上培优专题训练，学生可以更好地解决初中数学方程最值问题。
掌握了寻找顶点的方法，可以迅速确定方程的最大值或最小值，提高解题效率。
中考数学最值问题总结(含强化训练)
中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。
二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。
y ac b a max =-442。
2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
初中数学100道最值问题经典
初中数学100道经典最值题1.如图1所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，D 为边AB 的中点，P 为边AC 上的动点，则PB+PD 的最小值为( )B. C. D.2.如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足13PAB ABCD S S =矩形 ，则点P 到AB 两点距离之和PA+PB 的最小值为 。
3.如图3所示，在矩形ABCD 中，AD ＝3，点E 为边AB 上一点，AE ＝1，平面内动点P 满足13PAB ABCD SS =矩形，则|DP －EP|的最大值为 。
4.已知y ，则y 的最小值为 。
5.已知y =，则y 的最大值为 。
6.如图4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝，D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 。
7.如图5所示，正方形ABCD 的边长是4，点E 是边AB 上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 时边AB 上另一动点，则PD+PG 的最小值为 。
8.如图6所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 、F 分别为边AD 、DC 上的点，且EF ＝2，点G 为EF 的中点，点P 为边BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为 。
9.在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2+n2＝4，若点E为CD 的中点，则AB+BE的最小值为。
A.3B.4C.5D.2510.如图7所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为。
11.如图8所示，AB＝3，AC＝2，以BC为腰(点B为直角顶点)向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。
12.如图9所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB+的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B'+=的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
ABA'′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
初中数学千题解——最值问题100题(详解版)
1.如图3.1所示，在Rt △ABC 中，∠A =30°，AB =4，点D 为边AB 的中点，点P 为边AC 上的动点，则PB +PD 的最小值为（ ）A.B.A.A.1.解 延长BC 至点'B ，使'BC B C =，连接'B P 、'B A ，如图4.1所示， ∴AC 垂直平分'BB ，∴'B A BA =，∴AC 平分'B AB ∠. ∵30CAB ︒∠=，∴'60B AB ︒∠=，∴'ABB ∆为等边三角形.∵点P 为AC 上一点，∴'PB PB =，∴''PB PD PB PD B D +=+≥，当且仅当'B 、P 、D 在同一直线上时，如图4.2所示，PB PD +取得最小值.在'Rt ADB ∆中，122AD AB ==，'60B AB ︒∠=，∴'tan 60B D AD ︒==故答案是C.思路点拨:这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P 所在直线的两侧；根据“两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.拓展 若点D 为边AB 上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算'B D 的长度；若点D 是边AB 上的一动点，则'B D 将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.2.如图3.2所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，动点P 满足13PAB ABCDS S矩形，则点P 到AB 两点距离之和P A +PB 的最小值为 .2.解 令点P 到AB 的距离为d .图3.1PCBD AD 图 4.2图 4.1ABCPB 'B 'PD CBAP ADBC图3.2∵111=35=5=5332PAB ABCD S S d ∆=⨯⨯矩形，∴2d =，∴点P 为到AB 距离为2的直线1l 、2l 上的点.直线1l 、2l 关于AB 对称，因此选其中一条进行计算.作点B 关于直线1l 的对称点'B ，连接'B C 、'B P 、'AB ，如图4.3所示， ∴''PA PB PA PB AB +=+≥，当且仅当A 、P 、'B 三点共线时取得最小值，如图4.4所示. 在'Rt ABB ∆中，5AB =，'24BB d ==，∴'AB =， 故PA PB +思路点拨:这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P 的运动轨迹为直线（或称为“隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点'B ，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值'AB .3.如图3.3所示，在矩形ABCD 中，AD =3，点E 为边AB 上一点，AE =1，平面内动点P 满足13PAB ABCDS S矩形，则DP EP 的最大值为 .3.解 令点P 到AB 的距离为d .∵13PAB ABCD S S ∆=矩形，∴2d =，∴点P 在到AB 距离为2的直线1l 、2l 上，如图4.5所示.作点E 关于直线1l 的对称点'E ，连接'E D 并延长交直线1l 于点P ，连接EP ，如图4.6所示， ∴'E P EP =.当点P 在直线1l 上时，''DP EP DP E P E D -=-≤，当且仅当D、'E 、P 三点共线时取得最大值图3.3B'E D =当点P 在直线2l 上时，DP EP ED -≤，当且仅当D 、E 、P 三点共线时取得最大值，如图4.7所示.在Rt △ADE 中，3AD =，1AE =，∴DE ==∴DP EP ED -≤=∴当点P 为DE 的延长线与直线2l思路点拨:解法如题2，需要找出满足条件的点P 所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进行大小比较.特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述点P 时用的是“平面内”，而非“矩形内”. 4.已知222222y x xx x ，则y 的最小值为 .4.解 原式=+.建立平面直角坐标系，设(),0P x ，()1,1A ，()1,1B --，则AB 在x 轴的两侧，∴PA =PB ，∴y PA PB AB +=+≥，当A 、P 、B 三点共线时，y 值最小，∴min y AB ==思路点拨:若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型——两点之间线段最短. 5.已知22(3)9(1)4y x x ，则y 的最大值为 .5.解 原式=-.建立平面直角坐标系，设),0P x ，3,3A ，1,2B ，∴PA =PB =∴y PA PB AB -≤，当A 、P 、B 三点共线，即点P 在AB 延长线上时y值最大，∴max y AB ==. 思路点拨:阅读题目时需观察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.6．如图3.4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝，点D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 ．B解：连接AE ，取AC 得中点F ，连接EF ，如图4．8所示∵AD 是圆的直径 ∴∠AED ＝90° ∴∠AEC ＝90°∴EF ＝12AC ＝2∴点E 的轨迹为以点F 为圆心的圆弧（圆的定义） ∴BE ≥BF －EF当且仅当B 、E 、F 三点共线时等号成立，如图4．9所示 在Rt △ABF 中，AF ＝2，AB ＝4∴BF， ∴()min BE ＝BF －EF＝－2BB思路点拨阅读题目时要找到三条关键信息：点E 为圆周上一点，AD 所对的圆周角是90°，∠DEC 是平角，连接AE 后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）．因此判断出点E 的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D 的运动范围）．根据三角形的三边关系，知B 、E 、F 三点共线时BE 取得最小值．7．如图3.5所示，正方形ABCD 的边长是4，点E 是边AB 上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 时边AB 上另一动点，则PD ＋PG 的最小值为 ．GP E DCBA解：取BC 得中点F ，连接GF ，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′P 、D ′A ，如图4.10所示．∴DP ＝D ′P∵∠BGC ＝90°，点F 为BC 的中点∴GF ＝12BC ＝2∵PD ＋PG ＝PD ′＋PG ≥D ′G 又D ′G ＋GF ≥D ′F∴PD ＋PG ＋GF ≥D ′F －GF如图4．11所示，当且仅当D ′、P 、G 、F 四点共线时取得最小值．根据勾股定理得D ′F＝∴PD ＋PG 的最小值为2FD'ABCDE P G GP EDCB AD'F思路点拨不难发现∠BGC ＝90°是个定角，因此点G 的轨迹为以BC 为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解．8．如图3.6所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 、F 分别为边AD 、DC 上的点，且EF ＝2，点G 为EF 的中点，点P 为边BC 上一动点，则P A ＋PG 的最小值为 ．GP FED CB A解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′B 、A ′P 、DG ，如图4.12所示∴P A ′＝P A∴P A ＋PG ＝P A ′＋PG ∵∠ADC ＝90°，EF ＝2∴DG ＝12EF ＝1∵P A ′＋PG ＋DG ≥A ′D ∴P A ′＋PG ≥A ′D －DG如图4．13所示，当且仅当A ′、P 、G 、D 四点共线时等号成立 根据勾股定理得 A ′D＝5∴P A ＋PG 的最小值为4．A'AB C D EFP GGP FED CB AA'思路点拨与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段EF 始终不变，线段EF 所对的角为直角，因此斜边上的中线DG 始终不变，从而判断出点G 的轨迹图形为圆．利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解．9．在平面直角坐标系中，A (3，0)，B (a ，2)，C (0，m )，D (n ，0)，且m 2＋n 2＝4，若点E 为CD 的中点，则AB ＋BE 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．25 解：∵C (0，m )，D (n ，0)，m 2＋n 2＝4，∴CD 2＝4， ∴CD ＝2在Rt △COD 中，点E 为CD 的中点∴OE ＝1，即点E 在以O 为圆心，1为半径的圆上．作图4．14，连接OE ，过点A 作直线y ＝2的对称点A ′，连接A ′B 、A ′O ∴A ′(3，4)∴AB ＋BE ＝A ′B ＋BE ＝A ′B ＋BE ＋EO －EO ≥A ′O －EO如图4.15所示，当且仅当A ′、B 、E 、O 四点共线时等号成立．根据勾股定理得A ′O 5 ∴AB ＋BE 的最小值为4思路点拨根据两点之间的距离公式m 2＋n 2＝CD 2，得到CD 的长度；由已知条件判断出OE 为斜边上的中线，OE ＝12CD （定值）；根据圆的定义可知点E 的轨迹是以坐标原点为圆心、12CD 为半径的圆；利用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题．10．如图3.7所示，AB ＝3，AC ＝2，以BC 为边向上构造等边三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ．DCBA解：以AB 为边向上作等边△ABE ，连接DE ，如图4．16所示∴AB ＝BE ，CB ＝BD ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°－∠CBE 在△ABC 和△EBD 中 ,,,AB BE ABE EBD CB BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌△EBD (SAS ) ∴DE ＝AC ＝2∴点D 的轨迹是以点E 为圆心，2为半径的圆． ∴AE －ED ≤AD ≤AE ＋ED如图4．17和图4．18所示，当且仅当A 、E 、D 三点共线时取得最值 ∴1≤AD ≤5EBCDED BADCBE思路点拨这样理解AB ＝3，AC ＝2这个条件：固定一边AB ，∠CAB 可以自由变化，因此点C 的轨迹是以点A 为圆心、2为半径的圆．通过构造全等图形找出点D 的运动轨迹．利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题．拓展 本题的解法较多，对于“定点＋动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法．11.如图3.8所示，AB =3，AC =2，以BC 为腰（点B 为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ；解答：以AB 为腰做等腰直角△ABE （∠ABE =90°），连接DE ，如图4.19所示，∴AE =√2AB =3√2，∠ABC =∠EBD =90°－∠CBE ， 在△ABC 和△EBD 中{AB =BE ∠ABC =∠EBD CB =BD图3.8DC图4.19C∴△ABC ≌△EBD （SAS ） ∴ED =AC =2∴点D 的轨迹为以点E 为圆心、2为半径的圆 ∴AE －ED ≤AD ≤AE ＋ED如图4.20和图4.21所示，当且仅当A ，E ，D 三点共线时取得最值，∴3√2－2≤AD ≤3√2＋2思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点D 的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题12. 如图3.9所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，则AD 的取值范围为 ，解答：以AB 为底边构造等腰直角△AEB （∠AEB =90°），连接DE ，如图4.22所示，图4.20图4.21C图3.9DBAC图4.22DBAC∴AE =√22AB =2√2，∠EBA =∠CBD =45°∵{ABEB =CBDB =√2∠ABC =∠EBD =45°－∠CBE ∴△ABC ∽△EBD∴DE =√22AC =√2∴点D 的轨迹为以点E 为圆心、√2 为半径的圆 AE －ED ≤AD ≤AE ＋ED如图4.23和图4.24所示，当A 、E 、D 三点共线时取得最值∴√2≤AD ≤3√2思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D 的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题13. 如图3.10所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为 ，图4.23BAC图4.24BAC解答：以AB 为底边构造等腰直角△AEB （∠AEB =90°），连接DE ，如图4.25所示，∴AE =√22AB =2√2，∠EBA =∠CBD =45°∵{AB EB=CBDB =√2∠ABC =∠EBD =45°－∠CBE∴△ABC ∽△EBD ∴DE =√22AC =√2∴点D 的轨迹为以点E 为圆心、√2 为半径的圆 延长AE 至点Q ，使AE =E Q ，连接P Q 、B Q ， ∵AD =DP ，∴D Q=2DE =2√2如图4.23和图4.24所示，当A 、E 、D 三点共线时取得最值 ∵BE 垂直平分A Q ，∴AB =B Q ∵∠Q AB =45°，∴△AB Q 为等腰直角三角形，∴B Q=AB =4图3.10PA C图4.25AC∴B Q －P Q≤PB ≤B Q ＋P Q如图4.26和图4.27所示，当B 、P 、Q 三点共线时取得最值∴4－2 √2≤PB ≤4＋2 √2思路点拨：注意到点P 的产生与中点有关，点P 的运动与点D “捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P 的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题14. 如图3.11所示，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，则顶点D 到坐标原点O 的距离的最大值和最小值的乘积为 ；解答：取AB 的中点G ，连接DG 、O G ，如图4.28所示，图4.26图4.27PAC图3.11∵∠A O B =∠x O y =90°，∴O G = 12AB =1，连接DB 、O D∴△DCB 为等腰三角形 ∵∠C =120°，∴∠DBC =30°，DB = √3DC =2 √3， ∴∠DBA =120°－30°=90°在Rt △DGB ，GB =1，∴DG =√DB 2+GB 2=√(2√3)2+12=√13∴DG －O G ≤O D ≤O G ＋DG当且仅当O 、G 、D 三点共线时取得最值D 、G 在点O 同侧时取得最大值，在点O 异侧时取最小值，如图4.29所示，∴√13－1≤O D ≤√13＋1∴O D 的最大值和最小值乘积为(√13−1)(√13+1)=12图4.28图4.29思路点拨：这个是“墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用“墙角”产生的直角，以及AB 边长不变的特点，作出AB 的中点G ，利用斜边上的中线O G 和位置固定的两点D 、G 来构造两条大小不变、位置变化的线段O G 、DG ；利用两边之和与两边之差得到O D 的最大值和最小值；另辟蹊径：利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用∠A O B =90°，AB =2，判断出点O 的运动轨迹为一个圆，如图4.30所示，利用圆外一点到圆周上的距离最值解得O D 的最大值和最小值；读者可以自行计算验证15. 如图3.12所示，AB =4，点O 为AB 的中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，△PBC 是以PB 为直角边的等腰直角三角形（点P 、B 、C 按逆时针方向排列），则AC 的取值范围为 ；解答：如图4.31所示，以O B 为腰向上构造等腰直角△O B Q ，连接O P 、C Q 、A Q ；图4.30O 2E图3.12CAB在等腰直角△O B Q 和等腰直角△BPC 中，CB BP =QBBO =√2，∠Q B O=45°， ∴∠CB Q=45°－∠Q BP =∠PB O ，∴△CB Q ∽△PB O ∴OPCQ =OBBQ =√22，∴C Q= √2 ∴点C 在以点Q 为圆心， √2为半径的圆上，∵OQ=O B =O A =2，∠QO B =90° ∴A Q= √AQ 2+OQ 2=2 √2 ∴A Q －Q C ≤AC ≤A Q ＋Q C如图4.32和图4.33所示，当且仅当A 、C 、Q 三点共线时取得最值，∴√2≤AC ≤3 √2思路点拨：由于△PBC 形状固定，两个动点P 、C 到点B 的距离之比始终不变，这是比较典型的位似旋转，也可理解为点P 、C “捆绑”旋转；旋转过程中，点C 的轨迹与点P 的轨迹图形相似，相似比为√2:1；利用相似找出动点C 轨迹的圆心，AC 的最值即定点A 到定圆上一动点的距离的最值16.如图3.13所示，⊙O 的半径为3，Rt △ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，∠B ＝90°，点C 在⊙O 内，且tan A ＝34.当点A 在圆上运动时，OC 的最小值为( )图4.31AB图4.32ABP 图4.33ABB.32D.53图3.13答案：连接OB，过点B向下作BD⊥OB，取BD＝43OB，连接AD，如图4.34所示.∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DB A.∴CBAB＝OBBD＝34，∴△OCB∽△DAB，∴OCAD＝34.∵AD≥OD－OAOA＝2，当且仅当O、A、D三点共线时取得最值，∴OC＝34AD≥34×2＝32.图4.34思路点拨又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为AD的最值问题.通过旋转型相似构造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此点D为定点.另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之间的固定比例，从而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即为圆外一点到圆周上一点的距离最值.另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90°，找到直径AD，而∠ACD＝180°－∠ACB为定值，因此由定弦定角得出点C的轨迹为圆弧，可根据图4.35所示计算OC的最小值.图4.3517.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)，B(－1，0)，连接P A、PB，则P A2＋PB2的最小值是___________.答案：连接OP 、QP 、OQ ，如图4.36所示.设P (x ，y ). 根据两点距离公式得∴P A 2＝(x －1)2＋y 2，PB 2＝(x ＋1)2＋y 2， ∴P A 2＋PB 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(x 2＋y 2)＋2.∴OP OP 2＝x 2＋y 2，∴P A 2＋PB 2＝2OP 2＋2，要求P A 2＋PB 2的最小值，即求OP 2的最小值，也就是求OP 的最小值，∴OP ≥OQ －PQ ， 如图4.37所示，当且仅当O 、P 、Q 三点共线时取得最值， ∴OP ＝5－2＝3，∴P A 2＋PB 2＝2OP 2＋2≥2×32＋2＝20.思路点拨根据P A 2＋PB 2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把P A 和PB 构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现P A 2＋PB 2与OP 2的联系，而OP 的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值.弦外之音 我们会发现，虽然点P 在动，但OP 始终是△ABP 边AB 上的中线，且AB 是个定值，我们可以直接利用中线长公式得到P A 2＋PB 2＝2OP 2＋24AB ，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思路的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可).18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC ＝3，EF ＝2，G 为DE 上一动点.将三角尺DEF 绕直角顶点F 旋转一周，在这个旋转过程中，B、G 两点的最小距离为___________.图3.15答案：在Rt △DEF 中，CE ＝2，∠CDE ＝30°，∴DF ＝DE ＝4. 如图4.38所示，当点G 与点D 重合时，CG max ＝DF ＝当CG ⊥DE 时，CG min ＝h ＝2DEFS DE⋅△CG当CG ＝3时，以C 为圆心、CG 为半径的圆恰好经过点B. 在△DEF 旋转的过程中，点G 会经过点B.因此，当BG 恰好重合时，BG 取得最小值为0.图4.38')思路点拨这是个“特别”的题，点G 是DE 上一动点，因此在转动的过程中，点G 的轨迹不是线而是面，这个面的形状为以点C 为圆心、分别以CG min 和CG max 为半径的同心圆环，点B 也在这个“面轨迹”中，因此BG 的最小值为0.19.如图3.16所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，BC ＝△ADC 与△ABC 关于AC 对称，点E 、F 分别是边DC 、BC 上的任意一点，且DE ＝CF ，BE 、DF 相交于点P ，则CP 的最小值为()A.1 C.32D.2图3.16PEDBA答案：连接BD ，如图4.39所示.∵△ADC 与△ABC 关于AC 对称，∠ACB ＝30°，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝60°， ∴△BDC 是等边三角形，∴BD ＝CD ，∠BDC ＝∠BCD ＝60°. 在△BDE 和△DCF 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝∠BCD ，DE ＝CF ， ∴△BDE ≌△DCF (SAS )，∴∠BED ＝∠DF C.∵∠BED ＋∠PEC ＝180°，∴∠PEC ＋∠DFC ＝180°， ∴∠DCF ＋∠EPF ＝∠DCF ＋∠BPD ＝180°. ∵∠DCF ＝60°，∴∠BPD ＝120°. ∵点P 在运动中保持∠BPD ＝120°，∴点P 的运动路径为以A 为圆心、AB 为半径的120°的弧.当C 、P 、A 三点共线时，CP 能取到最小值，如图4.40所示， ∴CP ≥AC －AP ＝2，即线段CP 的最小值为2.图4.40图4.39DABPE思路点拨需要熟悉等边三角形中的常见全等图形.因为点P 在运动中保持∠BPD ＝120°，BD 又是定长，所以点P 的路径是一段以点A 为圆心的弧，于是将CP 的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值.20.如图3.17所示，sin O ＝35，长度为2的线段DE 在射线OA 上滑动，点C 在射线OB 上，且OC ＝5，则△CDE 周长的最小值为___________.图3.17EDCB A答案：过点C 作CC '∥DE 且CC '＝DE ，连接C 'E ，如图4.41所示， ∴四边形CC 'ED 为平行四边形，∴C 'E ＝C D.作点C 关于OA 的对称点C ″，连接C ″E 、C ″D 、C ″C ，∴CE ＝C ″E ， ∴CD ＋CE ＝C 'E ＋CE ＝C 'E ＋C '″E ≥C 'C "，当且仅当C '、E 、C "三点共线时取得最值，如图4.42所示. ∵CC "关于OA 对称，∴OA 垂直平分CC "， ∴CC "＝2CF ＝2OC ·sin O ＝6.在Rt △CC 'C "中，C 'C "∴△CDE 周长的最小值为2.图4.42图4.41AEC″C'B CODA E DB COF C″C'思路点拨因为DE 为定值，所以△CDE 周长的最小值问题转变为CD ＋CE 的最小值问题.似“饮马”非“饮马”，注意观察，这是一定两动问题.利用平移将动线段DE “压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题.21、如图3.18所示，在矩形ABCD 中，AB=6，MN 在边AB 上运动，MN=3，AP=2，BQ=5，则PM+MN+NQ 的最小值是______________。
初中数学专题《四边形中的最值问题》专项训练30道含答案解析
专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）A．43+3B．221C．23+6D．45【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE 的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=AB2+BC2=43，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=(43)2+62=221，故选：B．2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）2 A．5B．7C．72D．72【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝AM，CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，AM，∴AD=22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，，∴AD的最大值为722故选：D ．3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，点P 是CE 上一动点，则点P 到边BD ，BC 的距离之和PM +PN 的值（ ）A ．有最大值aB ．有最小值22a C ．是定值a D ．是定值22a 【分析】连接BP ，作EF ⊥BC 于点F ，由正方形的性质可知△BEF 为等腰直角三角形，BE ＝a ，可求EF ，利用面积法得S △BPE +S △BPC ＝S △BEC ，将面积公式代入即可．【解答】解：如图，连接BP ，作EF ⊥BC 于点F ，则∠EFB ＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF ＝45°，∴△BEF 为等腰直角三角形，∵正方形的边长为a ，∴BE ＝BC ＝a ，∴BF ＝EF =22BE =22a ，∵PM ⊥BD ，PN ⊥BC ，∴S △BPE +S △BPC ＝S △BEC ，∴12BE ×PM +12BC ×PN =12BC ×EF ，∵BE ＝BC ，∴PM +PN ＝EF =22a ．则点P 到边BD ，BC 的距离之和PM +PN 的值是定值22a ．故选：D ．4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）A．2B．4C．2D．22【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，CE．∴P1P2∥CE且P1P2=12当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．CF．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1=2．∴PB的最小值是2．故选：C．5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（ ）A．45B．89C．10D．72【分析】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），然后证明△ABP≌△ADQ（SAS），可得AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，由A′P+PD＞A′D，可得A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，所以PD+AQ 的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC，∵菱形ABCD的面积为20，边长为5，∴AM＝4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：BM=AB2−AM2=3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，∴B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），∵PC＝CQ，BC＝CD，∴BP＝DQ，在△ABP和△ADQ中，AB=AD∠ABC=∠ADC，BP=DQ∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，∵A′P+PD＞A′D，∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D=(8−3)2+(4+4)2=89．故选：B．6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）A．2B．1C．5−1D．5−2【分析】根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD=BCAM=BN，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1＝∠2，在△DCE和△BCE中，BC=CD∠DCE=∠BCE，CE=CE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，∴∠1+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，AD＝1，则OF＝DO=12在Rt△ODC中，OC=DO2+DC2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF=5−1．故选：C．7．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为13−2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO =1AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根2据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，∵AB＝BC，∴EH＝AB，∵EG⊥AF，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∵∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC；故②正确；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，AE，∴AO＝PO=12∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC 的最小值＝OC ﹣OP ＝OC −12AE ，∵OC =22+(72)2=652，在Rt △ADE 中，AE =42+12=17，∴PC 的最小值为652−172，故④错误，故选：B ．8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ．则EF 的最小值为（ ）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF 是矩形；连接PA ，则PA ＝EF ，所以要使EF ，即PA 最短，只需PA ⊥CB 即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA 的值．【解答】解：如图，连接PA ．∵在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴BC 2＝AB 2+AC 2，∴∠A ＝90°．又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°，∴四边形PEAF 是矩形．∴AP ＝EF ．∴当PA 最小时，EF 也最小，即当AP ⊥CB 时，PA 最小，∵12AB •AC =12BC •AP ，即AP =AB ⋅AC BC =6×810=4.8，∴线段EF 长的最小值为4.8；故选：B ．9．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD 边长为1，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BE ＝CF ，连接BF ，DE ，则BF +DE 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【分析】连接AE ，利用△ABE ≌△BCF 转化线段BF 得到BF +DE ＝AE +DE ，则通过作A 点关于BC 对称点H ，连接DH 交BC 于E 点，利用勾股定理求出DH 长即可．【解答】解：连接AE ，如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°．又BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ）．∴AE ＝BF ．所以BF +DE 最小值等于AE +DE 最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE ＝HE ，所以AE +DE ＝DH ．在Rt △ADH 中，AD ＝1，AH ＝2，∴DH =AH 2+AD 2=5，∴BF +DE 最小值为5．故选：C ．10．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）A．2B．2C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 3+13 ．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于的一半可得OE=12第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE=AE2+AD2=13，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+13，故答案为：3+13．12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 13 ．【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【解答】解：如图，连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，∴PC+QD＝PC+PB，∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE=BE2+BC2=13．∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 62 ．【分析】方法一：延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，可得四边形AA′EH是平行四边形，所以A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题．方法二：过点G作GA′∥AH交AF于点A′，可得四边形AHGA′是平行四边形，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，∵HE⊥AB，AA′⊥AB，∴AA′∥EH，∵A′A＝EH，∴四边形AA′EH是平行四边形，∴A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝4，∴EG＝42，∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，∴A′C=A′D2+DC2=102，∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝62．方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′，∴四边形AHGA′是平行四边形，∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，∴A′B＝AB﹣AA′＝6，∵BC＝6，∴A′C＝62，∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，则AH+CG的最小值为62．故答案为：62．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是 55 ．【分析】连接DF，根据正方形的性质证明△ADF≌△ABE（SAS），可得DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，可得BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，所以当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAE＝∠DAF＝90°，在△ADF 和△ABE 中，AD =AB ∠FAD =∠EAB AF =AE，∴△ADF ≌△ABE （SAS ），∴DF ＝BE ，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点F ′，连接D ′F ，则DF ＝D ′F ，∴BE +CF ＝DF +CF ＝D ′F +CF ≥CD ′，∴当点F 与点F ′重合时，D ′F +CF 最小，最小值为CD ′的长，在Rt △CDD ′中，根据勾股定理得：CD ′=CD 2+DD′2=52+102=55，∴BE +CF 的最小值是55．故答案为：55．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝12，AC ＝16，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为 245 ．【分析】由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DEAF 是矩形，可得EF ＝AD ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：连接AD 、EF ，∵∠BAC ＝90°，且BA ＝9，AC ＝12，∴BC =AB 2+AC 2=122+162=20，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DFA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积=12AB ×AC =12BC ×AD ，∴12×16＝20AD ，∴AD =485∴EF 的最小值为485，∵点G 为四边形DEAF 对角线交点，∴GF =12EF =245；故答案为：245．。
初中数学《最值问题》典型例题 -【完整版】
初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例然后作其中一个定点关于定直线的对称点关于定直线的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'B'NNC的最小值1．如图：点、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，O32N的周长的最小值为．【分析】作，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△222N 周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形123k b k b =+⎧⎨-=+⎩74747474=4，点B到直线的距离BN =1，且MN =4，D PB′N MA的值然后根据勾股定理求得，利用勾股定理求出AB ′=5∴|45 ON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在458边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2AB=1，∴OE=AE=12∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE=2，根据三角形的三边关系，OD＜OEDE，∴当OD过点E是最大，最大值为21．故答案为：21．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=，BC=4﹣，根据等腰直角三角形性质，得出CD2，CD2（4﹣），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=，BC=4﹣，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22，CD′=22（4﹣），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2CE2=12212（4﹣）2=2﹣48=（﹣2）24，∵根据二次函数的最值，∴当取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PKQK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，=3，∴点P′到CD的距离为2×32∴PKQK的最小值为3．故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′CC′DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD =12，S△ABP S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′CC′DD′）=1，又由1≤AP【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP S△ABP S△ACP=1，∴12AP•BB′12AP•CC′12AP•DD′=12AP•（BB′CC′DD′）=1，则BB′CC′DD′=2AP，∵1≤AP∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值BB′CC′DD′≤2．BB′CC′DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP S△ABP S△ACP=1，继而得．到BB′CC′DD′=2AP10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PEPF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PEPF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PEPF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PEPF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
初中数学千题解——最值问题100题(详解版)
在 Rt ADB ' 中， AD
1
AB 2 ， B ' AB 60 ，∴ B ' D AD tan 60 3 AD 2 3 ，
2
故答案是 C.
B'
B'
C
C
P
P
A
D
图 4.1
当且仅当 A、P、 B ' 三点共线时取得最小值，如图 4.4 所示.
在 Rt ABB ' 中， AB 5 ， BB ' 2d 4 ，
∴ AB ' AB 2 BB '2 52 42 41 ，
故 PA PB 的最小值是 41 .
思路点拨:
这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点 P 的运动轨迹为
在△ABC 和△EBD 中
AB BE ,
ABE EBD,
∠∠
CB BD,
∴△ABC≌△EBD(SAS)
∴DE＝AC＝2
∴点 D 的轨迹是以点 E 为圆心，2 为半径的圆．
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图 4．17 和图 4．18 所示，当且仅当 A、E、D 三点共线时取得最值
∴AC 垂直平分 BB ' ，∴ B ' A BA ，∴AC 平分 B ' AB .
∵ CAB 30 ，∴ B ' AB 60 ，∴ ABB ' 为等边三角形.
∵点 P 为 AC 上一点，∴ PB PB ' ，∴ PB PD PB ' PD B ' D ，
初中数学平面几何最值问题培优专题训练
初中数学平面几何最值问题培优专题训练1. 引言平面几何最值问题是初中数学中的一个重要概念，它涉及了数学中的最大值和最小值的求解。
本文旨在为初中生提供一些培优专题训练，帮助他们更好地理解和掌握平面几何最值问题的解题方法。
2. 训练题目下面是一些平面几何最值问题的训练题目，供初中生进行练和思考：1. 计算等边三角形的最大面积。
2. 求一个正方形的最小周长。
3. 在一个给定的圆内，找出一个长方形的最大面积。
4. 在一个长方形的周长固定的情况下，如何确定它的最大面积？5. 如何证明：对于一个给定的周长，圆是能够围成最大面积的图形。
3. 解题思路在解决平面几何最值问题时，可以采用以下简单的策略：- 利用几何图形的对称性。
常常可以通过找到几何图形的对称性来简化问题，并找到最值点。
- 利用几何图形的性质和公式。
根据几何图形的性质和公式，可以建立方程或关系，从而求解最值问题。
- 利用数学推理和证明。
通过数学推理和证明，找到最值问题的解题方法和结论。
4. 例题解析下面是几个例题的解析，以帮助初中生更好地理解解题思路和方法：例题1：等边三角形的最大面积解析：等边三角形的面积由边长决定，所以要找最大面积，就需找到最长的边长。
根据等边三角形的性质，可以知道三个边长相等，因此最长的边长是三边中的任意一条边长。
所以等边三角形的最大面积是以任意边长为边长的正三角形。
例题2：正方形的最小周长解析：正方形的周长由边长决定，所以要找最小周长，就需找到最短的边长。
正方形的四条边相等，因此最短的边长是四条边中的任意一条边长。
所以正方形的最小周长是以任意边长为边长的正方形。
例题3：长方形的最大面积（固定周长）解析：长方形的周长固定，设为2L+2W。
要求最大面积，可以使用数学推理。
根据不等式性质，当L=W时，面积最大。
因此，最大面积的长方形是正方形。
例题4：圆的最大面积（固定周长）解析：圆的周长固定，设为2πr。
要求最大面积，可以使用数学证明。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
初中数学最值问题10个经典题
初中数学最值问题10大经典题解决几何最值问题的通常思路：两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键。
通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。
一、几何最值问题中的基本模型举例【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． ∵PC 关于OA 对称， ∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP 同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则CD OC =6．则△PMN 的周长的最小值为．1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M、N 分别在边OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=二、典型题型【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．@初中生家长【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：7 4．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．@初中生家长【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．∴B′N=BN=1，过D点作B′D⊥AM，利用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC 边上移动的最大距离为2． @初中生家长【解答】解：当点P 与B 重合时，BA′取最大值是3，当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．于．△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F 分别在线段AB、AD 上，将【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=．∴PD=8【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．@初中生家长【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E+1．+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．@初中生家长【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD x，CD（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD x，CD（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．@初中生家长【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P ′到CD 的距离为， ∴PK +QK．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．【分析】首先连接AC ，DP ．由正方形ABCD 的边长为1，即可得：S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP =S △ABC =12S 正方形ABCD =12，继而可得12AP •（BB ′+CC ′+DD ′）=1，又由1≤AP，即可求得答案．【解答】解：连接AC ，DP ．∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1， ∴AB =CD ，S 正方形ABCD =1， ∵S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP =S △ABC =12S 正方形ABCD =12， ∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，是．过B、C、D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围9．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上的任意一点（可与B、C 重合），分别∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2AP，∵1≤AP，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C．≤BB′+CC′+DD′≤2．≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．@初中生家长【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键。
中考压轴题突破：几何最值问题大全
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。
AB A '′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
初中数学几何模型与最值问题11专题-二次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题11 二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）3、怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：（1）求p与x的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？专题11 二次函数在实际应用中的最值问题 答案1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率是x ，10（1﹣x ）2=8.1，x =10%或x =190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x ＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，①y =（9﹣4.1）（80﹣3x ）﹣（40+3x ）=﹣17.7x +352，①﹣17.7＜0，①y 随x 的增大而减小，①当x =1时，y 有最大值，y 大=﹣17.7×1+352=334.3（元）； 当9≤x ＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，①y =（8.1﹣4.1）（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x +400）=﹣3x 2+60x +80=﹣3（x ﹣10）2+380，①﹣3＜0，①当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，当10＜x ＜15时，y 随x 的增大而减小，①当x =10时，y 有最大值，y 大=380（元）．综上所述，y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式为： 217.7352(19){ 36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a ）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a ）﹣115，a ≤0.5． 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式 （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【解析】（1）假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得301500k b =-⎧⎨=⎩,①301500p x =-+,检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ①所求的函数关系式301500p x =-+,（2）设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-,即()223024004500030403000w x x x =-+-=--+,当40x =时,w 有最大值为3000元, 故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, （3）日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--, 即()()230240030150045000w x a x a =-++-+,对称轴这()2400301402302a x a +=-=+⨯-,若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<（不合题意）, 若10a <,则当1402x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+代入,可得2130101004w a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 当2430w =时,21243030101004a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,解得12a =,238a =（舍去）, 综上所述,a 的值为2.3、怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【解析】(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份，根据题意得：()()2018112020141814280x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：2040x y =⎧⎨=⎩，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，总利润为w 元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． 则w=（20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）=（6﹣0.5a ）（20+a ）+（4+0.5a ）（40﹣a ）=（﹣0.5a 2﹣4a +120）+（﹣0.5a 2+16a +160） =﹣a 2+12a +280=﹣（a ﹣6）2+316， 当a =6，w 最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y （张）与电影票售价x （元/张）之间满足一次函数：y =﹣4x +220（10≤x ≤50，且x 是整数），设影城每天的利润为w （元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w 与x 之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）根据题意，得：w =（﹣4x +220）x ﹣1000=﹣4x 2+220x ﹣1000；（2）①w =﹣4x 2+220x ﹣1000=﹣4（x ﹣27.5）2+2025，①当x =27或28时，w 取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解析】（1）221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180180°的对称点为(21,4)m a -，2:(21)24C y a x m a =--++，函数的对称轴为：21x m =-，21t m =-，（2）1a =-时，21:(1)4C y x =--，①当112t ≤<时，12x =时，有最小值2154y =，x t =时，有最大值21(1)4y t =--+， 则21215(1)414y y t -=--+-=，无解； ①312t ≤≤时，1x =时，有最大值14y =，12x =时，有最小值22(1)4y t =--+，12114y y -=≠（舍去）；①当32t >时，1x =时，有最大值14y =，x t =时，有最小值22(1)4y t =--+，212(1)1y y t -=-=，解得：0t =或2（舍去0），故222:(2)44C y x x x =--=-；（3）0m =，22:(1)4C y a x a =-++，点'',,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --，当0a >时，a 越大，则OD 越大，则点'D 越靠左，当2C 过点'A 时，2(01)41y a a =-++=，解得：13a =， 当2C 过点'D 时，同理可得：1a =， 故：103a <≤或1a ≥； 当0a <时，当2C 过点'D 时，31a -=，解得：13a =-， 故：13a ≤-； 综上，故：103a <≤或1a ≥或13a ≤-．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示． ①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【解析】（1）由题意得，解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得①y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得①y与t的函数关系式为y=t+30①由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t①3600＞0，①当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250①-10＜0，①当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【解析】（1）①=，①当x=25时，占地面积y最大；（2）=，①当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．①26-25=1≠2，①小敏的说法不正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x ≤15且x 为整数）时每盒成本为p 元，已知p 与x 之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示：（1）求p 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果． 【解析】（1）设p =kx +b （k ≠0），①第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，①321725k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，所以p =x +18；（2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩， 当1≤x ≤6时，①﹣10＜0，①w 随x 的增大而减小，①当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，①当x =13时，w 最大为361， 综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w =325时，﹣x 2+26x +192=325，x 2﹣26x +133=0，解得x 1=7，x 2=19，所以，7≤x ≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）根据题意得：2120{32205a ba b+=+=，解得：a=35，b=50；（2）①由题意得：y=（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]①y=﹣5x2+550x﹣14000；①①y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1125，①当x=55时，y最大=1125，①销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【解析】(1)当6≤x ≤10时，由题意设y ＝kx ＋b (k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ①1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ①当6≤x ≤10时， y ＝-200x +2200，当10＜x ≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ (2)设利润为w 元，当6≤x ≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ①－200＜0，6①x ≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x ≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，①200＞0，①w ＝200x －1200随x 增大而增大，又①10＜x ≤12，①当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，①w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =①1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩ ①y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+①20a =-<；①抛物线开口向下；①对称轴65x =；①当65x <时，W 随着x 的增大而增大；①3060x ≤≤，①60x =时，W 有最大值；22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。
初三数学最值问题练习题
初三数学最值问题练习题在初中数学中，最值问题一直是一个常见的考点。
通过解决最值问题，我们可以更好地理解和应用数学概念。
本文将提供一些初三数学最值问题的练习题，帮助同学们巩固相关知识。
1. 把一个数的10倍增加120后，得到的结果为200。
求这个数是多少？解析：设这个数为x，则可以列出方程：10x + 120 = 200。
解这个方程，我们可以得到x = 8。
2. 某数的6倍比18大3，求这个数。
解析：设这个数为x，则可以列出方程：6x = 18 + 3。
解这个方程，我们可以得到x = 3。
3. 一个数与5的和的四倍等于41，求这个数。
解析：设这个数为x，则可以列出方程：4(x + 5) = 41。
解这个方程，我们可以得到x = 6。
4. 一个数的一半减1比3大，求这个数。
解析：设这个数为x，则可以列出方程：(1/2)x - 1 = 3。
解这个方程，我们可以得到x = 14。
5. 一个数减去13比其4倍的5倍少4，求这个数。
解析：设这个数为x，则可以列出方程：x - 13 = 4(5x - 4)。
解这个方程，我们可以得到x = 7。
通过解答以上练习题，我们可以发现解决最值问题的关键在于将问题用数学语言进行表达，并建立相应的方程。
通过解方程，可以得到最终的解答。
初三的数学学习中，最值问题练习题仅仅是其中一部分，还有更多的应用题目需要我们去研究和解答。
通过不断的训练和实践，我们可以提高解决最值问题的能力，掌握更多解题的技巧。
希望以上练习题对同学们在初三数学学习中的提高有所帮助。
通过多做类似的练习，我们可以逐渐掌握解决最值问题的方法，从而在考试中取得好成绩。
加油！。
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■V初中数学的几何最值问题经典例题1. （2016山东济南3分）如图，/ MON=9°，矩形 ABCC 的顶点 A B 分 别在边OM ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边0M 上运动，矩形 ABCD 勺形状保持不变，其中AB=2, BC=1,运动过程中，点 D 到点0的最大距离为【B . .5 C.至5 5 2（ 2016湖北鄂州3分）在锐角三角形 ABC 中, BC=4 2，/ ABC=45 , BD 平分/ ABC M 川 分别是 BD BC 上的动点，贝U CM+MN 勺最小值 3. （2016四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为 2cm ，高为9 cm ,B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A B 在同一母线上，用一棉线从 着圆柱侧面绕3圈到B ,求棉线最短为 cm 。
4. （2016四川眉山 3分）在厶ABC 中，AB= 5, AC = 3, AD 是BC 边 占 八、、 线，贝U AD 的取值范围是 _________. 5. （ 2016湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为 5 cm .若一只蚂蚁从 P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行 的最短路径长为【】4K PA.13cmB.12cmC.10cmD.8cm 6. （ 2016广西贵港2分）如图所示，在边长为 2的正三角形 ABC中, 分别为AB AC BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP 的周长的最小值是 7. （2016浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中, AB=2 / A=120°,点 K 分别为线段BC, CD BD 上的任意一点，贝U PK+QK 勺最小值为 8. A. A. 1 （2016四川广元y x 上运动,(0, 0) B.(3分) 当线段 如图，点A 的坐标为（-1 , 0）,点AB 最短时，点B 的坐标为【问题1:如图1, P 为AB 边上的一点，以 PD PC 为边作平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ DC 的长能否相等，为什么？问题2 :如图2,若P 为AB 边上一点，以PD, PC 为边作平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题3:若P 为AB 边上任意一点，延长 PD 到E ,使DE = PD,再以PE, PC 为边作平行四边 形PCQE 请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在， 请求出最小值，如果不存在， 请说明理由. 问题4:如图3，若P 为DC 边上任意一点，延长 PA 到E ,使AE = nPA （n 为常数），以PE 、 PB 为边作平行四边形 PBQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出 最小值，如果不存在，请说明理由.10. （2016四川自贡12分）如图所示，在菱形 ABCD 中, AB=4,Z BAD=120 , △ AEF 为正 三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC. CD 上滑动，且E 、F 不与B . C. D 重合.（1 ）证明不论 E 、F 在BC. CD 上如何滑动，总有 BE=CF （2）当点E 、F 在BC. CD 上滑动时，分别探讨四边形AECR ^A CEF 的3面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或 最小）值.11. （ 2016福建南平14分）如图，在△ ABC 中，点D 、E 分别在边 BC AC 上，连接 AD DE, 且/ 仁/ B=Z C.（1）由题设条件，请写出三个正确结论： （要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程 中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）C. D.(-229. （ 2016江苏连云港12分）已知梯形AD= 1, AB= 2, BC = 3,ABCD AD// BC AB 丄BQ答：结论一：______ ;结论二：_______ ;结论三： ______ .(2)若/ B=45 , BC=2当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合)，①求CE的最大值；②若△ ADE是等腰三角形，求此时BD的长.(注意：在第(2)的求解过程中，若有运用(1)中得出的结论，须加以证明)存在最小值.如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出厶AEF周长的最小值.13. （2016 云南昆明12 分）如图，在Rt△ ABC 中，/ C=90 , AB=10cm AC: BC=4: 3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B~C^A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.(1 )求AC BC的长；(2)设点P的运动时间为x (秒)，△ PBQ的面积为y (cm),当厶PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3)当点Q在CA上运动，使PQLAB时，以点B P、Q为定点的三角形与△ ABC是否相似, 请说明理由；(4)当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M使厶BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由.14. (2016甘肃兰州4分)如图，四边形ABCD中，/ BAD= 120°,/ B=Z » 90°，在BC CD上分别找一点M N使厶AMN周长最小时，则/ AMNk Z ANM的度数为【】A. 130° B . 120° C . 110°D . 100°15. (2016湖北十堰6分)阅读材料:例：说明代数式x2 1 (x 3)2+ 4的几何意义，并求它的最小值.解：.x2 1 (x 3)2 4 (x 0)2 12 (x 3)2 22，如图，建立平面直角坐标系,点P( x ,0)是x轴上一点，则J(x 0)2 12可以看成点P与点A( 0,1 )的距离，—3)2 22 可以看成点P 与点B ( 3, 2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+ PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为A',贝U PA=PA，因此，求PA+ PB的最小值，只需求PA + PB的最小值，而点A'、B间的直线段距离最短，所以PA + PB的最小值为线段A'B的长度.为此，构造直角三角形A CB因为A C=3, CB=3,所以A B=3血，即原式的最小值为3 2 。
根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式_ (x 1)2 1 .(x 2)2 9的值可以看成平面直角坐标系中点P (x, 0)与点A (1 , 1)、点B _______ 的距离之和.(填写点B的坐标)(2)代数式x2 49 x2 12x 37的最小值为________________ .16. (2016江苏扬州3分)如图，线段AB的长为2, C为AB上一个动点，分别以AC BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ ACD和厶BCE那么DE长的最小值是_____________ .17. (2016广东广州14分)如图，在平行四边形ABCD中, AB=5, BC=10, F为AD的中点,CEL AB 于E,设/ ABC a( 60°<a< 90°).(1 )当a =60°时，求CE的长；(2)当60°<a< 90°时，①是否存在正整数k,使得/ EFD=M AEF?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.②连接CF,当cE-CF2取最大值时，求tan / DCF的值.18. （2016江苏镇江11分）等边△ ABC的边长为2, P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP,以AP为边向两侧作等边△ APD和等边△ APE分别与边AB AC交于点M N （如图1）°（1）求证：AM=AN（2 ）设BP=x。
3①若，BM=3，求x的值；8②记四边形ADPE-与^ ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE,分别与边AB AC交于点G H （如图2）,当x取何值时，/ BAD=15°?并判断此时以DG GH HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
19. （2016陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为3+ . 3 .（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上 .在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；（2 ）求（1 ）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH使得 D EF在边AB上，点P、N分别在边CB CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由.20. (2016四川宜宾12分)如图，在△ ABC 中，已知 AB=AC=5 BC=6且厶ABC^A DEF 将 △ DEF 与厶ABC 重合在一起，△ ABC 不动，△ ABC 不动，△ DEF 运动，并满足：点 E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且 DE 、始终经过点 A , EF 与AC 交于M 点. (1) 求证：△ ABE^A ECIM(2) 探究：在厶DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？ 若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由； (3) 当线段AM 最短时，求重叠部分的面积.21. (2016安徽省12分)在厶ABC 中，/ ACB= 90°,/ ABC= 30°，将△ ABC 绕顶点C 顺时(1)如图1，当AB// CBi 时，设AB 与BC 相交于点D.证明：AA 1CD 是等边三角形；(2) 如图2,连接AA 、BB ,设厶ACA 和厶BCB 的面积分别为 S 、S.求证：S : S 2 = 1 : 3;(3)如图3,设AC 的中点为E , AB 的中点为P, AC = a ,连接EP.当 =__________________________________________________________________________________ 。
时，EP 的长度最大，最大值为 _________ .22.已知等边三角形 ABC 的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P ,若点P 到AB 的距离是1，点P 到AC 的距离是2,则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是 _____________ (沈 阳)23•如图，E , F 是正方形 ABCD 勺边AD 上两个动点，满足CF 交BD 于G,连接BE 交AG 于点H 若正方形的边长为度的最小值是 _______________ .(武汉)D针旋转，旋转角为(0 ° < V 180° )，得到AA 1BC.E1 E2图孑AE= DF 连接2,则线段DH 长第16题图。