一元三次多项式函数的图像与性质表格版
一元三次方程系数关系
一元三次方程系数关系一元三次方程是一个关于未知数的三次多项式方程，其一般形式为ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a、b、c、d是已知系数，且a≠0。
本文将从系数的角度来探讨一元三次方程的特点和性质。
一、系数a的影响系数a是一元三次方程中的最高次项的系数，它决定了方程的开口方向。
当a>0时，方程的图像开口向上；当a<0时，方程的图像开口向下。
这是因为当x趋近于无穷大时，ax^3的值也趋近于无穷大，从而决定了方程的开口方向。
二、系数b的影响系数b是一元三次方程中二次项的系数，它决定了方程图像的形状。
当b>0时，方程的图像在开口的一侧呈现“山谷”形状；当b<0时，方程的图像在开口的一侧呈现“山丘”形状。
这是因为当x趋近于无穷大时，bx^2的值也趋近于无穷大，从而决定了方程图像的形状。
三、系数c的影响系数c是一元三次方程中一次项的系数，它决定了方程图像的位置。
当c>0时，方程的图像向上平移；当c<0时，方程的图像向下平移。
这是因为c的值决定了方程图像与x轴的交点的纵坐标。
四、系数d的影响系数d是一元三次方程中常数项的系数，它决定了方程图像与y轴的交点的纵坐标。
当d>0时，方程的图像与y轴的交点在y轴的上方；当d<0时，方程的图像与y轴的交点在y轴的下方。
五、零点和因式分解一元三次方程的解称为零点，也就是使方程成立的x的值。
根据代数基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
当方程有一个实数根时，可以利用因式分解的方法将方程化简为(x-根)(ax^2+bx+c)=0的形式。
其中，(x-根)是方程的一个因子，而ax^2+bx+c是一个一元二次方程。
六、判别式和根的性质一元三次方程的判别式为Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd。
根据判别式的值可以判断方程的根的性质：1. 当Δ>0时，方程有三个实数根；2. 当Δ=0时，方程有一个实数根和一个二重实数根；3. 当Δ<0时，方程有一个实数根和两个共轭复数根。
一元多项式——精选推荐
第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。
2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。
例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。
1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。
3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
三次函数的极大值和极小值
三次函数的极大值和极小值三次函数是指函数的最高次项是三次的多项式函数。
在三次函数中，极大值和极小值是指函数在某个区间上的最大值和最小值。
这些极值点对于函数的图像和性质具有重要意义，可以帮助我们更好地了解函数的变化规律和特点。
我们来看极大值点。
在三次函数中，极大值点通常对应着函数曲线的局部最高点。
要找到一个三次函数的极大值点，我们可以通过求导来进行判断。
对于一个三次函数f(x)，我们可以将其求导得到f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解x1，x2，x3。
这些解就是函数的驻点，也就是可能的极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数来判断这些驻点是否为极大值点。
当f''(x1) < 0，f''(x2) < 0，f''(x3) < 0时，这些驻点就是函数的极大值点。
在图像上，这些点对应着函数曲线的局部最高点。
接下来，我们来看极小值点。
在三次函数中，极小值点通常对应着函数曲线的局部最低点。
同样地，要找到一个三次函数的极小值点，我们可以通过求导来进行判断。
对于一个三次函数f(x)，我们可以将其求导得到f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解x1，x2，x3。
这些解就是函数的驻点，也就是可能的极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数来判断这些驻点是否为极小值点。
当f''(x1) > 0，f''(x2) > 0，f''(x3) > 0时，这些驻点就是函数的极小值点。
在图像上，这些点对应着函数曲线的局部最低点。
在实际问题中，极大值和极小值点的应用非常广泛。
例如，在经济学中，三次函数可以用来描述市场供求关系，极大值和极小值点则可以帮助我们确定市场的最大供给量和最低需求量。
在物理学中，三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，极大值和极小值点则可以帮助我们确定物体的最高高度和最低速度。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
《高中数学《函数课件》PPT》
函数的单调性和极值
1
单调递减
2
函数在区间上的值随着自变量的增加
而减少。
3
极小值
4
函数在某个区间内取得的最小值。
单调递增
函数在区间上的值随着自变量的增加 而增加。
极大值
函数在某个区间内取得的最大值。
函数的导数和导数的应用
导数的定义
导数表示函数在某一点的变化 率，可以通过斜率来理解。
最速下降
导数的应用之一是找到函数的 最速下降路径。
带参数方程和参数方程的图像
1 带参数方程
带参数方程是通过参数来描 述曲线的方程。
2 参数方程的图像
通过改变参数的值，可以得 到曲线的不同形状。
3 特殊的参数方程
圆的参数方程是x = rcosθ，y = rsinθ。
多项式函数和有理函数
1
多项式函数
多项式函数由多个项的和组成，每个
一次多项式
2
项有自变量的幂。
正切函数
正切函数与正弦和余弦函数有 关，图像在某些点上趋于无穷 大。
指数函数、对数函数及其性质
指数函数
指数函数的自变量是幂函 数，形如f(x) = a^x，其中 a是常数。
对数函数
对数函数是指数函数的反 函数，形如f(x) = loga(x)， 其中a是底数。
指数和对数的性质
指数和对数函数具有一些 特定的性质和规则。
高中数学函数课件 PPT
从什么是函数开始，介绍函数的定义域和值域，以及常见的一次、二次、三 次函数等，并探讨函数的图像和性质。
函数的奇偶性和周期性
奇函数
奇函数以原点为对称中心， 满足f(-x)=-f(x)。
偶函数
偶函数以y轴为对称轴，满 足f(-x)=f(x)。
一元三次多项式的判别式的初等对称多项式的表示式
一元三次多项式的判别式的初等对称多项式的表示式一元三次多项式的判别式是指对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd的表达式。
而该判别式的表达式可以通过初等对称多项式来表示。
在本文中，我们将深入探讨一元三次多项式的判别式以及初等对称多项式的表示式，希望能给读者带来一些启发和帮助。
一、一元三次多项式的判别式的定义一元三次多项式的判别式是一个重要的概念，它能帮助我们判断一个一元三次方程的根的情况。
一元三次多项式的判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd是通过方程的系数所组成的表达式，它可以在某种程度上反映出方程根的性质。
通过判别式，我们可以判断方程的根是实根还是复根，是重根还是不重根，是正根还是负根。
一元三次多项式的判别式在代数学中具有重要意义。
二、初等对称多项式的概念初等对称多项式是指对于n个元素x1,x2,...,xn的一组实数，以及n个未知数a1,a2,...,an，形如a1^1*a2^2*...*an^nk的多项式。
初等对称多项式的概念是对称多项式的一种具体表现形式，它在数学中有着广泛的应用。
在代数学、数学分析和组合数学等领域，初等对称多项式是一种非常基础的数学概念，对研究和解决一些数学问题具有重要作用。
三、一元三次多项式的判别式的初等对称多项式表示式通过初等对称多项式，我们可以将一元三次多项式的判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd进行表示。
具体的表示式如下：1. 对称多项式的表示式将二次项系数b、一次项系数c、常数项d视为三个未知数x1、x2、x3，可得到三个未知数的多项式函数f(x)=x^3-px^2+qx-r。
其中，p=b/a、q=c/a、r=d/a。
2. 初等对称多项式的计算根据初等对称多项式的定义，我们可以得到一元三次多项式的判别式Δ的表示式为：Δ =(x1-x2) ^2 (x1-x3) ^2 (x2-x3) ^2其中，(x1-x2) ^2 (x1-x3) ^2 (x2-x3) ^2 是初等对称多项式的展开式，表示了一元三次方程的判别式。
多项式理论及多项式除法
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多项式插值是一种通过已知数据点构造多项 式函数的方法，使得该多项式函数能够精确 通过所有数据点。它在数值分析、计算机图 形学等领域有重要应用。
多项式拟合
多项式拟合是一种通过最小二乘法等优化方 法寻找最佳拟合多项式的过程。它在数据分 析、统计学等领域有广泛应用，如回归分析 中的多项式回归模型。
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多项式积分与微分
利用多项式的性质进行积分和微分运算，这在数学分析 、物理建模和工程计算等领域有广泛应用。
优化问题中应用举例
多项式优化
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多项式函数
多项式函数是以多项式为解析式的函数，如 $f(x) = x^2 + 2x - 3$。多项式函数具有连 续、可导等良好性质，在数学分析等领域有
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多项式插值
多项式方程是形如 $f(x) = 0$ 的方程，其中 $f(x)$ 是多项式。求解多项式方程是数学研 究的重要课题之一，与代数、几何等领域密
一元多项式加减法
要点一
一元多项式加法
两个一元多项式相加，只需要将它们的对应项系数相加即 可。例如，$(2x^2+3x+1)+(x^2+2x+3)=3x^2+5x+4$ 。
要点二
一元多项式减法
两个一元多项式相减，只需要将它们的对应项系数相减即 可。例如，$(2x^2+3x+1)-(x^2+2x+3)=x^2+x-2$。
三次函数总结范文
三次函数总结范文三次函数，也称为三次多项式函数，是一个最高次数为3的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d是实数或复数常数，并且a不等于0。
三次函数具有许多重要的数学性质和应用。
在本文中，我将介绍三次函数的性质、图像、求解方法以及一些常见的应用场景。
一、三次函数的性质1.最高次项幂是3，次高项幂是2，因此，三次函数的图像是一个连续的曲线，没有角或尖点。
2.三次函数可以是奇函数也可以是偶函数。
如果三次函数关于y轴对称，则它是一个偶函数；如果关于原点对称，则它是一个奇函数；否则，它既不是奇函数也不是偶函数。
3.三次函数的导数是一个二次函数，其图像可以是一个抛物线。
导函数的零点可以帮助确定原函数的极值点和拐点。
4.三次函数的定义域是整个实数集，值域也是整个实数集。
二、三次函数的图像三次函数的图像通常呈现出S形状曲线，称为三次曲线。
根据三次函数的系数不同，曲线可能向上打开或向下打开。
具体来说：1.当系数a>0时，曲线开口向上。
这意味着当x趋近无穷大时，y的值也趋近无穷大；当x趋近负无穷大时，y的值也趋近负无穷大。
2.当系数a<0时，曲线开口向下。
这意味着当x趋近无穷大时，y的值趋近负无穷大；当x趋近负无穷大时，y的值趋近无穷大。
三、三次函数的求解方法三次函数的求解通常涉及找到函数的零点（也称为根或解）。
1.因式分解法：如果三次函数可以因式分解为一次因式和一个二次因式的乘积，那么可以通过解一元二次方程来求解零点。
2.直接求解法：当函数难以因式分解时，我们可以使用数值方法，如二分法、牛顿法等，来逼近零点。
四、三次函数的应用场景三次函数在许多领域和问题中有着广泛的应用，例如：1.物理：三次函数可以用来描述物体的加速度、位移、速度等物理量与时间的关系。
2.经济：三次函数可以用来建模经济增长、市场需求、价格变化等经济现象。
3.生物学：三次函数可以用来建模生物体的生长、衰退、繁殖等过程。
三次函数图像
三次函数的图像和性质1.复习(1)怎么求函数的极大值和极小值;(2)某区间内的最值怎么求?2.形如d cx bx ax x f +++=23)(为三次函数,你能知道其大致图像吗?有什么特点? 我们通过它的导函数来研究它的图像特点. 3.复习二交函数的图像如图X ∈ 时,Y>0 X ∈ 时Y<0三次多项式函数与其导函数（为二次函数）之间的对应关系：设三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>与其导函数2()32f x ax bx c '=++（为二次函数，设它的判别式2412b ac ∆=-），我们先只考虑a>0时的情形4、当0∆>时，它们图象的对应关系为：变化情况如下表x(-∞,x 1) x 1 (x 1, x 2)x2(x2,+∞) y '+ 0 － 0 +y↗极大值f(x 1)↘极小值f(x 2)↗5、当0∆=时，它们图象的对应关系为：x(-∞,x 1) x 0 (x2,+∞) y '+ 0 +y↗无极值↗6、当0∆<时，它们图象的对应关系为：7.当0a <时，可类似研究32()f x ax bx cx d =+++与其导函数2()32f x ax bx c '=++的关系.(画出二种图像) 8.总结:其实三次函数只有四种图像(1) a>0, 0∆< (2) 0a <, 0∆< (3) a>0, 0∆< (3) 0a <, 0∆> (4) a>0, 0∆>9.例一. （浙江）设f x '()是函数f(x)的导函数，y f x ='()的图象如左图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是右图的（ ）10.例二.已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 11.练习.函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为 。
多项式函数与根的性质与运算
多项式函数与根的性质与运算知识点：多项式函数的定义知识点：多项式函数的图像特点知识点：多项式函数的导数知识点：多项式函数的极值知识点：多项式函数的零点知识点：多项式函数的根的性质知识点：多项式函数的根的分布知识点：多项式函数的根的运算知识点：多项式函数的因式分解知识点：多项式函数的系数与根的关系知识点：多项式函数的定理知识点：多项式函数的应用知识点：一元二次函数的定义知识点：一元二次函数的图像特点知识点：一元二次函数的导数知识点：一元二次函数的极值知识点：一元二次函数的零点知识点：一元二次函数的根的性质知识点：一元二次函数的根的分布知识点：一元二次函数的根的运算知识点：一元二次函数的因式分解知识点：一元二次函数的系数与根的关系知识点：一元二次函数的定理知识点：一元二次函数的应用知识点：一元三次函数的定义知识点：一元三次函数的图像特点知识点：一元三次函数的导数知识点：一元三次函数的极值知识点：一元三次函数的零点知识点：一元三次函数的根的性质知识点：一元三次函数的根的分布知识点：一元三次函数的根的运算知识点：一元三次函数的因式分解知识点：一元三次函数的系数与根的关系知识点：一元三次函数的定理知识点：一元三次函数的应用知识点：一元四次函数的定义知识点：一元四次函数的图像特点知识点：一元四次函数的导数知识点：一元四次函数的极值知识点：一元四次函数的零点知识点：一元四次函数的根的性质知识点：一元四次函数的根的分布知识点：一元四次函数的根的运算知识点：一元四次函数的因式分解知识点：一元四次函数的系数与根的关系知识点：一元四次函数的定理知识点：一元四次函数的应用知识点：多项式函数与一元二次函数的关系知识点：多项式函数与一元三次函数的关系知识点：多项式函数与一元四次函数的关系知识点：多项式函数的根与系数的关系知识点：多项式函数的根与图像的关系知识点：多项式函数的根与导数的关系知识点：多项式函数的根与零点的关系知识点：多项式函数的根与极值的关系知识点：多项式函数的根与因式分解的关系知识点：多项式函数的根与定理的关系知识点：多项式函数的根与应用的关系知识点：多项式函数的求根公式知识点：多项式函数的求根公式的推导知识点：多项式函数的求根公式的应用知识点：多项式函数的求根公式的局限性知识点：多项式函数的求根方法知识点：多项式函数的求根方法的比较知识点：多项式函数的求根方法的选取知识点：多项式函数的求根方法的优劣知识点：多项式函数的求根方法的适用范围知识点：多项式函数的求根方法的注意事项知识点：多项式函数的根的判别式知识点：多项式函数的根的判别式的定义知识点：多项式函数的根的判别式的性质知识点：多项式函数的根的判别式的计算知识点：多项式函数的根的判别式的应用知识点：多项式函数的根的判别式的局限性知识点：多项式函数的根的判别式与根的关系知识点：多项式函数的根的判别式与系数的关系知识点：多项式函数的根的判别式与图像的关系知识点：多项式函数的根的判别式与导数的关系知识点：多项式函数的根的性质知识点：多项式函数的根的性质的定义知识点：多项式函数的根的性质的性质知识点：多项式函数的根的性质的计算知识点：多项式函数的根的性质的应用知识点：多项式函数的根的性质的局限性知识点：多项式函数的根的性质与根的关系知识点：多项式函数的根的性质与系数的关系知识点：多项式函数的根的性质与图像的关系知识点：多项式函数的根的性质与导数的关系知识点：多项式函数的根的运算知识点：多项式函数的根习题及方法：定义一个多项式函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1，求f(x)的导数。
高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用
三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根； （3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根； （4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次， 即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1） 当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞−∞为 增函数.（2） 当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ） （1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈； 即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2； （2）D C B A x x x x +=+； （3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值； （2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却 具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题 先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线 例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点， 所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（ ）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误； 又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭． 又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数 （2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>． （1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围． 解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值， 当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−， 因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。
数学课本_简单多项式函数及其图形
多项式函数在国中时，我们已经学过常数函数，一次函数与二次函数，它们都是多项式函数。
多项式函数能做加减乘除，具有良好的性质，多项式函数可以说是数学上最重要的函数，因为数学家发现，理解多项式的性质，常常可以帮助我们理解各个领域的数学，进而促进科学进展。
在这一章中我们要介绍多项式，熟练多项式的运算，多项式的函数图形，并且解多项式方程式与多项式不等式。
2-1简单多项式函数及其图形●函数●常数函数●一次函数●二次函数●单项三次及四次函数2-2多项式的运算与应用●多项式的定义●多项式的四则运算●余式定理与因式定理●插值多项式2-3多项式方程式●i●复数●一元二次方程式的解●代数基本定理●整系数多项式方程式的一次因式检验法●虚根成对定理●勘根定理●分式方程式2-4多项式函数的图形与多项式不等式●多项式函数的图形●一次不等式●二次不等式●高次不等式●简易分式不等式2-1简单多项式函数及其图形多项式函数是数学上重要的函数，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c都是多项式函数。
本节介绍函数的概念与简单的多项式函数。
1函数函数的概念某次数学段考因为成绩太差，老师决定全班每位同学各加5 分。
如果原始的成绩为x，加分过后的成绩为y，则可以列表如下：注意每个原始成绩x必能且只能对应到一个加分后的y值。
两者之间的关系为y＝x＋5。
这就是一个函数。
※函数的概念设x，y为两个变数。
若对于每一个x所取的值，都可找到唯一一个y值与之对应，则我们称y是x的函数。
若用f代表这个函数，则此函数可写成y＝f（x）。
在函数的概念中，(1) x称为此函数的自变量，y称为应变量。
自变量x所有可能值的全体称为这个函数的定义域。
(2) 给定x＝a，代入函数后得到f（a）称为函数在x＝a的函数值，所有函数值的全体称为这个函数的值域。
上述的加分函数中，如果原始成绩落在30 到80 之间，则自变量x的范围是30 ≤x ≤80（定义域），应变量y的范围是35 ≤y≤85（值域）。
高中数学教案解析多项式函数的性质和像
高中数学教案解析多项式函数的性质和像一、引言在高中数学中，多项式函数是一个非常重要的概念。
研究多项式函数的性质和像对于理解函数的定义、图像和变化趋势有着重要的作用。
本文将通过对多项式函数性质和像的解析，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、多项式函数的定义多项式函数是指具有以下形式的函数：\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0\]其中，\(a_n, a_{n-1},\ldots,a_1,a_0\)是实常数，\(a_n \neq 0\)，\(n\)是非负整数。
三、多项式函数性质1. 多项式函数的最高次数决定了函数的性质，例如当\(n\)为偶数时，多项式函数的图像关于\(x\)轴对称；当\(n\)为奇数时，多项式函数的图像关于原点对称。
2. 多项式函数的次数与函数的零点有关。
根据代数基本定理，一个\(n\)次多项式函数最多有\(n\)个不同的零点。
3. 多项式函数的导数也是一个多项式函数，导数的次数比原来的函数次数低1。
四、多项式函数的像多项式函数的像是指函数的值域，在求多项式函数的像时，我们需要考虑函数的定义域、图像以及函数性质等因素。
1. 定义域多项式函数的定义域是全部实数。
2. 图像多项式函数的图像通常为曲线，其形状可以根据函数的特点进行分析和预测。
例如，二次函数的图像为抛物线，三次函数的图像为S型曲线等。
3. 函数值对于给定的\(x\)值，可以通过代入多项式函数的表达式来计算函数值。
例如，对于函数\(f(x) = x^2 + 2x + 1\)，当\(x = 2\)时，可以计算得到：\(f(2) = 2^2 + 2 \times 2 + 1 = 9\)。
因此，函数的像为9。
五、多项式函数性质和像的应用多项式函数的性质和像在实际问题中有着广泛的应用。
下面以一个简单的例子来说明：某商品的销售量与售价之间存在一定的函数关系，已知该商品的销售量\(q\)与售价\(p\)满足多项式函数\(f(p)\)。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
第二讲多项式理论
3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简
32
一、有理分式的恒等
33
34
二、根式的定义和意义
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36
三、复合根式的计算
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38
39
40
41
四、根式的恒等变形的化简 类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
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类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
11
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
43
类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
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类型4 方程型无理根式 基本思想：构造对偶式、函数等方法，
利用相关性质求解
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5、代数代换法
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6、函数型根式——构造几何模型法
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7、三角形代换法
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指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
14
定义分析：
1、一个置换实际上是指一个排列；
2、置换的总数共有n!种。
15
判断下列多项式是否是对称多项式
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（2）基本对称函数（基本对称多项式）
三次函数的性质及导函数研究函数的应用
专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。
一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。
②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。
例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆； 函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。
例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 【 】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为 【 】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。
（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。
三次多项式 五次多项式
三次多项式五次多项式
三次多项式和五次多项式都属于代数学中的多项式函数。
多项
式函数是由常数和变量的幂次方相乘再相加而成的函数。
三次多项
式是指最高次幂为3的多项式函数，通常写作f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，且a不等于0。
而五次多项式
则是指最高次幂为5的多项式函数，通常写作g(x) = ex^5 + fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j，其中e、f、g、h、i、j为常数，且e不
等于0。
从数学角度来看，三次多项式和五次多项式在图像上表现出不
同的特征。
三次多项式的图像通常具有一个拐点，也就是说在函数
图像上有一个局部极值点，而五次多项式的图像可能会有多个拐点，表现出更加复杂的曲线特征。
在实际问题中，三次多项式和五次多项式也有不同的应用。
三
次多项式常常用于描述一些物理问题中的变化规律，比如弹簧的伸
长与受力之间的关系。
而五次多项式则可以更加精确地描述一些复
杂的数据变化趋势，比如气象数据的变化规律等。
此外，从求解的角度来看，三次多项式和五次多项式的求解方
法也有所不同。
对于一般的三次多项式，可以通过因式分解、配方法、求导等方式来求解其零点和极值点；而五次多项式的求解则可能需要借助更加复杂的数值计算方法或者数学工具来进行求解。
总的来说，三次多项式和五次多项式在数学理论、实际应用和求解方法上都有着不同的特点，它们都是多项式函数家族中的重要成员，各自在不同领域都有着重要的作用和意义。