圆锥曲线的“三定”与探索性问题练习题目

专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题【满分：100分 时间：90分钟】（一）选择题（12*5=60分）1．【山东省潍坊市2020届高三上学期期末】已知动圆C 的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＋1＝0相切，则此动圆C 必过定点( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(0，－1)【答案】A【解析】抛物线的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，而动圆C 与直线x ＋1＝0相切，即圆心C 到准线的距离等于圆的半径r ，故圆C 过焦点F (1,0)。

故选A 。

2．（2020·湖南高一期末）直线20mx y m --+=过定点A ，若直线l 过点A 且与220x y +-=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．240x y ++= C ．230x y -+= D ．230x y --=【答案】A【解析】由20mx y m --+=得：()21y m x -=-，∴直线20mx y m --+=过定点()1,2A ， 又直线220x y +-=的斜率2k =-且与直线l 平行，∴直线l 斜率为2-∴直线l 的方程为：()221y x -=--，即：240x y +-=。

3．（2019·江苏省如东高级中学高一期中）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.4．（2019·重庆高二期末）已知过原点的动直线l 与椭圆22132x y +=交于A ，B 两点，D 为椭圆C 的上顶点，若直线AD ，BD 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则12k k =（ ） A ．23-B ．23C ．32D ．32- 【答案】A【解析】由题知(D ，可设()11,A x y ，11,Bx y，则211221112y k k x -==， 又A 在椭圆上，故2211132x y +=，即2211223y x =-，所以1223k k =-.故答案为：23-.5．（2020·湖北高三月考（文））已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k，且12k k ⋅=l 恒过定点（ ） A．(- B．(-C．(-D．(【答案】C【解析】设直线l 为x my n =+,联立26x my ny x=+⎧⎨=⎩,消去x 可得2660y my n --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,所以126y y n =-,因为12k k ⋅=即1212y y x x ⋅=所以122212123636666y y y y y y n ===-⋅所以n =-,所以x my =-所以直线l一定过点()-,6．（2019·河北衡水中学高三月考（理））已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11yk x +≤+恒成立，结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12 ，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.7．（2019·湖南长郡中学高二月考）已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F A 是抛物线C 上异于坐标原点的任意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且,A B 同在一个以F 为圆心的圆上，另有直线'//l l ，且'l 与抛物线C 相切于点D ，则直线AD 经过的定点的坐标是（ ）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】A【解析】()24,0,1x y F =∴，设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,A B ∴都在以同一个以F 为圆心的圆上，)2222000110144B B x x y x x ⎛⎫∴-=+->=+ ⎪⎝⎭，解得22002,0,244B x x y B ⎛⎫=+∴+ ⎪⎝⎭， 2200002442'02DABD x x x k y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==-==-，得4D D x x =-，从而得2044,D D x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，AD 的方程为()2022000004444x x x y x x x x --=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，化为200414x y x x -=+，过()0,1点，故答案为()0,1.8．（2019·重庆市育才中学高一期末）已知非零实数a 、b 和1成等差数列，直线10ax by ++=与椭圆C ：22110x y m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．53m ≥B ．53m >且10m ≠C ．53m >D ．53m ≥且10m ≠ 【答案】D【解析】因为非零实数a 、b 和1成等差数列，所以21b a =+，即21a b =-，所以直线方程为(21)10b x by -++=，即(2)10b x y x +-+=，由2010x y x +=⎧⎨-+=⎩，解得x 1,y 2==-，所以直线(21)10b x by -++=过定点(1,2)-，因为(21)10b x by -++=与椭圆C ：22110x y m +=恒有公共点，所以定点(1,2)-在椭圆上或内，所以21(2)110m -+≤，即135m ≤，又22110x y m +=表示椭圆，所以0m >且10m ≠，所以53m ≥且10m ≠.9．（2019·重庆南开中学高二期中）设直线(1)y k x =-与抛物线24y x =相交于M 、N 两点，抛物线的焦点为F ，若||2||FM FN =，则k 的值为（ ）A ．±B ．±C ．D ． 【答案】A【解析】由抛物线方程得：()1,0F ，()1y k x =-恒过定点()1,0，()1y k x ∴=-恒过焦点()1,0F ，即,,M F N 共线，设()11,M x y ，()22,N x y ，2FM FN = ，()12121x x ∴+=+，1221x x ∴=+联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得：()2222240k x k x k -++=，()1222211x x x x ∴⋅=+⋅=，解得212x =或21x =-（舍），12x ∴=21222415222k x x k +∴+==+=，28k ∴=，解得：k =±。

10．（2019·重庆高二月考）过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线l 与x 轴垂直时，AB 4=，满足题意，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l：(y k x=，联立直线与双曲线方程得：(2222y k xx y⎧=⎪⎨-=⎪⎩，整理得：2222(2)320k x x k-+--=，所以2122322kx xk+=-，12x x+=，又AB=4=，解得：k=，综上：满足这样的直线l的条数为3条11．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线24x y=-的焦点为F，A是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F为圆心，AF为半径的圆交y轴负半轴于点B.平行于AB的直线l与抛物线相切于点D，则直线AD 必过定点（）A．0,1B．()0,2-C．0,1D．()0,2【答案】A【解析】由题意，()0,1F-，设2,4xA x⎛⎫-⎪⎝⎭，则241AFx=+，圆的半径为214x+，则20,24xB⎛⎫--⎪⎝⎭，2200002244ABx xkx x--+==-，设点D的横坐标为D x，由12y x'=-，得122l D ABxxk k=-==，则4Dxx=-，0244,x xD⎛⎫--⎪⎝⎭，直线AD为()222004444xx xy x xxx-++=-⎛⎫--⎪⎝⎭，整理得2414xy xx-=-，当0x=时，1y=-，即直线AD必过定点0,1.12．（2020上海高三月考）已知双曲线2212yx-=，点()1,0A-，在双曲线上任取两点P、Q满足AP AQ⊥，则直线PQ恒过定点为（）A．()0,3B．()3,0C．()3,0-D．()0,3-【答案】B【解析】设PQ 的方程为x my b =+,则由222221121022y x m y bmy b x my b⎧-=⎪⎛⎫⇒-++-=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎩. 设()()1122,,,P x y Q x y ,则12,y y 是该方程的两根,∴122212bm y y m +=--,2122112b y y m -⋅=-. 又()1,0A -,AP AQ ⊥,故0AP AQ ⋅=，∴()()1212110x x y y +++⋅=,又11x my b =+,22x my b =+,∴()()()()2212121110m y y b m y y b +⋅+++++=,代入122212bm y y m +=--,2122112b y y m -⋅=-得：()()()()2222221411102121b bm m b m b m m -⎛⎫+++⋅-++= ⎪--⎝⎭，整理得：()()()()()2222211412110b m bm b m m b -+-++-+=,∴2230b b --=,∴3b =或1b =-.当1b =-时,PQ 过()1,0A -与题意不符,故舍去。

当3b =时,PQ 过定点()3,0.故答案为：()3,0 （二）填空题（4*5=20分）13．（2019·江苏南京师大附中高二期中）已知m 为实数，直线10mx y +-=与椭圆2221x y m+=的交点个数为________. 【答案】2个【解析】因为直线方程为10mx y +-=所以直线过定点()0,1，定点在椭圆上，又因为0m ≠，所以直线与x 轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点为2个.故答案为：2个14．（2019·重庆高二期末（理））已知抛物线22y px =的焦点到准线的距离为1,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为__________ 【答案】2【解析】∵抛物线22y px =的焦点到准线的距离为1，∴1p =，设直线与抛物线的交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为12x =，交点坐标为11,1,,122A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，弦长为2AB =，当直线斜率存在时，可设为()102y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，联立2212y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩化简得()2222204k k x k x -++=，∴1222122AB x x k=++=+>，故此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为2，故答案为2. 15．（2019·湖南长沙一中高三月考）在直线2y =-上任取一点Q ，过Q 作抛物线24x y =的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点______. 【答案】()0,2【解析】设(),2Q t -，()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线方程变为214y x =，则1'2y x =，则在点A 处的切线方程为()11112y y x x x -=-，化简得，1112y x x y =-，同理，在点B 处的切线方程为2212y x x y =-.又点(),2Q t -的坐标满足这两个方程，代入得：11122x t y -=-，22122x t y -=-，则说明()11,A x y ，()22,B x y 都满足方程122xt y -=-，即直线AB 的方程为：122y tx -=，故直线AB 恒过定点()0,2.16.【2020届湖北省稳派教育高三上学期联考】4．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，过动点M (m,0)(0<m <b )的直线交y 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点。