二项分布
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式二项分布是概率论和统计学中的一种离散概率分布，描述了在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布情况。
二项分布的分布列公式可以用来计算每个可能取值的概率。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功和失败。
成功事件的概率记为p，失败事件的概率记为q，其中q=1-p。
在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功事件的组合数，p^k表示成功事件发生k次的概率，q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
通过二项分布的分布列公式，我们可以计算出在特定的n次试验中，成功事件发生k次的概率。
这对于很多实际问题的分析和预测都是非常有用的。
例如，假设有一个硬币，正面出现的概率为p，反面出现的概率为q。
现在我们进行了n次独立的抛硬币试验，每次试验的结果只有两种可能，正面或反面。
那么在n次试验中，正面出现k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
又如，在某个工厂的生产线上，有一种产品的合格率为p，不合格率为q。
现在我们进行了n次独立的产品检验，每次检验的结果只有两种可能，合格或不合格。
那么在n次检验中，合格产品出现k 次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，而二项分布的分布列公式可以帮助我们进行计算。
通过对二项分布的分布列公式的使用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布的分布列公式是概率论和统计学中的重要工具，可以用来计算在n次独立的伯努利试验中成功事件发生k次的概率。
通过对二项分布的分布列公式的应用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布公式和基本特征
二项分布公式和基本特征二项分布是离散型概率分布中常用的一种，亦称为试验次数固定的伯努利分布。
它描述了在进行了n次独立重复的伯努利实验中，成功事件发生的次数的概率分布。
设每次试验中，事件A的概率为p（0≤p≤1），则事件A的概率为q=1-p。
每次试验只有两种结果，即成功（事件A）和失败（事件A的补事件），因此是离散型概率分布。
二项分布的公式可以通过以下方式得到：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中，事件A发生k次的概率；C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数（计算公式为C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)）；p^k和q^(n-k)分别表示事件A发生的概率p和事件A不发生的概率q。
二项分布的基本特征有以下几点：1.期望值：二项分布的期望值E(X)等于n乘以事件A发生的概率p，即E(X)=n*p。
期望值可以理解为对试验结果的平均预期。
2.方差：二项分布的方差Var(X)等于n乘以事件A发生的概率p乘以事件A 不发生的概率q，即 Var(X) = n * p * q。
方差可以理解为对试验结果的离散程度，其平方根称为标准差。
3.独立性：在二项分布中，每次试验是相互独立的，即每次试验的结果不会受到其他试验结果的影响。
这是二项分布能够描述多次独立重复试验的重要特征之一4.参数范围：二项分布的参数n表示独立重复试验的次数，p表示每次试验成功的概率，而q则表示每次试验失败的概率。
参数n通常是一个非负整数，而参数p的取值范围在0到1之间。
5.形状特征：根据参数n和p的取值，二项分布的概率分布可能具有不同的形状。
当n较大时，二项分布逼近于正态分布，这是由于大样本下的二项分布变得对称且连续。
6.概率计算：通过二项分布的公式，可以计算出事件A发生k次的概率P(X=k)。
通过计算不同的概率，可以进行二项分布的概率分布图像绘制、置信区间计算以及假设检验等各种统计分析。
二项分布的计算公式
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二项分布的计算公式
二项分布（Binomial Distribution ）是离散概率分布的一种，描述了在一系列独立的二元实验中成功的次数的概率分布。
在每次实验中，只有两种可能的结果，通常被标记为成功（Success ）和失败（Failure ）。
二项分布的计算公式如下：
其中：
• P(X=k) 是成功的次数恰好为 k 的概率。
• C(n,k) 是组合数，表示从 n 次实验中取 k 次成功的组合数。
计算公式为!(,)!()!
n C n k k n k =− • p 是每次实验成功的概率。
• n 是实验的总次数。
• (1)n k p −−表示失败的概率，即不成功的次数。
这个公式描述了在进行 n 次独立的二元实验中，成功恰好 k 次的概率。
这个概率质量函数适用于二项分布。
例如，如果你进行了10次独立的硬币投掷实验（每次成功的概率为0.5），并想要知道正好有3次正面的概率，你可以使用二项分布的计算公式。
在这种情况下， n=10， k=3， p=0.5，然后使用上述公式计算概率。
二项分布的概率
二项分布的概率引言二项分布是概率论中一个常见的离散概率分布，它描述了在给定一定的试验次数和成功概率下，成功事件发生的次数。
本文将详细介绍二项分布的定义、概率质量函数、期望和方差等基本概念，并探讨其应用以及与其他概率分布的关系。
二项分布的定义二项分布是指在n个相互独立的、拥有相同成功概率p的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C n k⋅p k⋅(1−p)n−k。
其中，C n k表示组合数，C n k=n!k!(n−k)!二项分布的性质二项分布具有以下几个重要的性质：性质1：期望和方差设X服从二项分布B(n,p)，则其期望和方差分别为： - 期望：E(X)=np - 方差：Var(X)=np(1−p)性质2：独立性在二项分布中，每次试验都是相互独立的，即一次试验的结果不受前一次试验结果的影响。
这意味着二项分布满足独立性的性质。
性质3：期望的线性性若X1和X2分别服从二项分布B(n1, p)和B(n2, p)，则有E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=(n1+n2)p。
这意味着二项分布的期望具有线性性。
二项分布的应用二项分布在实际应用中有着广泛的应用，尤其在统计学、生物学和工程学等领域。
应用1：统计学中的假设检验在统计学中，二项分布可以用于假设检验问题。
假设检验的目的是基于样本数据对总体的某个特征进行推断。
假设检验中常常使用二项分布来计算在零假设成立的情况下，观察到的样本数据的概率。
通过计算这个概率，我们可以判断观察到的样本数据是否与理论上的预期相符。
应用2：生物学中的基因型分析在生物学中，二项分布被广泛应用于基因型分析。
基因型分析是研究个体或种群基因型频率的方法。
通过对基因型进行分析，我们可以了解特定基因的分布情况以及与遗传疾病的相关性。
二项分布可以用来计算不同基因型频率的概率，并进行比较和推断。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
概率与统计中的二项分布
概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的重要分支，涉及到随机事件的概率计算和统计数据的分析。
在这个领域中，二项分布是一种常见且重要的概率分布。
一、二项分布的定义及特点二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
伯努利试验指的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的正反面或者某产品合格与否等。
二项分布的特点如下：1. 每次试验的结果只有两个可能，记为成功（S）和失败（F）。
2. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
3. 每次试验独立重复进行，试验次数记为n。
4. 求得成功次数k的概率。
二、二项分布的概率计算对于二项分布而言，可以通过以下公式来计算成功次数k的概率：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，即二项分布的概率质量函数；C(n, k)表示从n次试验中取出k次成功的组合数；p^k表示k次成功的概率；(1-p)^(n-k)表示n-k次失败的概率。
三、二项分布的应用举例1. 投掷硬币的例子假设我们有一枚均匀硬币，投掷10次，成功定义为出现正面，失败定义为出现反面。
设定成功概率p为0.5，那么可以利用二项分布计算出在10次投掷中出现k次正面的概率。
2. 测试产品合格率的例子假设某产品的合格率为0.8，现从中抽取20个样本进行测试，成功定义为抽取的产品合格，失败定义为抽取的产品不合格。
可以利用二项分布计算出在20个样本中有k个合格产品的概率。
四、二项分布的性质二项分布具有以下重要性质：1. 期望与方差：二项分布的概率分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
其中，E(X)表示成功次数的平均值，Var(X)表示成功次数的方差。
2. 定理：当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），则二项分布可以近似为泊松分布或正态分布。
五、总结在概率与统计中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，适用于描述在多次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布的分布律公式
二项分布的分布律公式二项分布的分布律是统计学中常用的一种离散概率分布，它描述了n 个正态独立随机试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，成功和失败是互斥且独立的。
一个二项分布的随机变量X可以表示为成功的个数，其取值范围为0到n。
P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n,k)表示组合数，即从n 个试验中选择k个成功的方式数。
p^k表示成功k次的概率，q^(n-k)表示失败n-k次（即成功n-k次）的概率。
在上述公式中，组合数C(n,k)可以使用以下的公式计算：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即从n到1的连乘。
阶乘表示将一个正整数和它之前的所有正整数相乘（n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1），并且定义0!=1E(X)=n*pVar(X) = n * p * q其中，E(X)表示期望值，也就是随机变量X的平均值；Var(X)表示方差，描述了X的取值在平均值附近的分散程度。
1.成功次数的分布具有对称性，即P(X=k)=P(X=n-k)。
2.二项分布的形状随着成功概率p的变化而变化。
当p接近0或1时，分布呈现出两侧尖峰，并且主要质量集中在边缘值。
而当p接近0.5时，分布是对称的，主要质量集中在期望值附近。
3.当n足够大时，二项分布可以通过正态分布进行近似。
这是由于中心极限定理的影响，即将多个独立随机变量的和近似为正态分布的情况。
总结起来，二项分布的分布律公式是用于计算n次独立成功/失败试验中成功次数为k的概率。
其公式中包括组合数的计算，成功和失败的概率，以及阶乘的运算。
掌握了二项分布的分布律公式，可以更好地理解和应用二项分布在统计学中的意义和作用。
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，也被称为伯努利分布或0-1分布。
它描述了在进行一系列独立的重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布情况。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，通常用0和1表示，分别代表失败和成功。
二项分布的分布律公式可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验的次数，p 表示每次试验中成功事件发生的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合数。
在实际问题中，二项分布可以广泛应用。
例如，在进行投掷硬币的试验中，每次试验的结果只有正面和反面两种可能，可以使用二项分布来描述正面朝上的次数。
又如，在进行商品质量检验时，每个产品的合格和不合格是两种可能的结果，可以使用二项分布来描述合格产品的数量。
二项分布具有以下特点：1. 独立性：每次试验的结果都是独立的，前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
2. 成功概率恒定：每次试验中成功事件发生的概率保持不变。
3. 试验次数固定：进行试验的次数是固定的，不会发生变化。
根据二项分布的分布律公式，我们可以计算出在给定参数下，各个事件发生次数的概率。
例如，在投掷一枚公平硬币10次的试验中，我们希望计算正面朝上5次的概率。
根据二项分布的公式，可以计算得到：P(X=5) = C(10,5) * (0.5)^5 * (0.5)^(10-5) = 0.246即正面朝上5次的概率为0.246，约为24.6%。
二项分布还可以用于计算累积概率。
例如，在上述硬币投掷的例子中，我们可以计算出正面朝上不超过5次的概率。
根据二项分布的性质，可以得知此时的累积概率为：P(X<=5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.623即正面朝上不超过5次的概率为0.623，约为62.3%。
二项分布计算公式
二项分布计算公式
《二项分布计算公式》
二项分布（binomial distribution）是把某次独立随机试验的取值结果作为一个分布的一种概率分布，由微观经济学家P.S. 哈克（P.S. Hacke）最早提出。
它是统计学最具代表性和应用最广泛的分布之一，可以描述各种社会、经济、工业和生物学等多学科中的事件，是进行统计抽样的重要分布形式。
二项分布定义：对于满足关于以下参数的独立试验：n次试验；每次成功的概率为p；则这n次试验中成功次数的概率分布满足二项分布，记为 X＝X（n，p）。
二项分布的概率质量函数：
P(X=x)＝Cxn px（1－p）n－x
其中Cxn＝n！/[x！（n－x）！
- 1 -。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
二项分布
Binomial distribution
主要内容
二项分布的概念
定义，概率，均数与标准差，图形
样本率的均数和标准差
二项分布的应用
一、二项分布定义
任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两 种结果，发生的概率分别是: 和1－
若在相同的条件下，进行n次独立重复试验， 用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X 服从二项分布，记做 XB(n,)，也叫Bernolli 分布。
样本率的标准差（标准误)Sp:
二项分布的应用：统计推断
总体率区间估计 样本率与总体率的比较 两样本率的比较
六、总体率区间估计
查表法 正态分布法 公式：pµ Sp
七、样本率与总体率的比较
例题：新生儿染色体异常率为0.01，随 机抽取某地400名新生儿，发现1名染色 体异常，请问当地新生儿染色体异常是 否低于一般？ 分析题意，选择合适的计算统计量的方 法。
4.求概率值P：
5.做出推论：
Piosson分布
泊松分布
Piosson分布的意义
盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子， 在一次抽样中，抽中白棋子的概率 1/1000
在100次抽样中，抽中1，2，…10个白棋 子的概率分别是……
放射性物质单位时间内的放射次数
单位体积内粉尘的计数
血细胞或微生物在显微镜下的计数
P X X ) (
X!
e
u
Piosson分布的总体均数为 Piosson分布的均数和方差相等。 ＝2
Piosson分布的条件
由于Piosson分布是二项分布的特例，所以，
二项分布的三个条件也就是Piosson分布的适用
条件。
另外，单位时间、面积或容积、人群中观察事
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binomial distribution定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。
所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复n次的伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的,与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k)注意!:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布..其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验.在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可二项分布以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率.若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
二项分布公式和基本特征
二项分布公式和基本特征二项分布是离散概率分布的一种，常用于描述重复进行的二元试验（每次试验有两种可能的结果）中成功次数的概率分布。
二项分布的公式和基本特征可以通过以下几个方面进行说明：1.公式：二项分布的概率质量函数（PMF）可以用以下公式表示：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数恰好为k的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数，即从n次试验中选择k次成功的可能性。
2.基本特征：（1）期望值：二项分布的期望值E(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p，即E(X)=n*p。
期望值表示成功次数的平均值。
（2）方差：二项分布的方差Var(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p乘以每次试验失败的概率1-p，即Var(X) = n * p * (1-p)。
方差表示成功次数的离散程度。
（3）标准差：二项分布的标准差等于方差的平方根，即SD(X) = sqrt(Var(X))。
（4）偏度：二项分布的偏度表示分布的不对称性。
二项分布的偏度为0，表示分布是对称的。
（5）峰度：二项分布的峰度表示分布的峰值尖锐程度。
二项分布的峰度为负数，表示分布为轻尾分布。
3.性质：（1）二项分布是离散的，取值范围为0到n。
（2）当每次试验成功的概率p等于0.5时，二项分布是最为对称的，此时方差达到最大值。
（3）当试验次数n足够大时，二项分布可以用正态分布进行近似。
（4）二项分布可以通过不同n和p的取值呈现出不同形态的分布，当n足够大时，分布形状趋于对称且趋近于正态分布。
总结起来，二项分布公式和基本特征通过概率质量函数进行描述，其中包括期望值、方差、标准差、偏度和峰度等性质。
二项分布可以用于描述重复进行的二元试验中成功次数的概率分布，具有一定的特殊性和应用范围。
二项分布计算公式
二项分布计算公式
二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数的概率分布。
其中，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败。
二项分布的计算公式如下：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，P(X=k)表示成功k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选出k次成功的组合数。
例如，假设有一个硬币，正面朝上的概率为0.6，反面朝上的概率为0.4。
现在进行10次独立重复的抛硬币试验，求正面朝上恰好出现5次的概率。
根据二项分布的计算公式，可以得到：
P(X=5) = C(10,5) * 0.6^5 * 0.4^5 = 0.246
因此，正面朝上恰好出现5次的概率为0.246。
二项分布的应用非常广泛，例如在质量控制、市场调查、医学研究等领域都有着重要的应用。
在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一批产品中有多少个不合格品；在市场调查中，可以使用二项分布来计算在一定样本量下，某种产品的市场占有率；在医学研究中，可以使用二项分布来计算某种治疗方法的有效性。
二项分布是概率论中非常重要的一种分布，它可以帮助我们计算在一定条件下某种事件发生的概率，具有广泛的应用价值。
二项分布
2.4
二 项 分 布
情境创设:
谚语“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮” 谚语“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮” 已知:诸葛亮能贡献正确意见的概率为 诸葛亮能贡献正确意见的概率为0.93, 已知 诸葛亮能贡献正确意见的概率为 三个臭皮匠每人贡献正确意见的概率 均为0.6 均为 请问:三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗 三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗? 请问 三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗
请举出生活中碰到的独 立重复试验的例子。 立重复试验的例子。
二项分布的应用: 二项分布的应用
例1;姚明作为中锋，他职业生 1;姚明作为中锋， 姚明作为中锋 涯的定点投篮命中率为0 涯的定点投篮命中率为0．8， 假设他每次投球命中率相同, 假设他每次投球命中率相同,在 10次罚球投篮练习中 次罚球投篮练习中, 10次罚球投篮练习中,问: (1)恰好命中8 的概率是多少? (1)恰好命中8次的概率是多少? 恰好命中 (2)至少命中8 的概率是多少? (2)至少命中8次的概率是多少? 至少命中
知识小结: 知识小结
随机变量X 随机变量 事件A发生的次数 事件 发生的次数 整体 二项分布: 二项分布 X~B(n,p)
(1) 独立重复试验 两个对立的结果 每次事件A发生概率相同 每次事件 发生概率相同 n次试验事件 发生 次 次试验事件A发生 次试验事件 发生k次
(2)二项分布的应用 二项分布的应用
实例改编： 某射击运动员进行了n次射击, 某射击运动员进行了n次射击,假设每次击中目标 的概率都为p 的概率都为p，且各次击中目标与否是相互独立 请问:该射击运动员恰好击中k 的。请问:该射击运动员恰好击中k次的概率是 多少? 多少?
C p (1 − p )
k n k
n−k
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解： x 的所有取值为：1、2、3、4、5
P(x 1) 0.9
P(x 2) 0.1 0.9
P(x 3) 0.12 0.9 P(x 4) 0.13 0.9
“x 5”表示前四次都没射中 P(x 5) 0.14
故所求分布列为:
x
1
2 345
P
0.9 0.10.9 0.12 0.90.13 0.9 0.14
其中n，p为参数,并记
C
k n
pk (1
p)nk
b(k; n,
p)
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数x .
⑴如果是有放回地取，则x B(n, M )
P ( Bk
)
(1
1 n
)k 1
1 n
k 1,2,
注:事件首次发生所需要的试验次数ξ服从几何分布
几 何
ξ
1
2
3…
k
…
分P
布
p
pq
pq2 …
pqk-1 …
练习一下
练习3:某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为 0.思9,如考果2 解命:中了就停止射击，否则一直射击到子弹用
完，求耗用子弹数 x 的分布列.
ξ 0 1 … k … 10
P
(
5 6
)10
C110
1 6
( 5 )9 6
…
C1k0
(
1 6
)k
(
5 6
)10k
…
( 1 )10 6
服从 二项 分布
练习 2: 设某考卷上有10道选择题,每道选择题有4个
可供选择的答案,其中一个为正确答案,今有一考
生仅会做6道题, 有4道题不会做, 于是随意填写, 试
解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列为
P(ξ=k)=
C5k
(
1 3
)k
(
2 3
)5,kk=0,1,2,3,4,5.
(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.
再看一例
练习2答案
练习1.将一枚均匀的骰子抛掷10次，试写出点 数6向上的次数ξ 的分布列.
N ⑵如果是不放回地取, 则x 服从超几何分布.
P(x
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,L
, m) (其中 m
min(M , n)
例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分 布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量.
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1… k … n
p … … C
0 n
p0q
n
C
1 n
p1q n1
Cnk pk项分布,记作 x ~ B(n, p,)
若n 次重复试验具有下列特点：
1) 每次试验的可能结果只有两个A 或 A,
且 P( A) p, P( A) 1 p ( 在各次试验中p是常数，保持不变） 2) 各次试验的结果相互独立， 则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为 贝努里概型.
问能碰对m(m 0,1,2,3,4)道题的概率.
练习 2: 设某考卷上有10道选择题,每道选择题有4个
可供选择的答案,其中一个为正确答案,今有一考 生仅会做6道题, 有4道题不会做, 于是随意填写, 试 问能碰对m(m 0,1,2,3,4)道题的概率.
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
练习 4:一袋中装有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球， 每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出 现 10 次时停止，停止时取球的次数x 是一个随机变量，试 求 x 的概率.
P(x
)
C191 39 52 3 812
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
n 重贝努利(Bernoulli)试验
P
(
Bm
)
C4m
(
1 4
)m
(
3 4
)4
m
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40
0.316
P(B3 )
C43
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
思考 2 一个人开门, 他共有n把钥匙,其中仅有一把能
打开这个门,他随机地选取一把钥匙开门,即每次以
1 的 概 率 被 选 中, 求 该 人 在 第k次 打 开 门 的 概 率. n 解 令Bk表示第k次打开门,则