第七章 实数的完备性

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， 且 有 an ≤ ξ ，
n = 1, 2, ⋯ .其中等号不能成立，不然，若有 a n = ξ ，因为 {a n } 严格递增，必有
a n+1 > a n = ξ ，矛盾.故 a n < ξ ， n = 1, 2, ⋯ .同理，严格递减有界数列 {bn }也有极
限，且 lim bn = lim a n = ξ
sin x x 在 (0, + ∞) 上一致连续.
证明 因为 x →0
lim+
sin x =1 x ，所以 ∀ε > 0 ， ∃δ 1 > 0 ，当 0 < x < δ 1 时，有 | sin x ε − 1 |< x 2.
①
又因为
x → +∞
lim
sin x =0 x ，所以 ∃N > 0 ，当 x > N 时，有 | sin x ε |< x 2.
解
所 以 ξ 1 = −1 是 S 的 聚 点 ； 当 n 取 偶 数 n = 2 k 时 ， S 中 的 互 异 子 列 1⎫ ⎧ ⎨1 + ⎬ → 1, (k → ∞) ⎩ 2k ⎭ ，所以 ξ 2 = 1 是 S 的聚点.
设 实 数 a ≠ −1 ， a ≠ 1 . 取
ε0 =
1 min{| a + 1 |, | a − 1 |} 2 ，因 为 子列
ξ 是 {x n } 的最小上界. ∀ε > 0 ，在 ξ 的邻域 U (ξ ; ε ) 内有 {x n } 中无限多个点，设
x N ∈ U (ξ ; ε ) ，从而 x N > ξ − ε .所以 ξ = sup{x n } .
8．试用有限覆盖定理证明聚点定理. 证明 设 S 为实轴上有界无限点集，则存在 M > 0 ，使 S ⊂ [− M , M ] . 假若
数列 {a n } 收敛.
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先证数列 {a n } 有界.取 ε = 1 ，存在 N > 0 ，当 n > N 时，有 | a n − a N +1 |< 1 ，于 是 | a n |<| a N +1 | +1 . 令
M = max{| a1 |, | a 2 |, ⋯, | a N |, | a N | +1 } ， 则 | a n |< M ，
令 M = max{M 1 , | f (a1 ) | +1, | f (b1 ) | +1} ，则对任何 x ∈ I ，都有 | f ( x ) |≤ M . 设 f ( x) = x ，则 f 在 (−∞, + ∞) 上一致连续，但 f 在 (−∞, + ∞) 上无界.
3．证明：
f ( x) =
j = 1, 2, ⋯ , n ，覆盖了 [ − M , M ] ，当然也覆盖了 S ，由于在每一个 U ( x j , δ x j ) 内最
多只含 S 的有限个点，故 S 为有限点集，这与 S 为无限点集矛盾.所以 [− M , M ] 中必有 S 的聚点. 9．试用聚点定理证明柯西收敛准则. 证明 只证充分性：设 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ， ∀m, n > N ， | a m − a n |< ε ，要证
的有限多项，所以 a 不是数集 S 的聚点. 2．证明：任何有限数集都没有聚点. 证明 设有限数集 S . 由聚点 ξ 的定义，在 ξ 的任何邻域内都含有 S 中无穷 多个点，而 S 只有有限个点，所以 S 没有聚点. 3 ． 设
{(a n , bn )}
是 一 个 严 格 开 区 间 套 ， 即 满 足
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存 在 δ >0 （
δ<
b−a 2 ）， 使 得 当 x ′, x ′′ ∈ I ， 且 | x ′ − x ′′ |< δ 时 ， 有 a1 = a + δ δ b1 = b − 2， 2 ，则 f 在 [a1 , b1 ] 上连续，于是 f 在
| f ( x ′) − f ( x ′′) |< 1 . 令
1 1 <x< n+2 n （2）不能从 H 中选出有限个开区间覆盖 (0, 1 2) .因对 H 中任意有限个开区
1 1 0< x< n0 + 2 时，这有限个开区间就不能 间，设其左端点最小的为 n 0 + 2 ，则当
覆盖 x . 1 1 , ) 能从 H 中选 出 有 限 个 开 区 间 覆 盖 (1 100 , 1) . 例如 选 区 间 ： n + 2 n ， (
n = 1, 2, ⋯ ，所以数列 {a n } 有界.
其次证明数列 {a n } 有收敛的子列.若集 S = {a n | n = 1, 2, ⋯ } 是有限集，则数 列 {a n } 有常数子列，当然收敛.若集 S 是无限集，并且已经证明了 S 是有界的， 故由聚点定理， 知 S 有聚点， 设 S 的聚点为 ξ . 再由聚点定义 2’ （ ’ 见教材 P.163）， 存在互异的收敛数列 最后证明：
{a nk } ⊂ {a n } lim a n = ξ ，使得 k →∞ k .
lim a n = ξ
n→∞
. 由 题 设 ∀ε > 0 ， ∃N1 > 0 ， ∀m, n > N1 ，
a nk = ξ | a nk − ξ | < ε | a m − a n |< ε . 再由 lim k →∞ , 知 ∃N 2 > 0 , ∀k > N 2 , . 现在，取
n = 1, 2, ⋯99 即可.
6．证明：闭区间 [a, b] 的全体聚点的集合是 [a, b] 本身. 证明 聚点. 反之， 若 x 为 [ a , b ] 的聚点， 则必有 x ∈ [ a , b] .事实上， 若 x ∉ [ a , b ] ，则 x < a 或
o 设 x ∈ [a, b] ，则对任何 ε > 0 ， U ( x; ε ) ∩ [a, b] ≠ ∅ ，故 x 为 [a, b] 的
x > b .不妨设 x < a ，取
点矛盾.
ε=
a−x 2 ，那么 U ( x; ε ) ∩ [a, b] = ∅ ，这与 x 为 [a, b] 的聚
7．设 {x n } 为单调数列. 证明：若 {x n } 存在聚点，则必是唯一的，且为 {x n } 的确界. 证明 设 {x n } 为单调增加数列， ξ 为 {x n } 的聚点.先证 ξ 是唯一的.假设 η 也
a1 < a 2 < ⋯ < a n < bn < ⋯ < b2 < b1
lim (bn − a n ) = 0 且 n →∞ . 证明：存在唯一的一点 ξ ，使得 a n < ξ < bn , n = 1, 2, ⋯ 证明
{a n } 为 严 格 递 增 有 界 数 列 ， 故 {a n } 有 极 限 ξ
{bn | n = 1, 2, ⋯} 非空有下界，但在有理数集内无下确界.
（2）数列 {a n } 单调递增有上界，但在有理数集内无极限； {bn } 单调递减有 下界，但在有理数集内无极限. （3） {a n | n = 1, 2, ⋯} 是有界无限点集，但在有理数集内无聚点. （4）数列 {a n } 满足柯西收敛准则条件，但在有理数集内没有极限. （ 5 ） {[a n , bn ]} 是一 闭 区 间 套 ， 但 在 有 理 数 集 内 不 存 在 一 点 ξ ，使 得
x1 , x 2 , ⋯ , x N −1 . 这与 ξ 为 {x n } 的聚点相矛盾.故 ξ 为 {x n } 的唯一聚点.
其次证明： ξ 为 {x n } 的上确界.先证 ξ 是 {x n } 的一个上界.假设 ξ 不是 {x n } 的 一个上界，于是存在 x N > ξ .这时取 ε = x N − ξ ，则在 ξ 的邻域 U (ξ ; ε ) 内最多只 有 {x n } 中有限多个点： x1 , x 2 , ⋯ , x N −1 ，这与 ξ 为 {x n } 的聚点相矛盾.然后证明：
②
sin x a = δ 2 b = N + δ 2 1 1 令 ， ，显然 x 在 [a, b] 连续，于是在 [a, b] 一致连续， 从而 ∃δ 2 > 0 ，当 x ′, x ′′ ∈ [a, b] 且 | x′ − x′′ |< δ 2 时，有 | sin x ′ sin x ′′ − |< ε x′ x ′′ .
[ − M , M ] 中任何点都不是 S 的聚点，则 ∀x ∈ [ − M , M ] ，必存在相应的 δ x > 0 ，使
得在 U ( x, δ x ) 内最多只含 S 的有限个点.设 H = {U ( x, δ x ) | x ∈ [− M , M ] } ，则 H 是
[ − M , M ] 的一个开覆盖，由有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间： U ( x j , δ x j ) ，
ξ ∈ [a n , bn ] ， n = 1, 2, ⋯ H = {(
1 1 , ) | n = 1, 2, ⋯} n+2 n .问
5．设
（1）H 能否覆盖（0, 1）？
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（2）能否从 H 中选出有限个开区间覆盖 (i) (0, 1 2) ，(ii) (1 100 , 1) ？ 解 （1）H 能覆盖（0, 1）.因为对任何 x ∈ (0, 1) ，必有自然数 n ，使得
第七章 实数的完备性 P.168 习题 1⎫ ⎧ S = ⎨(−1) n + ⎬ n ⎭ 有且只有两个聚点 ξ 1 = −1 和 ξ 2 = 1 ⎩ 1．验证数集 1 ⎫ ⎧ ⎨− 1 + ⎬ → −1, (k → ∞) 2 k − 1 n n = 2 k − 1 S ⎩ ⎭ 当 取奇数 时， 中的互异子列 ，
[a1 , b1 ] 上有界，即存在 M 1 > 0 ，使得在 [a1 , b1 ] 上 | fBaidu Nhomakorabea( x) |≤ M 1 .
另一 方 面 ， 当 x ∈ [a, a1 ) ∩ I 时， 有 | x − a1 |< δ ，于 是 | f ( x) − f (a1 ) |< 1 ，
| f ( x) |<| f (a1 ) | +1 ；同样当 x ∈ (b1 , b] ∩ I 时，有 | f ( x) |<| f (b1 ) | +1 .
是 {x n } 的聚点，不妨设 ξ < η .取
ε=
η −ξ 2 ，由聚点的定义，在 η 的邻域 U (η ; ε )
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内有 {x n } 中无穷多个点，设 x N ∈ U (η ; ε ) .因为 {x n } 为单调增加数列，所以当
n > N 时， x n ≥ x N .于是在 ξ 的邻域 U (ξ ; ε ) 内最多只有 {x n } 中有限多个点：
1 ⎫ 1 ⎫ ⎧ ⎧ ⎨− 1 + ⎬ ⎨1 + ⎬ 2k − 1⎭ 和子列 ⎩ 2k ⎭ 的极限都不是 a ， ⎩ 所以在邻域 U (a; ε 0 ) 内最多只有子
1 ⎫ 1 ⎫ 1⎫ ⎧ ⎧ ⎧ S = ⎨( −1) n + ⎬ ⎨− 1 + ⎬ ⎨1 + ⎬ 2k − 1 ⎭ 及子列 ⎩ 2 k ⎭ 中的有限多项，从而只有数集 n⎭中 ⎩ 列⎩
N = max{N1 , N 2 }
,
当
n>N
时 ， .
有
（
任
取
k>N
）
,
| a n − ξ |≤| a n − a nk | + | a nk − ξ |< ε + ε = 2ε lim a n = ξ 所以 n→∞
P.172
习题
1．设 f 为 R 上连续的周期函数. 证明： f 在 R 上有最大值与最小值. 证明 设 f 的周期为 T，则 f 在[0, T]上连续，于是 f 在[0, T]上有最大值 与最小值.又因为 f 为 R 上连续的周期函数，所以 f 在 R 上有最大值与最小值. 2．设 I 为有限区间.证明：若 f 在 I 上一致连续，则 f 在 I 上有界. 举例说 明此结论当 I 为无限区间时不一定成立. 证 设区间 I 的左右端点分别为 a , b ，因 f 在 I 上一致连续，所以对 ε = 1 ，
n→∞ n→∞
， a n < ξ < bn ， n = 1, 2, ⋯ .
唯一性的证明与教材 P.162 区间套定理 7.1 相同. 4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯 西收敛准则一般都不成立. 1 1 a n = (1 + ) n bn = (1 + ) n +1 n ， n 解 设 ， n = 1, 2, ⋯ ，则 {a n }是单调递增的有理 lim bn = lim a n = e n→∞ 数列， {bn } 是单调递减的有理数列，且 n→∞ （无理数） （1）点集 {a n | n = 1, 2, ⋯} 非空有上界，但在有理数集内无上确界；点集