小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =

b

a

S 2S 1

D

C

B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面

积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．

【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：

例题精讲

4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型

C

D B

A

A

B

F

C

A

B

D

G

C

⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

（1）（2）（3）（4）（5）

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【答案】⑴答案不唯一：

C

D B

A

A

B

F C

A

B

D

G

C

⑵ 答案不唯一：

（1）（2）（3）（4）（5）

⑶答案不唯一：

【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

D

C

B

A

【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的

高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．

于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高

所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4

3

倍；

三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．

【答案】4

3

、3

【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么

图中阴影部分的面积是 平方厘米．

E

D C

A

【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则

阴影部分的面积是 平方厘米．

【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴

影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．

【答案】25

【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长

是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．

A

C

D

E F

【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为1

20121202

⨯⨯=．

【答案】120

【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边

上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

E B

A

E B

A

【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．

连接BH 、CH ． ∵AE EB =，

∴AEH BEH S S =△△．

同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，

∴11

562822

ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．

【答案】28

【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，

如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．

E G

C

B

B

C

G E

【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和

这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48

【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，

问阴影部分面积是多少？