小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析

板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1
D
C
B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面
积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．
【考点】三角形的等高模型 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：
例题精讲
4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型
C
D B
A
A
B
F
C
A
B
D
G
C
⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
（1）（2）（3）（4）（5）
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
【答案】⑴答案不唯一：
C
D B
A
A
B
F C
A
B
D
G
C
⑵ 答案不唯一：
（1）（2）（3）（4）（5）
⑶答案不唯一：
【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的
高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．
于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高
所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4
3
倍；
三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍．
【答案】4
3
、3
【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么
图中阴影部分的面积是 平方厘米．
E
D C
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)． 【答案】6
【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则
阴影部分的面积是 平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴
影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．
【答案】25
【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长
是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．
A
C
D
E F
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为1
20121202
⨯⨯=．
【答案】120
【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边
上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
E B
A
E B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接BH 、CH ． ∵AE EB =，
∴AEH BEH S S =△△．
同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ，
∴11
562822
ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．
【答案】28
【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，
如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．
E G
C
B
B
C
G E
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和
这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【答案】48
【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
E
E
E
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点
重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两
个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的18
和1
4，所以阴影部分面积为长方形
ABCD 面积的113848+=，为3
3613.58
⨯=．
（法2）寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如右上图．
可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、1
2
DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，
即11
()361822
EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；
而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，
11111
()()36 4.522228
EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．
所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．
【答案】13.5
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另
一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与
A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占
正方形面积的
14和16，所以阴影部分的面积为211
6()1546
⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．
由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形
的面积之和等于正方形ABCD 面积的1
4
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于
正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为211
6()1546
⨯+=平方厘米．
【答案】15
【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的
面积是三角形EBC 面积的几倍？
E
D C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC
的高，ED 是三角形EBC 的高，
于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =⨯÷=⨯
三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =⨯÷=⨯
所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍．
【答案】4
【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC
等积的三角形一共有哪几个三角形？
F D
E
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 △AEC 、△AFC 、△ABF ． 【答案】△AEC 、△AFC 、△ABF ．
【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积
的三角形一共有哪几个三角形？
E
D C B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 3个，△AEC 、△BED 、△DEC ． 【解析】 【答案】3个，△AEC 、△BED 、△DEC ．
【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
O
D
C B A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 △ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO ． 【答案】△ABD 与△ACD ，△ABC 与△DBC ，△ABO 与△DCO
【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面
积是多少？
A
B E
C
D D
C
E
B A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S =V V
又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===V V V ．
【答案】4
【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的
面积是 平方厘米．
A
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，四中考题
【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的1
3
，
DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111
236
⨯=．而DEF ∆的面积为5平
方厘米，所以ABC ∆的面积为1
5306
÷=(平方厘米)．
【答案】30
【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3
倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？
C
B
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ABD V ，ABC V 等高，所以面积的比为底的比，有1
2
ABD ABC S BD S BC =
=V V , 所
以
ABD
S V =
11
1809022
ABC S ⨯=⨯=V (平方厘米)．同理有190303
ABE ABD AE S S AD =⨯=⨯=V V (平方厘米)，3
4AFE ABE FE S S BE =⨯=V V 3022.5⨯= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米． 【答案】22.5
【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，
8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积． A
B
C D
Z Y
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，1
4
ZCY DCB S S =V V ，
又∵ABCD 是长方形，∴111
24442
ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．
【答案】24
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．
F
E
D C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=， 三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．
三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=． 【答案】3
【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，
那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？
F
E C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ∵F 是AC 的中点 ∴2ABC ABF S S =V V 同理2ABF BEF S S =V V
∴486246BEF ABC S S =÷=⨯÷÷=V V (平方厘米)．
【答案】6
【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。

△AOB 的面积为 平方厘米。

E
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第8题，10分
【解析】
215COD ABO BCD ABD ABD S S S S S cm ∆∆∆∆∆-=-==，所以，27.5ABO S cm ∆=。

【答案】7.5
【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的
面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．
F
E G D C B A
F
E
G
D
C B A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如右图分割后可得，243649EFG DEFC ABCD S S S =÷=÷=÷=V 矩形矩形（平方单位）．
【答案】9
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.
那么，阴影部分的面积是多少？
N D
C
D
B
N A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛
【解析】 连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为
1
4
又因为2AN BN =，所以BDC △的面积为1114312⨯=，又因为BDC △面积为1
2
，所以阴影部分的面积为：
115112212--=. 【答案】5
12
【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米
的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，241
24483
CD ==+，
所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211
(12243648)5(cm )212
+++⨯⨯=．
【答案】5
【例 13】 图中ABCD 是个直角梯形(∠DAB =∠ABC =90°)，以AD 为一边向外作长方形ADEF ，
其面积为6.36平方厘米。

连接BE 交AD 于P ，再连接PC 。

则图中阴影部分的面积是()平方厘米。

(A )6.36 (B )3.18 (C )2.12 （D ）1.59
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第5题 【解析】 如图,连接AE ，BD 。

因为AD ∥BC ，则：PDC PDB S S =△△,又AB ∥ED ，则：EAD EBD S S =△△,
所以，11
6.36 3.18
22
EPD PDC EPD PDB EDA ADEF S S S S S S S =+=+===⨯=△△△△△△阴影（平方厘米）
说明：答案和直角梯形形状无关，可以让BC 边趋近AD 边，直到和AD 边重合，此时，P 与A
重合，PE 是ADEF 的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF 面积的一半，等于3.18平方厘米。

【答案】3.18
【例 14】 如图，BC 是半径为6的圆O 上的弦，且BC 的长度与圆的半径相等，A 是圆外
的一点，OA 的长度为12，且OA 与BC 平行，那么图中阴影部分的面积是 。

（π 3.14=）
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，6年级，第11题 【解析】 由于OA 与BC 平行，如果连接OB 、OC ，ABC ∆的面积是等于OBC ∆的面积，于
是把求阴影部分的面积转化为扇形BOC 的面积。

如图1，连接OB 、OC 。

由于OA 与BC 平行，根据面积比例模型，ABC ∆是等边三角形，那么BOC ∠为60︒，扇形
BOC 的面积为60
618.84360
π⨯⨯=。

【答案】18.84
【巩固】在下图中，A 为半径为3的⊙0外一点。

弦BC ∥A 0且BC =3。

连结AC 。

阴影面积等于 .(π
=3.14)
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第3题，10分 【解析】 D 为OA 与圆0的交点，连接OC ，OB ，BD (见下图).
A
∵CB ∥OD ，CB =OD =3， ∴四边形CBDO 是平行四边形，△COB 是等边三角形. ∴CAB S V =COB S V
∴阴影面积等于扇形COB 的面积，S 阴影=COB S 扇形=r 2
×60360
o o
π⨯=32
×3.14×16=4.71. 【答案】4.71
【例 15】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘
米，三角形ABC 的面积是多少？
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =，4ADC ADE S S =V V ；
又∵2DC BD =，∴1.5BC DC =，1.56120ABC ADC ADE S S S ===V V V (平方厘米)．
【答案】120
【例 16】 如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积
分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，复赛，六年级 【解析】 根据题意可知，8928117ADC ADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=， 所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==， 故222789(901)20199999
DBE S ∆=⨯=-⨯=-=． 【答案】7199
【例 17】 如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角
形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．
D C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】小数报 【解析】 如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形
DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：21054⨯÷=(分米)，梯形面积是：154230⨯÷=(平方分米)．
【答案】30
【例 18】 图中V AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．
O
C
B
D
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在ABD V 中，因为215cm AOB S =V ，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=V V ． 因为ABD V 和ACD V 等底等高，所以有ABD ACD S S =V V ．
从而215cm OCD S =V ，在BCD V 中，2345cm BOC OCD S S ==V V ，所以梯形面积：2155154580cm +++=（）． 【答案】80
【例 19】 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．
D
B A
A′
A
B C D
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面
积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A 移到CB 的延长线上的A ′处，V A ′BD 与 ABD V 面积相等，从而V A ′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形V A ′DC ．问题是A ′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点．
具体做法：⑴ 连接BD ；
⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′． ⑶ 连接A ′D ，则V A ′CD 与四边形ABCD 等积．
【答案】具体做法：⑴ 连接BD ；
⑵ 过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′． ⑶ 连接A ′D ，则V A ′CD 与四边形ABCD 等积．
A′
A B
C
D
【例 20】 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色
三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
红
绿
黄红
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以
黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%-=． 已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．
【答案】60
【例 21】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，
求OBD ∆的面积是多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而1
2
ABD ABCD S S ∆=，所以
AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD
S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．
【答案】3
【例 22】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的
面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？
C
H
C
H
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，
相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．
如右上图，连接CP 、AP ．
由于1
2
BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．
而12BCP BCFE S S ∆=，1
2
ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分
米)．
【答案】16
【例 23】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD
∆的面积．
B
A
A
B
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，
可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：
BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，
因为11
20544
BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．
【答案】10
【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．
B
A
A
B
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，
可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有:
BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，
因为1
34
BOC ABCD S S ∆==，所以532BPD S ∆=-=．
【答案】2
【例 24】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面
积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？
D
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去DOC ∆的面积(长方形面积的18%)，再减去
AOD ∆的面积，即可求出AOC ∆的面积．
根据模型可知12COD AOB ABCD S S S ∆∆+=，所以1
1618%502
ABCD S =÷-=（），
又AOD ∆与BOC ∆的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD ∆的面积
等于长方形面积的1
4
，
所以1
25%18%2
AOC ACD AOD COD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=--=--2512.593.5=--=．
【答案】3.5
【例 25】 如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF
上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD
面积的7
20
，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．
A B C D
E
F
G
A B C
D
E
F
G
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】陈省身杯，六年级 【解析】 如果可以求出ABG ∆与CDG ∆的面积之和与梯形ABCD 面积的比，那么就可以知
道ADG ∆的面积占梯形ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形ABCD 的面积．
如图，连接CE 、DE ．则AEG DEG S S ∆∆=，BEG CEG S S ∆∆=，于是ABG CDG CDE S S S ∆∆∆+=． 要求CDE ∆与梯形ABCD 的面积之比，可以把梯形ABCD 绕F 点旋转180︒，变成一个平行四边形．如下图所示：
从中容易看出CDE ∆的面积为梯形ABCD 的面积的一半．(也可以根据1
2
BEC ABC S S ∆∆=，
12AED AFD ADC S S S ∆∆∆==，111
222
BEC AED ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=得来)
那么，根据题意可知ADG ∆的面积占梯形ABCD 面积的173
122020
--=
，所以梯形ABCD 的
面积是23
15100cm 20
÷
=． 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G 与E 重合，则CDE ∆的面积占梯形面积的一半，那么ADG ∆与BCG ∆合起来占一半． 【答案】100
【例 26】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． G
F
E
C
B A
G
F
E
C
B A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面
积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接BE ．(我们通过ABE △把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．)
∵在平行四边形ABCD 中，1
2
ABE S AB AB =⨯⨯△边上的高，
∴1
2
ABE ABCD S S =W △．
同理，1
2
ABE AEGF S S =Y △，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．
【答案】证明：连接BE ．(我们通过ABE △把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．)
∵在平行四边形ABCD 中，1
2
ABE S AB AB =⨯⨯△边上的高，
∴1
2
ABE ABCD S S =W △．
同理，1
2
ABE AEGF S S =Y △，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
A B
G
C E F D
A B
G
C
E
F D
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可
以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形ABCD 中，G 1
2
AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，
∴1
2
ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理，1
2
ABG EFGB S S =△．
∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．
【答案】6.4
【例 27】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE ＝1.5，CF ＝2．长方形EFGH 的面积为 ．
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第8题，10分，6年级，决赛，第9题，10分 【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍。

三角形DEF 的面积
等于正方形的面积减去三个三角形的面积：6×6-(6×1.5+4.5×4+2×6)÷2=16.5，所以长方形的面积为33。

【答案】33
【例 28】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果V ADE 的面积为4平方厘米．求三角
形CDF 的面积．
A
E B F
C D
D C
F
B A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连结AF 、CE ．
∴ADE ACE S S =V V ；CDF ACF S S =V V ；
又∵AC 与EF 平行，∴ACE ACF S S =V V ． ∴ 4ADE CDF S S ==V V (平方厘米)．
【答案】4
【巩固】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若
1ADE S =△，求BEF △ 的面积．
A
B C
D
E
F
B
C
D E
F
【考点】三角形的等高模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之
间的三角形面积相等)和等量代换的思想．连接AC ． ∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =△△ 同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =△△
又ACF ACE AEF S S S =+△△△，ABF BEF AEF S S S =+△△△，∴ ACE BEF S S =△△，即
1BEF ADE S S ==△△．
【答案】1
【例 29】 梯形ABCD 中，AE 与DC 平行，15ABE S ∆=,BCF S ∆= .
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第4题 【解析】 连结DE ，因为AE 与DC 平行，根据蝴蝶定理易知DEF CEF S S ∆∆=，同样可知
ABF DEF S S ∆∆=，所以 ABF CEF S S ∆∆=，那么15ABE BCF S S ∆∆==。

【答案】15
【例 30】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是
多少平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 4428⨯÷=． 【答案】8
【例 31】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB
的边长为10厘米，求阴影部分的面积．
K
E
B
A K E
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，
连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．
如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，
即为2
10100
=平方厘米．
【答案】100
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．
A
【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答
【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD(见右上图)，可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小
正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD是三
角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，
剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等．根据等量代换，求
三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4428
⨯÷=．
【答案】8
【巩固】如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．
F
F
【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】如图，连接AF，比较ABF
∆与ADF
∆，由于AB AD
=，FG FE
=，即ABF
∆与ADF
∆的底与高分别相等，所以ABF
∆与ADF
∆的面积相等，那么阴影部分面积与ABH
∆的面积相等，为6平方厘米．
【答案】6
【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答
【解析】方法一：三角形BEF的面积2
BE EF
=⨯÷，
梯形EFDC的面积22
EF CD CE BE EF
=+⨯÷=⨯÷=
（）三角形BEF的面积，
而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积=三角形BCH的面积，
进而可得，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积1010250
=⨯÷=(平方厘米)．
方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，
所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积50=(平方厘米)．
【答案】50
【巩固】已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．
G
A
B
G
A
B
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】人大附中考题 【解析】 如果注意到DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么
容易想到DF 与CI 是平行的．所以可以连接CI 、CF ，如上图．
由于DF 与CI 平行，所以DFI ∆的面积与DFC ∆的面积相等．而DFC ∆的面积为
1
104202
⨯⨯=，所以DFI ∆的面积也为20．
【答案】20
【例 32】 于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面
积．
H
G F E D C B A
H
G F E
D C B A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛 【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．
由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的1
2
，根据
梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．
那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．
又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边
长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21
369349.52
++⨯=(平方厘米)．
【答案】49.5
【例 33】 如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且
甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中。