2020-2021八年级数学四边形练习题
2020-2021学年八年级数学北师大版下《平行四边形的判定与性质》训练含答案
2021北师大版八年级数学下册《平行四边形的判定与性质》综合提升训练1．若平行四边形中两个相邻内角的度数之比为1：3，则其中较小的内角是（）A．45°B．30°C．60°D．36°2．如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，且分别交直线BC于点E，F．若AB＝7，BC＝4，则OE2+OF2的值是（）A．50B．63C．100D．1213．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分线AE交CD于点E，连接BE，若∠BAD＝∠BEC，则平行四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．155．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1 6．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AF的长等于（）A．2B．3C．4D．67．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．如果AD＝5cm，AP＝8cm，则△ABP的面积等于（）cm2．A．24B．30C．6D．128．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝3cm，AF＝4cm．若▱ABCD 的周长为56cm，则BC的长为（）A．14cm B．16cm C．28cm D．32cm9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB C．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC D．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD10．下列说法不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形11．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF 一定是平行四边形的是（）A．.DE＝BF B．.AE＝CF C．.∠ADE＝∠CBF D．.∠AED＝∠CFB．12．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（）A．一组对边相等且平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两条对角线互相平分D．两组对边分别相等13．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，E，F分别是边AD，BC上不与端点重合的两点，连接EF，下列条件中使得四边形BFDE是平行四边形的是．（多选）A．AE＝CF B．EF经过BD的中点C．BE∥DF D．EF⊥AD14．如图，点A、E、F、C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD．则当点E、F不重合时，BD与EF的关系是．15．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，AB＝10，AE＝4，则EF＝．16．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD 的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是．17．已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm，5cm两部分，这个平行四边形的周长是．18．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，同长为半径画弧交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为．19．如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝10，∠DAB＝60°，AC、BD相交于点O，经过点O的直线EF分别交CD、AB于点E、F，则图中阴影部分的面积是．20．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCO；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是．21．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．22．已知，如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BD上．∠BAE＝∠DCF，连接AF、EC，求证：（1）AE＝FC；（2）四边形AECF是平行四边形．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC 的中点，求证：△AMB≌△CND．24．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E．（1）求证：AF＝DE；（2）若EF＝1，▱ABCD的周长为46，求BC的长．25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任作直线分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CD＝6，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．26．如图，已知△ABC与△ADE是等腰三角形，并且△ABC≌△ADE，连接CE、BD交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．27．如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．（1）求证：△ABE≌△DFE．（2）连接AF、BD，若三角形DEF的面积为1，则四边形ABCF的面积为．28．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．29．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．求证：四边形CDBF是平行四边形．参考答案1．解：设平行四边形中两个相邻内角分别为x°，3x°，则x+3x＝180，解得：x＝45，∴其中较小的内角是45°，故选：A．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠E＝∠DAE，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠E＝∠BAE，∴AB＝BE＝7，又∵BC＝4，∴CE＝7﹣4＝3，同理可得，BF＝3，∴EF＝3+4+3＝10，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，∴∠OAD+∠ODA＝90°，∴∠AOD＝90°＝∠EOF，∴Rt△EOF中，OE2+OF2＝EF2＝102＝100，故选：C．3．解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四边形ACFM是平行四边形，∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，同理△ADE的面积和△AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×h CF，∵△ABC的面积是12，BC＝4CF，∴BC×h BC＝×3CF×h CF＝12，∴CF×h CF＝8，∴阴影部分的面积是×16＝4，故选：C．4．解：过点B作BF⊥CD于F，如图所示：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠BCE，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠BAD＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴CF＝EF＝CE＝1，BF＝＝＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝BF•CD＝2×5＝10，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴D正确，故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∴∠F＝∠FCD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠FCD，∴∠F＝∠BCE，∴BF＝BC＝6，∴AF＝BF﹣AB＝8﹣6＝2；故选：A．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠P AB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠P AB+∠PBA）＝90°，∴AP⊥PB，∵AP平分∠DAB且AB∥CD，∴∠DAP＝∠P AB＝∠DP A．∴△ADP是等腰三角形．∴AD＝DP＝5cm，同理可得CP＝BC＝5cm，∴CD＝AB＝10cm，∴PB＝＝＝6cm，∴△ABP的面积＝×6×8＝24cm2，故选：A．8．解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴BC+CD＝28cm，∵▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF∵AE＝3cm，AF＝4cm，∴3BC＝4CD，∴BC＝16cm，CD＝12cm，故选：B．9．解：A、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（AAS），∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．10．解：A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项B符合题意；C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D、∵一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：B．11．解：A、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB，AB＝CD，∵AE＝CF，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥EB，∴∠CFB＝∠ABF，∵∠AED＝∠CFB，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：A．12．解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；C、两条对角线互相平分是平行四边形，故本选项不符合题意；D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE＝CF，AD＝BC，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；故A选项符合题意；若EF经过BD的中点O，∵AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，在△BOF和△DOE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴四边形BFDE是平行四边形；故B选项符合题意；∵DE∥BF，BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形；故C选项符合题意；由EF⊥AD不能判定四边形BFDE是平行四边形；故D选项不符合题意；故答案为：A，B，C．14．解：已知AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD且点E、F不重合，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，又已知AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴DE＝BF，∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF，∴OE＝OF，OB＝OD，∴BD和EF互相平分．故答案为：互相平分．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠AFB＝∠ABF，∵AB＝10，AE＝4，∴EF＝AF﹣AE＝10﹣4＝6，故答案为：6．16．解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为30，∴AB+BC＝×30＝15，∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，故答案为：21．17．解：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①当BE＝3cm，CE＝5cm，AB＝3cm，则周长为22cm；②当BE＝5cm时，CE＝3cm，AB＝5cm，则周长为26cm．故答案为：22cm或26cm．18．解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∴AO＝OE＝AE，BO＝OF＝3，在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，∴AE＝2OA＝8．故答案是：8．19．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，∵∠DAB＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝3，DH＝AH＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝10×3＝30，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠BAC＝∠DCA，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴S△AOF＝S△COE，∴图中阴影部分的面积＝S△BCD＝S▱ABCD＝15，故答案为15．20．解：∵四边形ABD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形；∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，即OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形；∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，∴不能判定四边形AECF是平行四边形；∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④，故答案为：①④．21．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，此时方程t＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：4.8s或8s或9.6s．22．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠D．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AE＝CF．（2）由（1）△ABE≌△CDF得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE．∴AE∥CF．∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．23．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥CB，OA＝OC，∴∠BAC＝∠DCN，又点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，在△AMB和△CND中，，∴△AMB≌△CND（SAS）．24．证明：（1）∵四边形ABCD的平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABF＝∠FBC＝∠AFB，∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，∴AB＝AF，DC＝DE，∴AF＝DE；（2）∵▱ABCD的周长为46，∴AD+AB＝23，∵EF＝1，∴2AB﹣AD＝EF＝1，∴AB＝8，AD＝15，∴BC＝15．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝6，又∵EF＝2OE＝4，∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝6+4+5＝15．26．解：（1）证明：∵△ABC≌△ADE，AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠DAE＝30°，∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝EF，由（1）知：AB＝AC＝AE，∵AB＝2，∴AB＝AC＝AE＝2，过A作AH⊥CE于H，∵AB∥CE，∠BAC＝30°，∴∠ACH＝∠BAC＝30°，∴在Rt△ACH中，AH＝＝＝1，CH＝＝＝，∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CE＝2CH＝2，∴CF＝CE﹣EF＝2﹣2．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠F＝∠EBA，∵E是AD边的中点，∴DE＝AE，在△ABE与△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DFE，∴DF＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABDF是平行四边形，∵三角形DEF的面积为1，∴S▱ABCD＝4S△DEF＝4，∴S△BCD＝S▱ABCD＝×4＝2，∴S四边形ABDF＝S▱ABDF+S△BCD＝4+2＝6．28．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．29．证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．在△CEF与△BED中，，∴△CEF≌△BED（AAS）．∴CF＝BD．∴四边形CDBF是平行四边形．。
2020—2021学年人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》常考题提高练习(一)
人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》常考题提高练习（一）1．已知，△ABC、△ADE是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，D是BC上一点，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线交AB于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）如图2，连接BE、DF，若AD⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于BC的长的的线段．2．如图，在▱ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，AP，BD．（1）求证：△ADP≌△BCM；（2）若P A＝PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．3．如图，四边形ACFD是平行四边形，B，E，C，F在一条直线上，已知BE＝CF．（1）求证：四边形ABED是平行四边形．（2）若∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，BF＝5，求AD的长．4．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．（1）求DE的长；（2）求▱ABCD的面积．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC 到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．7．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设＝λ（λ＞0）．（1）若λ＝1，求证：CE＝FE；（2）若AB＝3，AD＝4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．8．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB 的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC 的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．11．已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝2，d2＝3．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“线上四边形”，BE⊥l于点E，EB的延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．（2）如图2，菱形ABCD为“线上四边形”且∠ADC＝60°，△AEF是等边三角形，点E在直线k上，连接DF，且直线DF分别交直线l、k于点G、M，求证：EC＝DF．12．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．13．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接DE，AD，EF，DF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求EF的长．14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC 上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x 的值．15．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA ＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是菱形；（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．参考答案1．（1）如答图1，证明：连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAC＝∠EAB，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EB＝EF，∴EF＝CD，∵EF∥BC，∴四边形EDCF是平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，由（1）知CD＝BE＝EF，∴BD＝EF，∵E作BC的平行线交AB于点F，即BD||EF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD ＝CD ＝BE ＝EF ＝DF ＝BC ，故答案为：BD ，CD ，BE ，EF ，DF ．2．解：（1）∵PM ∥DC ，且PM ＝DC ，∴四边形CDPM 是平行四边形，∴PD ＝MC ，∵AB ∥DC ，且AB ＝DC ，PM ∥DC ，且PM ＝DC ，∴AB ∥PM ，且AB ＝PM ，∴四边形ABMP 是平行四边形，∴AP ＝BM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴△ADP ≌△BCM （SSS ）；（2）由（1）可得S △ADP ＝S △BCM ，∴S 四边形BMCP ＝S △BCM +S △BCP ＝S △ADP +S △BCP ＝S 平行四边形ABCD ， 又∵P A ＝PC ，∴S △ABP ＝S △ABC ＝S 平行四边形ABCD ，∴的值为＝．3．证明：（1）∵四边形ACFD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，AD ＝CF ，∵B ，E ，C ，F 在一条直线上，∴AD ∥BE ，∴AD＝BE，∴四边形ABED是平行四边形；（2）∵四边形ACFD是平行四边形，∴AD＝CF，∵∠ABC＝60°，且AC⊥BF，AB＝6，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝3，∵BF＝5，∴CF＝BF﹣BC＝2，∴AD＝2．4．解：（1）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝6；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，∴在Rt△EAD中，，∴AE＝3（cm），∴S▱ABCD＝BC•AE＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，即×6×4＝13×AE，解得：AE＝12．6．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DE⊥DO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，∵四边形AODE的面积为12，∴OA•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，∴（OA+OD）2＝OA2+2OA•OD+OD2＝25+24＝49，∴OA+OD＝7，∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．7．解：（1）证明：连接DE，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∵DF⊥AE，∴∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠C，∵＝λ＝1，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠FED，∴∠FED＝∠CED，在△DFE和△DCE中，，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴CE＝FE；（2）当D、B、F在同一直线上时，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝4，∴tan∠ABD＝＝，∵DF⊥AE，∴∠BFE＝90°，∵∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠ABD，∴＝tan∠FEB＝tan∠ABD＝，∵AB＝3，∴BE＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，∴λ＝＝＝＝．8．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，∴AF＝BC，在Rt△AFD和Rt△BCA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），∴DF＝AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AC＝AE，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，∴DF＝AE，又∵DF⊥AB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC ＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．9．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，∴AD＝2，∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．10．（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．11．解：（1）如图1，∵l∥m∥n∥k，BE⊥l，∴BE⊥k，BE⊥m，BE⊥n，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，BE＝5，BF＝2，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵正方形ABCD为“线上四边形”，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴FC＝BE＝5，∴BC＝＝＝；（2）如图2，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC，∠CAD＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠DAF，∴△EAC≌△F AD（SAS），∴EC＝DF．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．13．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∵AF＝AB，∴DE＝AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF＝AD，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵点D是BC的中点，∴AD＝BC＝5，∴EF＝AD＝5．14．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．15．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；∵BC平分∠DBF，∴∠CBF＝∠CBD，∵∠CBF＝∠DCB，∴∠CBD＝∠DCB，∴CD＝BD，∴四边形DBFC是菱形；（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF＝BD＝2，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴AE＝CE，作CM⊥BF于M，如图：∵BC平分∠DBF，∴CE＝CM，∵∠F＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝CF＝，∴AE＝CE＝，∴AC＝2．。
2020-2021学年北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练(四)
北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练（四）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q 同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？2．【概念学习】在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝°【理解应用】习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°．①写出图中一对互组的角（两个平角除外）；②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．3．（1）如图1，直线DE经过点A，且DE∥BC，求证：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°；（2）如图2，在已知四边形ABCD，求∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA的度数；（3）如图3，AB⊥BC，点P为∠ABC内一点，点D为BC边上一点，连接PA、PD，且AQ、DQ分别平分∠PAB、∠PDC，判断∠P，∠Q的数量关系，并说明理由．4．如图，四边形OABC中，点O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒．（1）请用t（t＞5）表示点Q的坐标为；（2）是否存在某个时间t，使得P、Q两点和四边形OABC中的任意两个顶点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，△ABC中AB＝AC，E是边AB上一点，过点E作ED∥AC，EF∥BC，在FE延长线上取点G使得BE＝BG，∠C＝30°，BD＝2．（1）求证：四边形BDEG为平行四边形；（2）求D，G两点间的距离．6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并证明．7．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图①所示，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（2）如图②所示，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．8．在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD ＝（直接写出结果）．（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为（直接写出结果）．②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．9．如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形．10．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，已知∠B＝80°，∠C＝70°．（1）求∠A的度数；（2）在图①，图②，图③中，写出∠1，∠2的数量关系，并选择一种情况说明理由．参考答案1．解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．2．解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，∴∠2＝360°﹣∠1＝225°；（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D．理由如下：如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D＝360°，又∵优角∠BCD+钝角∠BCD＝360°´，∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；（3）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．令∠AQM＝∠BQM＝α，∠APM＝∠DPM＝β．∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β＝∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β＝∠QCP，∴∠QCP+∠A＝2∠PMQ，∵∠A+∠QCP＝180°，∴∠PMQ＝90°．∴PM⊥QM．故答案为225；优角∠PCQ与钝角∠PCQ．3．（1）证明：如图1，∵DE∥BC，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，又∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；（2）解，如图2，连接AC，由（1）知：三角形的内角和为180°，∴∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠D+∠CAD+∠ACD＝180°，∴∠B+∠D+∠BAC+∠ACB+∠CAD+∠ACD＝360°，即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）解：2∠Q﹣∠P＝90°，理由是：如图3，设∠QAB＝x，∠PDQ＝y，∵QA、QD分别平分∠PAB、∠PDC，∴∠PAB＝2x，∠PDC＝2y，在四边形PABD中，由（2）得：∠P+∠PAB+∠B+∠PDB＝360°，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴∠P+2x+90°+180°﹣2y＝360°，∴x﹣y＝45°﹣∠P，同理得：∠Q+x+90°+180°﹣y＝360°，∴x﹣y＝90°﹣∠Q，∴45°﹣∠P＝90°﹣∠Q，∴2∠Q﹣∠P＝90°．4．解：（1）过C作CD⊥OA于D，如图所示：∵A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6），∴OA＝16，OD＝8，CD＝6，BC＝AD＝OA﹣OD＝8，OA∥BC，∴OC＝＝10，∴OC+BC＝18，由题意得：总时间t＝18÷2＝9（s），当t＞5时，2t＞10，此时点Q在CB上，则CQ＝2t﹣10，∴Q（2t﹣2，6），故答案为：（2t﹣2，6）；（2）分三种情况：①P、Q与O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则OP＝CQ，∵OP＝t，CQ＝2t﹣10，∴t＝2t﹣10，解得t＝10，与t≤9矛盾（舍去），②P、Q与A、B为顶点的四边形为平行四边形时，则PA＝QB，∵PA＝16﹣t，QB＝18﹣2t，∴16﹣t＝18﹣2t，解得t＝2，此时Q在OC上，矛盾；③P、Q与O、B为顶点的四边形为平行四边形时，则OP＝QB，∵OP＝t，QB＝18﹣2t，∴t＝18﹣2t，解得t＝6，符合题意；④P、Q与C、A为顶点的四边形为平行四边形时，则PA＝CQ，∵PA＝16﹣t，CQ＝2t﹣10，∴16﹣t＝2t﹣10，解得，符合题意；综上所述，t的值为6或．5．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵EF∥BC，ED∥AC，∴∠G+∠GBD＝180°，∠BEG＝∠ABC，∠EDB＝∠C，∴∠BEG＝∠EDB＝∠ABC，又∵BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∴∠G＝∠EDB，∴∠EDB+∠GBD＝180°，∴BG∥DE，又∵EF∥BC，∴四边形BDEG为平行四边形；（2）解：过E作EM⊥BC于M，过G作GH⊥BC于H，连接DG，如图所示：由（1）得：∠EDB＝∠ABC＝∠C＝30°，∴BE＝DE，∵EM⊥BC，∴BM＝DM＝BD＝1，EM＝BM＝，BE＝2EM＝，∵BG＝BE，∴BG＝，∵BG∥DE，∴∠GBH＝∠EDB＝30°，∵GH⊥BC，∴GH＝BG＝，BH＝GH＝1，∴DH＝BD+BH＝3，∴DG＝＝＝，即D，G两点间的距离为．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥DC，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．7．解：（1）∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°．又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°，∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣40°﹣80°＝60°．（2））∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣140°﹣80°＝140°．∵∠EBC＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD，∴∠E＝180﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣×140°＝110°．8．解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案为180°；（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠OAB＝DAB，CBA，∠OCD＝BCD，∠ODC＝ADC，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，CBA，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵，∴＝90°，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．9．（1）证明：连接BD交AC于O，如图1所示：∵四边形DEBF是平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：∵AE＝CF，∴△ADE的面积＝△DFC的面积，△ABE的面积＝△CBF的面积，由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴△ADE的面积＝△CBF的面积，∴△ADE的面积＝△DFC的面积＝△ABE的面积＝△CBF的面积．10．解：（1）∵∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（80°+70°）＝30°；（2）如图①，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，∴∠A′＝∠A＝30°，∴∠3＝180°﹣∠A′﹣∠2＝150°﹣∠2，∵∠1+∠3+∠B+∠C＝360°，∴∠1+150°﹣∠2+80°+70°＝360°，∴∠1﹣∠2＝60°；如图②，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，∴∠A′＝∠A＝30°，∴∠AEA′+∠ADA′＝360°﹣∠A﹣∠A′＝300°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠AEA′﹣∠ADA′＝60°；如图③，方法同①，∠2﹣∠1＝60°．。
第18章平行四边形解答题典型必练(二)2020—2021学年人教版八年级数学下册
2020—2021学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题典型必练（二）1．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD 的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形；（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．4．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．5．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．6．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为；菱形EFCD的面积为．7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC 于E，连BE．（1）求证：四边形DEBC是菱形；（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．8．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．11．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．12．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE 的长．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．15．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝OB ，DF ＝OD ，∴BE ＝DF ，在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝FC ，∵EG ＝AE ，∴EG ＝FC ；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，S 四边形ABCD ＝4S △ABO ，∵EG ＝AE ，点E 为OB 的中点，∴AG 、OB 互相平分，∴四边形ABGO 是平行四边形，∴S △ABO ＝S △BGO ，∴S 四边形ABGO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵OA ＝OC ，EG ＝AE ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∵四边形ABGO 是平行四边形，∴BG ∥AC ，∴四边形BOCG 是平行四边形，∴S 四边形BGCO ＝2S △BGO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵四边形ABGO 是平行四边形，∴GO ∥AB ，GO ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴GO ∥CD ，GO ＝CD ，∴四边形CDOG 是平行四边形，∴S 四边形CDOG ＝2S △CDO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴EF ＝BD ＝OD ，∵四边形CDOG 是平行四边形，∴CG ∥EF ，CG ＝OD ，∴EF ＝CG ，∴四边形EFCG 是平行四边形，∴S 四边形EFCG ＝S 四边形CDOG ＝S 四边形ABCD ，∴图中的平行四边形ABGO 、平行四边形BOCG 、平行四边形CDOG 、平行四边形EFCG 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD 面积的一半． 2．（1）证明：∵BE ∥AC ，OE ∥AB ，∴四边形ABEO 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝2AO ，∵AC ＝2AB ，∴AO ＝AB ，∴四边形ABEO 是菱形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝AC ＝，OB ＝BD ＝2，连接AE 交BO 于M ，由（1）知，四边形ABEO 是菱形，∴AE 、OB 互相垂直平分，∴OM ＝BO ＝1，∴AM ＝＝＝，∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝＝2，故答案为：2．3．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；∴AF＝DB，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形；（2）解：∵D是BC的中点，∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，∵四边形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得：x＝，∴BE＝＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥BE，∴∠FAO＝∠BEO，∵O为AE的中点，∴OA＝OE，在△AOF和△EOB中，，∴△AOF≌△EOB（ASA），∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∵∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：∵E为BC的中点，且BC＝8，∴BE＝CE＝4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，∴EH＝OE＝1，∴OH＝＝＝，CH＝EH+CE＝5，∴OC＝＝＝2．6．证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四边形EFCD是平行四边形，又∵CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形；（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，∵四边形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH＝EF，FH＝EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF＝，∴菱形EFCD的面积＝2×＝2，故答案为：2，．7．（1）证明：如图，连接BD交AC于点F，∵AB＝AD，∠DAB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴F是BD的中点，∴BF＝DF，在△AED和△AEB中，，∴△AED≌△AEB（SAS），∴DE＝BE，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠EDF，在△BCF和△DEF中，，∴△BCF≌△DEF（SAS），∴BC＝DE，∵BC∥DE，∴四边形DEBC是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形DEBC是菱形；（2）如图，过点E作EH⊥AD于点H，∵四边形DEBC是菱形，∴∠CDB＝∠EDB＝CDE，∵∠CDE＝2∠EDA，∴∠BDE＝∠ADE，∵BD⊥CE，EH⊥AD，∴EF＝EH＝EC＝，∴AH＝EH＝，∴AE＝＝2，∴AF＝AE+EF＝2+，∴DF＝AF＝2+，∴AD＝AF＝（2+）＝2+2．8．证明：（1）设AC，EF的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AB⊥AC，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝CE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．9．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADO＝∠CDO，又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，∴△AOD≌△COD（ASA），∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD＝BC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵BE∥CE，∴四边形ACEB是平行四边形，∴DC＝AB＝CE，∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．10．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．11．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝70°，∴∠BDE＝∠EDF＝35°．12．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．13．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．14．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBF，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴平行四边形BFDE是菱形；（2）连接EF，交BD于O，∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∴BD＝DC＝12，∴∠FDC＝∠A＝90°，∴DF＝，在Rt△DOF中，OF＝，∴菱形BFDE的面积＝．15．（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．。
2020-2021学年苏科版数学八年级下册第九章 中心对称图形—平行四边形 综合题练习
苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》综合题练习1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F 两点，垂足是点O．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）问：四边形AFCE是什么特殊的四边形？（直接写出结论，不需要证明）．2．如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．3．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF＝90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．（1）求证：EG＝CF；（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．4．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于E，连结AE、CD．（1）求证：AD＝CE；（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°得到△ABF．且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？6．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？7．如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大小完全相同．且点A、C、E、G在同一直线上，点M是线段AG的中点．那么菱形EFGH可由菱形ABCD经一次图形变换得到，这次图形变换可以是轴对称变换、平移变换和旋转变换．请你具体描述这三种变换．（轴对称变换已描述）轴对称变换：菱形ABCD以线段AG的垂直平分线为对称轴作轴对称变换得到菱形EFGH．平移变换：旋转变换：8．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：CE⊥BF．9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A＝90°时，试判断四边形DF AE是何特殊四边形？并说明理由．10．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F，（1）说明：；（2）▱ABCD周长为12，AD：DE＝3：2，求DE+BF的值．11．如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA＝∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE＝DF．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE＝AE．请你说明理由．12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）问∠G为多少度时，四边形DEBF是菱形．并证明你的结论．13．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：ED＝FD．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点F是AD的中点，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接BE，DE，AC．（1）求证：△EAB≌△EFD；（2）求的值．15．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）PE⊥PD．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行）．∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO（两直线平行，内错角相等）；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC．∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）由（1）知，△AOE≌△COF，则OE＝OF，∴AC垂直平分EF，又∵AC的垂直平分线是EF，∴四边形AFCE是菱形．2．解：（1）∵四边形ABC1D1是正方形，∴∠B＝90°，BC1＝AB＝1，∴AC1＝＝，即第二个正方形AC1C2D2的边长为，∵四边形AC1C2D2是正方形，∴∠AC1C2＝90°，C1C2＝AC1＝，∴AC2＝＝2，即第三个正方形AC2C3D3的边长是2；∁n D n的边长为（）n﹣1，则第七个正方（2）由上述过程可得出，第n个正方形AC n﹣1形的边长为8．3．（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，∴AG＝EC，△BEG为等腰直角三角形，∴∠AGE＝180°﹣45°＝135°，又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF＝90°+45°＝135°，∴∠AGE＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠GAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴EG＝CF；（2）解：画图如图所示，旋转后CF与EG平行．4．（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∠AOD＝∠EOC＝90°．∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO，在△ADO与△CEO中，，∴△ADO≌△CEO（ASA），∴AD＝CE；（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：由（1）得OA＝OC，AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC⊥DE，∴平行四边形ADCE是菱形．5．（1）由旋转60°得到AC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，△ACD是等边三角形∴AD＝DC＝AC，又∵Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°，易证△AFC是等边三角形，∴AD＝DC＝FC＝AF∴四边形AFCD是菱形（2）四边形ABCG是矩形由（1）知△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E∴AE＝EC，易证△AEG≌△CEB∴AG＝BC∴四边形ABCG是平行四边形，且∠ABC＝90°∴平行四边形ABCG是矩形．6．证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，同理FH∥BE．∴四边形EGFH是平行四边形；（2）EF和BC满足关系：且EF⊥BC时，平行四边形EGFH是正方形，证明：连接EF，GH．∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC．∵EF⊥BC，∴EF⊥GH．∵又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵EF＝BC，GH＝BC，∴EF＝GH．∴平行四边形EGFH是正方形．7．解：平移变换：菱形ABCD沿AC方向（或从左往右）平移线段AE（或CG）的长得到菱形EFGH．旋转变换：菱形ABCD以点M为旋转中心顺时针（或逆时针）旋转180°得到菱形EFGH．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠FDE．（1分）又∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE与△DFE中，∵∠BAD＝∠FDE，AE＝DE，∠BEA＝∠FED，∴△ABE≌△DFE．（4分）（2）证明：∵△ABE≌△DFE∴DF＝AB又∵CD＝AB∴CF＝2CD（5分）∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠FCE．又∵AD∥BC∴∠BCE＝∠DEC（6分）∴∠FCE＝∠DEC∴DE＝CD（7分）又∵AE＝DE∴BC＝2CD，∴CF＝BC（8分）又∵CE平分∠BCD，∴CE⊥BF．（9分）9．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°（1分）∵D是BC的中点，∴BD＝CD（2分）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDB＝∠FDC，∴△BED≌△CFD（3分）（2）解：∵∠BED＝∠CFD＝∠A＝90°∴四边形DF AE为矩形．（4分）∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF，（5分）∴四边形DF AE为正方形．（6分）10．（1）证明：∵在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，∴S▱ABCD＝AB•DE＝AD•BF，∴＝；（2）∵＝，且＝，∴＝＝，又∵▱ABCD的周长为12，∴AD+AB＝×12＝6，∴＝，∴DE+BF＝4．11．证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE；（2）理由如下：由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF＝AE，∠3＝∠4，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠3＝90°，∴∠BAF+∠4＝90°，∴∠EAF＝90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝2AE2，∴EF＝AE，即DE﹣DF＝AE，∴DE﹣BE＝AE．12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD．∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G＝90°．理由：AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴DE＝BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠FDE，又∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE与△DFE中，∵∠BAD＝∠FDE，AE＝DE，∠BEA＝∠FED，∴△ABE≌△DFE．（2）证明：∵△ABE≌△DFE，∴DF＝AB，又∵CD＝AB，∴CF＝2CD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠FCE．又∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，∴∠FCE＝∠DEC，∴DE＝CD，∵CD＝DF，∴DE＝DF．14．（1）证明：∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠EF A＝45°，EA＝EF，又∵∠BAD＝90°，∠EFD+∠EF A＝180°，∴∠EAB＝∠EFD＝135°，又∵AD＝2AB，FD＝AD，∴AB＝FD，∴△EAB≌△EFD；（2）解：如图，连接BD．∵∠AEF＝90°，∴△EFD可由△EAB绕点E逆时针旋转90°得到，∴EB＝ED，且∠BED＝90°．∴△BED也是等腰直角三角形．∴BD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∴＝．15．证明：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．∴GD＝FC＝FP，GP＝AG＝BF，∠PGD＝∠PFE＝90度．又∵PB＝PE，∴BF＝FE，∴GP＝FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）．∴PE＝PD；（2）∵△EFP≌△PGD，∴∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90度．∴∠DPE＝90度．∴PE⊥PD．证法二证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．∵PC＝PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）．∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC．又∵PB＝PE，∴PE＝PD；（2）∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PDC，∴∠PEB+∠PEC＝∠PDC+∠PEC＝180°，∴∠DPE＝360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）＝90°，∴PE⊥PD．。
2020—2021学年人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形 强化训练试卷(二)【含答案】
2020—2021学年人教版八年级数学下册第十八章平行四边形强化训练题（二）1．已知：如图，在△ABC和△ABE中，∠ACB＝∠AEB＝90°，D是AB中点，联结DC、DE、CE，F是CE中点，联结DF．（1）求证：DC＝DE；（2）若AB＝10，CE＝8，求DF的长．2．如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．3．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．4．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF＝∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长度．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B 作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB与点O，若BC＝8，AO＝，求△ABC的面积．6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F．（1）求证：BC＝BE；（2）连接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证：四边形ABCD是正方形．7．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）△EFD≌△GFB．（2）试判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（3）当△ABC满足条件 时，四边形EBGD是正方形（不用说明理由）．8．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．10．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．11．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．13．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得∠CDE＝15°，连接BE．延长BE到F，连接CF，使得CF＝BC．（1）求证：DE＝BE；（2）求证：EF＝CE+DE．14．定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD＝180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝63°，求∠BPC的度数．（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF．（1）证明：AF＝CE；（2）若∠B＝30°，AC＝2，连接BF，求BF的长．答案1．解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD＝AB，同理：ED＝AB，∴CD＝ED；（2）∵CD＝ED，F是CE中点，∴DF⊥CE，∵CD＝AB，AB＝10，∴CD＝5，∵F是CE中点，CE＝8，∴CF＝4，∴DF＝＝3．2．证明：在▱ABCD中，∵OA＝OC，OB＝OD，∵E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，∴CE＝AF，∴BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）当t＝2或t＝10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；理由：由矩形的性质知OE＝OF、OA＝OC，要使∠EAF是直角，只需OE＝OF＝OA＝AC＝4cm．则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴2∠2+2∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°即∠EAF＝90°．此时BE＝DF＝（BD﹣EF）＝（12﹣8）＝2cm或BE＝DF＝12﹣2＝10cm3．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．4．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠DCF＝90°，∵∠BAE＝∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE＝CF，∴BC＝EF，∵BC＝AD，∴EF＝AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）由（1）知：EF＝AD＝5，在△EFD中，∵DF＝3，DE＝4，EF＝5，∴DE2+DF2＝EF2，∴∠EDF＝90°，∴•ED•DF＝EF•CD，∴CD＝．5．证明：（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC．即∠ADB＝90°．∴四边形ADBE为矩形．（2）∵在矩形ADCE中，AO＝2.5，∴DE＝AB＝5．∵D是BC的中点，∴AE＝DB＝4∴AB＝2AO＝5，∵∠ADB＝90°，∴AD＝，∴△ABC的面积＝．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AD＝EB，∴BC＝BE；（2）由（1）知：四边形AEBD是平行四边形，∴AF＝BF＝AB，EF＝FD，∵AD＝2AF，∴AB＝AD，∵AD∥EC，∴∠ADF＝∠BCF，∴∠FEC＝∠BCF，∴EF＝FC＝FD，∴∠FDC＝∠FCD，∴∠ADF+∠FDC＝∠FCD+∠BCF，即∠ADC＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形．7．解：（1）：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，（2）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形．（3）当△ABC是直角三角形，即∠ABC＝90°时，四边形EBGD是正方形，根据有一个角是直角的菱形是正方形可以得出．故∠ABC＝90°．8．证明：（1）∵CF平分∠ACD，且MN∥BD∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO∴OF＝OC同理可证：OC＝OE∴OE＝OF（2）由（1）知：OF＝OC＝OE∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC∴∠OCF+∠OCE＝∠OFC+∠OEC而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC＝180°∴∠ECF＝∠OCF+∠OCE＝90°∴∴（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形理由如下：∵当点O移动到AC中点时∴OA＝OC且OE＝OF∴四边形AECF为平行四边形又∵∠ECF＝90°∴四边形AECF为矩形9．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AE∥CF∵AE＝CF∴四边形AECF是平行四边形∵AC平分∠ECF∴∠ACF＝∠ACE∵AE∥CF∴∠ACF＝∠EAC∴∠EAC＝∠ACE∴AE＝CE∴四边形AECF是菱形（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x∴AF＝FC＝8﹣x在Rt△ABF中AB2+BF2＝AF2∴（8﹣x）2＝x2+42解得：x＝3∴FC＝8﹣3＝5∴S菱形AECF＝FC•AB＝5×4＝2010．（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．∵AB＝1，DG＝2，∴由勾股定理得BD＝，DF＝2．∵B、D、F共线，∴BF＝3．∵H是BF的中点，∴BH＝BF＝（2）证法一：如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∴AB∥EF．∴∠ABH＝∠MFH．又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，∴△ABH≌△MFH．∵AB＝AD，∴AD＝MF．∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，∴△ADG≌△MFG．∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．又∵∠DGM+∠MGF＝90°，∴∠AGD+∠DGM＝90°．∴△AGM为等腰直角三角形．∵AH＝MH，∴AH＝GH，AH⊥GH．证法二：如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM＝BD，DN＝DF．∴∠AMD＝∠GNH＝90°，MN＝BF．∵H是BF的中点，∴BH＝BF．∴BH＝MN．∴BM＝HN．∵AM＝BM＝DM，∴AM＝HN＝DM．∴MD+DH＝NH+DH．∴MH＝DN．∵DN＝GN，∴MH＝GN．∴△AMH≌△HNG．∴AH＝GH，∠AHM＝∠HGN．∵∠HGN+∠GHN＝90°，∴∠AHM+∠GHN＝90°．∴∠AHG＝90°．∴AH⊥GH．∴AH＝GH，AH⊥GH．11．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°．∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BCD＝∠DCE＝90°．又∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′．∵CE＝CG，∴CG＝AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB＝CD．∴AB﹣AE′＝CD﹣CG．即BE′＝DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．12．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2．在Rt△ACE中，AE＝＝2．13．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．∵在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE．（2）在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．∴∠CBE＝∠CDE，∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．∵∠CDE＝15°，∴∠CBE＝15°，∴∠CEG＝60°．∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝45°，∴∠ECD＝∠GCF．∵在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE＝GF．∵EF＝EG+GF，∴EF＝CE+ED．14．解：（1）∵如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝63°，∴∠BPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣63°＝117°，即∠BPC＝117°；（2）如图2，连接AP、CP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP．在△ADP与△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠APD＝∠CPD．又∠APB+∠APD＝180°，∴∠APB+∠CPD＝180°，即点P为菱形ABCD的一个“互补点”．15．解：（1）∵D，E分别是BC，AB上的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，AC＝2DE，又∵DF＝2DE，∴EF＝AC，∴四边形ACEF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2∴BC＝2，DE＝1，∠EDB＝90°，∵D为BC中点，∴BD＝，又∵EF＝2DE，∴EF＝2，∴DF＝3，在△BDF中，由勾股定理得．。
2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题典型必练(一)
人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》解答题典型必练（一）1．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．2．如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．3．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在OA，OD上，∠ABE ＝∠DCF．（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）若BC＝4，AE＝3，求BE的长．4．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5．四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG．（1）如图，若四边形ABCD是正方形，求∠GBC的度数；（2）连接CG，设AB＝a，AD＝b，探究当∠CGB＝120°时，a与b的数量关系．6．如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE 关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG，（1）当∠ADE＝15°时，求∠DGC的度数；（2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由；（3）如图2，当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论．7．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点（点E不与点B、C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于H，连接AF．（1）求证：AF⊥EH；（2）连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变．你帮助小王求出∠EAH的度数．8．如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．9．已知AP为正方形ABCD外的一条射线，B′为点B关于直线AP的对称点，连接B′D．如图1所示．（1）如果∠BAP＝20°，求∠ADB′的度数的大小．（2）如图2所示，M为射线B′B上一点，且∠BMC＝135°．①求证：BB′＝CM．②求证：CM∥B′D．10．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；图2；（2）若∠PAB＝25°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间数量关系，并证明．11．如图，已知正方形ABCD边长为1，点P是射线AD的上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，设AP＝x．（1）求当D，Q，B三点在同一直线上时对应的x的值．（2）当△CDQ为等腰三角形时，求x的值．12．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点．连接PA，PD，点M，N分别为BC，AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P在线段CB的延长线上时，请判断△QPM的形状，并说明理由．（2）如图2，正方形的边长为4，点P'与点P关于直线AB对称，且点P'在线段BC上．连接AP'，若点Q恰好在直线AP'上，求P'M的长．13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，G是边BC的中点，点C关于直线DG的对称点为F，连接GF并延长交AB于点E，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：△ADE≌△FDE；（2）求AE的长；（3）求BH的长；14．如图，经过正方形ABCD的顶点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1．（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度数．（3）如图，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．15．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每个边都是相等．如图，在正方形ABCD外侧作直线AQ，点D关于直线AQ的对称点为E，连接DE、BE，BE交AD于点F，若∠QAD＝15°．（1）求∠ABE的度数；（2）若AB＝6，求AF的长．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：∵点E在▱ABCD内部，，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S，▱ABCD ∵▱ABCD的面积为6，∴四边形AEDF的面积为3．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′＞EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．3．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝45°，∵∠ABE＝∠DCF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA）；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠AOB＝90°，∵BC＝4，∴AB＝4，∴AC＝，∴OA＝OB＝4，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣3＝1，在Rt△BOE中，BE＝．4．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，∴∠ADE＝∠BEH，在△DME和△EBH中，，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．5．解：（1）连接DG，交AP于点E，连接AG，如图1，∵点G与点D关于直线AP对称，∴AP垂直平分DG，∴AD＝AG．∵在△ADG中，AD＝AG，AE⊥DG，∴∠PAG＝∠PAD＝30°，又∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AG＝AB，∠GAB＝∠DAB﹣∠PAD﹣∠PAG＝30°，∴在△GAB中，∠ABG＝∠AGB＝＝75°，∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝15°；（2）连接DG，AG．由（1）可知，在△ADG中，AD＝AG，∠DAG＝∠PAD+∠PAG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°，又∵在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠ADC﹣∠ADG，即∠GAB＝∠GDC＝30°，∴△GAB≌△GDC（SAS），∴GB＝GC．当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部．若点G在矩形ABCD的内部，∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°，∴∠GBC＝＝30°，∴∠GBA＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣30°＝60°，在△ABG中，∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝90°，∴a＝b，若点G在矩形ABCD的外部，在△BGC中，∠GBC＝30°，∴∠ABG＝120°，又∵∠GAB＝30°，∴∠AGB＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴BA＝BG，过点B作BH⊥AG，垂足为H，∴AH＝AG＝b．在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°，∴cos∠HAB＝＝，∴a＝b，在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°，∴tan∠PAD＝＝，∴DP＝b．所以无论点G在矩形ABCD内部还是点G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合题意．综上，当∠CGB＝120°时a与b的数量关系为a＝b或a＝b．6．解：（1）∵∠ADE＝15°，∴∠FDE＝15°，∠CDF＝60°．∵DC＝AD＝DF，∴∠CFD＝60°．又∠CFD＝∠DGC+∠FDE＝15°+∠DGC，∴∠DGC＝45°；（2）不变，理由如下：∵△ADE与△FDE关于DE对称，∴∠AGD＝∠DGF．设∠ADE＝x，可得∠FDE＝x，∠CDF＝90°﹣2x，∵DC＝AD＝DF，∴∠CFD＝45°+x．又∠CFD＝∠DGC+∠FDE＝x+∠DGC，∴∠DGC＝45°；（3）四边形AGFM是正方形；理由：∵∠DAE＝∠DFE＝90°，点M为DE的中点，∴AM＝FM＝DM＝DE，∴∠ADM＝∠DAM，∠MDF＝∠DFM，∴∠AME＝∠EMF＝2∠ADM＝2∠MDF＝45°，∴∠AMF＝90°，∵∠MGF＝45°，∴FM＝FG，在△ADG与△FDG中，，∴△ADG≌△FDG（SAS），∴AG＝FG，∴AM＝MF＝FG＝AG，∵∠AMF＝90°，∴四边形AGFM是正方形．7．解：（1）证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，∴AB＝AF，BE＝EF，又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE（SSS），∴∠AFE＝∠B＝90°，∴AF⊥EH；（2）连接AH，如图：由（1）得AB＝AF，AF⊥EH，∴AF＝AD，∠D＝∠AFH＝90°，AH＝AH，∴△AFH≌△ADH（HL），∴∠FAH＝∠DAH，又∵∠BAE＝∠FAE，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝45°．8．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝FD．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．9．（1）解：连接AB'，如图1，∵B′为点B关于直线AP的对称点，∴AB＝AB'，∴∠BAP＝∠B'AP＝20°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴AB'＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∵∠B'AD＝∠B'AB+∠BAD＝90°+40°＝130°，∴∠ADB'＝25°．（2）证明：①设B'D与AP的交点为N，连接AB'，BN．由（1）得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠B'NP＝45°，∵∠B'NP＝∠BNP，∴∠BNP＝45°，则△BNB'为等腰直角三角形．∴BB'＝BN，∠ANB＝135°，∴∠BMC＝∠ANB＝135°，∵∠5+∠6＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠4＝∠6．在△ANB和△BMC中，，∴△ANB≌△BNC（AAS），∴BN＝CM，∴BB'＝CM；②∵△BB'N为等腰直角三角形，∴∠NB'B＝45°，∴∠NB'B＝∠7＝45°，∴B'D∥MC．10．解：（1）如图1、图2所示：（2）连接AE，如图3所示：则∠PAB＝∠PAE＝25°，AE＝AB＝AD，∴∠AED＝∠ADF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°+25°+25°＝140°，∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝20°；（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：则EF＝BF，AE＝AB＝AD，∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，即EF2+FD2＝2AB2．11．解：（1）连接DB，若Q点落在BD上，由AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．∵∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ，即1﹣x＝x．∴x＝﹣1．（2）①如图2，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，∴Q1F＝Q1E＝．在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1＝30°，∴∠APQ1＝150°，∴△PEQ1为含30°的直角三角形，∴PE＝Q1E＝，∵AE＝，∴x＝AP＝AE﹣PE＝2﹣．②如图3，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2＝BQ2．∵AB＝BQ2，∴△ABQ2为等边三角形．在四边形ABQP中，∵∠BAD＝∠BQP＝90°，∠ABQ2＝60°，∴∠ABP＝30°，∴x＝AP＝．③如图4，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC＝1，∴Q1Q2＝，Q1E＝，∴EF＝．在四边形ABQ3P中，∵∠ABF＝∠ABC+∠CBQ3＝150°，∴∠EPF＝30°，∴EP＝EF＝．∵AE＝，∴x＝AP＝AE+PE＝+2．综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．12．解：（1）△QPM是等腰三角形，理由如下：延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，∴CP＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE（SAS）∴∠DPC＝∠AEB，∵M是BC的中点，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，∴MP＝ME，∴M是PE的中点，又∵N是AP的中点，∴MN∥AE，∴∠PMN＝∠AEB，∴∠PMN＝∠DPC，∴QP＝QM，∴△QPM是等腰三角形；（2）延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵M是BC的中点，BC＝4，∴BM＝CM＝2，又∵BP＝CE，∴BM+BP＝CM+CE，即PM＝ME，∴M是PE的中点，且点N是AP中点，13．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点C关于直线DG的对称点为F，∴△DCG≌△DFG，∴DC＝DF＝DA，∠DFG＝∠C＝90°，∴∠DFE＝90°，在Rt△ADE和Rt△FDE中，∵，∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL）；（2）∵G是边BC的中点，BC＝6，∴CG＝BG＝FG＝3，∵△ADE≌△FDE，∴AE＝EF，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EG＝EF+FG＝x+3，∵在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2；（3）如图2，过点H作HN⊥AB于点N，∴∠ENH＝90°，由（1）知∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴DE＝EH，∠ADE＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝．14．解：（1）如图1、图2所示：（2）连接AE，如图3所示：则∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，∴∠AED＝∠ADF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝15°；（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：则EF＝BF，AE＝AB＝AD，∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，即EF2+FD2＝2AB2．15．解：（1）连接AE，如图1所示：∵点D关于直线AQ的对称点为E，∴AE＝AD，AQ垂直平分DE，∴∠EAQ＝∠QAD＝15°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＝15°+15°+90°＝120°，AE＝AB，∴∠ABE＝（180°﹣120°）＝30°；（2）作A⊥BE于M，如图2所示：则∠AMB＝∠AMF＝90°，∴AM＝AB＝3，∵∠1＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝90°﹣60°＝30°，∴∠FAM＝15°+30°＝45°，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AF＝AM＝3．。
2020-2021学年度新课标人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元测试卷(7)(附答案)
2020-2021学年度新课标人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元测试试卷一、选择题1．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，4=AB ，7=AD ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF 的长为A ．6B ． 5C ．4D ． 3答案：D2．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，=150B ∠︒，则平行四边形ABCD 的面积为A. 2B. 3C.33 D. 6 答案：B3．如图，在□ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足． 如果125A =∠，则BCE =∠A ．25B ．30C ．35D ．55答案：C4、如图，已知一张纸片□ABCD ，90B ∠>︒，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一个动点，沿EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点F 处，连结AF ，则下列各角中与BEG ∠不一定．．．相等的是（ ▲ ） A. ∠FEG B. ∠EAF C.∠AEF D. ∠EF A 答案：C5、如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是 A ． B M ＞DN B ． B M ＜DN C ． B M=DN D ． 无法确定FE ABCD第1题第2题AEBCD第3题图第1题图题7图 题10图答案：C6．如图，在平行四边形ABCD 中，AD =5，AB =3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为 （ ）A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和4 答案：B7、如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且A 、D 在BC 同侧，连接AD ，量一量线段AD 的长，约为 A ．1.0cm B ．1.4cm C ．1.8cm D ．2.2cm B二、填空题1、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD =2DE .若△DEF 的面积为a ，则□ABCD 中的面积为 ▲ (用a 的代数式表示) .答案：8a2、已知在平面直角坐标系中有)2,1(-A ,)21(，B 两点,现从)22(--，、)62(，、）（2,1-、）（6,0四点中，任选两点作为C 、D ，则以A 、B 、C 、D 四个点为顶点所组成的四边形中是平行四边形的概率是________． 【答案】.133、如图，E 、F 分别是 ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S△APD15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．答案：404、如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，且DE EF =，AB BF =．再添加一个条件，你认为下面四个条件中不能使四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ） A ．AD BC = B ．CD BF = C ．A C ∠=∠ D ．F CDE ∠=∠答案：BAB C D E ABC第7题图PA BCDEQ（第3题）EBAFCD5．在面积为12的平行四边形ABCD 中，过点A 作直线BC 的垂线交BC 于点E ，过点A 作直线CD 的垂线交CD 于点F ，若AB ＝4，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为 ； 答案：10＋53或2＋3三、解答题1、如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数是 .答案：120°求证：AF CE =答案1、如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，： 平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠．在BEC △和DFA △中,,.BEC DFA ACB CAD AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2、已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ． 求证：AB=AF ．答案：证∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ．∴∠F =∠2, ∠1=∠D ． （2分） ∵E 为AD 中点，∴AE =ED . （3分）在△AEF 和△DEC 中CAEF第1题图21F D AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEF ≌△DEC ． （5分） ∴AF =CD .∴AB =AF . （6分） 3、（7分）我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、翻折，重新拼接成一个新的图形．如图，沿△ABC 的中位线DE 剪切，将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°， 可得到□BCFD ．请尝试解决下面问题（不写画法，保留痕迹，并作必要说明）： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形：请在下图中画出示意图，要求用两种不同．．的画法， 并简要说明如何剪拼和变换的；（2）如图，将四边形ABCD 剪拼成平行四边形．在下图中画出示意图．4、两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值.解：(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，在Rt △AGC 中，∵sin 60°=AC CG，∴23=CG ········· 1分 ∵AB =2，∴S 梯形CDBF =S △ABC =2323221=⨯⨯ ··········· 3分 (2)菱形 ···························································································· 5分 ∵CD ∥BF ， FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形 ·························· 6分 ∵DF ∥AC ，∠ACD =90°，∴CB ⊥DF ··············································· 7分 ∴四边形CDBF 是菱形···································································· 8分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分) (3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，则S △ADE =233121EB AD 21=⨯⨯=⋅⋅ ························································································································· 8分又S △ADE =2321=⋅⋅DH AE ，)721(733或==AE DH ······························ 10分 A B E FC DA B E F CDA B(E ) (F )C D E (F ) α温馨提示：由平移性质可得CF ∥AD ，CF =AD B EFC∴在Rt △DHE’中，sinα=)1421(723或=DE DH ········································ 12分 解法二：∵△ADH ∽△ABE ······························································ 8分∴AE AD BE DH =即：713=DH ∴73=DH ···································································· 10分∴sinα=)1421(723或=DE DH ················································ 12分5、 (8分)如图，已知E 是平行四边形ABCD 的边AB 上的点，连接DE ． （1）在∠ABC 的内部，作射线BM 交线段CD 于点F ，使∠CBF=∠ADE ； （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 在（1）的条件下，求证：△ADE ≌△CBF ． （2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠A=∠C ，AD=BC …5分 ∵∠ADE=∠CBF …6分 ∴△ADE ≌△CBF （ASA ）．2、 6．（本小题7分）已知，如图E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】解：结论：四边形ABCD 是平行四边形，AB(E )(F )CDαHDCF BAE证明：∵DF ∥BE ， ∴∠AFD=∠CEB ， 又∵AF=CE DF=BE ， ∴△AFD ≌△CEB （SAS ）， ∴AD=CB ，∠DAF=∠BCE ， ∴AD ∥CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形．7、（本小题6分）如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE ．延长DE 交AB 的延长线于点F ．求证：AB=BF ．【答案】解：由□ABCD 得AB ∥CD ， ∴∠CDF =∠F ，∠CBF =∠C ． 又∵E 为BC 的中点， ∴△DEC ≌△FEB ． ∴DC =FB ．由□ABCD 得AB =CD ， ∵DC =FB ，AB =CD ， ∴AB =BF ．8、如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =． （1）求证：ABC EAD △≌△． （2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =∠，求AED ∠的度数． 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =∥，． ∴DAE AEB =∠∠．………1分 又∵AB AE =∴AEB B =∠∠ ∴B DAE =∠∠．………2分∴ABC EAD △≌△． ………3分（2）∵AE 平分DAB ∠∴DAE BAE DAE AEB ==∠∠，∠∠， ∴BAE AEB B ==∠∠∠．∴ABE △为等边三角形． ………4分 ∴60BAE =∠．∵25EAC =∠∴85BAC =∠ ∵ABC EAD △≌△∴85AED BAC ==∠∠． ………5分9、18．（本题8分）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE＝AF ，请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置关系和数量关系？对你的猜想加以证明．第19题图ACAC猜想： 证明：【答案】解：猜想BE ∥DF ，BE =DF …………2分证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC =AD ，∠1=∠2又CE =AF ，∴⊿BCE ≌⊿DAF ……3分 ∴BE =DF ，∠3=∠4 …………2分 ∴BE ∥DF ……………………1分10．在平行四边形ABCD 中，点E 是DC 上一点，且CE =BC ，AB =8，BC =5. （1）作AF 平分∠BAD 交DC 于F （尺规作图，保留作图痕迹）; （2）在（1）的条件下求EF 的长度。
第六章 平行四边形 试题 2020-2021学年八年级数学北师大版下册
八年级下册平行四边形试题北大师版一．选择题（共 8 小题）1．在▱ABCD 中，∠A ：∠B ＝3：1，则∠D ＝（ ）A ．22.5°B ．45°C ．135°D ．157.5°2. 如图，在▱ABCD 中，点 E 、F 分别在边 AB 和 CD 上，下列条件不能判定四边形 DEBF 一定是平行四边形的是（ ） A ．AE ＝CFB ．DE ＝BFC ．∠ADE ＝∠CBFD ．∠AED ＝∠CFB3. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，∠BAC ＝90°，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为（ ）A ．B ．5C ．D ．104. 如图，▱ABCD 的周长为 20，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 与点 E ，若 BE ＝2，则 CE 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．85. 如图▱ABCD 的周长为 18cm ，点 O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 EF 垂直于 AC ，分别交 DC 、AB 于 E 、F ，连接 AE ，则△ADE 的周长（） A. 9cmB ．10cmC ．11cmD ．12cm6. 已知点 A （2，0），B （﹣1，0），C （0，1），以点 A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）A. 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 80，△BOC 的周长比△AOB 的周长多 20，则 BC 长为（）A ．40B ．10C ．20D ．308. 如图所示，点 E 为▱ABCD 内一点，连接 EA ，EB ，EC ，ED ，AC ，已知△BCE 的面积为 2，△CED 的面积为 10，则阴影部分△ACE 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 二．填空题（共 8 小题）9. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O ，若△ABO 的周长为 40，AC ＝26，BD ＝30，则 AB＝ ．10. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ．则 BD ＝．11. 如图，在▱ABCD 中，∠B ＝50°，CE 平分∠BCD ，交 AD 于 E ，则∠DCE 的度数是 ．12. 如图，在周长为 10cm 的▱ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点 O ，OE ⊥BD 交 AD 于点 E ，连接 BE ，则△ABE 的周长为．13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过 BC 的中点 E 作 EF ⊥AB 于点 F ，交 DC 的延长线于点 G ，则 DE ＝ ．14. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ，且 AB ≠AD ，过 O 作 OE ⊥BD 交 BC 于点 E ．若△CDE 的周长为 10，则平行四边形 ABCD 的周长为．15. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝6cm ，点 E 、F 是▱ABCD 边 BC 、AD 上的两点，BE ＝DF ，AC ，EF 相交于点 O ，若 AC ⊥EF ，则△ABE 的周长为cm ．16. 如图，在平行四边形纸片 ABCD 中，AB ＝4cm ，将纸片沿对角线 AC 对折，BC 边与 AD 边交于点 E ，此时△AB 'E 恰为等边三角形，则重叠部分的面积为 cm 2．三．解答题（共 4 小题）17.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E，F 分别为OB，OD 的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接AF，CE，判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．18.如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AC 是对角线，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F，连接BF．求证：（1）AE＝EF；（2）BF∥AC．19.已知，在▱ABCD 中，点M、N 分别在AD 和BC 上，点E、F 在对角线BD 上，且DM＝BN，DF＝BE．求证：（1）△BEN≌△DFM（2）四边形MENF是平行四边形．20.如图，E、F 是▱ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）∠1＝∠2．。
2020-2021学年八年级数学人教版下册第十八章《平行四边形》单元练习题(含答案)
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元练习题（含答案）一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，6AD =，16BC =，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．若以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 运动的时间为（ ）A ．1B ．72C ．2或72D ．1或722．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90˚，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AD 的中点，若AB=8，则EF 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．233．如图，在Rt ABC ∆中， 90BAC =︒∠，45ACB ∠=︒，22AB =，点P 为BC 上任意一点，连结PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连结PQ ，则PQ 的最小值为（ ）A ．2B 2C ．2D ．44．如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中, 5AC =,3OA =,把矩形OABC 沿直线DE 对折使点C 落在点A 处,直线DE 与,,OC AC AB 的交点分别为,,D F E ,点M 在y 轴上,点N 在坐标平面内,若四边形MFDN 是菱形,则菱形MFDN 的面积是（ ）A ．258B ．134C ．278D ．1545．若一个正方形的边长为4，则它的面积是() A ．8 B ．12 C ．16D ．20 6．如图，在四边形ABCD 中,点O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A ．AC=BD ，AB∥CB，AD∥BCB ．AD∥BC，∠BAD =∠BCDC ．AO=CO ，BO=DO ，AB=BCD ．AO=BO=CO=DO ，AC⊥BD7．如果点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，那么四边形EFGH 是（ ）．A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不是8．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 中点，连接OE ，若菱形ABCD 的周长为83，则线段OE 的长为（ ）A ．43B ．23C 3D 39．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）．A．0个B．1个C．3个D．4个10．已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=( )A．3 B．4 C．5 D．611．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半D．正方形的两条对角线相等且互相垂直平分12．已知菱形较大的角是较小角的3倍，并且高为4cm，则这个菱形的面积是（）A．82cm²B．162cm²C．3233cm²D．32cm²二、填空题13．如图，在矩形ABCD中有一个正六边形EFGHIJ，其顶点均在矩形的边上，边EJ和边GH分别在矩形的边AD和BC上，则ABAD＝_____．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是_____．（写出一种即可）15．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD = 2 AB ；CF 平分∠BCD 交AD 于F ，作CE ⊥AB ，垂足E 在边AB 上，连接EF ．则下列结论：①F 是AD 的中点；②S△EBC= 2S△CEF；③EF =CF ；④∠DFE = 3∠AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上）16．如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（）17．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE的延长线于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是________．(填序号)18．如图，在□ABCD中，已知∠， cm， cm，那么_____cm，______cm.19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边CD 的中点，AD 、BE 的延长线相交于点F ，3DF =，2DE =，则平行四边形ABCD 的周长为__________．20．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A 落在A /处，BC 为折痕，然后再把BE 折过去，使之与BA 重合，折痕为BD ，若∠ABC=58°，则求∠E′BD 的度数是____________ ．三、解答题21．在平行四边形ABCD 中，AB 6cm =，BC acm =，P 是AC 上的一个动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），速度为每秒1cm ，Q 是CB 延长线上一点，与点P 以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（不与B 重合），连结PQ 交AB 于E ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，BC AB =，求点P 运动几秒后，BQE 30∠=︒.（2）在（1）的条件下，作PF AB ⊥于F ，在运动过程中，线段EF 长度是否发生变化，如果不变，求出EF 的长；如果变化，请说明理由.（3）如图3，当BC AB 时，平行四边形的面积是224cm ，那么在运动中是否存在某一时刻，点P ，Q 关于点E 成中心对称，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22．已知BD 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC ，∠BAC=90°，∠C=30°．（1）求证：CE=BE ；（2）若AD=3，求△ABC 的面积．23．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、点O 分别为BC 、AC 的中点，AE//BC ．（1）如图1，求证：四边形ADCE 是矩形；（2）如图2，若点 F 是 CE 上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形 ABDF 面积相等的三角形和四边形．24．已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，E为梯形内一点，且EA=ED，求证：EB=E C．25．如图，正方形ABCD的边长为26，点E是AB边的中点，点F是AD边上一动点(不⊥于H，与直线CD交于G．含端点)，EG BF()1求证：EG BF=．()2若,C,==试写出y与x之间的函数关系式．AF x G y()3求DH的最小值．26．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．28．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是_________，证明你的结论；（2）当四边形 ABCD的对角线满足_________条件时，四边形 EFGH是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ________（3）当四边形 ABCD的对角线满足_________条件时，四边形 EFGH是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？ _________．29．如图，边长为a的正方形ABCD中，E、F是边AD,AB上两点（与端点不重合），且AE=BF.连接CE,DF相交于点M,（1）当E为边AD的中点时，则DF的长为（用含a的式子表示）（2）求证：∠MCB+∠MFB=180°.（3）点M能成为DF的中点吗？如果能，求出此时CM的长（用含a的式子表示）；如果不能，说明理由.参考答案1．D2．B3．A4．C5．C6．D7．B8．C9．B10．A11．C12．B31314．AC=BD或AD⊥CD(答案不唯一)15．①③④.16．3．4．17．①②③④18． 1219．1420．32°21．（1）2秒；（2）EF的长度不会发生变化，且其长度为3；（3）存在，a=5. 22．（1）证明：∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=30°，∴∠C=∠DBC，∴DC=DB，∵DE⊥BC，∴EC=BE．（2）解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，22BD AD-3，∴DB=DC=6，∴AC=9，∴△ABC的面积=12×933⨯=32．23．（1）证明：∵点D、点O别是BC、AC的中点，∴OD∥AB，∴DE∥AB，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∵点D是BC的中点，∴AE平行且等于DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形ADCE 是矩形；（2）解：∵四边形ADCE 是矩形，∴AD ∥CE ，∴S △ADC =S △ADF =S △AED ，∴四边形ABDF 面积=S △ABC =S 四边形ABDE =S 矩形ADCE ．24．证明：∵EA ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ．∵等腰梯形ABCD ，∴∠BAD ＝∠CDA ，AB ＝DC,∴∠BAE ＝∠CDE,在△ABE 和△DCE 中EA ED BAE CDE AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE ．∴EB ＝EC ．25． ()1证明：如图1，作GK AB ⊥于K ．ABCD 是正方形，BCGK ∴是矩形90AB BC A ABC ∠∠︒＝,＝＝．901290KG BC AB EKG ∴∠︒∠+∠︒＝＝,＝,＝．EG BF ⊥1390∴∠+∠︒＝32∴∠∠＝()KGE ABF AAS ∴≌．EG BF ∴＝()2解：如图1，由()1KE AF x BK CG y ＝＝,＝＝ 6x y BE ∴+＝＝∴当06x ≤＜时，y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝如图2，作GP AB ⊥于P同理，BCGP 是矩形，PGE ABF ≌．PE AF x BP CG y ∴＝＝,＝＝6x y BE ∴－＝＝∴626x <<y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝()3解：如图1，取BE 的中点O ，连接.OH OD ,则DH OD OH ≥-．EG CF ⊥，12OH BE OE ∴==． 6BE AE ＝＝6OH OE ∴＝＝ 362OA ∴＝ 26AD AB ＝＝222925646644OD OA AD ∴+⨯+⨯=⨯＝＝OD ∴DH ∴≥=DH ∴的最小值为26．证明：（1）∵四边形EFGH 是矩形∴,//EH FG EH FG =∴GFH EHF ∠=∠∵180,180BFG GFH DHE EHF ∠=︒-∠∠=︒-∠∴BFG DHE ∠=∠又∵四边形ABCD 是菱形∴GBF EDH ∠=∠∴()BGF DEH AAS ∆≅∆∴BG DE =（2）连接EG∵四边形ABCD 是菱形∴,//AD BC AD BC =又∵E 为AD 中点，∴AE ED BG ==∴,//AE BG AE BG =∴四边形ABGE 是平行四边形27．（1）证明：∵∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC ＝OA ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ， ∴AC ＝BD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠CBE＝3∠ABE，∴∠ABE＝14×90°＝22.5°，∵BE⊥AO，∠BAE=90°-∠ABE=67.5°，在EB上取一点H，使得EH＝AE，∴∠HAE=∠AHE=45°，∴∠BAH=∠BAE-∠HAE=22.5°，∴∠BAH=∠ABE=22.5°，∴AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝22AE EB+=2x，∵BE＝2，∴x+2x＝2，∴x＝222-．28．（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：连结BD，如图所示：∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，同理FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：连结AC、BD，如图所示：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；菱形的中点四边形是矩形．理由如下：连结AC、BD，如图所示：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=12BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥H G，∴平行四边形EFGH是矩形；（3）添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12 BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连结AC、BD，如图所示：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH=12BD，FG=12BD，EF=12AC，GH=12AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形．29． (1)∵E为边AD的中点，∴F也为边AB边的中点，∴AF=12AB=12a，在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2，∴DF2a=；(2)∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=AD，又∵AE=BF，∴AF=DE，∵∠CDE=∠A=90°，∴△ADF≌△DCE，∴∠ADF=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠ADF+∠DEC=90°，∴∠DME=90°，∴∠MCB+∠MFB=180°；(3)假设点M成为DF的中点，∵∠DME=90°，∴DF⊥CE，∵M成为DF的中点，∴CM是DF的垂直平分线，∴DC=CF，∵DC=BC≠CF，∴点M不能成为DF的中点.。
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》常考题型专题提升训练(附答案)
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》常考题型专题提升训练（附答案）1．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（）A．1.5B．2C．2.5D．32．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）A．3对B．2对C．1对D．0对3．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（）A．110°B．35°C．70°D．55°5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．56．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为（）A．2B．4C．6D．87．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在▱ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若▱ABCD 的周长为22cm，则△CDE的周长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm9．如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（）A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC ＝15，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．1811．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是．12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为．14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长度为．15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE+DF的长度为．16．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠F AD＝60°，AE平分∠F AD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝．17．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是．19．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为．20．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是．21．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．22．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．24．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．25．在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．26．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．27．已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，∵∠OCD＝90°，∴∠BAO＝90°，∴AB＝，∵E是BC边的中点，OA＝OC，∴2OE＝AB，∴OE＝2，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD＝S△CBD．∵BP是平行四边形BEPH的对角线，∴S△BEP＝S△BHP，∵PD是平行四边形GPFD的对角线，∴S△GPD＝S△FPD．∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S▱AEPG＝S▱HCFP，∴S▱ABHG＝S▱BCFE，同理S▱AEFD＝S▱HCDG．即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG．故选：A．3．解：A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴2∠B+2∠C＝360°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；故选：C．4．解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，∴∠BCD＝∠A＝110°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．故选：C．5．解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．6．解：∵点E是AC的中点，AB＝AC，∴AB＝AC＝4，∵D是边AB的中点，∴AD＝2，∵E、F分别是边、AC、BC的中点，∴DF＝AC＝2，同理，EF＝2，∴四边形ADFE的周长＝AD+DF+FE+EA＝8，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；或∵AC⊥AB，∴AB＜OB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确．故选：C．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，又∵EO⊥AC，∴AE＝CE，∵▱ABCD的周长为22cm，∴2（AD+CD）＝22cm∴AD+CD＝11cm∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm 故选：C．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵▱ABCD的周长为40cm，∴AB+BC＝20cm，∵BC＝AB，∴BC＝20×＝8cm，故选：D．10．解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，在△ABN与△AEN中，∵，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝10，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×3＝6，∴AC＝AE+CE＝10+6＝16．故选：C．11．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝30°，∴∠EPF＝120°，故答案为：120°．12．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．13．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵BC＝9，CD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝9﹣5＝4．故答案为：4．14．解：在▱ABCD中，CD＝AB＝4，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，即5×3＝4•AF，解得AF＝．故答案为：．15．解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABF，∴AB＝AE，同理可得：BC＝CF，∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴AE＝3cm．CF＝5cm，∴DE＝5﹣3＝2cm，DF＝5﹣3＝2cm，∴DE+DF＝2+2＝4cm，故答案为：4cm．16．解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，又∵AE平分∠F AD，AD∥BC，∴∠F AE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，故答案为：4．17．解：如图所示：∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三种情况：①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，﹣2）；③当OA为对角线时，点C的坐标为（﹣1，2）；故答案为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．18．解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，∴可增加BE＝DF，故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理可证：DE＝DC＝6，∵EF＝AF+DE﹣AD＝2，即6+6﹣AD＝2，解得AD＝10，∴BC＝10，故答案为：10．20．解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE＝AB＝5，DE∥AB，BD＝BC＝4，∴∠ABF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴DF＝DB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1，故答案为：1．21．证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．22．（1）证明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE＝3，∴CF＝AE＝3，∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．23．（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．24．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DF A．∴∠DAF＝∠DF A．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠B＝∠AFE，∴∠AFD＝∠C，∵AB＝AF，∴AF＝DC，在△ADF和△DEC中，∴△ADF≌△DEC（AAS）；（2）证明：∵△ADF≌△DEC，∴AD＝DE，DF＝EC，又∵AD＝BC，∴BC＝DE，∴BC﹣EC＝DE﹣DF，即BE＝EF．26．（1）证明：延长CE交AB于点G，∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°，在△AEG和△AEC中，，∴△AGE≌△ACE（ASA）．∴GE＝EC．∵BD＝CD，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB．∵DE＝BF，∴四边形BDEF是平行四边形．（2）解：BF＝（AB﹣AC）．理由如下：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE．∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF＝DE＝BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．27．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN，又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．∵在△AEM与△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（ASA）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD又由（1）得AM＝CN，∴BM＝DN，BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．。
八年级数学下册第六章 平行四边形 同步单元练习题
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 平行四边形 同步单元练习题A 组(基础题)一、填空题1．在▱ABCD 中，两邻边的差为6 cm ，周长为28 cm ，则▱ABCD 中较短一边的长为4． 2．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为____．3．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，AF ⊥BC ，垂足为F ，∠ADE ＝30°，DF ＝4，则BF 的长为____．4．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是▱ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD ＝AE ＝BE ，∠D ＝102°，则∠BAC 的大小是____．二、选择题5．在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，BD ＝4，AB ＝x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x<5B ．2<x<10C ．1＜x<10D ．2<x<56．如图，P 是面积为S 的▱ABCD 内任意一点，△PAD 的面积为S 1，△PBC 的面积为S 2，则( )A ．S 1＋S 2＞S2B ．S 1＋S 2＜S2C ．S 1＋S 2＝S2D ．S 1＋S 2的大小与P 点位置有关7．下列结论正确的是( )A ．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．一边长为5 cm ，两条对角线长分别是4 cm 和6 cm 的四边形是平行四边形C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是平行四边形8．在平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是( )A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－1，2)三、解答题9．(1)已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 800°.①求这个多边形的边数；②求此多边形的对角线条数．(2)如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.求证：BE＝DF.10．(1)如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.①求证：四边形EFCD是平行四边形；②连接BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD.(2)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝10，求线段BC的长．B组(中档题)一、填空题11．(1)如图，E为▱ABCD内一点，且EA＝EB＝EC.若∠D＝50°，则∠AEC的度数是____；(2)一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1 510°，则这个多边形对角线的条数是____．12．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋x＋1过一定点A，坐标系中有点B(2，0)和点C，要使以A，O，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为____．13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为____cm2.二、解答题14．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG，H为FG的中点，连接DH，AF.(1)若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；(2)求证：四边形AFHD为平行四边形；(3)连接EH，交BC于点O.若OC＝OH，求证：EF⊥EG.C 组(综合题)15．(1)如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F ，G ，连接FG.求证：FG ＝12(AB ＋BC ＋AC)．(提示：分别延长AF ，AG 与直线BC 相交)(2)如图2，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F ，G ，连接FG.线段FG 与△ABC 的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 平行四边形 同步单元练习题A 组(基础题)一、填空题1．在▱ABCD 中，两邻边的差为6 cm ，周长为28 cm ，则▱ABCD 中较短一边的长为4． 2．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为8．3．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，AF ⊥BC ，垂足为F ，∠ADE ＝30°，DF ＝4，则BF 的长为43．4．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是▱ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD ＝AE ＝BE ，∠D ＝102°，则∠BAC 的大小是26°．二、选择题5．在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，BD ＝4，AB ＝x ，则x 的取值范围是(A)A ．1<x<5B ．2<x<10C ．1＜x<10D ．2<x<56．如图，P 是面积为S 的▱ABCD 内任意一点，△PAD 的面积为S 1，△PBC 的面积为S 2，则(C)A ．S 1＋S 2＞S2B ．S 1＋S 2＜S2C ．S 1＋S 2＝S2D ．S 1＋S 2的大小与P点位置有关7．下列结论正确的是(C)A ．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．一边长为5 cm ，两条对角线长分别是4 cm 和6 cm 的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D ．对角线相等的四边形是平行四边形8．在平面直角坐标系中，已知▱ABCD 的三个顶点坐标分别是A(m ，n)，B(2，－1)，C(－m ，－n)，则点D 的坐标是(A)A ．(－2，1)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(－1，2) 三、解答题9．(1)已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 800°. ①求这个多边形的边数； ②求此多边形的对角线条数．解：①设这个多边形的边数为n ，由题意，得 (n －2)×180°－360°＝1 800°，解得n ＝14. 故这个多边形的边数为14.②此多边形的对角线条数＝12×14×(14－3)＝77.(2)如图，E ，F 是▱ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF.求证：BE ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠BAC ＝∠DCA. ∵CE ＝AF ，∴CE －EF ＝AF －EF ，即CF ＝AE. 在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．∴BE ＝DF.10．(1)如图，已知△ABC 是等边三角形，点D ，F 分别在线段BC ，AB 上，∠EFB ＝60°，EF ＝DC.①求证：四边形EFCD 是平行四边形； ②连接BE ，若BE ＝EF ，求证：AE ＝AD.证明：①∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°， ∵∠EFB ＝60°. ∴∠ABC ＝∠EFB. ∴EF ∥DC. ∵DC ＝EF ，∴四边形EFCD 是平行四边形．②∵BF ＝EF ，∠EFB ＝60°，∴△EFB 是等边三角形． ∴EB ＝EF ，∠EBF ＝60°. ∵DC ＝EF ，∴EB ＝DC.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AB ＝AC. ∴∠EBF ＝∠ACB.∴△AEB ≌△ADC(SAS)．∴AE ＝AD.(2)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，∠CEF ＝45°，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，FN ＝10，求线段BC 的长．解：连接BE.在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC. ∵AB ＝OB ，E 是OA 的中点， ∴BE ⊥OA.∵E ，F 分别是OA ，OD 的中点， ∴EF ∥AD ∥BC ，EF ＝12AD ＝12BC.∵EM ⊥BC ，∴∠FEN ＝∠BMN ＝90°.∴∠ECB ＝∠CEF ＝45°.∴△BEC 是等腰直角三角形． ∵EM ⊥BC ，∴EM ＝BM ＝CM ＝12BC.∴EF ＝BM.在△FEN 和△BMN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FNE ＝∠BNM ，∠FEN ＝∠BMN ，EF ＝MB ，∴△FEN ≌△BMN.∴EN ＝MN ，即EF ＝2EN ，BC ＝4EN.在Rt △FEN 中，EN 2＋EF 2＝FN 2， ∴EN 2＋4EN 2＝10，解得EN ＝ 2. ∴BC ＝4 2.B 组(中档题)一、填空题 11．(1)如图，E 为▱ABCD 内一点，且EA ＝EB ＝EC.若∠D ＝50°，则∠AEC 的度数是100°；(2)一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1 510°，则这个多边形对角线的条数是44．12．在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋x ＋1过一定点A ，坐标系中有点B(2，0)和点C ，要使以A ，O ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，则点C 的坐标为(－2，1)或(2，－1)或(2，1)．13．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE相交于点Q.若S △APD ＝16 cm 2，S △BQC ＝25 cm 2，则图中阴影部分的面积为41cm 2.二、解答题14．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ，H 为FG 的中点，连接DH ，AF.(1)若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数； (2)求证：四边形AFHD 为平行四边形；(3)连接EH ，交BC 于点O.若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG.解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠CDE ＝180°－∠BAE ＝110°. ∵∠DCE ＝20°，∴∠DEC ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝50°. (2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠BAE ＝∠BCD.∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，∴BC 是△EFG 的中位线． ∴BC ∥FG ，BC ＝12FG.∵H 为FG 的中点，∴FH ＝12FG.∴BC ∥FH ，BC ＝FH.∴AD ∥FH ，AD ＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． (3)证明：连接BH ，CH ，∵CE ＝CG ，FH ＝HG ，∴CH ＝12EF ，CH ∥EF.∵EB ＝BF ＝12EF ，∴BE ＝CH.∴四边形EBHC 是平行四边形． ∴OB ＝OC ，OE ＝OH.∵OC ＝OH ，∴OE ＝OB ＝OC ＝12BC.∴△BCE 是直角三角形．∴∠FEG ＝90°，即∴EF ⊥EG.C 组(综合题)15．(1)如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F ，G ，连接FG.求证：FG ＝12(AB ＋BC ＋AC)．(提示：分别延长AF ，AG 与直线BC 相交)(2)如图2，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F ，G ，连接FG.线段FG 与△ABC 的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．解：(1)如图1，分别延长AF ，AG ，与BC 交于点M ，N. 由题意知，∠ABF ＝∠MBF ，∠AFB ＝∠MFE ， 在△ABF 和△MBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ，∴△ABF ≌△MBF(ASA)．∴MB ＝AB.∴AF ＝MF. 同理得CN ＝AC ，AG ＝NG.∴FG 是△AMN 的中位线．∴FG ＝12MN.∴FG ＝12(MB ＋BC ＋CN)＝12(AB ＋BC ＋AC)．(2)猜想：FG ＝12(AB ＋AC －BC)．证明：如图2，延长AG ，AF ，与直线BC 相交于点M ，N. 由(1)证得△ABF ≌△NBF ， ∴NB ＝AB ，AF ＝NF.同理得CM ＝AC ，AG ＝MG. ∴FG ＝12MN.∴MN ＝2FG.∴BC ＝BN ＋CM －MN ＝AB ＋AC －2FG. ∴FG ＝21(AB ＋AC －BC)．。
2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章 平行四边形 经典常考题专题训练(一)
人教版八年级数学下册第18章平行四边形经典常考题专题训练（一）1．如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？2．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠PAB，求AP的长度．3．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO 的长．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：∠DAC＝∠DCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．5．如图，在正方形ABCD中，点E．F分别在BC和CD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：△AEF为等腰三角形．（2）过点E作EM∥AF，过点F作FM∥AE，判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并证明你的结论．6．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA ＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD ＝12，AB＝5，求PE+PF的值．7．如图，在平行四边形BPCD中，点O为BD中点，连接CO并延长交PB延长线于点A，连接AD、BC，若AC＝CP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若AB＝9，BC＝12，AE ＝3，则AF的长为．8．如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形．9．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．10．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．11．已知：如图，在▱ABCD中，∠BCD的角平分线交AB于E，交DA的延长线于F．（1）求证：DF＝DC；（2）若E是FC的中点，已知BC＝2，DE＝3，求FC的长．12．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求∠F的度数．13．已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD ＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．14．如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别是CD，AB上的点，且AG＝CF，连接FG，BD交于点O．（1）求证：OB＝OD；（2）若∠A＝45°，DB⊥BC，当CD＝2时，求OC的长．15．如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E 是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE＝∠CDG＝∠FDG．（1）∠A＝45°，∠ADF＝75°，CD＝3+，求线段BC的长；（2）求证：AB＝BF+DF．参考答案1．解：（1）AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），∵当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，即2t＝6﹣t，解得t＝2．∴当t＝2时，△PAQ是等边三角形；（2）∵△PAQ是直角三角形，∴∠AQP＝90°，当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，，即AP＝2AQ，∴2t＝2（6﹣t），解得t＝3（秒），当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，，即AQ＝2AP∴6﹣t＝2•2t，解得（秒）．∴当t＝3或时，△PAQ是直角三角形．2．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，∴∠P＝∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝8．3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．4．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA；（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OE＝OA＝2．5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌△RtADF（SAS），∴AE＝AF，∴三角形AEF是等腰三角形；（2）四边形AEMF是菱形．理由如下：∵EM∥AF，FM∥AE，∴四边形AEMF是平行四边形，由（1）知AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．6．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝＝13，∴BO＝OD＝AO＝CO＝，∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴××FP+××EP＝15，∴PE+PF＝．7．（1）证明：∵四边形BPCD是平行四边形，∴CP＝BD，BP∥CD，BP＝CD，∴∠OAB＝∠OCD，AB∥CD，∵点O为BD中点，∴OB＝OD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝CP，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴OA＝OB，AC＝＝＝15，∴OA＝，作OG⊥AB于G，如图所示：则AG＝BG＝，∴OG是△ABD的中位线，∴GO∥AD，GO＝AD＝6，∴GE＝AE+AG＝3+＝，∴＝，解得：AF＝，故答案为：．8．（1）证明：连接BD交AC于O，如图1所示：∵四边形DEBF是平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：∵AE＝CF，∴△ADE的面积＝△DFC的面积，△ABE的面积＝△CBF的面积，由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴△ADE的面积＝△CBF的面积，∴△ADE的面积＝△DFC的面积＝△ABE的面积＝△CBF的面积．9．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD∥CE，∠OCE＝90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝1，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．10．解：（1）在矩形ABCD中，AF∥CE，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAE＝∠DCF，∴∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAC，∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE，∴∠CAE＝∠ECA，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，∴BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，∴由勾股定理可知：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，在Rt△ABC，由勾股定理可知：AC2＝42+82，∴△ABC的周长为：5+5+4＝10+4．11．解：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠F，∴∠F＝∠DCE，∴DF＝DC；（2）∵AD∥BC，∴∠F＝∠BCE，∠B＝∠FAE，∵E是FC的中点，∴CE＝FE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴AF＝BC＝2，又∵AD＝BC＝2，∴DF＝4，∵DF＝DC，E是CF的中点，∴DE⊥CF，∴Rt△DEF中，EF＝＝＝，∴FC＝2EF＝2．12．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形，（2）解：由（1）得：四边形DCFE是平行四边形，∴CD∥FE，∴∠F＝∠BCD，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝30°，∴∠F＝30°．13．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∵CP平分∠BCD，∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC＝∠DCP，∴DP＝CD，∵CD＝CP，∴CP＝CD＝DP，∴△PDC是等边三角形，∴∠B＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∵△PDC是等边三角形，∴△PCD三边上的高相等，且等于sin60°×4＝×4＝2，∴S△PCD＝×2×4＝4（cm2）；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴PD∥BC，若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，∴6﹣0.5t＝6﹣2t，解得：t＝0（不合题意舍去）；②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，∴6﹣0.5t＝2t﹣6，解得：t＝4.8；③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，∴6﹣0.5t＝18﹣2t，解得：t＝8；④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，∴6﹣0.5t＝2t﹣18，解得：t＝9.6；综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．14．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ODF＝∠OBG，∵AG＝CF，∴BG＝DF，在△DOF和△BOG中，，∴△DOF≌△BOG（AAS），∴OB＝OD；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝45°，∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠BDC＝∠BCD＝45°，∴DB＝CB，又∵CD＝2，∴CB＝DB＝2，∴OB＝1，∴Rt△BCO中，OC＝＝＝．15．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝45°，AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝135°，∵∠ADF＝75°，∴∠CDF＝135°﹣75°＝60°，∵∠CDG＝∠FDG，∴∠CDG＝∠FDG＝30°，作GH⊥CD于H，如图1所示：则DH＝GH，CH＝GH，CG＝GH，∵CD＝DH+CH，∴GH+GH＝3+，解得：GH＝，∴CG＝GH＝，∵点G是线段BC的中点，∴BC＝2CG＝2；（2）证明：延长DG交AF的延长线于M，如图2所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠CDG＝∠M，∵CDG＝∠FDG，∴∠M＝∠FDG，∴DF＝MF，∵点G是线段BC的中点，∴BG＝CG，在△CDG和△BMG中，，∴△CDG≌△BMG（AAS），∴CD＝BM，∵AB＝CD，BM＝BF+MF，∴AB＝BF+DF．。
2020-2021学年人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》基础训练卷(一)(含答案)
2020-2021学年八年级下册数学第18章《平行四边形》基础训练卷（一）时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．42．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5 B．9 C．10 D．123．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（）A．6 B．8 C．D．4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm5．如图，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度为（）A．B．5 C．D．26．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°7．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．15 C．30 D．608．如图，直线a、b、c分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且互相平行，若直线a、b 的距离为2，直线b、c的距离为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4 B．C．D．69．如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（）A ．3B ．4C ．5D ．1010．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．10二．填空题（每题4分，共20分）11．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是DC 边上的中点，连接OE ，若OE ＝5，BD ＝12，则菱形ABCD 的面积为 ．12．如图，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝5，BE ＝2，则▱ABCD 的周长是 ．13．如图，l 1∥l 2，菱形ABCD 的顶点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，直线l 1过CD 的中点E ，AB ⊥l 2，AB ＝4，则AE ＝ ．14．若平行四边形ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成2cm、3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是cm．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．三．解答题（每题10分，共50分）16．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．18．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OB．（1）求证：∠ABC＝90°；（2）若AD＝4，∠AOD＝60°，求CD的长．19．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，以B为顶点，作∠CBE＝∠ACB交DC延长线于点E（1）求证：四边形ABEC是矩形；（2）若AB＝6，BC＝10，点P从点E出发，沿E→C→B方向，以每秒1个单位的速度向终点B运动；点Q从点D出发，沿D→C→A方向，以每秒2个单位的速度向终点A运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动．设运动时间为t（s）．若△APD是等腰三角形，求t的值．参考答案一．选择题1．解∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABD和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OA＝OB，∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BAO＝∠CDO＝45°，∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，∴AB＝BO＝OC＝CD，设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，由题意x+x+2x+2x＝36，∴x＝6，∴AB＝6．故选：A．2．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∴OA＝OB，。
2020-2021学年人教版八年级数学下册 第18章 《平行四边形》 单元综合测试卷(含答案)
人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为()A．4 B．12 C．24 D．282．如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是()A．4个B．6个C．8个D．10个3．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．AB＝DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BCC．AB∥DC，AD＝BCD．AB∥DC，AB＝DC4．下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是() A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形6. 如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边的P点处，若∠FPH ＝90°，PF＝16，PH＝12，则矩形ABCD的边BC长为()A ．40B ．44C ．48D ．607．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．328．将一张矩形纸片对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( )A ．三角形B ．矩形C ．菱形D ．梯形 9．平行四边形的对角线一定具有的性质是( ) A ．相等 B ．互相平分C ．互相垂直D ．互相垂直且相等10．矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH.若BC ＝EF ＝2，CD ＝CE ＝1，则GH ＝( )A ．1B ．23C ．22D ．52二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝6，BE ＝2，则▱ABCD 的周长是________．12. 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC ＝8，BD ＝10，AB ＝5，则△OCD 的周长为__ __．13．如图，在平面直角坐标系中，△ACE 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，点C 与点E 关于x 轴对称，则点D 的坐标是__ __．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝30 cm，△OAB的周长为23 cm，则EF的长为__________．16．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是__ _．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为_______．18．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 020秒时，点P的坐标为________．三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的大小关系，并证明你的结论．20．(8分) 平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：四边形ABCD是平行四边形．21．(8分) 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE ＝CF.22．(10分) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD 交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．23．(10分) 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE.(1)试确定四边形ADCE的形状，并说明理由．(2)若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．24．(10分) 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的一动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．25．(12分) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案1-5BBCCD 6-10CCCBC 11．20 12. 14 13．(33，0) 14.2.5 15．4 cm 16. 24cm 17. 10 18．(0，3) 19. 解：BE ＝DF.理由如下：连接DE ，BF. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF. ∴四边形BFDE 是平行四边形．∴BE ＝DF. 20. 证明：连接AC ，如图，在△ABC 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD CB ＝AD AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA(SSS)，∴∠BAC ＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD ，∴AB ∥CD ，BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形21. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF.又BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°. 在△ABE 与△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠CFD ，∠BAE ＝∠DCF ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)，∴AE ＝CF22. 证明：∵AF ∥CD ，∴∠AFE ＝∠CDE ，在△AFE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠CDE ，∠AEF ＝∠CED ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CED.AF ＝CD ，∵AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∴AE ＝12AC ，又AC ＝2AB ，AE ＝AB ，∠EAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△ABD.∴∠AED ＝∠B ＝90°，即DF ⊥AC. ∴四边形ADCF 是菱形23．解：(1)四边形ADCE 是菱形．理由：∵四边形BCED 为平行四边形，∴CE ∥BD ，CE ＝BD ，BC ∥DE. ∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD. ∴CE ＝AD. 又∵CE ∥AD ，∴四边形ADCE 为平行四边形．∵BC ∥DF ，∴∠AFD ＝∠ACB ＝90°，即AC ⊥DE. ∴四边形ADCE 为菱形．(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝16，AC ＝12，∴BC ＝47. ∵BC ＝DE ，∴DE ＝47. ∴四边形ADCE 的面积＝12AC·DE ＝247.(3)当AC ＝BC 时，四边形ADCE 为正方形．证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，即∠ADC ＝90°. ∴四边形ADCE 为正方形．∠ADP ＋∠ADQ ＝90°，即∠PDQ ＝90°，∴△PDQ 为等腰直角三角形(2)当P 点运动到AB 的中点时，四边形APDQ 是正方形； 理由：∵P 为AB 的中点，AB ＝AC ，BP ＝AQ ，∴点Q 为AC 的中点，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，DP ＝AP ＝12AB ，QD ＝AQ ＝12AC ， ∴DP＝AP ＝QD ＝AQ ，∴四边形APDQ 为菱形，又∵∠A ＝90°，∴四边形APDQ 是正方形25．解：(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC ＝∠DAC.在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF ，∴∠AFD ＝∠AFB. 又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE.(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD. 又由(1)知∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD. 又∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(3)当BE ⊥CD 时，∠EFD ＝∠BCD. 理由：∵由(2)知四边形ABCD 是菱形，∴CB ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF.又CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF ，∴∠CBF ＝∠CDF. 又∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°.∴∠BCD ＋∠CBF ＝90°，∠EFD ＋∠CDF ＝90°. 又∵∠CBF ＝∠CDF ，∴∠EFD ＝∠BCD.。
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》经典好题专题提升训练(附答案)
2020-2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》经典好题专题提升训练（附答案）1．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．90°2．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作▱ABED，则∠E的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°3．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（）A．1：1：2：3B．1：2：1：2C．1：1：2：2D．1：2：2：1 4．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥AD，AO＝COC．AB＝AD，BC＝CD D．AB∥CD，AD＝BC5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（）A．6.5B．6C．5.5D．6．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（）A．2B．C．3D．47．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9 C．10D．128．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF 长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．29．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°10．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（）A．22B．26C．22或26D．1311．如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝5，BD＝12，AD＝，则▱ABCD的面积为（）A．20B．40C．62D．7212．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．813．已知点A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是．14．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，▱ABCD的面积为cm2．15．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是．16．▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为cm．17．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD ＝．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为．19．如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为．20．如图，在▱ABCD中，P为CD上一点，BC＝BP，BP平分∠ABC，∠ABD＝43°，则∠APB的度数是度．21．在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为．22．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF ⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．23．平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为．24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是．25．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．26．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠P AB，求AP的长度．27．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB 的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．28．如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段．29．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．30．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．31．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．32．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．故选：C．2．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵四边形ABED是平行四边形，∴∠E＝∠A＝65°．故选：C．3．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．故选：B．4．解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠A＝∠C，∠B＝∠D，理由如下：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：A．5．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC＝＝＝12，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝6，故选：B．6．解：连接OE，如图所示：∵2AB＝BC＝4，∴AB＝2，∵AC，BD互相平分，∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，∵以AC为斜边作Rt△ACE，∴OE＝OA＝OC＝AC，∵BE⊥DE，∴OE＝OB＝OD＝BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，故选：A．7．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．8．解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．9．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．10．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，故选：C．11．解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE∥AM，∴四边形AMED是平行四边形，∴AD＝ME，AM＝DE，∵M是BC的中点，AD＝，∴MB＝BC＝，∴BE＝BM+ME＝13，∵四边形AMED是平行四边形，∴AM＝DE＝5，∵BD＝12，∴52+122＝132，∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为＝，∴平行四边形ABCD的面积为×＝40．故选：B．12．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴ED＝EB＝3，∴EF＝ED+DF＝4，∴BC＝2EF＝8，故选：D．13．解：如图，以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2′；以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（7，3）就是第四个顶点D3；∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（7，3）．14．解：∵▱ABCD的周长为36cm，∴AB+BC＝18cm①，∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，∴4AB＝5BC②，由①②得：AB＝10cm，BC＝8cm，∴▱ABCD的面积为：AB•DE＝40（cm2）．故答案为：40．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．故答案为：S1＝S2．16．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，∴，两个方程相加，得AB＝19（cm）．故答案为：19．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2；故答案为：2．18．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，∴∠CBH＝45°，BC＝4，又∵∠H＝90°，∴∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝4，设AE＝x，则BE＝8﹣x，∵EF垂直平分AC，∴CE＝AE＝x，∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，∴42+（8﹣x+4）2＝x2，解得x＝，∴AE的长为．故答案为：．19．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣52°＝128°，∵AE平分∠BAD，∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD＝64°，∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣64°＝116°；故答案为：116°．20．证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD＝BC，∴∠ABP＝∠BPC，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠BPC＝∠CBP，∵BC＝BP，∴∠BPC＝∠C，∴∠CBP＝∠BPC＝∠C，∴BC＝BP＝PC，∴△BPC是等边三角形，∴∠BPC＝∠PBC＝∠ABP＝∠BAD＝60°，∴四边形DPBA是等腰梯形，∴∠P AB＝∠ABD＝43°，∴∠APB＝180°﹣60°﹣43°＝77°．故答案为：77．21．解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，则AC2+BD2＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2＝50+2x2+2y2＝50+2×42＝82．故答案为：82．22．解：如图，延长DC和FE交于点G，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，∴EF＝，∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．故答案为：2．23．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，∴26×8＝12×AF，∴AF＝，即AB与CD间的距离为．故答案是：．24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝2，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OCD＝∠BAC，∠BCO＝∠DAC＝30°，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∴∠OCD＝∠BAC＝75°﹣30°＝45°，分三种情况：①当点P在BC上，∠POC＝90°时，如图1所示：∵∠BCO＝30°，∴OP＝OC＝，CP＝2OP＝；②当点P在BC上，∠OPC＝90°时，如图2所示：∵∠BCO＝30°，∴OP＝OC＝1，CP＝OP＝；③当点P在CD上，∠OPC＝90°时，如图3所示：∵∠OCD＝45°，∴△OPC是等腰直角三角形，∴CP＝OC＝；综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是或或，故答案为：或或．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠HAC＝∠ACB，∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵∠GAC＝∠ACB，∴GA＝GC，∴平行四边形AGCH是菱形．26．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝4，又∵∠ABD＝∠MAP+∠P AB，∠ABD＝∠P+∠BAP，∴∠P＝∠P AM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝8．27．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，∴AF＝BC，在Rt△AFD和Rt△BCA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），∴DF＝AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AC＝AE，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，∴DF＝AE，又∵DF⊥AB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC ＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．28．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，且CF∥BD，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，∵AB＝AC，∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．29．（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∵∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝6，解得：AM＝3﹣3，∴AC＝2AM＝6﹣6．30．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．31．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，∴四边形DCFE为平行四边形，∴EF＝DC，在等边△ABC中，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CD＝BC•sin60°＝2，∴EF＝2．32．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝FC，∵EG＝AE，∴EG＝FC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，∵EG＝AE，点E为OB的中点，∴AG、OB互相平分，∴四边形ABGO是平行四边形，∴S△ABO＝S△BGO，∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵OA＝OC，EG＝AE，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∵四边形ABGO是平行四边形，∴BG∥AC，∴四边形BOCG是平行四边形，∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵四边形ABGO是平行四边形，∴GO∥AB，GO＝AB，∵AB∥CD，∴GO∥CD，GO＝CD，∴四边形CDOG是平行四边形，∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴EF＝BD＝OD，∵四边形CDOG是平行四边形，∴CG∥EF，CG＝OD，∴EF＝CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．。
9-3 平行四边形-2020-2021学年八年级数学下册课时同步练(苏科版)(解析版)
第九单元第3课时平行四边形一、选择题1．如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC 边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【答案】：C【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC-BE=4cm．故答案为：C．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．2.在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD 是（）A．61°B．63°C．65°D．67°【答案】：C【解析】：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD 的度数．3．如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E，F 分别为PB，PC 的中点，△PEF，△PDC，△PAB 的面积分别为S，S 1，S 2．若S=3，则S 1+S 2的值为（）A．24B．12C．6D．3【答案】：B【解析】：过P 作PQ∥DC 交BC 于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S △PDC =S △CQP ，S △ABP =S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF∥BC，12EF BC ∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S △PEF ：S △PBC =1：4，S △PEF =3，∴S △PBC =S △CQP +S △QPB =S △PDC +S △ABP =S 1+S 2=12．故选：B．分析：过P 作PQ 平行于DC，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积=△CPQ 面积+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．4．如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB【答案】：C【解析】：对角线不一定相等，A错误；、对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．5．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（）A．6＜AC＜10B．6＜AC＜16C．10＜AC＜16D．4＜AC＜16【答案】：D【解析】：分析：根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．6．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是()①如果再加上条件BC=AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件∠BAD=∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件AO=CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件∠DBA=∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．A.②③B.①③④C.①②D.②③④【答案】：A【解析】：①也可能是等腰梯形．②可得AD∥BC，故正确．③可判定△ABO≌△CDO，就有AB=CD，故可判定为平行四边形，正确．④也可能是等腰梯形．故选A【分析】根据已知，结合题意，画出图形，再根据平行四边形的判定，逐一判断即可．7．【答案】：B7．若平行四边形的两条对角线长为6cm和16cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm【答案】：B【解析】：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．只有选项B在此范围内，故选B．【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．二、填空题8．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加_____条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．(填一个符合要求的条件即可)【答案】：BE=DF（答案不唯一）【解析】：可以添加的条件有BE=DF等；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF；（SAS）∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；∴∠AEF=∠CFE；∴AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为BE=DF．【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．9．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：(1)如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(2)如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(3)如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(4)如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是_____．答案：（2）（3）【解析】：其中正确的说法是（2）、（3）．因为再加上条件“∠BAD=∠BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明△AOB≌△COD，所以，AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形．故答案为：（2）（3）．【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C，∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．故答案为120°．【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C，易得∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，解方程组即可求得．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，若AB=10cm，AD=12cm，则EC=．【答案】：2cm【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=12cm，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=10cm，∴EC=BC﹣BE=12﹣10=2（cm）．故答案为：2cm．【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，易得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．三、解答题12．如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．【分析】易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．13．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∠2+∠D+∠CAD=180°，∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．14．如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF．∴BE=FD，BE∥FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE=BF．【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=FD，易证四边形EBFD是平行四边形．15．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出即可．16.如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长【答案】：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．∴∠1=∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC=CF=10，∴DF=BF-DC=10-6=4．【解析】：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB ∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF-CD即可算出DF的长．17．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；【答案】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB。
2020-2021学年华东师大版八年级下册数学 18.1平行四边形的性质 同步测试(含解析)
18.1平行四边形的性质同步测试一．选择题1．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm 2．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（）A．1：1：2：3B．1：2：1：2C．1：1：2：2D．1：2：2：1 3．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．90°4．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作▱ABED，则∠E的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°5．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（）A．﹣1B．2﹣1C．6﹣6D．4﹣26．如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（）A．4B．8C．8D．107．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（）A．+n B．m+C．D．8．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊中的四边形两对角线长度和为（）A．29B．26C．24D．259．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O（AD＞AB）．下列说法：①AB＝CD；②S△AOB ＝S△AOD；③∠ABD＝∠CBD；④对边AB，CD之间的距离相等且等于BC的长．其中正确的结论有（）个A．1B．2C．3D．410．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（）A．21B．24C．27D．18二．填空题11．已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A＝．12．如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，D＝102°，则∠BAC的度数是．13．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，则对角线PQ的最小值为．三．解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，请问AF与CE有何关系？请说明理由．17．如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE⊥DF．18．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．参考答案一．选择题1．解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．故选：D．2．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．故选：B．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．故选：C．4．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵四边形ABED是平行四边形，∴∠E＝∠A＝65°．故选：C．5．解：作CN⊥AD于点N，作EM⊥AD于点M，则CE＝MN，∵S▱ABCD＝12，BC＝6，∴EM＝CN＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝135°，∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D，AD＝BC＝6，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠CND＝90°，∴∠D＝∠DCN＝45°，∴DN＝CN＝2，∵EM⊥AD，∵CM⊥AD，∠EFD＝30°，∴MF＝＝＝2，∵AD＝6，AF＝CE，CE＝MN，∴AF+FM+MN+DN＝AD＝6，∴AF+2+MN+2+6，∴2AF＝4﹣2，∴AF＝2﹣1，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，∴EB⊥FC，∴∠FGB＝90°．过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：∵AM∥FC，∴∠AOB＝∠FGB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝6，∵AO⊥BE，∴BO＝EO，在△AOE和△MOB中，，∴△AOE≌△MOB（ASA），∴AO＝MO，∵AF∥CM，AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∴AM＝FC＝4，∴AO＝2，∴EO＝＝＝4，∴BE＝8．故选：C．7．解：∵N为CD中点，∴CN＝DN＝CD＝AB＝BC＝AD，∴∠DAN＝∠DNA，∠CBN＝∠CNB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠C＝2∠DNA，∠D＝2∠CNB，∴∠DNA+∠CNB＝（∠C+∠D）＝90°，∴∠ANB＝180°﹣（∠DNA+∠CNB）＝90°即△NAB为直角三角形，∵BN＝m，AN＝n，∴CD＝AB＝＝．故选：D．8．解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，∴BC＝AD＝20，EF×AD＝×120，∴EF＝6，又BC＝20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6＝26，故选：B．9．解：A．∵平行四边形ABCD的对边相等，故此选项正确；B．∵四边形ABCD被对角线分成的四个三角形面积都相等，故此选项正确；C．∵四边形ABCD对角线不会平分对角，故此选项不正确；D．∵四边形ABCD对边之间的距离是垂线段的长度，故此选项不正确；故选：B．10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为30，∴AB+BC＝×30＝15，∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，故选：A．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝×180°＝36°．故答案为：36°．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，故答案为：26°．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2；故答案为：2．14．解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．15．解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝，∵四边形P AQC是平行四边形，∴AP∥CQ，∴当PQ⊥AP时，PQ的最小值等于CD的长，∴对角线PQ的最小值为，故答案为：．三．解答题16．解：AF＝CE，AF∥CE，理由如下：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵E，F分别AD，BC的中点，∴，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE．17．证明：∵E是BC边的中点，∴BE＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，在△BEF和△CED中，∴△CDE≌△BFE（AAS）；∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，∵△CDE≌△BFE，∴EF＝ED，∴AE⊥DF．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，又∵ED平分∠AEC，∴∠ADE＝∠CED＝45°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）△ABF是等腰直角三角形，证明：∵CF⊥DE，∴∠CFE＝90°，又∵∠CEF＝45°，∴∠ECF＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，∴EF＝CF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（SAS），∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，即∠AFB＝∠EFC＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形．。
2020-2021学年华东师大版数学八年级下册：第18平行四边形 章综合测试
第18章综合测试一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．如图所示，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，下列判断正确的是（ ）A ．若AO OC =，则四边形ABCD 是平行四边形B ．若AC BD =，则四边形ABCD 是平行四边形C ．若AC BD CO DO ==，，则四边形ABCD 是平行四边形 D ．若AO CO BO DO ==，，则四边形ABCD 是平行四边形2．如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF DC ⊥于点F ，且60EAF ︒∠=，则B ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．50︒C ．70︒D ．65︒3．如图，在ABCD 中，AC BD ，为对角线，6BC BC =，边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．244．如图，直线12l l ∥，点A F E B ，，，在直线2l 上，点C D ，在直线1l 上，且AF BE ＜.若AEC △的面积为1S ，FBD △的面积为2S ，则（ ）A ．12S S ＞B ．12S S =C ．D ．不确定5．在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若86AC BD ==，，则边AB 长的取值范围是（ ）A ．17AB ＜＜ B ．214AB ＜＜C ．68AB ＜＜D ．34AB ＜＜6．如图，在ABC △中，8AB AC ==，D 是BC 上一动点（点D 不与点B C ，重合），且DE AB DF AC ∥，∥，则四边形DEAF 的周长是（ ）A ．24B ．18C ．16D ．127．已知：在平行四边形ABCD 中，过点C 作CH AB ⊥，过点B 作AC 的垂线，分別交CH AC AD 、、于点E F G 、、，且ABC BEH BG BC ∠=∠=，，若1025BE BC ==，，则DG 的值为（ ）A ．13B ．15C ．17D ．208．在ABCD 中，:::A B C D ∠∠∠∠可以是（ ） A ．1:2:3:4B ．1:2:2:1C ．1:2:1:2D ．1:1:2:29．如图，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O .若BD 与AC 的和为18cm ，:2:3CD AD =，AOB △的周长为13cm ，那么BC 的长为（ ）A ．6cmB ．9cmC ．3cmD ．12cm10．如图，在ABCD 中，25ACB ︒∠=，现将ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G 处，则GFE ∠的度数是（ ）A ．135︒B ．120︒C ．115︒D ．100︒11．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是（ ）①图甲，DE AC ⊥，BF AC ⊥②图乙，DE 平分ADC BF ∠，平分ABC ∠ ③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点 ④图丁，E 是AB 上一点，EF AB ⊥. A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，:2:3DE EC =，连接AE BE BD ，，，且AE BD ，交于点F ，则::DEF EBF ABF S S S △△△等于（ ）A ．2:5:25B ．4:9:25C ．2:3:5D ．4:10:25二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．在ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O .E F G H ，，，分别是AO BO CO DO ，，，的中点，则四边形EFGH —定是________，若从对角线的角度判定，其依据是________.14．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ⊥于点A .若4AB =，6AB =，BD =________.15．如图所示，在ABCD 中，40C ︒∠=，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则BEF ∠的度数为________.16．如图，四边形ABCD 中，AB CD AB BC ⊥∥，，点E 在AB 边上从点A 向点B 以1/cm s 的速度移动，同时点F 在CD 边上从点C 向点D 以2/cm s 的速度移动，若7cm 9cm AB CD ==，，则运动时间为________s 时四边形ADFE 是平行四边形.17．如图，在ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将ABE △向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若FDE △的周长为8，FCB △的周长为12，则FC 的长为________.18．在平面直角坐标系中，点()1 3A ，，()4 3B ，，()2 1C -，若以点A B C D 、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D 不在第一象限，则点D 的坐标为________. 三、解答题（本大题共6小题，共46分）19．（6分）如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，610AC BD ABO ==，，△的周长是15.（1）求DC 的长；（2）若5BC =，则ABCD 的周长是多少？20．（6分）如图，已知ABCD ，DE 是ADC ∠的平分线，交BC 于点E .（1）试说明CD CE =；（2）若80BE CE B ︒=∠=，，求DAE ∠的度数.21．（8分）如图，在ABCD 中，点E F ，分别在边AD BC ，上，点M N ，在对角线AC 上，且AE CF =，AM CN =，求证：四边形EMFN 是平行四边形.22．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ︒∠=，10cm 8cm AB AD BC ===，，点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿线段AB 方向向点B 运动，点Q 从点D 出发，以每秒3cm 的速度沿线段DC 向点C 运动，点P ，点Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，所用运动停止.设运动时间为t 秒 （1）CD 的长为________cm ；（2）当BQC △的面积为228cm 时，求t 的值；（3）当四边形PBQD 是平行四边形时，求四边形的周长.23．（8分）如图，在ABCD 中，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠. （1）求APB ∠的度数；（2）如果5cm AD =，8cm AP =，求APB △的周长.24．（10分）ABO △在平面直角坐标系中的位置如图①，90OAB ︒∠=，30AOB ︒∠=，12AB OB ==，，以OB 为一边，在OAB △外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连结AD 并延长交OC 于点E .（1）求点B 的坐标；（2）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（3）如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.第18章综合测试答案解析一、 1．【答案】D 【解析】解：AO OC BO OD ==，，∴四边形的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形.故选D. 2．【答案】A 【解析】解：AE CD AF CD ⊥⊥，，9090AEC AFC ︒︒∴∠=∠=， 60EAF ︒∠=根据四边形的内角和等于360°，360909060120ECF ︒︒︒︒︒∴∠=---=.根据平行四边形的对角相等，12060A ECF B C ︒︒∴∠=∠=∠=∠=，.故选A. 3．【答案】C 【解析】解：ABCD 中，AC BD 、为对角线，6BC BC =，边上的高为4，6424ABCDSAD BC OA OC OAE OCF ∴=⨯=∴=∠=∠，∥，，，在AOE △和COF △中，OAE OCFOA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，AOE COF ∴△≌△，AOE COF S S ∴=△△，同理：EOG FOH S S =△△，DOG BOH S S ∴=△△，11241222ABD ABCDS S S∴===⨯=△阴影. 故选C.【解析】解：AF BE AF EF BE EF AE BF ∴++∴＜，＜，＜，直线12l l ∥，AEC ∴△和FBD △的高相等，12S S ∴＜，故选C. 5．【答案】A【解析】解：ABCD 在中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，，114 322OA AC OB BD ∴====，，∴边长AB 的取值范围是：17AB ＜＜.故选A.6．【答案】C【解析】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，DE AB ∥，B CDE ∴∠=∠，CE DE ∴=，同理可得BF DF =，∴四边形DEAF 的周长AF DF DE AE AF BF CE AE AB AC =+++=+++=+，8AB AC ==，∴四边形DEAF 的周长8816=+=.故选C.7．【答案】B 【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，25180AD BC ABC BAG ︒∴==∠+∠=，，ABC BEH ∠=∠，180CEB ABC ︒∴∠+∠=，BAG CEB ∴∠=∠， 90ABG BEH ︒∠+∠=，90ECB ABC ︒∠+∠=，ABG ECB ∴∠=∠，在BAG △和CEB △中，BAG CEBABG ECB BG BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAG CEB AAS ∴△≌△（）， 10BE AG ∴==，251015DG AD AG ∴=-=-=.故答案为15.【解析】解：由平行四边形对角相等的性质可得： A ．:::1:2:3:4A B C D ∠∠∠∠=，不符合题意； B ．:::1:2:2:1A B C D ∠∠∠∠=，不符合题意； C ．:::1:2:1:2A B C D ∠∠∠∠=，符合题意； D ．:::1:1:2:2A B C D ∠∠∠∠=不符合题意； 故选C. 9．【答案】A【解析】解：平行四边形ABCD ，19cm 2OA OB BD AC ∴+=+=（），又AOB △的周长为13cm ，4cm AB CD ∴==，又:2:3CD DA =，6cm BC AD ∴==，故选A.10．【答案】C【解析】解：由折叠可得：25EAC ACB FEC AEF DFE GFE ︒∠=∠=∠=∠∠=∠，，，180EAC ECA AEC ︒∠+∠+∠=，130AEC ︒∴∠=，65FEC ︒∴∠=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，180DFE FEC ︒∴∠+∠=，115DFE ︒∴∠=，115GFE ︒∴∠=.故选C.11．【答案】A【解析】解：①四边形ABCD 是平行四边形，ACD ABC S S ∴=△△，DE AC BF AC ⊥⊥，，DE BF ∴∥，1 2ACD S AC DE =△，12ABC S AC BF =△，DE BF ∴=，∴四边形BFDE 是平行四边形； ②四边形ABCD 是平行四边形，ADC ABC AD CB AD BC ∴∠=∠=，，∥，DAE BCF ∴∠=∠， DE 平分ADC BF ∠，平分ABC ∠，ADE CBF ∴∠=∠在ADE △和CBF △中，ADE CBFAD CB DAE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ADE CBF ASA ∴△≌△（），DE BF AED BFC ∴=∠=∠，，DEF BFE ∴∠=∠，DE BF ∴∥，∴四边形BFDE 是平行四边形； ③证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD AB CD ∴=∥，， E 是AB 的中点，F 是CD 的中点，1122DF CD BE AB ∴==，，DF BE ∴=，∴四边形BFDE 是平行四边形； ④四边形ABCD 是平行四边形，AB CD AB CD ∴=∥，， E 是AB 上一点，EF AB ⊥，无法判定DF BE =，∴四边形BFDE 不一定是平行四边形.故选A.12．【答案】D【解析】根据图形知：DEF △的边DF 和BFE △的边BF 上的高相等，并设这个高为h ，四边形ABCD 是平行四边形，DC AB DC AB ∴=，∥，:2:3DE EC =，:2:5DE AB ∴=，DC AB ∥，DEF BAF ∴△∽△，2425DEF ABF S DE S AB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△，25DE DF AB BF ==， 124215102DEFEBF DF h S DF S BF BF h ⨯⨯∴====⨯⨯△△.::4:10:25DEF EBF ABF S S S ∴=△△△，故选D.二、13．【答案】平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形【解析】四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，从对角线的关系看应满足：AO CO BO DO ==，，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 为平行四边形.故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.14．【答案】10【解析】ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，BO DO AO CO ∴==，，46AB AC AB AC ⊥==，，，5BO ∴==，210BD BO ∴==，故答案为10.15．【答案】50︒ 【解析】解：四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，C ABF ∴∠=∠.又40C ︒∠=，40ABF ︒∴∠=.EF BF ⊥，90F ︒∴∠=，904050BEF ︒︒︒∴∠=-=.故答案是50︒.16．【答案】3【解析】解：设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形；理由：当四边形ADFE 是平行四边形，则AE DF =，即92t t =-，解得：3t =，故3秒时四边形ADFE 是平行四边形.故答案为3.17．【答案】2【解析】解：设DF x FC y ==，， 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC CD AB ∴==，，由折叠的性质可得，AE EF AB BF ==，， FDE △的周长为8，FCB △的周长为12，8BC AD x AB CD x y ∴==-==+，，812y x y x ∴+++-=，解得2y =.故答案为2.18．【答案】11--（，）或51-（，）【解析】分三种情况：①BC 为对角线时，3CD AB ==，点D 的坐标为51-（，）； ②AB 为对角线时，点D 在第一象限，所以不合题意舍去；③AC 为对角线时，3CD AB ==，点D 的坐标为11--（，）.三、19．【答案】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO BO DO AB CD ∴===，，，610AC BD ==，，35AO CO BO DO ∴====，， ABO △的周长是15，7AB ∴=，7DC AB ∴==；（2）ABCD 的周长是227524AB BC +=⨯+=（）（）.20．【答案】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD AD BC ∴=，∥，ADE DEC ∴∠=∠， DE 是ADC ∠的平分线，ADE CDE ∴∠=∠，DEC CDE ∴∠=∠，CD CE ∴=；（2）解：BE CE CD CE ==，，BE CD ∴=，AB CD =，BE AB ∴=，(1180502)AEB BAE B ︒︒∴∠=∠=-∠=，AD BC ∥，50DAE AEB ︒∴∠=∠=.21．【答案】证明：在平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，DAC BCA ∴∠=∠，AE CF AM CN ==，，AEM CFN ∴△≌△，EM FN AME CNF ∴=∠=∠，，EM FN AME CNF ∴=∠=∠，，EM FN ∴∥， ∴四边形EMFN 是平行四边形.22．【答案】解：（1）作AM CD ⊥于M ，如图1所示：图1则由题意知四边形ABCM 是矩形，在Rt ADM △中，222108DM AD AM AD AM BC =-===，，，6DM ∴==，61016CD DM CM DM AB ∴=+=+=+=；（2）解;由图可知，12BQC S QC BC =△，1638QC t BC =-=，，11638282t ∴⨯-⨯=（），解得3t =；（3）解：当四边形PBQD 为平行四边形时，点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图，由题知：1023BP t DQ t =-=，，1023t t ∴-=，解得2t =，此时，610BP DQ CQ ===，，BQ ∴=23．【答案】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形， AD CB AB CD ∴∥，∥，180DAB CBA ︒∴∠+∠=，又AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，1902PAB PBA DAB CBA ︒∴∠+∠=∠+∠=（），在APB △中，18090APB PAB PBA ︒︒∠=-∠+∠=（）；（2）AP 平分DAB ∠，DAP PAB ∴∠=∠，AB CD ∥，PAB DPA ∴∠=∠，DAP DPA ∴∠=∠ ADP ∴△是等腰三角形，5cm AD DP ∴==同理：5cm PC CB ==即10cm AB DC DP PC ==+=，在Rt APB △中，10cm 8cm AB AP ==，，6cm BP ==∴（）681024cm APB ∴++=△的周长是（）.24．【答案】解：（1）9012OAB AB OB ︒∠===，，，OA ∴=B ∴1）；（2）证明：90OAB ︒∠=，AB x ∴⊥轴， y 轴x ⊥轴，AB y ∴∥轴，即AB CE ∥，30AOB ︒∠=，60OBA ︒∴∠=， D 是OB 的中点，1OD DB ∴==，1AB =，AB DB ∴=，ABD ∴△是等边三角形，则60ADB ︒∠=， OBC △是等边三角形，60OBC ︒∴∠=， ADB OBC ∴∠=∠，BC AE ∴∥， ∴四边形ABCE 是平行四边形；（3）设OG 的长为x ，2OC OB ==，2CG x ∴=-，由折叠的性质可得：2AG CG x ==-， 在Rt AOG △中，222AG OG OA =+，即2222x x -=+（），解得：14x =，即14OG =.。
2020-2021学年 人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形 常考填空题综合练习(一)
八年级数学人教版下册第十八章《平行四边形》常考填空题综合练习（一）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝．2．如图，在矩形ABCD中，线段DF平分∠ADC交BC边于点F，点E为BC边上一动点，连接AE，若在点E移动的过程中，点B关于AE所在直线的对称点有且只有一次落在线段DF上，则BC：AB＝．3．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF 上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是．4．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为．5．一个正方形的对角线长为2，则其面积为．6．一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝．7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为．8．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连结AE、BE、DE、CE，则△EAB和△ECD的面积和等于．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D 是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝．11．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为．13．著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个数学家，发明家．他曾经设计过一种圆规．如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计）一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来，若AB＝10cm，则画出的圆半径为cm．14．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是．15．已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．16．如图所示，在边长为6的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE，连接BE，交CD于点F，则CF＝．17．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是．（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝．18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S、S2、S3、1 S．则S1+S2+S3+S4等于．419．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴正半轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，对角线OB，AC相交于点E，则点E的坐标为．20．如图，正方形ABCD的A点和C点都在x轴的正半轴上，A点的坐标为（﹣1，0）．将正方形ABCD以点B为旋转中心顺时针旋转120°，点D恰好落在y轴的正半轴上（D1点处），得到正方形A1B1C1D1，则D1点的坐标为．参考答案1．解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，∴AB＝2CD＝2×2＝4，故答案为：4．2．：1．3．30°．4．或．5．2．6．y＝．7．10．8．解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，由勾股定理得：OB＝4，∴BD＝2OB＝8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB和△ECD的面积和＝×菱形ABCD的面积×＝＝12．故答案为：129．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），∴OA＝3，OB＝4．∵ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°．∴∠DAE＝∠AB0．在△ABO和△DAE中，∴△ABO≌△DAE．∴AE＝OB＝4．∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．∴△OBD的面积＝OB•OE＝×4×7＝14．故答案为：14．10．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，故答案为：8．11．解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAD＝90°，BE＝BC，∠CBE＝60°，∴AB＝BE，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEB＝∠EAB＝（180°﹣30°）＝75°，故答案为：75°．12．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），又∵DE＝3，AB＝AC，∴AB＝6，故答案为：6．13．解：如图，∵两个滑槽互相垂直，点P是木棒的中点，∴OP＝AB＝×10＝5cm，即画出的圆半径为5cm．故答案为：5．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，∴AO＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝2，即AC＝2AO＝4，故答案为：4．15．2．16．2．17．（1）（3）（4）．18．解：过D作BM的垂线交BM于N，∵图中S2＝S Rt△DOI，S△BOC＝S△MND，∴S2+S4＝S Rt△ABC．∵四边形ABDE、ACFG、BCIH均为正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠G＝∠ACB＝90°，BC＝HI，∴在Rt△AGE与Rt△ACB中，，∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），在Rt△DNB与Rt△BHD中，，∴Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4＝S1+S3+（S2+S4），＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积＝Rt△ABC的面积×3＝12×5÷2×3＝90．故答案为：90．19．解：过点E作EF⊥OA，垂足为F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，∴∠EOA＝∠AOC＝30°，∠OEA＝90°，∵点A的坐标为（4，0），∴AO＝4，则AE＝OA＝2，故OE＝＝＝2，∴AO•EF＝AE•OE，则4EF＝2×2，解得：EF＝，则OF＝＝＝3，故点E的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．20．（0，2）．。
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一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
A、120°
B、60°
C、45°
D、50°
6、如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，那么它的四个内
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．
A、AB∥CD，AD=BC;
B、∠A=∠B，∠C=∠D;
角按一定顺序的度
数比可能为（）
A、3:4:5:6
B、4:5:4:5
B
A D
图10C
C、AB=CD，AD=BC;
D、AB=AD，CB=CD
2、用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④
正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）
A、①④⑤
B、②⑤⑥
C、①②③
D、①②⑤
3、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A、平行四边形
B、矩形
C、2:3:3:2
D、2:4:3:3
7、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，设有以下论断：①AB=BC；②∠DAB=90°；
③BO=DO；AO=CO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则在下列推理中
不正确的是（）
C、菱形
D、正方形
4、如图，平行四边D
E
C
8、一组对边平行，并且对角线互相垂直且相等的四边形可能是
（）
形ABCD中，∠A的A第4题图形B A 、菱形或矩形 B 、正方形或等腰梯形C 、矩形或等腰梯形 D 、菱形或直角梯形
平分线AE交
CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（）
A、1
B、1.5
C、2
D、3
5、等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹
角为（）9、小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请
补充条件，使得四边形ABCD是菱形。
小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（）
A、小明、小亮都正确
B、小明正确，小亮错误
C、小明错误，小亮正确
D、小明、小亮都错误
二、填空题（本大题6个小题，每空3分，共24分）
11、ABCD中，∠A=50°，则∠B=_________，
∠C=_________。
12、菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的
度数比为1:5，则
此菱形的面积为____________。
13、矩形ABCD的两条对角线A C、BD所夹的锐角是60°，AC+AB=12，
则AB=。
14、如图2，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE=AC，则
∠BAE=。
AA
BB
图2
E
15、如图3所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，△DEC的18、（本题7分）已知：如图中，AD是BAC
A D 周长为10cm，BE=5cm，则该梯形的周长为。
16、梯形ABCD中，AB∥DC，E、F、G、H分别是边AB、
BC、CD、DA的中点，梯形ABCD的边满足条件的角平分线，DE∥AC，DF∥AB。
求证：四边形AEDF是菱形。
B E
图3
C
时，四边形EFGH是菱形。
三、解答题（共46分）解答时请写出必要的演算过程或推理步骤。
17、（本题7分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
已知点E、F分
别为AO、OC的中点，
•求证：四边形BFDE是平行四边形．
ABC
CF⊥BD于F.
求证：BE=CF.
A D
E
O
F 19、（本题9分）某校有一个正方形的花坛，要在上面修建两条
交叉的小路，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不
同颜色的花卉，请你帮助设计三种不同的方案，分别画在下
面三个正方形图形上（用尺规作图或徒手作图均可，但要尽
B C
可美能准
观
确些、
些）．
21、（本题7分）如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,
求证：四边形ABCD是矩形.
20、（本题7分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，
22、（本题9分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分
别为AD、BC的中点，
E、F分别是BM、CM的中点。
（1）求证：△ABM≌△DCM。
（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论。
（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明
理由。
A
M
D E F
B N C。