幂函数练习题及答案解析

1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 1

2

B ．y ＝3

x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x －

1 解析：选C.y ＝x 2，定义域为R ，f (－x )＝f (x )＝x 2.

2．若a ＜0，则0.5a,5a,5－

a 的大小关系是( )

A ．5－a ＜5a ＜0.5a

B ．5a ＜0.5a ＜5－

a

C ．0.5a ＜5－a ＜5a

D ．5a ＜5－

a ＜0.5a

解析：选B.5－a ＝(15)a ，因为a ＜0时y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－

a .

3．设α∈{－1,1，1

2

，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3 解析：选A.在函数y ＝x －1

，y ＝x ，y ＝x 1

2，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.

4．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－1

3

)n ，则n ＝________.

解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－1

3

)n ，

∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2

1．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是(

) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)

解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减．

2．幂函数的图象过点(2，1

4

)，则它的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，＋∞) 解析：选C.

幂函数为y ＝x －

2＝1x

2，偶函数图象如图．

3．给出四个说法：

①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限；

④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析：选B.显然①错误；②中如y ＝x －1

2

的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知

③、④正确，故选B.

4．设α∈{－2，－1，－12，13，1

2

，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调

递减的α的值的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析：选A.∵f (x )＝x α为奇函数，

∴α＝－1，1

3

，1,3.

又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数， ∴α＝－1.

5．使(3－2x －x 2)－

3

4有意义的x 的取值范围是( ) A ．R

B ．x ≠1且x ≠3

C ．－3＜x ＜1

D ．x ＜－3或x ＞1

解析：选C.(3－2x －x 2)－3

4＝

1

4

(3－2x －x 2)3

，

∴要使上式有意义，需3－2x －x 2＞0， 解得－3＜x ＜1.

6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －

3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 解析：选A.m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再把m ＝－1和m ＝2分别代入m 2－2m －3＜0，经检验得m ＝2.

7．关于x 的函数y ＝(x －1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，1

2

)的图象恒过点

________．

解析：当x －1＝1，即x ＝2时，无论α取何值，均有1α＝1， ∴函数y ＝(x －1)α恒过点(2,1)． 答案：(2,1)

8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y ＝x α在(0，＋∞)为减函数． 答案：α＜0

9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(7

6

)0按从小到大的顺序排列____________________．

解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23

)0

＝1，

(35)12＜1，(25

)1

2＜1， ∵y ＝x 1

2

为增函数，

∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23

)－13. 答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－1

3

10．求函数y ＝(x －1)－

2

3的单调区间．

解：y ＝(x －1)－

2

3＝1(x －1)23

＝

1

3(x －1)2

，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －

2

3，t ≠0为偶函数．

因为α＝－23

＜0，所以y ＝t －

23在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x

－1单调递增，故y ＝(x －1)－

2

3在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．

11．已知(m ＋4)－

1

2＜(3－2m )－

1

2，求m 的取值范围． 解：∵y ＝x －

1

2的定义域为(0，＋∞)，且为减函数． ∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋4＞03－2m ＞0

m ＋4＞3－2m ，

解得－13＜m ＜3

2

.

∴m 的取值范围是(－13，32)．

12．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －

3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

解：由幂函数的性质可知

m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0.

当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －

3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，

∴y ＝x －

3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，

又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －

3＝－f (x )，

∴y ＝x －

3是奇函数．

当m ＝－1时，y ＝x －

4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f (－x )＝(－x )－4＝1(－x )4

＝1x

4＝x －

4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．

∵－4＜0，∴y ＝x －

4在(0，＋∞)上是减函数，

又∵y ＝x －

4是偶函数，