牛顿-莱布尼茨公式.

b
a
f(
x )dx ,
而左边恒为一常数.（更一般的
情形参见本节习题第3题.）
注3 至§5证得连续函数必有原函数之后，本定理的
条件中对F的假设便是多余的了.
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例1 利用牛顿一菜布尼茨公式计算下列定积分：
1） b xndx( n为正整数 )； a
2） b e xdx ; a
3）
b a
dx x2
Байду номын сангаас
|i i|< ,这就证得 n f ( i ) xi F ( b ) F ( a )
i1
n
f ( i ) f (i ) xi
i1
n
f ( i ) f (i ) xi
i1
b-a
n
. xi
i1
.
所以f在[a,b]上可积，且有公式（1）成立 .
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注1 在应用牛顿一菜布尼茨公式时，F(x)可由积分 法求得.
注2 定理条件可适当减弱，例如： 1）对F的要求可减弱为：在[a,b]上连续，在（a,b）内
可导，且 F'(x)=f(x),x ( a,b). 这不影响定理的证明.
2）对f的要求可减弱为：在[a,b]上可积（不一定连续）.
这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]上可积，(2)式右边当 T 0
时的极限就是
§2 牛顿-莱布尼茨公式
从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限 来计算定积分一般是很困难的. 下面的牛顿——菜 布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.
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定理9.1 若函数f在[a,b]上连续, 且存在原函
数F, 即 F' ( x ) f ( x ) ,x∈[a,b], 则f在[a,b]上
n
n
F '(i )xi f (i )xi
i 1
i 1
（2）
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因为f在[a,b]上连续, 从而一致连续, 所以对上述
0, 存在 0, 当 x'、x''∈[a,b]且 x' x'' 时，有
f ( x') f ( x'') .
ba
于是，当 xi T 时，任取 i [ xi1 , xi ], 便有
a
a
3）
b a
dx x2
1 x
b a
1 a
1 b
.
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4） （这是图9-6所示正弦曲线 一拱下的面积，其余各题也可作
此联想.）
0 sin xdx cos x 0 2.
，
5） 先用不定积分法求出 f ( x ) x 4 x2 的任一原函数，
然后完成定积分计算：
x 4 x2 dx 1 4 x2 d( 4 x 2 ) 1 ( 4 x2 )3 C
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注 这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为
某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限，然后利用
牛顿—菜布尼茨公式计算 J
b
f ( x )dx 的值.
a
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x1
积分和（这里所取的是等分分割， xi
1 n
, i
i [i n
1, n
i ], n
1 dx
1
i 1,2,L ,n ). 所以 J 0 1 x ln(1 x) 0 ln 2.
当然，也可把J看作
f(x) 1 x
在[1,2]上定积分，同样有
2 dx 3 dx
J 1 x 2 x 1 L ln 2.
明满足如此要求的 确实是存在的.
事实上,对于[a,b]的任一分割 T a x0 , x1 ,L , xn b ,
在每个小区间 xi1 , xi 上对F(x)使用拉格朗日中值定理,
则分别存在 i ( xi1 , xi ),i 1,2,L ,n, 使得
n
F ( b ) F ( a ) F ( xi ) F ( xi1 ) i1
(
0
a
b
)；
4） sin xdx； 0
5）
2
x
4 x 2 dx .
0
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解 其中1）—3）即为§1中的例题和习题，现在用 牛顿—菜布尼茨公式来计算就十分方便：
1）
b xndx
xn1
b
1 ( bn1 an1 ).
a
n1 a n1
2）
b e xdx e x b eb ea .
2
3
2
x
4 x2 dx 1
( 4 x2 )3
2
8.
0
3
03
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例2
利用定积分求极限： lim ( 1 1 L n n 1 n 2
1 2n
)
J
.
解 把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计
算定积分. 为此作如下变形：
limn 1 1
J
g.
n i1 1 i n
n
不难看出，其中的和式是函数 f ( x ) 1 在区间[0,1]上的一个
可积, 且
b
b
a
f ( x )dx F ( x ) . a
(1)
这称为牛顿—菜布尼茨公式,它也常写成
b
a f ( x )dx F ( b ) F ( a ).
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证 由定积分定义, 任给 0,要证存在 0,
n
当 T 时,有 f (i )xi F( b ) F( a ) .下面证 i1