牛顿-莱布尼茨公式.
偶函数牛顿莱布尼茨公式
偶函数牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式又被称为基本定理或者牛顿公式。
它是微积分中的基本公式，用于计算定积分的值。
公式的原型可以表达为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，f(x)是被积函数，定义在闭区间[a,b]上，F(x)是f(x)的一个原函数。
该公式的意义在于，对于连续函数f(x)而言，其定积分可以通过求出f(x)的一个原函数F(x)，再将F(x)在区间[a,b]的两个端点值相减获得。
拓展方面，在实际应用中，牛顿-莱布尼茨公式也可以用于计算定积分的面积、质量、电荷等物理量。
对于非整数次幂的函数，可以通过基本定理来计算其不定积分，从而得到它的一个原函数。
此外，基本定理也可用于计算曲线的弧长、旋转体的体积以及概率密度函数的期望值。
它在微积分和数学物理中都具有重要的应用。
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
牛顿-莱布尼茨公式与应用
牛顿-莱布尼茨公式与应用牛顿-莱布尼茨公式，也被称为积分基本定理，是微积分的基石之一。
该公式使我们能够计算定积分，并在物理、经济学、工程学等领域中广泛应用。
公式表述如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数F(x)在[a,b]上可导，且有：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)牛顿-莱布尼茨公式表明，一个函数的原函数在给定区间上的定积分等于该函数在该区间上的两个端点处的函数值的差。
这个公式的证明相对复杂，牵涉到微积分中的基本概念和原理。
在此我们将重点关注它的应用。
1. 面积计算：牛顿-莱布尼茨公式可以帮助我们计算曲线下的面积。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续且非负，函数的图像与x轴之间的面积可以表示为该区间上的定积分。
例如，当我们想要计算x轴和函数y = x^2之间的面积时，可以将该问题转化为计算定积分∫[a,b]x^2 dx。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到函数F(x)的原函数，并计算出差值F(b)-F(a)。
2. 物理学中的应用：牛顿-莱布尼茨公式在物理学中有广泛应用。
例如，在运动学中，我们可以使用该公式来计算弹簧振子的总能量，或者计算物体在力场中受力移动的功。
3. 经济学中的应用：牛顿-莱布尼茨公式在经济学中也有一定的应用。
经济学家可以使用该公式来计算市场需求曲线下的总消费量，或者计算企业成本曲线下的总成本。
这有助于经济学家更好地理解市场活动和经济指标。
4. 工程学中的应用：在工程学中，牛顿-莱布尼茨公式可以帮助我们计算流体力学等领域中复杂的问题。
例如，工程师可以使用该公式来计算管道中液体的流量，或者计算建筑物中承重梁的受力分布。
总结：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要定理，它在各个学科领域中都有广泛应用。
通过该公式，我们可以更好地理解和解决数学问题，并将其应用于实际生活和工作中。
无论是计算面积，还是分析物理、经济学、工程学等问题，牛顿-莱布尼茨公式都发挥着至关重要的作用。
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿莱布尼茨公式课件
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
2若f (x)为奇函数, 则 a f (x)dx 0. a
定理2 设函数f (x)为周期为T的连续函数,
则
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx.
以上两个定理可以作为性质用.
例9
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
三、定积分计算方法
（一）Newton Leibniz公式
b a
f
(x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)
b a
(1)求原函数(即不定积分);
(2)计算F(b) F(a).
例1.计算 1 1 x2 dx.(参照第一节例26) 0
y
( x)
oa
x x x b x
定理1 设函数在区间[a , b]上连续 , 则
(x) x f (t)dt在区间[a , b]上可导,且 a x (x) (a f (t)dt) f (x).
定理2 设函数f (x)在区间[a , b]上连续 ,
则
x
(b]上的一个原函数.
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
牛顿-莱布尼茨公式.
i 1
n
n
F '(i )xi f (i )xi
i 1 i 1
n
（2）
首页
×
因为f在[a,b]上连续, 从而一致连续, 所以对上述
0, 存在 0, 当 x' 、 x''∈[a,b]且 x' x'' 时，有
i
i 1 i
i 1,2,
,n ). 所以 J 0
1
1 dx ln(1 x ) ln 2. 1 x 0
当然， 也可把J看作 f ( x )
J
2 1
1 同样有 x 在[1,2]上定积分，
3 dx dx 2 x1 x
ln 2.
首页
×
是要把所求的极限转化为 注 这类问题的解题思想， 然后利用 某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限， 牛顿—菜布尼茨公式计算 J
n
2）
b b a e dx e e e . a a
b x x
3）
b
a
dx 1b 1 1 . 2 x xa a b
首页
×
4） （这是图9-6所示正弦曲线 一拱下的面积，其余各题也可作
此联想.）
，
0
sin xdx cos x
0
2.
5） 先用不定积分法求出 f ( x ) x 4 x 2 的任一原函数， 然后完成定积分计算：
1 ) J . 2n
解 把此极限式化为某个积分和的极限式， 并转化为计 算定积分. 为此作如下变形：
定积分牛顿莱布尼茨公式
定积分牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式（也称为牛莱公式）是微积分学中的一个重要定理，它连接了定积分和原函数之间的关系。
该公式在微积分起源和发展中起到了关键的作用，它的发现极大地推动了微积分学的发展。
首先，我们需要明确定积分的定义。
定积分是求一个函数在一个区间上的“积累量”，它可以看作是无穷多个微小的面积的总和。
设函数f(x)在[a,b]上连续，它的一个原函数为F(x)。
根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分的值可以通过求函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
具体而言，公式可以表达为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式的含义是，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分等于它的一个原函数F(x)在b和a处的取值之差。
这个公式可用于求解定积分，而无需使用极限定义来进行计算。
牛顿-莱布尼茨公式可以通过微积分基本定理来证明。
微积分基本定理表明，如果一个函数在一个区间上连续，那么它必然有一个原函数。
这个定理的证明涉及到反函数的构造和连续函数的一些性质，它超出了本文的讨论范围。
牛顿-莱布尼茨公式的证明主要涉及到导数和微分的基本概念。
设a 和b为两个实数，函数F(x)在[a,b]上连续且可微。
根据导数的定义，我们有：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)]/h我们可以根据这个式子来近似计算定积分的值。
我们可以将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n。
记第i个小区间为[x_i-1,x_i]。
我们将每个小区间上的函数值F(x_i)与F(x_i-1)相减后再乘以区间宽度h，得到一个近似的定积分值。
如果我们取n趋近于无穷大，这个近似值将趋近于定积分的真正的值。
具体而言，我们可以写出这个近似值为：Σ {i=1 to n} [F(x_i) - F(x_i-1)] * h这个近似值可以表示为区间[a,b]上的一个数列的和。
当n趋近于无穷大时，这个数列的和将趋近于定积分的真正值。
牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式，也称为牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
该公式由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立发现并证明。
牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了计算曲线下面积的有效方法，对于解决许多实际问题具有重要意义。
公式描述：设函数f(x)在[a, b]上连续，F(x)是f(x)在[a, b]上任意一点的原函数，则有：∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]这个公式表示了一个函数在给定区间上的定积分可以通过该函数在区间端点处的原函数值之差来表示。
解释与推导：牛顿-莱布尼茨公式的推导相对简单理解。
可以将函数f(x)对变量x进行微分，得到函数f'(x)。
如果函数f(x)具有原函数F(x)，即F'(x)=f(x)，则有dF(x)=f(x)dx。
根据微积分中的基本定理，曲线下的定积分可以用该函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
即∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]。
这个公式的直观解释是，曲线下的定积分可以通过由曲线围成的区域面积来进行计算。
通过求解曲线的原函数F(x)，我们可以获得曲线在给定区间上的每个点的切线斜率，从而计算得到曲线下的面积。
应用：牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中非常有用。
它被广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域中的面积、概率和积分等计算问题。
在物理学中，我们可以使用该公式来求解质点在曲线上的运动的路径长度、速度、加速度等相关问题。
例如，通过计算曲线下的定积分，我们可以求得一个物体在给定时间内的位移。
在工程学中，牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算复杂形状的曲线的面积，比如计算土地的面积或建筑物的体积等问题。
在经济学中，该公式可以用来计算需求曲线和供给曲线之间的面积，从而帮助我们估计市场的需求和供给。
总结：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它为我们提供了一种有效计算曲线下面积的方法。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
§9.2 牛顿-莱布尼兹公式 110303
未必存在原函数： 上可积的函数 概念辨析2. 概念辨析2. 在[a, b]上可积的函数 f(x) 未必存在原函数：
上不存在原函数. 上不存在原函数 f 在[-1, 1]上可积 但 f 在[-1, 1]上不存在原函数 上可积; 上可积
下节将证明：有有限间断点的函数可积 下节将证明：
此式由定积分的几何意 义得到， 义得到，事实上定积分 确有此性质！ 确有此性质！
y
y = x|1-x|
O
1
2
x
第九章第2节
5
例3. 利用定积分求极限
解: 注意到
其和式为
J = lim∑ 1 ⋅ 1 , n→ ∞ i n i=1 1+ n
上的积分和， 在[0, 1]上的积分和，其中取: 上的积分和 其中取:
i i
i i i i −1
i
i −1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
∫
a
f ( x)dx = F(b) − F(a).
第九章第2节
2
定理（牛顿莱布尼兹公式） 定理（牛顿莱布尼兹公式） 若函数 f 在 [a, b] 上连续 且 上连续, 上可积， 存在原函数 F, 即 F’(x) = f ( x), x ∈[a, b]. 则 f 在 [a, b] 上可积， 且
故
∑ f (ξ )∆x −[F(b) − F(a)] = ∑ f (ξ )∆x − ∑[F( x ) − F( x )] (∃η ∈( x , x ), s.t .) = ∑ f (ξ )∆x − ∑F ′(η )∆x (拉氏中值定理 拉氏中值定理) 拉氏中值定理 = ∑[ f (ξ ) − f (η )]∆x ≤ ε ⋅ ∑∆x = ε . b−a b
牛顿莱布尼茨积分公式
牛顿莱布尼茨积分公式牛顿和莱布尼茨是数学领域中两位杰出的数学家，他们的工作对于微积分的发展产生了巨大的影响。
其中，他们最著名的成就之一就是牛顿-莱布尼茨积分公式，它为我们理解和应用微积分提供了重要的工具。
牛顿-莱布尼茨积分公式是微积分中的一个基本定理，它将微积分中的导数和积分联系了起来。
换句话说，它告诉我们，如果我们知道一个函数的导数，我们就可以通过积分来找到该函数本身。
具体来说，设函数 f(x) 是一个连续可导的函数，那么该函数的导函数 f'(x) 就可以通过 f(x) 的原函数 F(x) 来表示。
这个原函数F(x) 可以通过对 f'(x) 进行积分得到。
牛顿-莱布尼茨积分公式的表达式如下：∫f'(x)dx = f(x) + C其中∫ 表示积分运算符，f'(x) 表示函数 f(x) 的导函数，dx 表示积分的变量，C 是一个常数，表示积分的不定常数。
牛顿-莱布尼茨积分公式的意义在于它将微积分中的求导和积分这两个看似不同的操作联系了起来，为我们求解一些复杂函数的积分提供了便利。
通过对函数的导函数进行积分，我们可以得到原函数，从而求解出函数在不同区间上的面积、体积、平均值等重要的数学量。
这个公式在物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，牛顿-莱布尼茨积分公式帮助我们计算物体的速度、加速度、位移等重要的物理量。
在工程学中，它可以用于建筑设计、电路分析、流体力学等领域。
在经济学中，它可以用于计算收益曲线、边际收益、成本等重要的经济指标。
此外，牛顿-莱布尼茨积分公式还有一些重要的性质和应用。
其中最重要的一条是积分的线性性质，即对于任意的常数 a 和 b，以及可导函数 f(x) 和 g(x)，有如下公式成立：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx这个性质使得我们能够更方便地求解复杂函数的积分。
以及还有几个常用的积分公式，如反函数积分、换元积分法等，都是基于牛顿-莱布尼茨积分公式的概念和理论。
牛顿莱布尼茨公式是什么 定理意义有哪些
牛顿莱布尼茨公式是什么定理意义有哪些
牛顿莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理。
下面小编整理了一些相关信息，供大家参考！
1 什幺是牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666 年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677 年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
1 牛顿莱布尼茨公式有哪些意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
1 牛顿莱布尼茨公式应用牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体。
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式是一种用于计算二元函数的导数的公式，也被称为“多元链式法则”。
这个公式可以用于计算二元函数在某个点的导数，也可以用于计算二元函数在某个区域内的积分。
公式的表述如下：
设$z=f(x,y)$ 是一个二元函数，而$x$ 和$y$ 都是关于某个变量$t$ 的函数，则可以得到如下的公式：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
这个公式的意思是，一个二元函数的导数可以通过对其分别求偏导数，然后用每个偏导数乘以对应自变量的导数，最后将它们相加得到。
需要注意的是，这个公式只适用于可微的函数。
如果函数不可微，则可能会出现误差，导致计算结果不准确。
此外，在应用公式时还需要注意变量的范围和定义域，以避免出现误解和错误的计算结果。
牛顿莱布尼茨公式 知乎
牛顿莱布尼茨公式知乎牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中一项重要而神奇的公式，它给出了计算定积分的方法。
无论是在物理、工程、经济学，还是其他科学领域中，我们都可以利用这个公式来解决各种实际问题。
牛顿-莱布尼茨公式可以表述为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中f(x)是函数f的导数，F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，要计算一个函数在[a,b]区间上的定积分，只需要找到这个函数的一个原函数，然后在区间的两个端点处分别求值，最后将两个值相减即可得到定积分的结果。
这个公式的意义在于，它将微积分中的导数和积分这两个看似截然不同的概念联系起来。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则描述了函数在一段区间上的累积效应。
通过牛顿-莱布尼茨公式的应用，我们可以将两者联系起来，从而帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在实际应用中，牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了一个重要的工具。
举个例子，假设我们想要计算一个物体在直线上的位移，已知物体的速度函数v(t)。
根据物理学中的运动学原理，物体的位移可以通过速度函数的定积分来计算。
而牛顿-莱布尼茨公式则能够让我们轻松完成这个计算过程。
此外，在许多工程问题中，我们常常需要计算一些曲线下的面积或者曲线的弧长。
利用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以将这些问题转化为求函数的定积分，从而可以得到精确的结果。
在解决实际问题的过程中，我们还可以利用牛顿-莱布尼茨公式的性质来简化计算。
例如，如果我们需要计算一个复杂函数的定积分，可以尝试找到函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式直接求解。
这样一来，我们就可以避免繁琐的计算过程，提高计算效率。
综上所述，牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中一项重要的公式，它为我们提供了计算定积分的方法，并且将微积分的两个核心概念联系了起来。
在实际应用中，我们可以通过这个公式解决很多问题，并且可以利用它的性质简化计算过程。
因此，熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式对于我们理解和应用微积分具有重要的指导意义。
牛顿 莱布尼茨公式
因为函数在区间上可积，任取区间的分割 在区间上任取一点，则有 其次，对于分割，有 在区间上对函数应用拉格朗日中值定理得 其中因此有 证毕。
定理推广
二重积分形 式
曲线积分形 式
设函数在矩形区域上连续，如果存在一个二元函数，使得 ， 则二重积分
பைடு நூலகம்
与格林公式和高斯公式的设D为单连通区域，与在区域D上有连续的一阶偏导数， 若存在一个二元函数，使得 在区域D中任意取两个点，则对连接的任意一条光滑曲线L， 都有
发展简史
1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆 命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。
1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一 问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。
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牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
定理定义
定义
弱化条件
如果函数在区间上连续，并且存在原函数， 则
如果函数区间上有定义，并且满足以下条件： （1）在区间上可积； （2）在区间上存在原函数 ； 则
公式推导
推导一
推导二
定义一个变上限积分函数，让函数获得增量，则对应的函数增量 根据积分中值定理可得， ，（ξ在x与x+Δx之间） ， 所以 ， 因为 ，所以，即 所以 即 证毕。
德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布 尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得 dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。
牛顿莱布尼茨公式使用的条件
牛顿莱布尼茨公式使用的条件牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，用于计算定积分的值。
其一般形式为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中f(x) 是被积函数，F(x) 是f(x) 的一个原函数。
在使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时，需要满足以下条件：1. 被积函数f(x) 在区间[a, b] 上连续。
如果被积函数不连续，可能导致公式不成立或结果错误。
2. 区间[a, b] 内的每一个点都存在一个原函数F(x)。
如果被积函数不存在原函数或者其他情况下找不到这样的原函数，可能也会导致公式不成立或结果错误。
3. 积分上限和下限都是确定的有限值。
无穷区间上的积分需要使用其他方法求解。
4. 公式的左边是定积分的值，右边是对应原函数在积分区间端点处的函数值之差。
因此，在使用公式计算定积分时，需要确保原函数在积分区间上是可导的。
在使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时，需要仔细检查被积函数是否满足连续性、原函数是否存在可导等条件，以确保结果的准确性。
除了上述条件，使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分计算时，还需要注意以下几点：1. 原函数F(x) 的确定：在使用牛顿-莱布尼茨公式时，需要找到被积函数f(x) 的一个原函数F(x)。
对于常见的函数，可以通过求导得到其原函数。
但是，对于一些复杂的函数，其原函数可能非常难以求出，甚至不存在一个有限的解析表达式。
这时候我们需要寻找其他方法，如运用积分技巧、换元法、分部积分等等，来求得原函数。
2. 定积分边界的确定：使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分时，需要明确积分区间的边界。
边界的确定可以根据实际问题进行分析，并且需要保证积分区间有限并且存在。
3. 函数连续性和可导性：使用牛顿-莱布尼茨公式时，被积函数f(x) 需要满足连续性，而对应的原函数F(x) 需要满足可导性。
因此，我们需要在使用该公式时，仔细考察原函数的导数是否存在，以及被积函数的连续性是否成立。
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(
0
a
b
)；4） sin xdx； 05）2x
4 x 2 dx .
0
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解 其中1）—3）即为§1中的例题和习题，现在用 牛顿—菜布尼茨公式来计算就十分方便：
1）
b xndx
xn1
b
1 ( bn1 an1 ).
a
n1 a n1
2）
b e xdx e x b eb ea .
§2 牛顿-莱布尼茨公式
从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限 来计算定积分一般是很困难的. 下面的牛顿——菜 布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.
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定理9.1 若函数f在[a,b]上连续, 且存在原函
数F, 即 F' ( x ) f ( x ) ,x∈[a,b], 则f在[a,b]上
2
3
2
x
4 x2 dx 1
( 4 x2 )3
2
8.
0
3
03
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例2
利用定积分求极限： lim ( 1 1 L n n 1 n 2
1 2n
)
J
.
解 把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计
算定积分. 为此作如下变形：
limn 1 1
J
g.
n i1 1 i n
n
不难看出，其中的和式是函数 f ( x ) 1 在区间[0,1]上的一个
b
a
f(
x )dx ,
而左边恒为一常数.（更一般的
情形参见本节习题第3题.）
注3 至§5证得连续函数必有原函数之后，本定理的
条件中对F的假设便是多余的了.
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例1 利用牛顿一菜布尼茨公式计算下列定积分：
1） b xndx( n为正整数 )； a
2） b e xdx ; a
3）
b a
dx x2
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注 这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为
某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限，然后利用
牛顿—菜布尼茨公式计算 J
b
f ( x )dx 的值.
a
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|i i|< ,这就证得 n f ( i ) xi F ( b ) F ( a )
i1
n
f ( i ) f (i ) xi
i1
n
f ( i ) f (i ) xi
i1
b-a
n
. xi
i1
.
所以f在[a,b]上可积，且有公式（1）成立 .
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注1 在应用牛顿一菜布尼茨公式时，F(x)可由积分 法求得.
n
n
F '(i )xi f (i )xi
i 1
i 1
（2）
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因为f在[a,b]上连续, 从而一致连续, 所以对上述
0, 存在 0, 当 x'、x''∈[a,b]且 x' x'' 时，有
f ( x') f ( x'') .
ba
于是，当 xi T 时，任取 i [ xi1 , xi ], 便有
可积, 且
b
b
a
f ( x )dx F ( x ) . a
(1)
这称为牛顿—菜布尼茨公式,它也常写成
b
a f ( x )dx F ( b ) F ( a ).
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证 由定积分定义, 任给 0,要证存在 0,
n
当 T 时,有 f (i )xi F( b ) F( a ) .下面证 i1
注2 定理条件可适当减弱，例如： 1）对F的要求可减弱为：在[a,b]上连续，在（a,b）内
可导，且 F'(x)=f(x),x ( a,b). 这不影响定理的证明.
2）对f的要求可减弱为：在[a,b]上可积（不一定连续）.
这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]上可积，(2)式右边当 T 0
时的极限就是
x1
积分和（这里所取的是等分分割， xi
1 n
, i
i [i n
1, n
i ], n
1 dx
1
i 1,2,L ,n ). 所以 J 0 1 x ln(1 x) 0 ln 2.
当然，也可把J看作
f(x) 1 x
在[1,2]上定积分，同样有
2 dx 3 dx
J 1 x 2 x 1 L ln 2.
明满足如此要求的 确实是存在的.
事实上,对于[a,b]的任一分割 T a x0 , x1 ,L , xn b ,
在每个小区间 xi1 , xi 上对F(x)使用拉格朗日中值定理,
则分别存在 i ( xi1 , xi ),i 1,2,L ,n, 使得
n
F ( b ) F ( a ) F ( xi ) F ( xi1 ) i1
a
a
3）
b a
dx x2
1 x
b a
1 a
1 b
.
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4） （这是图9-6所示正弦曲线 一拱下的面积，其余各题也可作
此联想.）
0 sin xdx cos x 0 2.
，
5） 先用不定积分法求出 f ( x ) x 4 x2 的任一原函数，
然后完成定积分计算：
x 4 x2 dx 1 4 x2 d( 4 x 2 ) 1 ( 4 x2 )3 C