相似三角形的面积比与相似比的关系

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4.7 第2课时相似三角形的周长和面积之比

新课讲解
想一想：怎么证明这一结论呢？求证：相似三角形的周长比等于相似比. 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，

A C B1
A1 C1
B AB kA 1B 1 , BC kB 1C1 , CA kC1 A 1,
AB BC CA k, A1 B1 B1C1 C1 A1
A F B E
C.
1 6
D
1 D. 8
（ B）
C
随堂即练
4. 若△ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB=15 cm，B′C′=24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长. 解：∵ △ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和 72 cm，
AB BC CA kA1 B1 kB1C1 kC1 A1 有 k. A1 B1 B1C1 C1 A1 A1 B1 B1C1 C1 A1
新课讲解
相似三角形周长的比等于相似比.
新课讲解
AB BC AC 5 ， △ABC 例1 如图，△ABC和△EBD中， EB BD ED 3 与△EBD的周长之差为10 cm，求△ABC的周长. 解：设△ABC与△EBD的周长分别
AE AD 3 , 解：∵∠BAD=∠DAE，且 AC AB 5 ∴△ABC ∽△ADE ，
A
E
∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9. 又∵△ABC的面积为100 cm2 ， B
D
C
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
随堂即练
1.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三 1:2 面积比等于角形与原三角形的周长比等于______, 1:4 _______.

(完整版)《相似三角形的性质》教案

《相似三角形的性质》教案课标要求了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．教学目标知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力．情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识．教学重点相似三角形性质定理的理解与运用．教学难点探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题．教学流程一、情境引入三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等．问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系．二、探究归纳回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？相似三角形的对应角相等，对应边成比例．问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少．图1图2问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠B ＝∠B ′∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？推广：相似三角形对应线段的比等于相似比．问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比．思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．21212ABCA B C BC AD S BC AD k k k S B C A DB C A D ∆'''∆⋅==⋅=⋅=''''''''⋅ 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方．三、应用提高例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边BC 上的高是6，面积为125，求△DEF 的边 EF 上的高和面积．解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，1.2DE DF AB AC ∴== ∵∠A ＝∠D ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为1.2∵△ABC 的边 BC 上的高是6，面积为125，∴△DEF 的边 EF 上的高为163,2⨯= 面积为211253 5.2⨯=（）应用：1．判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（）（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．（）2．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似，AD 、BE 是的△ABC 高，A ′D ′、B ′E ′是的△A ′B ′C ′高，求证.AD BE A D B E =''''3．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原来的2cm 变成了6cm ，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？四、体验收获说一说你的收获．相似三角形的性质：1．对应角相等，对应边成比例（对应边的比等于相似比）2．对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比3．对应周长比等于相似比4．对应面积比等于相似比的平方五、拓展提升1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们的面积之差是60cm2那么它们的面积之和是多少？2．如图，这是比例尺为1:1000的一块三角形草坪的图形，则草坪的实际面积是多少？3cm2cm3．如图，△ABC 的面积为100，周长为80，AB＝20，点D 是AB 上一点，BD＝12，过点D 作DE∥BC，交AC于点E．（1）求△ADE 的周长和面积；（2）过点E 作EF∥AB，EF 交BC 于点F，求△EFC 和四边形DBFE 的面积．六、课内检测1．用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1cm变成5cm，那么看到的图案面积是原来的（）A．5倍B．15倍C．25倍D．30倍2．两个等腰直角三角形的斜边比为1:2，则它们的周长比为（）A．1:1 B．1:2 C．1:4 D．23．两个相似三角形最长边分别是20cm和16cm，它们的周长之和为90cm，则较大三角形的周长为（）A．40cm B．50 cm C．60 cm D．70 cm4．两个相似三角的对应高分别为6cm和4cm，则这两个三角形的周长比为_____，面积比为_____．5．已知两个相似三角形面积之比为9:25，其中一个周长为36，则另一个的周长为_______．七、布置作业必做题：教材42页习题27.2第6题．选做题：教材43页习题27.2第12题．附：板书设计教学反思：。

相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方

A
E
B
4、如图，在正方形网格上有 △A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
4:1
B2
A1
A2
C2 C1
B1
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边相等
对应边的比等于相似比（对应边成比例）
对应角相等
对应角相等
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
D
C
j F
A
E
B
四边形 ABCD是，点E是BC的延长线上的一点，而且CE：BC=1：3，若△DGF的面积为9，试求：（1）△ABG的面积（2）△ADG 与△BGE的周长比和面积比
还是让我们一起走近今天的数学课堂来探究其中的奥秘吧？
问题
图中 (1) 、 (2) 、 (3) 分别是边长为1、2、3的等边三角形，相似吗？
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
大标牌用油漆
2听
。
2．两个相似多边形面积的比9：16，（1）其中较小的多边形的周长为36cm ,则另一个多边形的周长 48cm。
（2）两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边形的周长分别是 18cm,24cm。
典型例题
例1、如图，在△ABC中，点D、E分别分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=3︰2. 求四边形DBCE与△ADE的面积的比。

相似三角形边长比和面积比的关系

相似三角形边长比和面积比的关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

在几何学中，相似三角形的边长比和面积比之间存在着一定的关系。

本文将就这一关系进行探讨和解释。

我们需要明确相似三角形的定义。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，即对应角相等。

根据相似三角形的定义，我们可以得知相似三角形的边长比是相等的。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边长分别为a、b、c和d、e、f。

根据相似三角形的定义，我们可以得到以下等式：a/b = c/db/c = e/fc/a = f/d上述等式表明，相似三角形的任意两边之比是相等的。

这也就意味着，如果我们知道了一个相似三角形的两边长度，就可以通过边长比求得另一个相似三角形的对应边长。

接下来，我们来探讨相似三角形的面积比与边长比之间的关系。

假设ABC和DEF为两个相似三角形，它们的边长比为a/b=c/d=e/f。

我们知道，两个相似三角形的面积比等于它们对应边长的平方比。

即：面积比 = (a^2)/(b^2) = (c^2)/(d^2) = (e^2)/(f^2)这个等式告诉我们，相似三角形的面积比是相应边长比的平方。

也就是说，如果我们知道了一个相似三角形的面积和边长比，就可以通过开方求得另一个相似三角形的面积。

需要注意的是，面积比只与边长比有关，而与具体的尺寸大小无关。

这意味着，对于两个相似三角形，它们的面积比始终保持不变，不管它们的实际大小是多少。

那么，我们如何利用相似三角形的边长比和面积比来解决实际问题呢？我们需要确定两个相似三角形之间的边长比。

可以通过测量实际物体的边长，或者根据已知条件来确定。

然后，我们可以利用边长比求得相似三角形的其他边长。

接下来，如果我们已知一个相似三角形的面积，我们可以利用面积比求得另一个相似三角形的面积。

这在实际应用中非常有用，比如计算地图上两个地区的面积比例，或者计算模型的缩放比例等。

需要注意的是，在应用边长比和面积比时，我们需要保持单位的一致性。

3.4.2 相似三角形的性质

上的中线B′D′＝20cm，则AC边上的中线BD＝____ 4cm .
5．已知，如图，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.
(1)若AP:PB=1:2，S△ABC=18cm2,求S△APN的值.
(2)若
S APN S四边形PBCN 1 , 2
求
AE AD
的值.
解：(1)∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴△AMB∽△DNE.
(两角对应相等的两个三角形相似). E (相似三角形对应边成比例).
AM AB k DN DE
N
F
相似三角形对应中线的比等于相似比. 如图，∵△ABC∽△DEF，
AB BC . ∴∠B =∠E, DE EF
A
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线， B M D AB BM BM BC . 且∠B =∠E. . DE EN EN EF ∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) AM AB E k N DN DE
3.4.2 相似三角形的性质
有一块三角形的空地，现在为响应绿化工程的号召，开辟一块面积为120平方米的四边形ABCD，如图所示，经测量AB∥CD，AB=6米，CD=4米，你能求出去掉的三角形部分面积吗？
A D E C B
1.探索相似三角形的性质； 2.发展学生合情推理和有条理的表达能力.
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等
CD AB 所以， DE AC
又CD=2，AB=6，AC=4，
4 所以DE . 3
AE 1 , 【例2】如图，在△ABC中，EF∥BC， EB 2
S四边形BCFE 8,
求S△ABC .

北师大版九年级上册数学第2课时相似三角形的周长和面积之比第2课时相似三角形的周长和面积之比教

第2课时相似三角形的周长和面积之比●教学目标（一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.7.2 A）第二张：（记作§4.7.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.7.2 A）在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC . 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计 4.7 相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。

相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

1 4
2
32
（２）
所以它们的长与宽对应成比例，
32
（１）
如果以图（１）最大矩形的左下顶点为原点，宽和长所在直线分别为x轴、y轴，那么这组矩形右上顶点的坐标都满足
y 2,即y 2x,也就是说它们在直线y 2x上 x
谈谈收获
今天我们了解了相似图形王国的一个伟大的家族……
相似多边形
相似多边形的性质
解：对开后所得的矩形纸张和原来的矩形纸
张相似，理由如下：设原来的纸张为矩形ＡＢＣＤ，如图： BC 2
AB
连结ＢＣ与ＡＤ的中点Ｆ，Ｅ，则ＥＦ就把
矩形ＡＢＣＤ分为全等的两个矩形． A
E
D
在矩形ＡＢEF中，AB
BF
AB BC
AB 1 BC 2
2 2
2.
BF AB
B
F
C
矩形ＡＢＦＥ与矩形ＢＣＤＡ的对应角
个内角的度数,
然后与你的同
伴议一议;这两 C
个四边形的对
应角之间有什
B1
么关系?对应
边之间有什么关系?
C1
A
D A1
D1
相似多边形各对应角相等、各对应边成
比例的两个多边形叫做相似多边形.
对应顶点的字母写在对应的位置上
相似比相似多边形对应边的比叫做
相似比.
它们形状相同吗？
B
A
F
C
ED
A1 F1
相等，对应边成比例，矩形ＡＢＦＥ与
矩形ＢＣＤＡ相似
1、右面两个矩形相似，
求它们对应边的比. 2∶3
2
2、如图，两个正六边形的边长分别
3
为a和b，它们相似吗？为什么？

初三数学相似三角形的性质(1)

初三数学相似三角形的性质（1）姓名__________学习目标：1．掌握相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系；2. 运用类比的思想方法，得出相似多边形的周长及面积与相似比的关系；3．会应用周长比面积比与相似比的关系解题。

一、知识链接：1．相似三角形的性质有：相似三角形的相等，成比例。

2．若△ABC 与△DEF 相似，AB=3cm ，BC=4cm ，AC=5cm ，DE=5cm ，则△DEF 中最大角为度， △DEF 的周长为。

二、自主探索：1．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比k=C A AC C B BC B A AB ''=''=''，求△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比。

结论：相似三角形的周长比_____________；类似地，相似多边形的周长比_____________。

2．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，（1）AD 与A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的高，则对应高的比是（2）△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比与相似比有什么关系？证明你的结论。

结论：相似三角形的面积比等于；类似地，相似多边形的面积比等于。

三、知识应用：1．已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为。

2．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且43=''B A AB ，△ABC 的周长为12cm ，则△A ′B ′C ′的周长为。

3. 如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE = ；S △GED ：S △GBC = 。

4．在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC 的周长为12cm ，面积为6cm 2，求这个地块的实际周长为面积。

A ’B ’C ’D ’A B C D AB C D E G 图1四、精讲释疑：1. 如图，四边形DBCE 中，DE ∥BC ，若DE ：BC =1:2，S 1=1，求四边形DBCE 的面积。

九年级上册4-7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比教案新版北师大版

4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比教学目标【知识与能力】1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.【过程与方法】1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.【情感态度价值观】1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.教学重难点【教学重点】1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.【教学难点】相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学方法引导启发式课前准备投影片.教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴CA CB B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC. 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A =∠B 1=∠B 2.∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. ∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计4.7 相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想。

相似三角形的面积比例与边长比例的关系

相似三角形的面积比例与边长比例的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在几何学中，相似三角形的面积比例与边长比例之间存在着一定的关系。

本文将探讨相似三角形的面积比例与边长比例之间的关系，并解释其原理。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们为相似三角形。

相似三角形的性质如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们为相似三角形。

2. 边长比例性质：相似三角形的对应边长之比相等。

二、相似三角形的面积比例相似三角形的面积比例与边长比例之间存在着一定的关系。

假设有两个相似三角形，其边长比例为k，则面积比例为k^2。

证明：设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，边长比例为k。

则可以得到以下等式：S1 = (1/2) * a1 * b1 * sin(A1)S2 = (1/2) * a2 * b2 * sin(A2)其中，a1和a2分别为三角形的底边，b1和b2分别为对应的高，A1和A2为对应的顶角。

根据相似三角形的性质，可以得到以下等式：a2 = k * a1b2 = k * b1A2 = A1将以上等式代入面积公式中，得到：S2 = (1/2) * (k * a1) * (k * b1) * sin(A1)= k^2 * (1/2) * a1 * b1 * sin(A1)= k^2 * S1因此，面积比例S2/S1 = k^2。

由此可见，相似三角形的面积比例与边长比例的平方成正比。

三、应用举例下面通过一个实际问题来应用相似三角形的面积比例与边长比例的关系。

问题：已知一个三角形ABC，其边长分别为a、b、c，三角形的高为h。

设另一个三角形DEF为相似三角形，且其边长比例为k（即DE=k*AB，DF=k*AC，EF=k*BC）。

求证：三角形DEF的面积为三角形ABC面积的k^2倍。

解答：首先根据相似三角形的性质，可以得到三角形DEF的边长为DE=k*AB，DF=k*AC，EF=k*BC。

相似三角形的周长与面积

相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。

分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。

再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。

证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。

解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。

例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。

相似三角形的面积比例与边长比例

相似三角形的面积比例与边长比例相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

在几何学中，研究相似三角形的面积比例与边长比例是一个重要的课题。

通过研究相似三角形的性质，我们可以得出一些重要的结论和应用。

一、面积比例的推导设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

我们知道，两个三角形的面积可以通过底边乘以高（或边乘以正弦值）来计算。

所以可以得到以下比例关系：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F （相似三角形的对应角相等）设h1和h2分别为三角形ABC和DEF中的高，l1和l2分别为三角形ABC和DEF中的底边。

根据三角形的面积公式，我们可以得到：面积(ABC) = 1/2 * l1 * h1面积(DEF) = 1/2 * l2 * h2我们可以推导出：面积(ABC)/面积(DEF) = (1/2 * l1 * h1) / (1/2 * l2 * h2)经过简化得：面积(ABC)/面积(DEF) = (l1 * h1) / (l2 * h2)根据相似三角形的性质，我们可以得出：l1/l2 = h1/h2所以，最终我们可以得到相似三角形的面积比例公式：面积(ABC)/面积(DEF) = (l1/l2)^2这个公式表明，两个相似三角形的面积比例等于它们对应边长的比例的平方。

二、边长比例的推导设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

我们可以得到以下比例关系：∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F = l1/l2 （相似三角形的对应边长比例相等）根据三角形的正弦定理，我们可以得到：l1/sin(A) = l2/sin(D)l1/sin(B) = l2/sin(E)l1/sin(C) = l2/sin(F)令k = l1/l2，并且考虑到∠A+∠B+∠C = 180°和∠D+∠E+∠F = 180°，我们可以推导出：sin(A) = sin(D)sin(B) = sin(E)sin(C) = sin(F)由于正弦函数在0°到180°的范围内是单调递增的，所以可以得到：A = DB = EC = F从而得出：相似三角形的对应边长比例相等。

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。

相似三角形的认识对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

（similar triangles）。

互为相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定方法根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。

2.两个等腰直角三角形一定相似。

3.两个等边三角形一定相似。

直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三角形相似的判定定理的推论推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方

如图，已知 DE∥FG∥MN∥BC ，且 AD
＝DF＝FM＝MB，则 S1:S２:S３:S4
＝ 1︰3︰5︰7 。
A
D S1 E
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
3、如图在平行四边形ABCD中，
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
C C’
A
B A’
B’
如图，已知
△ABC∽△A’B’C’，相似
比为k,则△ABC与△A’B’C’
的周长比等于什么？怎么来
说明？
• 如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
• 那么 AB BC CA k AB BC CA
• 于是 AB kAB, BC kBC,CA kCA
• 所以 AB BC CA kAB kBC kCA k AB BC CA AB BC CA
于是 AD kAD' , BC kBC
AD.BC kAD'.kBC k2 AD'.BC AD'.BC
又因为三角形ABC面积 1 BC.AD 2
三角形A' B'C'面积 1 B'C'.A' D' 2
所以
三角形ABC面积三角形A' B'C'面积

相似的判定方法

相似的判定方法
相似三角形的判定：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

相似三角形介绍：
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形任意对应线段的比等于相似比。

3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相似。

2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的面积比与相似比的关系[终稿]

相似三角形的面积比与相似比的关系执教老师：园南中学姚春花一、教学目标：1、掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结论解决问题；2、培养学生对数学结论的公理化的论证能力；3、通过例题的分析、研究，培养学生的发散性思维；4、通过认知冲突激发学生的学习兴趣，使学生主动活泼、自主、自动地进行学习，让学生获得成功的喜悦。

二、教学重点和难点：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，并会应用结论解决问题；三、教学过程：（一）、创设情景、引入新课1、已知：在△ABC中，∠ABC=90º，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD∶AB=1∶3，AD=3，DE=4，求S△ADE∶S△ABC的值。

2、如果把上题中的阴影部分条件换成AD=a,DE=b呢？3、如果上题中的△ABC换成一般三角形呢？4、如果上题中AD∶AB=K呢？结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方（学生口述，教师板演过程）（二）、定理应用A 、简单应用：1、如果两个三角形相似，其中一组对应边分别是3和4，那么它们的面积比是 2、已知两个三角形相似，面积比是1∶2，则相似比是3、如果把一个三角形的三条边的长都扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的多少倍？4、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍，且与原三角形相似，那么这个三角形的边长扩大为原来的多少倍？B 、应用举例在中，延长BC 到E ，使CE ∶BC=1∶2，连接AE 交DC 于F ，求证： S △AFD ∶ S △EFC =4∶1C 、变式练习：1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 交AB 、AC 于点D 、E ，1)、若AD ∶BD=1∶2,S △ADE ∶S △ABC =______,2)、若DE ＝2，BC ＝5，＝20，求：3)、若AD ∶DB=2∶3，S 四边形DBCE=12，求S △ABC4)、若DE=2，BC=5，连结BE 、CD 交于点O ，＝4，问在图形中可求出哪些三角形的面积？（学生讨论，回答，教师板书答案，并要求学生讲清理由）2、如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，AE=2，AD=3，BE=4，S △ADE =9,你能求出哪些三角形的面积？（三）、小结：（略）（四）、布置作业：O ABCDEAB CEDO。

九年级数学相似三角形的性质3

△ ABC∽△ A' B' C' ，它们的周长分别例1：已知： B ' C ' =24cm。为60cm和72cm，且AB=15cm， A' A' B '、 A' C ' A 求：BC、AC、解：∵△ ABC∽△ A' B' C'
AB BC 60 ∴ A' B' B' C ' 72
B
B'
2 cm 36 ，则较小三角形的周长为________ cm, 14
4 cm2。面积为____
5、已知：如图△ABC中，DE∥BC，AF⊥DE 垂足为F，AF交BC于G。若AF=5，FG=3， AF DE S ADE 5 5 ，， 25 。则 8 BC 8 S ABC 64 AG A M D A D
C′
AB BC CA (相似三角形对应边成比例) A' B' B' C ' C ' A'
∴
AB BC CA AB (等比性质) A' B ' B ' C 'C ' A' A' B '
已知： △ ABC∽△ A' B' C '
相似三角形面积的比等于相似比的平方。 A
A′ B C B′ D′ C′
∵
∴
△ ABC∽ △A' B' C'
BC AB B ' C ' A' B ' AD AB (相似三角形对应边成比例) A' D' A' B '

相似三角形的面积比与相似比的关系

4.7 第2课时 相似三角形的周长和面积之比

(完整版)《相似三角形的性质》教案

相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方

相似三角形边长比和面积比的关系

3.4.2 相似三角形的性质

北师大版九年级上册数学 第2课时 相似三角形的周长和面积之比第2课时 相似三角形的周长和面积之比教

相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

初三数学 相似三角形的性质(1)

九年级上册4-7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比教案新版北师大版

相似三角形的面积比例与边长比例的关系

相似三角形的周长与面积

相似三角形的面积比例与边长比例

第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方

相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方

相似的判定方法

相似三角形的面积比与相似比的关系[终稿]

九年级数学相似三角形的性质3

4.7 第2课时相似三角形的周长和面积之比

北师大版九年级上册数学第2课时相似三角形的周长和面积之比第2课时相似三角形的周长和面积之比教

初三数学相似三角形的性质(1)