高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法

分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.

分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：

定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.

定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.

定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.

再现性题组：

1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。

2、若f(x)=2

33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。

3、若f(x)=2

33x x --在[1,4]x ∈-上有2

()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。

4、若方程42210x x

a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32

11132

y x ax x =

-++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）

.0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤

6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

再现性题组答案：

1、解：原不等式4sin cos25x x a ⇔+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx

恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)⇔-，设f(x)=4sinx+cos2x 则

22f(x)= 4sinx+cos2x =2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

2、解：23321x x x a --≥+-恒成立，即2

242a x x ≤--在[1,4]x ∈-上恒成立,

只需2

min 2(42)a x x ≤--，解得3a ≤-

3、解：2233251x x x a a --≥+--在[1,4]x ∈-上恒成立⇒ 22

2542a a x x -≤-- 在[1,4]x ∈-上恒成立⇒2

325312a a a -≤-⇒≤≤

4、解:令2x

t = (t>0)，则2

1210221t at a t a t

-+=⇒=+≥⇒≥

5、解：2

'10y x ax =-+≥在(0,)+∞上恒成立⇒1

a x x

≤+

在(0,)+∞上恒成立2a ⇒≤ 6、解：由于函]4

3,4[4),4sin(2cos sin π

πππ-∈--=->x x x x a ，显然函数有最大

值2，2>∴a 。

示范性题组：

例1. 已知函数()21,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围.

【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组2

2

13

,(0,1]13

x ax x x ax ⎧++≤⎪∈⎨++≥-⎪⎩恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较

分类,研究单调性.正确率较低.

法二(分离变量):问题转化为22

42x x a x x

---≤≤在(0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1得22max min

42x x a x x ⎡⎤⎡⎤

---≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.求相应函数最值,正确率较高.

例2.已知函数.ln )(),0(22

1)(2

x x g a x ax x f =≠+=

若)()()(x g x f x h -=存在单调递增 区间，求a 的取值范围.

【分析】问题转化为221

'()0ax x h x x

+-=

≥在0x >上有解,即2210ax x +-≥在0x >上有解. 解：法一(二次函数):此题(0)10f =-<,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解,2解,想得过于复杂. 法二(分离变量):问题转化为2

12x

a x

-≥

在0x >上有(存在)解 → 由定理 1.2得2min

12x a x -⎡⎤

≥⎢⎥⎣⎦.求解相应范围上的最小值,正确率较高.

例3.已知a 是实数，函数2

()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围. 【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很