北京科技大学《自动控制原理》复习

ci
s ir1 pi
ci
lim (s
s pi
pi )G(s)
i r 1,, n
c1i
1
d i1
(i
1)!
lim
s p1
dt
i1
(s
p1)r G(s)
i 1, , r.
p1
•
x
1
0
1 p1
0
p r 1
0
x
1
u
1
pn 1
y c11 c1r cr1 cn x
电位器
G(s) K
测速电机 G(s) Ks
电加热炉 单容水槽 双容水槽
G(s) K Ts 1
G(s) K Ts 1
G(s) K e s (有纯延迟)
Ts 1
(也可有延迟，略) K
G(s) T1T2s2 (T1 T2 )s 1
• 比例环节
• 一阶惯性环节 • 积分环节 • 微分环节、一阶微分环节 • 二阶振荡环节 • 二阶微分环节 • 延迟/时滞环节
5、高阶系统的时域分析
主导极点：在高阶系统中某一极点或一对共轭复数极点距虚轴的距 离是其它极点距虚轴距离的1/5或更小，并且附近没有闭环零点，称 该极点（对）为该高阶系统的主导极点。
①用主导极点来估计高阶系统的性能指标 ②导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式
偶极子： 指相距很近的一对零、极点。
6、线性系统状态方程的解 状态转移矩阵性质：
sa
(s a)2 2
控制系统的数学描述
定义： 单输入单输出线性定常动态对象的传递函数G(S)是零初值下
该对象的输出量的拉普拉斯变换Y(S)与输入量的拉普拉斯变换U(S)
之比。
U(S)
G(s)
Y(S)
性质：传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动 态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关； 一般有n≥m ；同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可 能会有不同的传递函数；不同的物理系统可以有相同的传递函数； G(s)与系统的微分方程有直接联系；G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏 变换。
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)x(t
)
D(t)u(t)
x1
K
Kx1
模拟结构图表示：
x1
加法器+积分器+放大器
x1+x2
x
x2
∫
x
控制系统的数学描述
状态空间表达式建立方法 ➢由物理机理分析直接建立 ➢由微分方程建立 ➢由传递函数建立
y(n) an1 y(n1) ... a0 y b0u(t)
, T2
1 s2
T1
T2
y(t) 1 ent (1 nt)
y(t) 1
1
1 2
ent
sin(d t
)
y(t) 1 cosnt
控制系统的时域分析
欠阻尼动态性能分析
过阻尼动态性能分析
上升时间 tr 峰值时间 tp
tr
d
n
1 2
tp
d
n
1 2
超调量σ% % e / 1 2 100%
调节时间ts
控制系统的时域分析
传递函数的极
点具有负实部；
劳斯判据
G(s)
U(s) u(t)
平衡点：x 0
x Ax Bu
y
cx
x
y
f (x) g(x)
内部稳定
• 李雅谱诺夫意义下稳定： • 渐近稳定： • 大范围渐近稳定：
BIBO稳定：如果系统对于有 界输入u 所引起的输出y 是 有界的.则称系统为输出稳定.
bn1
. u
0
1
an1bn
x
bnu
x y
0 a0
1 0
1
1 an1
x
n 1
0
u
0x nu
控制系统的数学描述
G(s)
(s
b(s p1 )r
z1) (s (s pr1)
zm ) (s
pn )
G(s)
r i 1
(s
c1i p1 ) ri1
n
非线性系统线性化的方法
2、传递函数-传递函数矩阵：
f(t) 拉普拉斯变换的基本性质
δ(t)
1
Sinωt
(s2 2)
s
拉普拉斯反变换的求法 利用拉普拉斯变换求解微
1(t)
1/s
Cosωt
(s2 2)
分方程
t
eat
1 s2
1/(s+a)
eat sint eat cost
(s a)2 2
控制系统组成
1—给定环节；2—比较环节；3—校正环节；4—放大环节； 5—执行机构；6—被控对象；7—检测装置
自动控制系统的分类与要求
自动控制系统的分类 1、线性系统-非线性系统； 2、定常系统-时变系统； 3、连续控制系统-离散控制系统： 4、恒值系统-随动系统-程序控制系统： 5、SISO系统-MIMO系统。
控制系统的数学描述
信号流图
(1)源点 ：(2)汇点 ： (3)混合节点 ： (4)通路：(5)开通路： (6)闭通路：
(7)前向通路：(8)不接触回环：
梅逊增益公式：
1 n
P k 1 pk k
3、状态空间与状态空间表达式：
状态变量-状态向量-状态空间
独立性：多样性：等价性：现实性：抽象性：
状态方程和输出方程-状态空间表达式
G(s) 1 Ts
(s) 1 Ts 1
ts=3T(5%) ts=4T(2%)
u(t)
y(t)
(t)
1(t )
t
1 t2 2
1
t
eT
1(t)
T
t
1 e T 1(t)
t
t T (1 e T ) 1(t)
1
t
2
Tt
T
2
(1
t
eT
)
2
输入函数成导数关系，则响应函数成导数关系
控制系统的时域分析
4、二阶系统的时域分析
CAn1
AT CT
( AT )n1CT T
对偶系统及对偶原理
对偶原理:系统能控的充要条件是其对偶系统’能观；系统能 观的充要条件是其对偶系统’能控。
控制系统的时域分析
规范型-标准型
SISO线性定常系统( A,b, c)能控，必存在可逆方阵P，使系统经坐标变换后 状态空间表达式化为如下的标准形式：
消去
元件微分方程 系统微分方程组 中间变量 系统微分方程
变量选择
状态空间表达式 G(s) C(sI A)1B 传递函数矩阵
可控标准型 可观标准型 约当标准型
控制系统的时域分析
1、典型输入信号与时域性能指标 阶跃函数-斜坡函数-抛物线函数-单位脉冲-正弦函数
2、时域性能指标
tr td tp ts σ% 3、一阶系统的时域分析
e A(t ) e At e A
eA(tt) eA0 I eAt 1 et
e( AB)t e At eBt ; if
AB BA
状态转移矩阵的计算方法 • 由定义或展开式直接计算 • 变换矩阵A为约旦标准型 • 利用拉氏变换法 • 应用凯莱—哈密顿定理
d eAt AeAt eAt A dt
控制系统的数学描述
常用表示形式：
G(s)
N(s) D(s)
bm sm ansn
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
时间常数形式
根的形式
m1
m2
K
(Ti s 1)
(
2 j
s
2
2
j
j
s
1)
G(s)
i 1 n1
j1 n2
s ( pk s 1) (ql2s2 2lql s 1)
定义1：称线性定常系统( A, B)能控，如果状态空间中任意的初始状态x(0) x0，及任意的终点 状态xf ,都存在输入u(t)使得系统在有限时间内从x 0转移到x f。否则称系统( A, B)不能控。
控制系统的时域分析
(秩判据)系统(
A,
B)能控的充要条件是如下定义的n
np能控矩阵U
行满秩。
s2 2 ns n2 0
s1,2 n n 2 1
二阶系统的阶跃响应
ξ＞1；过阻尼
ξ＝1；临界阻尼
0＜ξ＜1；欠阻
尼
ξ＝0；无阻尼
s1,2 n n 2 1
s1,2 n n s1,2 n jn 1 2
s1,2 jn
y(t)
1
e T2
t T1
1
e T1
t T2
;T1 1
1 s1
控制系统的时域分析
状态方程的解
x Ax Bu x(0) 0
7、线性控制系统的稳定性 基于传递函数系统稳定性的定义（BIBO） 如果系统对一个有界输入产生一个有界输出。 系统 稳定的充要条件是系统传递函数极点都有负实部。 Routh判据；两种特殊情况 基于状态空间表达式系统稳定性的定义 平衡状态→李氏稳定→渐近稳定→大范围渐近稳定 李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第二方法 线性定常连续系统渐进稳定性判据
状态空间表达式与传递函数之间的关系：
x Ax Bu
y
Cx
G(s)=C(sIn-A)-1B
状态线性变换： x=R x*→ A*=R-1AR，B*=R-1B，C*，=CR，D*=D
控制系统的数学描述
工作原理图
元件传递函数
系统方块图 L－1 L
结构图化简
系统结构图 梅森公式 传递函数
L－1 L
L－1 L
Y(s) 外部稳定与内部稳定的区别 y(t)
A矩阵的特征根 具有负实部； 李雅谱诺夫方程
李雅谱诺夫第一方法 李雅谱诺夫第二方法 克拉索夫斯基方法
控制系统的时域分析
8、线性系统稳态误差计算
R(s)
ess
lim e(t)
t
lim
s0
sE ( s )
lim
s0
s
1
G(s)H(s)
9、线性系统的能控性与能观性
ln 1 2
ts
n
t 11.5 2
r
n
T1≥4~5T2
ts
34TT11,,
(5%) (2%)
ξ=1(T1=T2)
ts=4.75T1
带有零点的二阶系统响应
s
n2 s z
z(s2 2ns n2 )
yz
(t)
1
l z
ent
1 2
sin dt
arctann 1 2 z n
控制系统的时域分析
自动控制系统基本要求 稳定性（稳）、快速性（快）、准确性（准）
控制系统的数学描述
核心问题：控制对象和控制系统的数学模型 1、控制系统的运动方程—根据描述系统特性的物理学定律，如
机械，电气，热力，液压等方面的基本定律写出。展示系统在运动 过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述整个系统的运 动过程。
如下图。
Y(s) G(s)U(s)
u1 u2 。
。 。
up
y1
G(s )
。 。
y2
。
yq
g11(s)
G(s)
g21 (
s
)
g12 (s)
g22 (s)
g1 p (s) g2 p(s)
gq1(s) gq2 (s) gqp (s)
典型元部件的传递函数
典型环节的传递函数
元部件名称
传递函数
k 1
l 1
m1
m2
K g
(s ai )
(s2
2
jw
j
s
w
2 j
)
G(s)
i 1 n1
j 1 n2
s
(s pk )
(s2
2 l
l
s
2 l
)
k 1
l 1
控制系统的数学描述
传递函数矩阵：将传递函数的概念推广到多输入多输出系统，传递
函数G(s)推广为传递函数矩阵G(s)。设系统有p个输入量、q个输出量
c
Uc ˆ [B, AB, , An1B]
定义：线性定常系统在任意给定输入u(t)时，能根据输出量y(t)在有
限时间区间 [t0,tf]的量测值唯一确定系统在t0时刻的初始状态x(t0), 则称系统是能观测的。
结论：系统(
A,
C
)能观的充要条件是如下定义的nq
n矩阵U
满秩。
o
C
Uo
CA
CT
控制系统的数学描述
方框图
1）信号线 2）引出点（或测量点） 4）方框（或环节）
系统的等效变换 串联
并联
反馈连接
3）比较点（或综合点）
控制系统的数学描述
换位运算：换位前后的输入/输出信号间关系不变 相加点及分支点
相加点后移
相加点前移
分支点后移
分支点换位
分支点前移
相加点变位
叠加原理
系统开环/闭环传递函数
控制工程基础A-复习指导
智能科学与技术系 刘冀伟
• 答疑：6月19-20日 上午8:30~11:30 机电楼111
1
控制系统简介
2
控制系统的数学描述
3
控制系统的时域分析
4 控制系统的复频域分析
5 控制系统的综合
控制系统
自动控制—在没有人的直接干预下，利用物理装置对生产设备和工 艺过程进行合理的控制，使被控制的物理量保持恒定，或者按照一 定的规律变化。例如矿井提升机的速度控制、轧钢厂加热炉温度的 控制。 开环控制：只有输入量对输出量产生控制作用，输出量不参与对系 统的控制。 闭环控制：把输出量的一部分检测出来,反馈到输入端,与给定信号 进行比较，产生偏差,此偏差经过控制器产生控制作用，使输出量 按照要求的规律变化； 研究目的：得到系统的一般运动规律，从而可以设计出符合设计要 求的，满足实际需要的，性能指标优良的控制系统。
0 1
x
a0
0 a1
y 1 2
0
x u
1 0 , 其中P1 An1b
an1
1
n x
1
b
y(n)
a y(n1 ) n1
...
a0
y
bmu ( m )
0
0
1 .. 0 ..
0 0
0
.
b0u(t)
bn
b0
1 an1
a0
an1
n
1 0
x
. .
. .
a0 a1
y b0 a0bn
.
. b1
. . a1bn
. 1 an .
1
.
x