层次分析法的计算步骤(20210228092526)
层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。
层次分析法的计算
5、层次总排序
这一过程是最高层次到最低层次逐层进 行的。若上一层次A包含m个元素 A1, A2, , Am, 其层次总排序权值分别为 a1, a2, , am ,下一层 次B包含n个元素 B1, B2, , Bn , 它们对于元素
Aj 的层次单排序权值分别为 b1 j , b2 j , , bnj （当 Bk 与 Aj 无关系时，bij 0 ）。此时B层次总 排序权值如表二给出。
max
3 i 1
( AW )i nWi
1.936 3 0.637
0.318 0.785 3 0.105 3 0.258
1.936 0.318 0.785 3.0385 1.911 0.315 0.774
判断矩阵的一致性指标CI为
CI max n 3.0385 3 0.0192,
A
0.1818 0.2559 0.1851
Байду номын сангаас
B
0.7272 0.0733 0.1562
C
0.0910 0.6708 0.6587
0.1818 0.7272 0.0910
0.1818 0.637 0.2559 0.105 0.1851 0.258 0.1818 0.7272 0.637 0.0733 0.105 0.1562 0.258 0.5112 0.091 0.637 0.6708 0.105 0.6587 0.258 0.2984
1.936
0.258
3 1/ 3 1 0.258 0.785
再求最大特征值的近似值
max
3 i 1
( AW )i nWi
层次分析法的计算步骤
层次分析法的计算步骤
一、定义层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由梅尔·拉斯
菲尔德（M.L. Saaty）于1977年提出的一种多层结构和多维度的层次分
析方法。
它是一种评估决策者面临复杂决策的基于层次结构逻辑的决策分
析方法，可以很轻松地将复杂的主观问题转换为客观的量化问题，从而求
解复杂的决策问题。
二、层次分析法计算流程
（1）决策问题的分类和层次结构的确定
首先，根据决策者的要求，将决策问题确定为一个有层次结构（AHP）和深度（hierarchy）的问题，将决策问题的内容分为n个层次。
（2）建立层次分析矩阵
将决策问题中的n个层次按从上至下的顺序，建立起一个n×n的层
次分析矩阵，称之为层次分析矩阵。
（3）确定层次分析矩阵的元素
在层次分析矩阵中，每一对元素的值都由决策者给出，即根据决策者
的判断，确定每个元素在n个层次层次中的比较的优劣。
（4）计算层次分析矩阵的均值尺度指数
均值尺度指数是由每行元素进行加权求和结果和n相除而得到的。
它
表示每个元素在此行的平均相对权重。
（5）分析层次分析矩阵
一旦层次分析矩阵计算完毕。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
层次分析法(AHP法)计算过程
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
目标层 准则层 方案层
工作选择
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政 策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
素相互比较的困难，以提高准确度。
判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
层次分析法
1层次分析法首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。
最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。
而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。
如表1-1所示：表1-1 1~9标度及其含义1.1层次分析法计算步骤依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵()ij n nA a ´=，其次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。
（1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：11,(1,2,...,)nni ij j w a i n =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为：'1,(1,2,...,)ii nik w w i n w===∑（3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。
()max 1=nii iAw nw λ=∑（4）一致性检验，由一致性指标：max 1nCI n λ-=-RICI CR =其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。
反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。
并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。
反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。
这样的模型并不具有科学性。
因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。
RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：表1-2 RI 随机一致性指标若CR<0.1则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。
1.2指标权重的确定依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。
1.2.1准则层指标权重确定收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。
（完整版）层次分析法的计算步骤
（完整版）层次分析法的计算步骤8.3.2 层次分析法的计算步骤⼀、建⽴层次结构模型运⽤AHP进⾏系统分析，⾸先要将所包含的因素分组，每⼀组作为⼀个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次⼤体上可分为3类1、最⾼层：在这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此⼜称⽬标层；2、中间层：这⼀层次包括了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可由若⼲个层次组成，包括所需要考虑的准则，⼦准则，因此⼜称为准则层；3、最底层：表⽰为实现⽬标可供选择的各种措施、决策、⽅案等，因此⼜称为措施层或⽅案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这⾥要注意，层次之间的⽀配关系不⼀定是完全的，即可以有元素（⾮底层元素）并不⽀配下⼀层次的所有元素⽽只⽀配其中部分元素。
这种⾃上⽽下的⽀配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，⼀般可不受限制。
为了避免由于⽀配的元素过多⽽给两两⽐较判断带来困难，每层次中各元素所⽀配的元素⼀般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若⼲⼦层。
例如，⼤学毕业的选择问题，毕业⽣需要从收⼊、社会地位及发展机会⽅⾯考虑是否留校⼯作、读研究⽣、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所⽰的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实⼒⽐较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最⾼层表⽰解决问题的⽬的，即应⽤AHP所要达到的⽬标；中间层表⽰采⽤某种措施和政策来实现预定⽬标所涉及的中间环节，⼀般⼜分为策略层、约束层、准则层等；最低层表⽰解决问题的措施或政策（即⽅案）。
然后，⽤连线表明上⼀层因素与下⼀层的联系。
如果某个因素与下⼀层所有因素均有联系，那么称这个因素与下⼀层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下⼀层次的部分因素有联系。
层次之间可以建⽴⼦层次。
⼦层次从属于主层次的某个因素。
层次分析法解题过程
根据组合权向量 进行方案…
根据问题的性质和目标， 将问题分解为不同的组成 因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系 将因素按不同的层次聚集 组合，形成一个多层次的 分析结构模型。
对同一层次的各元素关于 上一层次中某一准则的重 要性进行两两比较，构造 两两比较判断矩阵。
通过判断矩阵计算被比较 元素的相对权重，并对判 断矩阵进行一致性检验。
层次分析法解题过程
目录
Contents
• 层次分析法简介 • 建立层次结构 • 构造判断矩阵 • 层次单排序 • 层次总排序 • 层次分析法应用案例
01
层次分析法简介
定义与特点
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种定性与定量相结合的多准则决策 分析方法，主要用于解决结构较为复杂、决策准则较多且不易量化的决策问题。
层次的分析结构模型。
根据专家意见或用户需求， 对同一层次中各因素的相对 重要性进行两两比较，并给 出判断值，形成判断矩阵。
通过一定的计算方法（如特 征根法、和积法等）计算出 判断矩阵的最大特征值对应 的特征向量，即为权向量。
为了确保判断矩阵的一致性，需要进 行一致性检验。通过计算一致性指标 CI和随机一致性指标RI，可以得出一 致性比率CR=CI/RI。如果CR小于0.1， 则认为判断矩阵的一致性可以接受；
定义与特点
所需定量数据信息较少
层次分析法在解决问题时，不需要大量的定量数据信息，只需要对决策因素进 行两两比较和排序即可。
强调决策者的判断和决策能力
层次分析法在解决问题时，需要决策者对决策因素进行两两比较和排序，因此 需要决策者具备一定的判断和决策能力。
应用领域
层次分析法
（一）层次分析法1、层次分析法的概念“层次分析法的基本原理是将复杂系统中的各种因素，依据相互关联及隶属关系划分为一个递阶层次结构；依赖专家经验及直觉评判同一层次内因素的相对重要性，并用一致性准则检验评判的准确性；然后在递阶层次结构内进行合成；以得到决策因素相对于目标的重要性的总排序。
”12、层次分析法的主要步骤（1）构建层次分析的结构模型首先将复杂的问题进行条理化和层次化改造，构造出一个层次分析的结构模型，在该模型中，复杂问题被分解为目标层、准则层和方案层三类不同层次。
其中目标层中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标，其余每一层因素受上一层次因素支配。
准则层包括了实现目标的中间环节，它包括下一层次的子准则，即方案层，方案层为系统层次分析的最直接表现形式。
1张宏华、《AHP在公路BOT项目风险评价中的应用》、科技资讯、2009年层次分析法的结构模型在上图所示模型中，A层次为目标层元素，B 层次为准则层元素，一般也称为一级指标，C层次为方案层元素，也可称为二级指标。
（2）专家评分建立层次分析法判断矩阵为了建立指标权重评判标准和构造判断矩阵，Saaty提出相对重要性比例标度，即1~9 层次比例标度,相对重要性比例标度的含义如表2-3所示。
假设有n个元素C1、C2，...，C n给定一个准则,利用上表所给的相对重要性比例标度方,对元素C i和C j做两两比较判断,获得相对重要度的值a ij，构成矩阵。
专家根据评判准则对各个因素的权重两两比较并进行了打分之后,经过整理,可以得到因素权重的判断矩阵A：矩阵 A中的各元素a ij表示行指标A i对列指标A j相对重要性的比例标度，则判断矩阵A中指标两两比较的特点有a ij＞0，a ij＝1，a ij＝1/a ji（i ，j=1，2，........n ）。
如果a ij ＜1，表示A j 比A i 重要； 如果a ij ＞1，表示A i 比A j 重要； 如果a ij ＝1，表示A j 与A i 同样重要。
层次分析法的计算_图文_图文
它们对于元素
的层次单排序权值分别为
（当 与 无关系时， ）。此时B层次总 排序权值如表二给出。
层次 A1 A2 ……
a1 a2 ……
B1
b11 b12 ……
B2
b21 b22 ……
┋
┋
┋
Bn
bn1 bn2 ……
注
：
Am B层次总排 am 序权重
b1m
w1
b2m
w2
┋
┋
bnm
wn
同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵 以及运算所得的结果见三、四、五、六。
0.1818 0.7272 0.0910
表三
A
B
CW
A1
1/4
B4
1
C 1/2 1/8
2 0.1818 8 0.7272 1 0.0910
对准则 （功能强）来说： 即认为判断矩阵具有满意的一致性。
表四
A
B
CW
对准则 （价格低）来说：
A
1
4
1/3 0.2559
B
1/4
1
1/8 0.0733
即C认为判断3矩阵具有8满意的一1 致性0.。6708
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于 目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算 机应用上首先要求功能强，其次要求易维 护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表 所示。
例如
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权矩阵A的每一列归一化
层次分析法的计算
最小二乘法
总结词
该方法通过最小化误差平方和来求解元素的权重。
详细描述
最小二乘法是一种数学优化技术，用于求解线性方程组。在层次分析法中，最小 二乘法通过最小化误差平方和来求解元素的权重。首先，构建一个判断矩阵，然 后利用最小二乘法求解该矩阵的解，得到各元素的权重。
和积法
总结词
该方法通过将判断矩阵的元素相加并归一化来求解元素的权 重。
判断一致性是否满足要求
根据一致性指标的大小，判断总排序的一致性是否满足要求，如果不满足则需要进行调整。
层次总排序的计算步骤
构建层次结构模型
将问题分解为不同的层次，明确各层次之 间的关系。
检验一致性
对层次总排序权重的一致性进行检验，确 保权重的合理性。
构造判断矩阵
根据专家打分或数据，构造各层次的判断 矩阵。
3 层次单排序及一致性检验
将决策问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合 ，形成一个多层次的分析结构模型。
4 层次总排序
将决策问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合 ，形成一个多层次的分析结构模型。
特点
简单实用，对数据要求不高，能够处理多目标、多准则、多时期等的复杂决策问题，特别适合于人的主观判断 起重要作用的决策。
应用领域
01
02
03
资源分配
在资源有限的情况下，如 何合多个备选方案中，如何 选择最优方案。
冲突分析
分析不同利益相关者之间 的冲突，并寻求解决方案。
详细描述
和积法是一种简单而常用的层次分析法计算方法。首先，构 建一个判断矩阵，然后将判断矩阵的每一列归一化，再将归 一化后的列相加得到一个总和向量，最后将总和向量归一化 即可得到各元素的权重。
层次分析法的详细步骤
每一层中的各因素对上一层因素的相对重要性可以用问题1中的方法确 定，由层次关系可以计算出措施层各方案最高层的相对权重，从而给出 各方案的优劣次序。
层次单排序
不同准则对目标的影响已经在问题1中得到了解决，现假定不同措施 对各准则的影响如下：
1．不同措施对调动职工劳动生产积极性影响的成对比较矩阵 (12)
问题1
某工厂在扩大企业自主权后，厂领导正在考虑如何合理地使用企业留 成的利润。在决策时需要考虑的因素主要有
(1) 调动职工劳动生产积极性； (2) 提高职工文化水平； (3) 改善职工物质文化生活状况。
请你对这些因素的重要性进行排序，以供厂领导作参考。
分析和试探求解
这个问题涉及到多个因素的综合比较。由于不存在定量的指标，单凭 个人的主观判断虽然可以比较两个因素的相对优劣，但往往很难给出一 个比较客观的多因素优劣次序。为了解决这个问题，我们能不能把复杂 的多因素综合比较问题转化为简单的两因素相对比较问题呢？运筹学家 想出了一个好办法：首先找出所有两两比较的结果，并且把它们定量 化；然后再运用适当的数学方法从所有两两相对比较的结果之中求出多
决策。
解答
划分层次 显然这是一个多目标的决策，问题涉及到许多因素，各种因素的作用
相互交叉，情况比较复杂。要处理这类复杂的决策问题，首先需要对问 题所涉及的因素进行分析：哪些是要相互比较的；哪些是相互影响的。 把那些要相互比较的因素归成同一类，构造出一个各因素类之间相互联 结的层次结构模型。各因素类的层次级别由其与目标的关系而定。在上 述问题中，因素可以分为三类：
一致性的缺少是造成两种类比方法结果不同的原因。利用最小二乘法 可以证明：用求解特征方程得到的权重向量平均误差较小。因此我们最 好采用这个方法来求解权重向量。
层次分析法原理及计算过程详解
层次分析法原理及计算过程详解写在前面：层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。
由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。
网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。
文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。
注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵目录：1.层次分析法概论1.2什么是决策1.3 决策分析法原理2.层次分析法的基本步骤2.1 层次分析法步骤2.2 建立层次结构模型2.3 构造判断矩阵2.4 计算单层权向量并做一致性检验2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验2.6 层次分析法基本步骤归纳3. 层次分析法的优缺点3.1 层次分析法的优点4.注意事项5.可应用的领域6. 完整例子分析6.1 旅游问题6.2 干部选择问题1.层次分析法概论1.1 什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。
它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。
层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。
是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
9.2层次分析法的求解步骤
(3) (2)
其中W(p)是由第p层对第p-1
层权向量组成的矩阵
对于实际问题中不一致(但在允许范围内)的 成对比较阵A，我们可用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
实际问题中，我们先进行一致性检验，判 断不一致是否在允许范围内
层次分析法的求解步骤
一致性检验 对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
结论：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
2
B 2
3
1
1/ 3
1/5 1/ 2 1
8 3 1
…B n
最大特征根 1
权向量
w (3) 1
2
w (3) 2
… n
… wn(3)
层次分析法的求解步骤
组合权向量 k1
第3层对第2层的计算结
果
2
3
4
5
0.595
w(3) 0.277 k 0.129
k
3.005
方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
层次分析法的求解步骤
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
w(2) (w(2) , , w(2) )T
1
n
第1层O 第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量
CIk 0.003
0.082 0.236 0.682
3.002
0.001
0.429 0.429 0.142
3
0
0.633 0.193 0.175
层次分析法的计算步骤(可编辑修改word版)
8.3.2 层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP 进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3 类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 个，若多于9 个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1 所示的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图 6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP 所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。
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层次分析法的计算步骤
Document serial number [NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108] 层次分析法的计算步骤
一、建立层次结构模型
运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3类
1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定H标或理想结果，因此又称目标层；
2、中间层：这一层次包括了为实现L1标所涉及的中间环节，它可曲若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此乂称为准则层；
3、最底层：表示为实现口标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此乂称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免山于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图所示的层次结构模型。
图
再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：
图6 .2
图中，最高层表示解决问题的U的，即应用AHP所要达到的LI标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定U标所涉及的中间环节，一般乂分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，往往有结构模型表示。
二、构造判断矩阵
任何系统分析都以一定的信息为基础。
AHP的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就是。
判断矩阵是AHP工作的出发点，构造判断矩阵是AHP的关键一步。
当上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素（H标A或某个准则Z）相联系的下层各元素在上层元素Z之中所占的比重。
假定A层中因素Ak与下一层次中因素Bl, B2,…，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如表
所示。
表判断距阵
k A
1
B B2 • • •
n
B B b bl2 • • • b
1 11b2
2 • • •In
B b a i i a a a b
221bn2 • • •2n
B 11
1a i i
n
___________ nl nn _______ 表中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示，
b b
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。
填写判断矩阵的方法是：向填写人(专家)反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少。
对重要性程度Saaty等人提岀用1-9尺度赋值，见下表
表重要性标度含义表
重要性标度含义
1 表示两个元素相比，具有同等重要性
3 表示两个兀素相比，前者比后者稍重要
5表示两个兀素相比，询者比后者明显重要
7 表示两个兀素相比，询者比后者强烈重要
9 表示两个兀素相比，前者比后者极端重要
2, 4, 6, 8 表示上述判断的中间值
若兀素7与兀素j的重要性之比为切，则兀素j
倒数与兀素j的重要性之比为bji -丄
设填写后的判断矩阵为B也)加则判断矩阵具有如下性质:
(1) b’j >0, (2)如斗,(3) % =1 / = 1,2.
根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写仇二1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-l)/2个元素就可以了。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：
当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则该判断矩阵为一致性矩阵。
采用1、9的比例标度的依据是：(1)心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在5'9级之间，采用1'9的标度反映了大多数人的判断能力；(2) 大量的社会调查表明，1为的比例标度早已为人们所熟悉和采用；(3)科学考察和实践表明，1、9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。
因此H前在层次分析法的应用中，大多数都釆用尺度。
当然，关于不同尺度的讨论一直存在着。
三、层次单排序
所谓是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。
它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。
层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B,计算满足
BW =^max W (8. 18) 的特征根与特征向量。
式中，血-为B的最大特征根；W为对应于血-的正规化特征向量；W 的分量叫即是相应因素单排序的权值。
为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI, CI的定义为
ci = Amax ~ n()
II— 1
显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI二0。
越大，CI越大，判断矩阵的一致性越差。
注意到矩阵B的n个特征值之和恰好等于① 所以CI相当于除九“x外其余n-1个
特征根的平均值。
为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要找出衡量矩阵B 的一致性 指标CI 的标准，Saaty 引入了随机一致性指标表。
表 广9矩阵的平均随机一致性指标
12RI 1阶、 2阶判断矩阵总是完全一致的。
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI,与同阶平均随 机一致性的指标RI 之比鈴称为判断矩阵的随机一致性比率，记为CR 。
当CR 二寻〈时，判 断矩阵具有满意的一致性，否则就需对判断矩阵进行调整。
四、层次总排序
利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素 重要性的权值，这就是。
层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，设已算岀第k-l 层上n 个 元素相对于总目标的排序为
笫k 层®个元素对于第层上第j 个元素为准则的单排序向量
其中不受第j 个元素支配的元素权重取零，于是可得到® X"阶矩阵
其中中的第j 列为第k 层代个元素对于第£ _1层上第j 个元素为准则的单排序向 量。
记第k 层上各元素对总H 标的总排序为：
贝
mb
厶n kJ J
>=, 丿
即有
讷心12…,®
五、一致性检验
为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与单排序类似的检验量。
由高层向下，逐层进行检验。
设第k 层中某些因素对k-i 层第j 个元素单排序的一致性 指标为CI 岁,平均随机一致性指标为RI 岁,（k 层中与k-l 层的第j 个元素无关时，不必考 虑），那么第k 层的总排序的一致性比率为：
同样当CR ⑷W 时，我们认为的计•算结果具有满意的一致性。
(*・，(*•
丿 /I
J
/I
—
7。