傅里叶变换与傅里叶级数
傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题
1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。
这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。
关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。
第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即()∞<⎰dt Tt x 2则其傅里叶级数表达式一定存在。
第二组条件，与第一组条件稍有不同，就是狄里赫利条件，它包括以下三点： (1)在任何周期内，x 必须绝对可积，即()∞<⎰dt t x T 0(2)在任何周期内，()t x 只有有限个极值点，且在极值点处的级值为有限值。
(3)在任何有限区间内，()t x 只有有限个间断点，且在这些不连续点处，()t x 为有限值。
傅里叶变换的收敛问题也有两组类似的条件： 第一组条件：如果()t x 平方可积，即()∞<⎰∞∞-dt t x 2则()t x 的傅里叶变换存在。
满足上式可以保证()ΩX 为有限值。
第二组条件也称为狄里赫利条件，这就是： (1)()t x 绝对可积，即()∞<⎰∞∞-dt t x(2)在任何有限区间内，()t x 只有有限个极值点，且在这些极值点处的极值是有限值。
(3)在任何有限区间内，()t x 只能有有限个间断点，而且这些间断点都必须是有限值。
吉布斯现象：当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。
2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有()()∑∞-∞=-=r rN n x n x ~或表示为()()()N n x n x =~。
于是()n x ~与()n x 的关系表示为：()()()Nn x n x =~()()()n R n x n x N ~=将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有：()()kn NN n Wk X Nn x --=⋅=∑10~~1()()kn NN n W n x k X ⋅=∑-=10~~其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。
傅里叶变换与傅里叶级数
傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系以上我们分别讨论了傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其存在条件，现简要讨论一下二者的区别。
前已述及，傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有此外，傅里叶级数的系数X(k Q2o )是离散的，而傅里叶变换x(jn)是Q的连续函数。
由此可见，傅里叶级数与傅里叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。
X(k Q。
)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小，而x(js2)是频谱密度的概念为说明这一点，我们可将一个非周期信号视为周期丁趋于无穷大的周期信号。
由Q o=2 n /!可知，若T TS则必有Qo TO, k Qo 将(3. 1. 3)式两边同乘以T,并取时的极限，可得hm7'A (if)r ) - lim —- = X(jn) (3. t 13) 瞬以•从童姻上于IWift幅度除以類率显见*它是義墙麼度的If念.比较01翥】■ I, M 3. L2A(3, L5)W(3.1/12)^式；菱们看到•周期倩号的傅里叶系数和用谏倩号的一牛周期所求出的傅塑叶童换的黄索为只厲仏)=\a…^这一Jt累也可由图3. I, 1和图龙L 2曹岀，由(L2*飭)式可側周期值号了仃)的功率■= S= £ i xun)i f于垦有时".r{ t) |:d/ :一£W “我们*用同样的方注可&.导出匕厂J I 之〔門 a 匕| X(jjQ) dD (3t L 16)© 1.15)#(3* L 16)Xin .1i 的两t JtSft 为pfirwval 关系或Par^eval 定理.前# 反映的是劝率Jt 系，痞帰反映的是能H关累.现住•我I订不考慮(乳1.羅试的约电及Dirichlet条件,立接求鮮周期佰号的傅曬叶变换「将G I)式代人佩1.门式*有该式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为Q。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。
它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。
傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。
通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。
频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。
傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。
当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。
傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶变换和傅里叶级数的区别和联系
傅里叶变换和傅里叶级数的区别和联系傅里叶变换和傅里叶级数是信号处理领域中两个重要的数学工具。
许多人对这两个概念有所了解，但是很难区分它们之间的差异和联系。
本文将探讨傅里叶变换和傅里叶级数的异同，以及它们在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期信号分解成若干个简单周期信号的方法。
简单周期信号包括正弦和余弦波形。
将周期信号分解成若干个频率分量之和，这些频率分量即为傅里叶级数的各项。
这些项被称为正弦项和余弦项，它们的系数决定了信号中每一个频率分量的能量大小。
在傅里叶级数中，信号的周期性是必要条件。
举个例子，我们可以将一个周期为T的三角波信号表示为以下傅里叶级数形式：f(x) = a0 + Σ(an cos(nω0x) + bn sin(nω0x))n=1其中，a0和an、bn分别代表0、正弦和余弦项的系数，ω0代表角频率（ω0 = 2π/T）。
根据傅里叶级数的定义，信号f(x)可以表示为n个特定频率分量的组合。
每个分量的能量与其系数平方成正比。
傅里叶级数的范围仅限于周期信号。
但是，实际应用中，我们会遇到非周期信号，这时候傅里叶级数就不再适用。
二、傅里叶变换与傅里叶级数类似，傅里叶变换也是一种将信号分解成频域分量的方法。
傅里叶变换可处理可瞬时信号，即非周期信号。
简单来说，通过傅里叶变换，我们可以将时域信号f(t)转换成频域表示F(ω)。
傅里叶变换的一般形式为：F(ω) = ∫f(t) e−iωtdt−∞< ω < ∞其中，F(ω)是频域表达式，表示信号f(t)在频率ω处的贡献。
ω代表角频率，f(t)是时域信号。
傅里叶变换主要通过频域分析来提取信号特征。
对于一个信号，我们可以通过傅里叶变换来分离出不同的频率分量，进一步分析其特征，例如幅度、频率和相位信息。
三、傅里叶变换和傅里叶级数的联系虽然傅里叶变换和傅里叶级数适用的信号类型不同，但两者有很多相似之处。
对于周期信号，我们可以使用傅里叶级数和傅里叶变换来得到相同的频率分量表示。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
傅里叶级数和傅里叶变换
第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
已知傅里叶级数求傅里叶变换
已知傅里叶级数求傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理和数学中非常重要的概念，它们在科学、工程、物理学和数学各个领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数用于描述周期性信号的频域特性，而傅里叶变换则适用于非周期性信号，将信号从时域转换到频域。
通过对这两个概念的深入了解，我们可以更好地理解信号的频谱特性和信号处理的方法。
接下来，让我们来深入探讨已知傅里叶级数如何求傅里叶变换。
一、傅里叶级数的基本概念在深入研究傅里叶变换之前，我们需要首先了解傅里叶级数的基本概念。
傅里叶级数可以表示任意周期信号为一系列正弦和余弦函数之和的形式，它的数学表达式为：\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos{(\frac{2\pi nt}{T})} + b_n \sin{(\frac{2\pi nt}{T})}) \]其中，\[ f(t) \] 代表信号的时域表示，\[ T \] 代表信号的周期，\[ a_0, a_n, b_n \] 为傅里叶系数。
二、傅里叶级数到傅里叶变换当我们已知一个信号的傅里叶级数，想要求出其傅里叶变换时，我们可以通过一定的方法将傅里叶级数转换为傅里叶变换。
这里需要引入复数形式的傅里叶级数，即欧拉公式：\[ e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x} \]通过欧拉公式，我们可以将之前的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
这为我们求解傅里叶变换提供了便利。
傅里叶变换的数学定义是：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt \]其中，\[ f(t) \] 为时域信号，\[ F(\omega) \] 为频域信号，表示信号在频域上的频谱特性。
三、从傅里叶级数推导傅里叶变换对于已知傅里叶级数的情况，我们可以通过一些步骤将其转换为傅里叶变换。
根据欧拉公式将傅里叶级数中的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
什么是傅里叶傅里叶级数和傅里叶变换,并说明两者的区别与联系
什么是傅里叶级数和傅里叶变换,两者的区别与联系傅里叶级数和傅里叶变换都是将信号从时域转换到频域的数学工具。
傅里叶级数：傅里叶级数是针对周期函数的，它用一组正交函数将周期信号表示出来。
具体来说，所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。
这意味着周期波都可分解为n次谐波之和。
傅里叶变换：傅里叶变换则是用来处理非周期函数的，它可以用一组正交函数将非周期信号表示出来。
与傅里叶级数不同的是，非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的频率分量组成。
傅里叶级数和傅里叶变换都是数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
但它们之间存在明显的区别和联系：1. 本质不同：傅里叶级数是周期信号的另一种时域表达方式，可以看作是正交级数，即不同频率的波形的叠加。
而傅里叶变换是完全的频域分析，它可以将非周期信号转换为频域表示。
简而言之，傅里叶级数是用一组正交函数将周期信号表示出来，而傅里叶变换是用一组正交函数将非周期信号表示出来。
2. 适用范围不同：傅里叶级数主要适用于对周期性现象做数学上的分析。
而傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。
3. 周期性不同：傅里叶级数是一种周期变换，它以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开。
而傅里叶变换是一种非周期变换，它可以将非周期信号转换为频域表示。
4. 联系：傅里叶级数可以视作傅里叶变换的特例。
当周期信号的周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以取极限得到傅里叶变换。
此外，无论是傅里叶级数还是傅里叶变换，都是为了将信号从时域转到频域。
傅里叶级数和傅里叶变换都是强大的数学工具，用于分析和处理信号，但它们的应用范围和性质有所不同。
傅里叶级数与变换
傅里叶级数与变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，用于分析和描述周期性信号以及非周期性信号的频谱特性。
它们在信号处理、图像处理、通信工程、物理学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和实际应用。
一、傅里叶级数的基本概念与原理傅里叶级数是指将一个周期为T的周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
根据傅里叶级数的定义，任意一个周期为T的周期函数f(t)可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt))其中，a0、An和Bn分别是级数中的常数系数，ω是角频率，n是正整数。
这个级数表达式中的每一项都是基于正弦和余弦函数的频谱分量，其中a0表示平均值分量，An和Bn则表示不同频率下的谐波分量。
通常，我们可以通过计算各个系数来确定函数f(t)的具体表达式。
根据傅里叶级数的理论，这些系数可以通过在一个周期内对函数f(t)进行积分和求和来求得。
通过傅里叶级数的展开，我们可以分析周期函数f(t)在频域上的特性，例如谐波成分的频率、振幅等。
二、傅里叶变换的基本概念与原理傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于分析和描述非周期性信号的频谱特性。
傅里叶变换的基本思想是将一个时域上的函数转换到频域上，得到频率分量的表示。
对于一个连续信号f(t)，其傅里叶变换F(ω)可以表示为以下形式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt) dt其中，F(ω)表示频域上的频谱，ω为连续的角频率，j为单位虚数。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，使得我们可以更清晰地看到信号的频率成分、幅度、相位信息等。
对于离散信号，同样可以进行傅里叶变换。
离散信号的傅里叶变换可以通过离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）来实现。
DFT和FFT是将离散信号从时域转换到频域的重要工具，在信号处理领域得到了广泛应用。
三、傅里叶级数和傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信工程中有着重要的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别
傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别摘要：一、傅里叶级数简介二、傅里叶变换简介三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别五、应用场景分析正文：傅里叶级数和傅里叶变换是数学和工程领域中广泛应用的两种信号处理方法。
它们在一定程度上具有相似性，但也存在明显的区别。
下面我们将分别介绍这两种方法，并探讨它们之间的关系和区别。
一、傅里叶级数简介傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数和的形式。
任何一个周期函数都可以表示为傅里叶级数，这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
傅里叶级数提供了将复杂信号分解为简单正弦和余弦函数的和的方法，从而便于分析和处理。
二、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的乘积。
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域具有重要应用价值。
与傅里叶级数相似，傅里叶变换也将复杂信号分解为简单的正弦和余弦函数，但它在处理非周期信号时具有优势。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在一定程度上具有关联。
傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在特定条件下的特例。
当信号为周期信号时，傅里叶变换可以退化为傅里叶级数。
因此，我们可以将傅里叶级数看作是傅里叶变换的一个基本概念，而傅里叶变换则是傅里叶级数的扩展和推广。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别1.适用范围：傅里叶级数适用于周期性信号的处理，而傅里叶变换可以处理非周期性和周期性信号。
2.表达形式：傅里叶级数将周期信号表示为正弦和余弦函数的和，傅里叶变换将信号表示为不同频率正弦和余弦函数的乘积。
3.计算复杂度：傅里叶级数计算相对简单，但随着信号长度的增加，计算量呈线性增长；傅里叶变换计算复杂度较高，但随着信号长度的增加，计算量呈指数增长。
五、应用场景分析1.傅里叶级数应用场景：在需要处理周期性信号时，如信号处理、图像处理等领域，可以采用傅里叶级数进行信号分解和分析。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中得到广泛的应用。
本文将简要介绍傅里叶级数与傅里叶变换的基本概念和原理，并讨论它们的应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的和。
对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数表示为：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，n为正整数，ω为基本频率，a0/2为直流分量，an和bn为傅里叶系数。
傅里叶系数可以通过函数f(t)的积分与积分求和相应计算得到。
傅里叶级数展示了周期函数在频域上的频谱信息，它可以将原始函数表示为频率成分的组合，从而方便分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期函数或者信号分解成连续的频率谱。
对于一个连续时间域函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫f(t) * e^(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)在频率ω上的频谱，j为虚数单位。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而使得我们可以更加直观地分析和处理信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的幅度谱、相位谱等信息。
傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
例如，它可以用来滤波、频率分析、数据压缩等。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的应用1. 信号分析与处理傅里叶级数与傅里叶变换在信号分析与处理中具有广泛的应用。
通过将信号转换到频域，我们可以分析信号的频率分量、频谱特性等。
这对于音频信号的音调分析、图像信号的频域滤波、波形信号的频域调整等都非常有用。
2. 通信系统在通信系统中，傅里叶级数与傅里叶变换可用于信号的调制、解调、频率分析等。
傅里叶变换的性质使得信号可以在频域上进行复杂的操作，如相关、卷积等，从而实现信号的可靠传输。
3. 图像处理图像处理是傅里叶变换的一个重要应用领域。
傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，通过对图像频谱的分析和处理，实现图像增强、滤波、去噪等操作。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换是数学分析中两个重要的概念和理论工具，它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列谐波的方法，而傅里叶变换是将非周期函数分解成连续谱的方法。
首先，我们来介绍一下傅里叶级数。
傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为一系列谐波的和的形式，其中每个谐波都有一个特定的频率和振幅。
傅里叶级数的基本公式为：f(t) = a0 + Σ(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))其中a0表示直流分量，An和Bn分别表示正弦和余弦项的振幅，n为谐波的阶数，ω0为基本频率。
傅里叶级数的系数可以通过求解积分或者利用傅里叶级数的性质进行计算。
傅里叶级数的应用十分广泛。
例如在信号处理中，傅里叶级数可以用来将一个周期信号分解为多个频率成分，从而进行频域分析和滤波等操作。
此外，傅里叶级数也可以用来恢复被损坏的信号，例如在音频和图像压缩中，傅里叶级数可以用来还原被压缩的信号。
接下来，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数f(t)分解成连续的频谱。
傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的频谱，e^(-jωt)是一个旋转复指数，j为虚数单位。
傅里叶变换的结果是一个连续的函数，其中包含了函数f(t)在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换的应用也非常广泛。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来将一个时域信号转换成频域信号，在频域进行滤波、增强和分析操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、边缘检测和压缩等操作。
在物理学中，傅里叶变换可以用来研究波动、振动和量子力学等问题。
傅里叶级数和傅里叶变换是相互联系的。
当一个函数是周期函数时，傅里叶级数可以通过傅里叶变换来计算。
而当一个函数是非周期函数时，傅里叶变换可以通过傅里叶级数来近似计算。
总之，傅里叶级数和傅里叶变换是数学分析的两个重要工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。
(完整版)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文
本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用学生：（签字）论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： ...........................................................................................................................................................关键词 ........................................................................................................................................................... Abstract....................................................................................................................................................... 1绪论 ............................................................................................................................................................ 2傅里叶级数的概念 ....................................................................................................................................2.1周期函数 ................................................................................................................................................2.2傅里叶级数的定义 ................................................................................................................................3 傅里叶变换的概念及性质 .......................................................................................................................3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................参考文献 .......................................................................................................................................................傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。
傅里叶级数推导傅里叶变换
傅里叶级数推导傅里叶变换傅里叶级数是将任意周期信号分解为若干个简单的正弦波的和，称为正弦级数或傅里叶级数，是工程中非常重要的概念。
傅里叶级数的概念已经被广泛应用于信号处理、图像处理、音频压缩、电子仪器等众多领域。
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，在现代信号处理领域中也应用广泛。
首先，我们假设一个具有周期性的函数f(x)，其中周期为T，那么可以表示如下：f(x) = a0 + a1cosx + b1sinx + a2cos(2x) + b2sin(2x) + ... +a_ncos(nx) + b_nsin(nx)，其中n∈N*。
其中a0、a1、a2、…、a_n和b1、b2、…、b_n是固定的系数，称为傅里叶系数。
通过求解这些系数，我们就可以对周期性信号进行分析，并对能量分配有一个深刻的认识。
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，能够应用于非周期性的信号的分析。
我们将一个信号f(t)写成一个积分式的形式：F(ω) = ∫f(t)e^{-jωt}dt。
其中j是虚数单位，ω是角频率。
这个表达式表示的是将一个信号f(t)转换为一个在复平面上的函数F(ω)，这个函数F(ω)表示了信号f(t)中哪些频率的分量包含了多少能量。
傅里叶变换将一个时域信号映射到频域，可以帮助我们分析信号中哪些频率的分量是最强的。
例如，如果我们想要分析一个音频信号中最强的频率分量，那么我们可以使用傅里叶变换来将信号映射到频域，然后从频谱图中找到最高的峰值。
总之，傅里叶级数与傅里叶变换是信号分析领域中重要的数学工具。
它们使我们能够对信号进行分析，并帮助我们理解信号中包含的信息。
因此，了解傅里叶级数与傅里叶变换的相关知识是非常重要的。
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数＄关于三角函数系得正交性:三角函数系包括:1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。
(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。
不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。
同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。
＄上公式！①当周期为2π时:式(１):上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:１。
在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即ｆ(x)左右极限得算术平均。
下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。
第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。
②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):式(2):第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。
傅里叶变换与傅里叶级数的关系
傅里叶变换与傅里叶级数的关系
一、傅里叶变换与傅里叶级数的关系
1、概述
傅里叶变换和傅里叶级数之间的关系是十分密切的，它们可以互相折叠。
傅里叶变换是一种数学方法，可以将一个时变函数从时域变换到频域，而傅里叶级数是在有限的频带范围内由多个正弦函数和余弦函数组成的非独立函数，或者说可以用一系列正弦函数和余弦函数的叠加来拟合正弦函数的延伸。
2、傅里叶变换
傅里叶变换是指以离散化的时间序列来表达一个信号，然后将时域信号变换到频域上，以实现信号处理、信号分析的一种方法。
它通过把某一连续变量信号看作由另一连续变量的无穷多正弦振荡信号的线性叠加而成，来实现两变量之间的变换，将一维的、二维的或者二维以上的时域信号变换到频域。
3、傅里叶级数
傅里叶级数是把某一区间的一个连续函数分解为一系列正弦函数和余弦函数的叠加，或者说是一种表示连续函数的幅度和相位的级数。
在某些情况下，它可以近似足够的连续函数，特别是函数具有较高的周期和峰值点的情况下，傅里叶级数就比较有效。
4、关系
二者之所以关系密切，是因为傅里叶变换可以把连续信号变换成不连续的频谱，而傅里叶级数就是分析不连续频谱的方法。
因此，它
们的关系就是：傅里叶变换可以把时域信号变换到频域，频域信号就可以用傅里叶级数来表示，也就是所谓的“傅里叶变换与傅里叶级数的关系”。
5、总结
傅里叶变换是从时域变换到频域，而傅里叶级数则是对某一区间的连续函数进行拟合，它们之间的关系就是：在时域信号被变换到频域之后，可以用傅里叶级数来表示频域信号，从而实现函数拟合。
傅里叶级数与傅里叶变换的区别
傅里叶级数与傅里叶变换的区别傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理中常用的数学工具，用于分析和合成周期性信号以及非周期性信号。
虽然它们都是基于傅里叶分析的原理，但在具体的应用和数学推导过程中存在一些区别。
1. 定义与适用范围：傅里叶级数适用于周期性信号的分析和合成。
它将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，利用正交性质将信号分解为不同频率的谐波成分。
而傅里叶变换则适用于非周期性信号的分析，它可以将一个时域信号转换为频域表示，得到信号的频谱信息。
2. 变换对象：傅里叶级数的变换对象是周期性函数，它要求信号在一个周期内是连续的。
而傅里叶变换则适用于任意时域函数，可以对非周期性信号进行分析。
3. 表示形式：傅里叶级数将周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，也可以使用指数形式的复数表示。
傅里叶变换则将时域函数表示为复数的频域函数，包含了信号的振幅和相位信息。
4. 连续与离散：傅里叶级数适用于连续时间的周期信号，它的频谱是连续的。
而傅里叶变换可以适用于连续时间信号和离散时间信号，分别得到连续频谱和离散频谱。
5. 时间和频率关系：傅里叶级数中的频率是离散的，由基波频率及其谐波频率组成。
而傅里叶变换中的频率是连续的，可以表示任意频率的分量。
6. 傅里叶逆变换：傅里叶级数的逆变换就是原信号本身，通过将各个频率分量加权合成即可。
而傅里叶变换的逆变换则将频域信号转换回时域信号，得到原始的时域函数。
7. 应用领域：傅里叶级数主要应用于周期性信号的分析，如电力系统中的电压和电流信号、音频信号等。
傅里叶变换则广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域，可以分析非周期性信号的频谱特性。
傅里叶级数和傅里叶变换在定义、适用范围、变换对象、表示形式、连续与离散、时间和频率关系、傅里叶逆变换以及应用领域等方面存在一些区别。
这两种数学工具在信号处理中发挥着重要作用，通过对信号的频域分析，可以帮助我们理解信号的特性，从而实现各种应用需求。
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重温傅里叶—笔记篇本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。
（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明）重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数$ 关于三角函数系的正交性：三角函数系包括：1, cos x, sinx , cos2x, sin 2x, ……cos nx, sinnx, ……“正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。
（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。
不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。
同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。
三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$上公式!①当周期为2π时：式（1）：上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件：1. 在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点；2. 任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。
下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。
第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
②当周期为2L时（这也是最一般的情形）：式（2）：第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值；第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
$ 傅里叶级数的复数表达方式同样设周期为2L。
根据欧拉公式，正余弦函数都可以用复指数表示出来。
这样上面式（2）中的第一行：可以表示为：令：c n与c-n互为共轭。
这样式（4）变为：由式（5）和式（2）中对a0 b0a n b n c0 c n c-n的定义，可以发现c n可统一表达为：将傅里叶级数用复数表示后，就是式（6）和式（7）这样简洁的形式。
简单分析：②若f(x)为偶（或奇）函数，则所有的b n(或a n)将为0，此时的c n将变为实数（或纯虚数），且a n(或b n)是转换后所得的c n的2（或2i）倍，而c-n与c n相等（或纯虚共轭）。
二、复变函数中的傅里叶变换$ 先上公式：定理：若f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，即f(t)的绝对值在（-∞,+∞）上收敛，则F(ω)在（-∞,+∞）上存在且连续（F(ω)的连续性在复变函数的教科书中一般都有证明）。
F(ω)是实变复值函数，即变量ω是在实数区间（-∞,+∞）定义，而函数值F(ω)却在复数空间。
式（9）的条件是：f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，并在任一有限区间满足狄立克雷充分条件。
$ 若f(t)为偶函数，则F(ω)将为纯实数，且同为偶函数；若f(t)为奇函数，则F(ω)将为纯虚数，且同为奇函数；而对任意f(t)，F(ω) 与F(-ω)始终共轭，这意味着|F(ω)| 与| F(-ω)| 恒相等，即F(ω)的绝对值是偶函数。
$ 由于要求f(t)绝对可积，所以对于周期函数一般是不能用傅里叶变换的，只能用傅里叶级数分析。
（周期函数往往不能收敛）。
三、总结性说明周期函数可以看成由很多频率是原函数频率整数倍的正余弦波叠加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必须将所有频率的振幅和相位同时记录才能准确表达原函数。
但从上面的公式来看，我们好像从没涉及到相位？其实不然，从式（2）来看，我们将每个频率的波分成了一个正弦分量和一个余弦分量，同时记录了这两个分量的振幅a n、b n其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而对于式（6a），每个频率的波被分成了正负两个频率的复数“波”，这种方式其实比正余弦形式更加直观，因为复振幅c n恰好同时记录了这个频率的振幅和相位，它的物理意义很明显：c n的幅值|c n| 即为该频率的振幅（准确的说是振幅的一半），而其辐角恰好就是相位（准确的说是反相的相位，c-n的辐角才恰好代表该频率波分量的相位）。
傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说，周期为无穷的函数。
它是傅里叶级数的一个特例（好吧，我曾经一直以为傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例，正好相反，刚前几天才想通透）。
当傅里叶级数的周期L趋于无穷时，自然就变成了上面的傅里叶变换。
这种关系从二者的表达式中大概能看出点端倪，但是也不是特别明显，毕竟它们的表达形式差别还挺大。
如果不把傅里叶级数表达成复数形式，那就更加难看出二者之间的联系了，这也是为什么本文中详细列出了复数形式的傅里叶级数。
傅里叶变换要求f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内的积分必须收敛”。
在深入篇中，我再好好说说二者是如何联系的。
重温傅里叶--深入篇1--傅里叶级数与傅里叶变换的关系以及频谱图的介绍在读本文前，请先大致浏览一下笔记篇里的东西，下面使用的符号及其意义都跟笔记篇里是一致的。
笔记篇里记录的大都是基础的公式，教科书上都可以找到。
（抱歉，刚发现有点小错误：在式（6-4）和式（11）里，积分项中的“dx”都应改为“dω”，由于改图不太好改，就只在这里说明了。
请读者看的时候注意）为了下面叙述方便，我先做几点约定和说明：本文中提到的傅里叶级数都是复数形式的级数，下标n都是负无穷到正无穷；对于笔记篇里经常出现的“ nπ/L ”，它可以看成一个角频率，用ω表示。
（角频率与频率(通常用f表示)之间的关系是：ω=2πf）。
（参见笔记篇中的式（3）、（4）、（6）等）；进一步，我将“π/L”称为“角基频”，这样的话“ nπ/L”就是n倍角基频。
当周期为2π时，角基频恰好为1；一定别搞混：c n代表的不是角频率为n的波分量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波分量的振幅；对于周期函数，除了角频率为整数倍（包括负整数倍）角基频的波分量振幅可以不为0外，角频率为其他值的波分量振幅都是0。
（下面介绍频谱图时会再提到此事）；*对于周期L等于无穷大的函数（非周期函数），其角基频为π/L = 0 ，这样实数范围内的所有角频率都可以看成整数倍角基频了，因此非周期函数在所有的角频率处都有波分量！（就是说，频谱图由离散变得连续了）。
什么，那不乱套了？如果所有的角频率都有波分量而且每个波分量都有一个不为0的振幅，那级数怎么可能收敛？还好，每个c n的表达式中都有一个1/2L 的系数，这样周期无穷大时，所有的振幅c n也都变成“0”了，所以不会乱套，但是这么多0加一块应该还是0，怎么能凑出原来的f(x)呢？这就像对一个函数积分一样，函数在任意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是方便理解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。
好了，不乱说了，越说越乱，本文就从这里开始，看完下面的几段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。
为了方便大家翻阅，我先将一会儿涉及到的几个公式重新贴一遍在这里。
这些公式及公式的标号都与笔记篇中相同。
周期级数公式如式（6）和式（7）那样，我们现在要做的是，搞明白为什么周期L趋于无穷时，就会有式（9）和式（8）的结果。
好，现在我们对式（6）和式（7）进行第一步加工：将式中的“ nπ/L ”用角频率ωn来表示，代表n倍角基频。
这样，会产生下面的新式子：对比式（7-1）和式（8），发现他们右边的积分式主体部分形式几乎是一样的，只是上下限和系数不同。
好吧，为了更直观的对比，我再创造一个符号，F n，将它定义如下：F n = c n × 2L这样我们就可以彻底抛弃c n 这个碍眼的符号了，全部用F n代替。
然后重写式（6）和式（7）：再拿式（7-2）和式（8）对比，会发现很让人兴奋的结果，他们的形式几乎一样！但是式（6-2）和式（9）貌似差别还不小，他们的系数一个是(1/2L)，一个(1/2π)。
好吧，接着来，我们再创造一个符号，Δω，定义如下：Δω = （π/ L）（其实就是角基频的大小）利用它来再次加工式（6）：（式（7-2）不变，但还是一块列了出来）重新对比式（6-3）和式（9），发现形式已经很相近了，只不过一个是积分一个是和式……等一下！和式？再仔细看看看式（6-3），发现这时它很像一个函数积分的和式展开式！那我们现在来构造两个函数吧：F*(ω)和ω*(ω)，构造方法如下：F*(ω) =F n当 [ ( n - 1/2 )Δω] < ω < [ ( n + 1/2 )Δω]时；ω*(ω) =ωn 当 [ ( n - 1/2 )Δω] < ω < [ ( n + 1/2 )Δω]时；这是两个分段跳跃函数，它们都以ω为自变量，并每隔Δω，函数值变化一次。
好吧，数字太不直观，我把F*(ω)的函数图象大致画出来方便大家理解：上面这个阶梯状的东西就是F*(ω)的函数图象。
ω*(ω)的图像也是类似的阶梯状，而且它的更简单，是一个从负无穷到正无穷逐步升高的形状（每次升高一个角基频的大小）。
这里有必要说明一下，以免误导大家：F n一般都是复数，只有在f(x)本身是偶函数时才是实数，因此函数F*的值也应为复数。
也就是说，将F*的函数图象画成图1那样的实数形式其实是不合理的。
我这样做只是为了方便大家理解（6-3）中的和式是如何变成积分式的。
好了，有了这两个函数，我们再来仔细看看式（6-3），不难看出，这个和式其实就是函数F*在（-∞,+∞）上的积分（面积）！这次我们再进一步，将上面两个式子中的F n和ωn也都换掉，使其变成ω*和F*这两个函数之间的关系式（离成功不远了）：这就是转换后的结果。
笔记篇中的式（6b）与式（7），跟现在推出的式（6-4）与式（7-4），是完全等价的，因为后面的两个就是根据前两个换算来的，只不过借助了F*(ω)和ω*(ω)这两个新构造的函数而已。
表达的意义一样，适用范围也一样（都适用于周期函数），但形式却大变！这时再回头看看式（9）和式（8），我们终于可以松口气了，形式完全一样！好了，现在我们再看看看周期L趋于无穷时会发生什么。
如果直接分析笔记篇中的式（6b）与式（7），我们会很失望，因为L趋于无穷时，它们都“退化”了，很难直接地从这两个式子中得到有用的信息（如果用这两个式子，我们所能得到的“直观”结果就是：c n全变0了，所以f(x)是0。
显然这是错的）。
但我们后来创造出来的式（6-4）与式（7-4），适应环境的能力就很强了。