函数图象与曲线的方程例题讲解解读

函数图象与曲线的方程例题讲解

一、函数图像

利用函数图像，我们可以研究函数本身的性质，如课本上我们是根据幂函数、指数函数等函数的图像归纳出它们的性质，并以此来进一步研究其它函数的性质．

在解决函数的其它问题时，我们也可以利用函数图像帮助我们打开思路．

例１．试判断函数：⎩⎨⎧++∈-+∈=)

22,12(,1)

12,2(,1)(k k x k k x x f （k ∈Z ）的奇偶性．

分析：由函数奇偶性的定义直接确定函数的奇偶性有些困难，但我们若给出函数图像．以奇偶函数的图像关于原点或y 轴对称这一性质判断，则问题不难解决．

解：令,2,1,0±±=k … … 得到各段函数的离散区间，从而得到函数)(x f 的图像，如图．

由图知，函数)(x f 是奇函数．

例2．设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k ∈Z 用I k 表示区间]12,

12(+-k k

，已知当0I x ∈时，2)(x x f =．

(1)求)(x f 在I k 上的解析表达式；

(2)对自然数k ，求集合M k = {a | 使方程ax x f =)(在I k 上有两个不相等的实根}． 分析：借助于函数图像，不仅能正确理解题意寻求解题思路，还可以直接从图像上得出答案．

当)(,,112x f x y x 又时=≤<-是以２为周期的函数，故它的图像就是：

)11(2≤<-=x x y 左、右平移后的重复出现．

O

所以在每一周期I k 内对应的解析式点2)2(k x y -=．又考虑ax y =的图像是过原点的直线，要满足题目的条件就应使斜率a 在]1

21

,

0(+k 上取值．当然利用图形的直观性得出结论不能完全替代逻辑推理的论证，但重视函数图像的作用是十分必要的．

解：（1）)(x f 是以2为周期的函数，∴当z k ∈时，2 k 是)(x f 的周期． 又k I x ∈ 时o I k x ∈-)2(， ∴2)2()2()(k x k x f x f -=-=，

即对z k ∈，当k I x ∈时，2)2()(k x x f -=．

（2）当N k ∈且k I x ∈时，由（１）有.)2(2ax k x =- 整理得 04)4(2

2

=++-k x a k x

).8(16)4(22k a a k a k +=-+=∆

方程在区间Ｉk 上恰有两个不相等的实根的充分必要条件是a 满足

[][

]

)8(42

1

12)8(421

120

)8(k a a a k k k a a a k k k a a ++

+≥++-

+<->+

解不等式组得1

21

0+≤

⎬⎫

⎩⎨⎧+≤

<1210k a a ．

说明：函数图像可以帮助我们理解题意，寻求思路，并可以帮助我们检验结论．

例３．已知c bx x x f +-=2

)(，且)(),()2(,3)0(R x x f x f f ∈=-=，则（ ）

(A))()(x

x c f b f ≥ (B))()(x

x c f b f ≤

(C))()(x x c f b f <

(D))()(x

x

c f b f 和大小不定．

分析：)(x b f 与)(x c f 的大小取决于两个条件： (1)x

b 与x

c 的大小；

(2)x

b 与x

c 在)(x f 的增区间中还是减区间中； 因此解决本题要抓住这两个环节． 由3)0(=f 可知c 值；

由)()2(x f x f =-可知1=x 是函数图像的对称轴，从而可知b 的值．

解法一：.3,3)0(=∴=c f

)()2(x f x f =- 对任何实数x 成立， )(x f ∴的图像关于直线1=x 对称． .2=∴b

函数x x y y 3,2==的图像如图所示． 可见，0>x 时，.123>>x x

此时，x

x 2,3同在)(x f 的增区间中，故)2()3(x x f f >，即).()(x x b f c f > 当0=x 时，x x 23=，∴)2()3(x x f f =，即 )()(x

x c f b f =．

当0

x 2,3都在)(x f 的减区间内，

故)2()3(x x f f >，即)()(x

x b f c f >．

综上所述，对任意R x ∈，总有).()(x

x

c f b f ≤故应选（Ｂ）． 解法二：3)0(=f ，∴c=3．

)()2(x f x f =- 对任何实数x 成立，

∴)(x f 的图像关于直线1=x 对称．∴ b =2 考虑幂函数,α

x y =

当0>α时，αx 在),0(+∞上是增函数， 当0<α时，αx 在),0(+∞上是减函数．

因此有，0>x 时，12323>>⇒>x

x ．

x 3，x 2都在)(x f 的增区间，所以)2()3(x x f f >．即)()(x x b f c f >．

0

时，12323<<⇒>x x ，

x x 2,3都在)(x f 的减区间上，所以有),2()3(x x f f >即)()(x x b f c f >．

而当0=x 时，x

x b c =，所以).()(x x c f c f =

故∈x R 时，总有)()(x x c f b f ≤． 应选Ｂ．

错解：.3,0)0(=∴=c f

)()2(x f x f =- 对任何实数x 都成立，

∴ f (x )的图像关于直线x =1对称，∴b =2

∵3>2，∴3x >2x ，∴f(3x )>f(2x )．即f(b x )

)． 而x =0时3x =2x ，所以f(b x )=f(c x

)． ∴总有)()(x

x c f b f ≤．选Ｂ．

说明：本题把一元二次函数，指数函数，幂函数的性质综合在一起，对于考察学生对函数基本性质及函数图像的掌握情况作用不小，但以选择题形式出现，有些地方就没有完全体现出来，如上面的错解，事实上，.23

23x x

>≠>>

例４：已知函数d cx bx ax x f +++=2

3

)(的图像如图，则

(Ａ))0,(-∞∈b (Ｂ))1,0(∈b (Ｃ))2,1(∈b

(Ｃ)),2(+∞∈b

分析：给了三次函数的图像，欲求二次项系数b 的范围，情景新，没有现成套路，只能从形上多找信息．

从图像知，三次函数图像过（０，０），（１，０），（２，０）三点，故1,0==x x 和2=x 是方程0)(=x f 的三个根，又知在不同区间数值的正负及单调性，再注意到选择题的解法可获如下思路．

解法一：由图知0，1，2是方程0)(=x f 的三个根，代入得