人教版《锐角三角函数》2

AB AC
BC AC
AB
ta n A BC AC
所以
ta n A sin A cos A
人教版《锐角三角函数》2（PPT优秀 课件）
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如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，
sinAB C ,cosAA C ,tanAB C
A B
A B
A C
sinBA C ,cosBB C ,tanBA C
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4、如图，PA是圆O切线，A为切点，PO交圆O于点B，PA=8， OB=6，求tan∠APO的值.
解：∵ PA是圆O的切线 ∴ PA⊥OA ∴ ∆POA是直角三角形 又∵ OA=OB tanAPOOA63 PA 8 4
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coAsA斜 的边 邻边 bc
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切
斜边c
B 对边a
（tangent）,记作tanA,即
A
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
邻边b
C
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求cosA,tanA． B
解：由勾股定理得
A 、b= a•tanA
B、b= c•sinA
C、 a= c•cosB
D、c= a•sinA
2、已知在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B， ∠C的对边，如果b=5a，那么∠A的正切值为____15 ____.
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第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数 (第1课时)
1．如图28-1-1，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1 cm，根 据“在直角三角形中，30°角所对的边
等于斜边的__一__半____”得到 AB＝___2___ cm，然后根据 勾股定理，得AC＝___3___ cm.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC＝1 cm， 则AC＝____1__ cm，AB＝____2 __ cm.
∠A＝∠ A' ＝α，那么 BC
AB
你能解释一下吗？
B
与 B ' C ' 有什么关系．
A'B '
B'
A
C
A'
C'
B' B
A
C A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B'C' A'B'
BC B'C' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三
角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与
斜边的比 sinAA斜 的边 对边ac 叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即
c 斜边
B
a 对边
例如，当∠A＝30°时，我们有
A
bC
sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有 sinAsin45 2 2
A、 3
B、 5
C、3
D、4
5
4
4
3
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3、在Rt△ABC中，∠C为直角，a=1，b=2，则
cosA=___2__5___
5
1
，tanA=_____2 ____.
4.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边
边的比 BC ，你能得出什么结论？
C
B
AB
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC
wenku.baidu.com是等腰直角三角形，由勾股定理得
A2B A2C B2C 2B2CAB 2BC
因此 BC BC 1 2 AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
探究
如图，在Rt△ABC中，∠C
＝90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比就
随之确定，此时，其他边
A
之间的比是否也确定了呢？
为什么？
斜边c
B 对边a
邻边b
C
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻
边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A
的余弦（cosine），记作cosA，即
1.初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比 值就是这个锐角的正弦的定义； 2.能把实际中的数量关系表示为数学表达式. 3.通过类比正弦函数，了解锐角三角函数中余弦函数、 正切函数的定义. 4.会求解简单的锐角三角函数.
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿 地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°， 为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
AB
cos B BC AB
A
C
sin B AC AB
cos A AC AB
所以 sinA=cosB，sinB=cosA
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解：（2） sin A BC
B
AB
cos A AC AB
A
C
BC
sin A cos A
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1、Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么
cosB的值为（ A ）
A、 1 2
B、 3 2
C、 3 3
D、 3
4
2、在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果cos A=
那么
5
tanB的值为（ D）
3.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵
树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为
1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是
（ A）
C
30°
A
D
B
E
A.( 5 3 3 )m 32
B.(5 3 3 )m 2
C.5 3 m 3
D.4m
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2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，
∠A的对边与斜边的比都等于
1
，是一个固定值；当
2
∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，也是
2
一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对
边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C＝∠C'＝90°,
10 6
A C A B 2B C 2102628,
A
C
cosAAC8 4 AB 10 5
tanABC63 AC 8 4
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10,BC＝6， B
求sinA, cosA,tanA的值．
6
解：由勾股定理得
A C A B 2B C 2102628, A
C
因此 sinABC 6 3
、邻边.
1 tanA 2 tanB
BC
(AACC)
BC
CD
(AD )
CD
( BD)
A
DB C
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5. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和
正切值．
C
解：由勾股定理
12
B C A B 2 A C 21 3 2 1 2 2 5 B
C
A
B
cos A 2b b 2c c
tan A 2a a 2b b
sinABC8k 8 AB 17k 17
tanABC8k 8 AC 15k 15
求一个锐角的三角函数值，必须寻找该锐角所在的直角 三角形，若没有直角三角形，则需作垂线构造直角三角 形．若题中已知三角形的面积，则我们要联想到作三角 形一条边上的高来构造直角三角形，然后再综合利用面 积公式、勾股定理、三角函数的定义求解．
B' B
50m 35m
A
C C'
A斜 的边 对边 BA'CB '' 12,
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 1 2
A
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝
90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜
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5. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的
正弦值、余弦值和正切值有什么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
B
sinAa， cosAb， tanAa
c
c
b
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
sin A 2a a 2c c
B
13 5
C
A
（2）
A C A B 2 B C 21 3 2 5 2 1 2
sinB AC 12 AB 13
(1)正弦的实质是两条线段的比值，其大小只与锐角的大 小有关，与直角三角形的大小无关；
(2)求锐角的正弦的前提是此锐角在直角三角形中，若题 目没有给出直角三角形或给出的不是直角三角形，则应先构 造直角三角形再求解；
B
C A
B
C A
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边
的一半”，即 A斜 的边 对边BACB12
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要 准备多长的水管？
(3)在直角三角形中，如果所给出的边的条件不足，应先 根据勾股定理计算出边的长度，再按正弦的定义求得锐角的 正弦值．
已知△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝13，BC＝2，求 AC，AB 的长．
解： ∵∠C＝90°，sinA＝13，∴BACB＝13.
∵BC＝2，∴AB＝6. 由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2＝ 62－22＝ 32＝4 2. 即 AC＝4 2，AB＝6.
tan B
B
C
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如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条
线段比求得。
解：(1)在Rt△ABC中， sin B AC
C
AB
（2）在Rt△BCD中，sin B CD BC
A
（3）因为∠B=∠ACD，所以
D
B
sinBsinACDAD AC
AB 10 5
cosAAC 8 4 AB 10 5
tanABC63 AC 8 4
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ 1 5 ，求
B
17
sinA、tanA的值．
解：∵ cos A AC 15
AB 17
设AC=15k，则AB=17k
A
C
所以 B C A B 2 A C 2(1 7 k)2 (1 5 k)2 8 k
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B
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证： tan A sin A
A
C
cos A
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解：（1） sin A BC
13
A
sinA BC 5 AB 13
sinB AC 12 AB 13
cos A AC 12 AB 13
cosB BC 5 AB 13
tanA BC 5 AC 12
tanB AC 12 BC 5
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1、在∆ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、 ∠C的对边，则有（ C
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA．
B
解: sinABC 6 3 AB 10 5
10 6
A
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
B
求sinA就是 要确定∠A的对
边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
解:（1）在Rt△ABC中，
A
A B A C 2B C 24 2 3 25
因此 sin A BC 3 AB 5
3
4C
（1）
sin B AC 4 AB 5
例1 如图，在Rt△ABC中,∠C＝90°,求sinA和sinB的值．
解:（2）在Rt△ABC中， 因此 sin A BC 5 AB 13
A B
A B
B C
因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1,
tan A＞0, tan B＞0 所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sin α ＜1，
0＜cos α ＜1，
A
tan α ＞0， sin2cos21
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sin A co s B co s A sin B tan A 1