8 几种常见的连续型随机变量
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解：
1/ (0.005 (0.005)) 100, x 0.005 f ( x) 0, x 0.005
p( x 0.002)
0.002
0.002
100dx 0.4
f ( x)
F ( x)
1 ba
a
b
x
a
b
x
f (x)
2. 指数分布
e x , x 0 若 X～ f ( x )＝ 0, x 0
1
Cdx
C 1 ba
x
Cdx
a
b
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
1. 均பைடு நூலகம்分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
f (x)
。
0
。
b
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
0.5x
dx e
1
3.5
0.37
0.5e
0.5x
dx
1.5
例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，
设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从
参数为t的泊松分布，求T的概率密度。 解 F(t) P{T t} F(t) 0 当t ≤0时，
当t >0时， F(t) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
x
e
t 2 2
dx
标准正态分布
4.标准正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
( x)
1 e 2
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2
x
e
t2 2
概率与统计
第八讲 几个常用的连续型分布
均匀分布：
设连续随机变量X的一切可能值充满某个有限区间[a，b]， 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即概率密度f （x）在区间[a，b]上为常量，这种分布为均匀分布（等 概率分布）
f (x)
。
0
。
b
a
x
分布函数
F ( x)
由X的一切可能值充满某个有限区间[a，b] 按归一性
1 P{Xt 0 } 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t 0 t0
3. 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量
1 X ~ f ( x) e 2
x 2
2 2
x
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
作业
1、设K在（0，5）服从均匀分布，求x的方程 4 x2 4Kx K 2 0 有实根的概率。 2、设X服从正态分布N（3，22） 求（1）P（2<X<=5）,P(X>2) （2）确定c，使得P（X>c）=P(X<c) （3）设d满足P（X>d）>=0.9,问d至多为多少 3、由机器生产的螺栓的长度（cm）服从（10.05， 0.062）的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为 合格产品，求一螺栓为不合格产品的概率。
X
标准正态分布
1
x
Z
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P218附表1)如，若 X~N（0，12）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066
正态分布表
0 f ( x) 1000 / x 2 , x 1000
3、设某顾客在银行的窗口等待服务的时间X（分钟） 服从指数分布，其概率密度为
0 f ( x) 1 x / 5 ,x 0 5 e
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等 到服务而离开的次数。写出Y的分布律，并求P （Y>=1）
1 . 2
(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布
X ~ f ( x)
现在我们计算服从正态分布的随机变量X落在区间 （x1，x2）内的概率
P ( x1 X x 2)
x2 x1
1 e 2
x 110 则 1 0.05 12 x 110 0.95 12
x 110 查表得 1.645 12
x 129.74
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
两个参数的意义
EX 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分
0.5e f ( x) 0
2
0 . 5 x
x0 x 0,
(1)P { X 2 } 0 . 5 e
0.5x
d x e 0.37
1
(2) P{ X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}
0.5e
例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
105 110 解：（）P{ X 105} 1 0.42 1 0.6628 0.3371 12
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934
(2)令P{X x} 0.05
注:X~N(110,122).
x 2
2 2
x
置换变量
x
1 e 2
x 2
2 2
dx
t
x 2 u t2 2
1 P( x1 X x2) dt x1u e 2 t 2 x 1 ( x) e 2 dt 2
x2 u x1 u P( x1 X x 2) ( ) ( )
0
x
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
1 e x , x 0 F ( x )＝ 0, x 0
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年 的概率为多少？ 解
1 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?
2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
EX2的结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为 P{|X- |≤3} ≈1，忽略{|X- |>3}的值.
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条
线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发 出警报.表明生产出现异常.
第6讲 课后练习
一袋中装有5只球，编号为1、2、3、4、5。在袋 中同时取3只，以X表示取得的3只球中的最大号 码，写出随机变量X的分布律。 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取 3次，每次取1只，做不放回的抽样。以X表示取 出的次品的只数。求X的分布律 设事件A在每次实验中发生的概率为0.3。当A发 生不少于3次时，指示灯发出信号。进行5次重复 独立实验，求指示灯发出信号的概率。进行7次重 复独立实验，求指示灯发出信号的概率。
第7讲 作业：
1、设随机变量X的概率密度为下式，求X的分布函 数F（X） 0 f ( x) 2(1 1/ x 2 ),1 x 2
2、某种型号的零件寿命X（小时）具有以下的概率密度， 现有一大批零件（各零件损坏与否相互对立），任取5只， 问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
例：用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒 为时间的计量单位，则小数点后第2位数字是按四 舍五入的原则求得的，求使用电子表计时产生的随 机误差X的概率密度；并计算误差的绝对值不超过 0.002秒的概率。
dt, x
标准正态分布的性质
(0) 0.5 () 1 ( x) 1 ( x)
x
F ( x) P{ X x} (
P{x1 X x 2} (
x2
).
) (
x1
)
标准正态分布
Z
一般正态分布
布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元 件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内 无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) ( 0.67) 0.2514 15
X ~ f ( x)
1 e 2
x 2
2 2
x
x 2
2 2
F ( x)
x
1 e 2
dx
0 我们发现 当 1
F ( x)
x 1 e 2
x 2
2 2
dx
( x)
1 2
1/ (0.005 (0.005)) 100, x 0.005 f ( x) 0, x 0.005
p( x 0.002)
0.002
0.002
100dx 0.4
f ( x)
F ( x)
1 ba
a
b
x
a
b
x
f (x)
2. 指数分布
e x , x 0 若 X～ f ( x )＝ 0, x 0
1
Cdx
C 1 ba
x
Cdx
a
b
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
1. 均பைடு நூலகம்分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
f (x)
。
0
。
b
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
0.5x
dx e
1
3.5
0.37
0.5e
0.5x
dx
1.5
例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，
设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从
参数为t的泊松分布，求T的概率密度。 解 F(t) P{T t} F(t) 0 当t ≤0时，
当t >0时， F(t) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
x
e
t 2 2
dx
标准正态分布
4.标准正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
( x)
1 e 2
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2
x
e
t2 2
概率与统计
第八讲 几个常用的连续型分布
均匀分布：
设连续随机变量X的一切可能值充满某个有限区间[a，b]， 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即概率密度f （x）在区间[a，b]上为常量，这种分布为均匀分布（等 概率分布）
f (x)
。
0
。
b
a
x
分布函数
F ( x)
由X的一切可能值充满某个有限区间[a，b] 按归一性
1 P{Xt 0 } 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t 0 t0
3. 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量
1 X ~ f ( x) e 2
x 2
2 2
x
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
作业
1、设K在（0，5）服从均匀分布，求x的方程 4 x2 4Kx K 2 0 有实根的概率。 2、设X服从正态分布N（3，22） 求（1）P（2<X<=5）,P(X>2) （2）确定c，使得P（X>c）=P(X<c) （3）设d满足P（X>d）>=0.9,问d至多为多少 3、由机器生产的螺栓的长度（cm）服从（10.05， 0.062）的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为 合格产品，求一螺栓为不合格产品的概率。
X
标准正态分布
1
x
Z
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P218附表1)如，若 X~N（0，12）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066
正态分布表
0 f ( x) 1000 / x 2 , x 1000
3、设某顾客在银行的窗口等待服务的时间X（分钟） 服从指数分布，其概率密度为
0 f ( x) 1 x / 5 ,x 0 5 e
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等 到服务而离开的次数。写出Y的分布律，并求P （Y>=1）
1 . 2
(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布
X ~ f ( x)
现在我们计算服从正态分布的随机变量X落在区间 （x1，x2）内的概率
P ( x1 X x 2)
x2 x1
1 e 2
x 110 则 1 0.05 12 x 110 0.95 12
x 110 查表得 1.645 12
x 129.74
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
两个参数的意义
EX 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分
0.5e f ( x) 0
2
0 . 5 x
x0 x 0,
(1)P { X 2 } 0 . 5 e
0.5x
d x e 0.37
1
(2) P{ X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}
0.5e
例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
105 110 解：（）P{ X 105} 1 0.42 1 0.6628 0.3371 12
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934
(2)令P{X x} 0.05
注:X~N(110,122).
x 2
2 2
x
置换变量
x
1 e 2
x 2
2 2
dx
t
x 2 u t2 2
1 P( x1 X x2) dt x1u e 2 t 2 x 1 ( x) e 2 dt 2
x2 u x1 u P( x1 X x 2) ( ) ( )
0
x
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
1 e x , x 0 F ( x )＝ 0, x 0
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年 的概率为多少？ 解
1 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?
2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
EX2的结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为 P{|X- |≤3} ≈1，忽略{|X- |>3}的值.
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条
线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发 出警报.表明生产出现异常.
第6讲 课后练习
一袋中装有5只球，编号为1、2、3、4、5。在袋 中同时取3只，以X表示取得的3只球中的最大号 码，写出随机变量X的分布律。 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取 3次，每次取1只，做不放回的抽样。以X表示取 出的次品的只数。求X的分布律 设事件A在每次实验中发生的概率为0.3。当A发 生不少于3次时，指示灯发出信号。进行5次重复 独立实验，求指示灯发出信号的概率。进行7次重 复独立实验，求指示灯发出信号的概率。
第7讲 作业：
1、设随机变量X的概率密度为下式，求X的分布函 数F（X） 0 f ( x) 2(1 1/ x 2 ),1 x 2
2、某种型号的零件寿命X（小时）具有以下的概率密度， 现有一大批零件（各零件损坏与否相互对立），任取5只， 问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
例：用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒 为时间的计量单位，则小数点后第2位数字是按四 舍五入的原则求得的，求使用电子表计时产生的随 机误差X的概率密度；并计算误差的绝对值不超过 0.002秒的概率。
dt, x
标准正态分布的性质
(0) 0.5 () 1 ( x) 1 ( x)
x
F ( x) P{ X x} (
P{x1 X x 2} (
x2
).
) (
x1
)
标准正态分布
Z
一般正态分布
布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元 件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内 无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) ( 0.67) 0.2514 15
X ~ f ( x)
1 e 2
x 2
2 2
x
x 2
2 2
F ( x)
x
1 e 2
dx
0 我们发现 当 1
F ( x)
x 1 e 2
x 2
2 2
dx
( x)
1 2