8 几种常见的连续型随机变量
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连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
3.2 几种常用的连续型随机变量
0.9772 1 0.8413 0.8185
非标准正态分布的标准化 设X～N(，2)，则
F (x)
x 2 F (x) 1 x e d u 2
(t ) 2
2 2
1
x
例:
设随机变量 X ~ N 2， 9 ，试求： ⑴． P 1 X 5 ；⑵． P X 2 6 ；⑶． P X 0 ．
解：
⑴． P X 5 F ( 5 ) F (1) 1
( 52 3
1 1 1 3
说明：
如 果 1, , 由 ( 1 ) 1 得
这正是参数为
这说明指数分布是
的指数分布．
e x f x 0
x 0 x 0
分布的一个特例．
例 : 某厂生产的电子元件其 ( 单位：万小时），随机 该元件寿命大于
寿命 X ~ ( 2 ,1) 的取出一个元件，求
(x)
(x) 1 2
x
2
e
2
, x 1 2
x
(t )dt
x
t
2
e
2
dt.
e
x
2
dx
.
标准正态分布的图形
性质 证明
( x ) 1 ( x ).
( x )
x
2
x
1 2π 1
Γ- 函 数的定义：
0
x
1
e
x
dx , 0
连续型随机变量及分布
F （ x2） F （ x1 ） xx12p(x)dx
这一个结果从几何上来讲， 落
p (x)
在区间 (x1, x2 )中的概率恰好等于在
区间(x1, x2 )上曲线y=p(x)的曲边梯形
的面积．同时可发现整个曲线y=p(x) 与x轴所围成的图形面积为1．
0 x1 x2 x
P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ） P （ x 1 x 2 ）
(1) p(x)0; （非负性）
1
(2) p(x)dx1（. 规范性）
0
x
反过来，定义在R上的函数p(x)，如果具有上述两个性 质，即可定义一个分布函数F(x)．
概率论与数理统计
(3) F(x)在R上连续，且在 p ( x ) 的连续点处，有
p(x)F(x)
对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互 确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分 布规律．
概率论与数理统计
§2.3 连续型随机变量
主要内容
概率论与数理统计
一、连续型随机变量的概念
二、常见的连续型分布
一、连续型随机变量的概念
1.定义
概率论与数理统计
定义2.2 如果对于随机变量 ( )的分布函数F(x)，存 在非负函数 p (x)，使得对于任意的实数 x，有
x
F(x) p(t)dt
则称 为连续型随机变量，其中函数 p (x) 称为 的概率密 度函数,简称概率密度 （probability density function） .
(2) F ( x ) x p ( t) d t x ( 1 1 t2 ) d t 1 a r c t a n t x 1 a r c t a n x 1 2 ;
§2.3连续型随机变量及其概率密度
随机变量 X 的概率密度可以取为
f (x) F(x) 10,
a2 x2 , a x a, 其它.
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例3 某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件
在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解：设A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
则
PA
PX
150
150
f (x)d x
150
100
100 x2
d
x
检验 5 个元件的使用寿命可以看作
100150 x 100
1 3
是在做一个5重Bernoulli试验．
设B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 }
则
P
B
连续型随机变量 X 可由其密度函数唯一确定． 还可以得出连续型随机变量 X 的分布函数一定连续．
2. 性质 由定义知道，概率密度 f (x) 具有以下性质：
f (x)
10 f ( x) 0.
20
f
( x)dx
1.
1
x
0 上页 下页 返回
10 f ( x) 0.
另外，可以证明:
20
f
( x)dx
(3)由
c
3 8
知
X
的概率密度为
f x
3 8
4 x
2
x2
0 x2
由 F ( x)
x
f
(x)d
x
得
0
其它
0,
x 0 0,
x0
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
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均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。
下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。
首先，我们来认识一下什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。
比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。
常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。
比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。
其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。
2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。
比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。
那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。
二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。
举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。
3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。
超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。
超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。
比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。
连续型随机变量的分布)
定义
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
常见的连续型随机变量
第五节 常见的连续型随机变量
7
例 1（续）
所以，
PB P10 X 15 P25 X 30
P40 X 45 P55 X 60
15
1 dx 30
1
45
dx
1
60
dx
1
dx
10 60
25 60
40 60
55 60
1 3
．
第五节 常见的连续型随机变量
8
例2
设随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，求方程
上的均匀分布．
第五节 常见的连续型随机变量
6
例 1（续）
其密度函数为
f
x
1 60
0
0 x 60
其它 ．
令 B 被带往甲地 ．
开往甲地汽车的到达时间：
7:00， 7:15， 7:30， 7:45， 8:00； 开往乙地汽车的到达时间：
7:10， 7:25， 7:40， 7:55， 8:10．
k!
k 0, 1, , n, ．
设随机变量T 的分布函数为 FT t ．
则当 t 0 时， FT t 0 ；
第五节 常见的连续型随机变量
18
例 4（续）
当 t 0时， FT t PT t 1 PT t
1 P在长度为 t 的时间间隔内随机事件 A 没发生
1 PX 0 1 et ．
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
由于随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，所以
的密度函数为
f
x
1 9
0
3 x6
其它 ．
第五节 常见的连续型随机变量
9
例 2（续）
第八讲：几个常用的连续型分布
概率与统计
第八讲 几个常用的连续型分布
开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页
1. 均匀分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
f (x)
。
0
。
a
b
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
其密度函数表示为
( x)
1 2
e
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2
x
e
t2 2
dt , x
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P439附表2)如，若 Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066 注：(1) (x)＝1－ (－x)；
若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个
随机变量。求Y的分布律. 例:已知 X Pk
1
求：Y=X2的分布律
-1
3
0
1 3
1
1 3
Y Pk
1
2 3
0
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk
Y=g(X) 或 …
p1
p2 pk
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布
第八讲 几个常用的连续型分布
开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页
1. 均匀分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
f (x)
。
0
。
a
b
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
其密度函数表示为
( x)
1 2
e
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2
x
e
t2 2
dt , x
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P439附表2)如，若 Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066 注：(1) (x)＝1－ (－x)；
若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个
随机变量。求Y的分布律. 例:已知 X Pk
1
求：Y=X2的分布律
-1
3
0
1 3
1
1 3
Y Pk
1
2 3
0
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk
Y=g(X) 或 …
p1
p2 pk
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布
连续型随机变量及其概率分布
aБайду номын сангаас
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
概率论与数理统计2_3连续型随机变量
《概率统计》
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若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由
f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
《概率统计》
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例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss） 分布,记作 X～ N（μ,σ2）
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
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最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
第8讲连续型随机变量
(1) 解： 由 p( x)dx 1, 得0 (kx 1)dx 1
2
解得k 1/ 2
(2) X的分布函数为
0, 1 x F x p t dt x 2 x, 4 1, x0 0 x2 x 1
3 X 5 F5F 3 (3) P 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
( x )
x
0 x p(x)
1 ( x )
x
P(a X b) (b) (a) P(| X | c) 2(c) 1
例1 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>1.96) , P(|X|<1.96)
解: P(X>1.96) = 1 (1.96)
(1) PX 1000
1000
px dx e1
(2) PX 1500 | X 500
PX 1500且X 500 PX 500
PX 1500 e1.5 0.5 e1 PX 500 e
由上例看出，指数分布具有“无记忆性”，即： 若X服从指数分布，则对任意的s>0,t>0,有
设连续型随机变量X具有概率密度
1 , px b a 0, a x b, 其它.
则称X在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X～U (a, b)
易知p( x) 0, 且 px dx 1
满足连续型随机变量 的两个最基本性质
p x 的图形
显然p( x) 0，下面来证明
＋
－
p( x)dx 1
令
x
t, 得
第六章6.3连续性随机变量
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数f(x) , x (,) ,使得对任意 a b , 有
P (a X b) f ( x )dx
a
b
则称 X为连续型r.v.,称 f(x)为 X 的概率密度函 数，简称为概率密度或密度.
概率密度函数的性质
1o 2o
f ( x) 0
2) 由P(X=a)=0 可推知
而 {X=a} 并非不可能事件, { X R {a}} 并非必然事件 可见， 由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=
常见的连续型随机变量
正态分布、均匀分布、指数分布
均匀分布
若随机变量X的概率密度为： 1 , a xb f ( x) b a a 其它 0,
标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 ( x)和 ( x )表示：
1 ( x) e 2
x2 2
, x
2
1 ( x) 2
x
e dt
t 2
( x)
思考题
设随机变量 X 服从 ( 0, 5 ) 上的均匀分布, 求方程
4 x 2 4 Xx X 2 0
有实根的概率.
解： 当且仅当
(4 X ) 16( X 2) 0,
2
即
X 2 或 X 1 成立时, 方程 4 x 2 4 Xx X 2 0 有实根.
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某X的 概率密度函数的充要条件.
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解：
1/ (0.005 (0.005)) 100, x 0.005 f ( x) 0, x 0.005
p( x 0.002)
0.002
0.002
100dx 0.4
f ( x)
F ( x)
1 ba
a
b
x
a
b
x
f (x)
2. 指数分布
e x , x 0 若 X～ f ( x )＝ 0, x 0
0.5x
dx e
1
3.5
0.37
0.5e
0.5x
dx
1.5
例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，
设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从
参数为t的泊松分布，求T的概率密度。 解 F(t) P{T t} F(t) 0 当t ≤0时，
当t >0时， F(t) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
1 . 2
(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布
X ~ f ( x)
现在我们计算服从正态分布的随机变量X落在区间 （x1，x2）内的概率
P ( x1 X x 2)
x2 x1
1 e 2
X
标准正态分布
1
x
Z
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P218附表1)如，若 X~N（0，12）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066
正态分布表
0 f ( x) 1000 / x 2 , x 1000
3、设某顾客在银行的窗口等待服务的时间X（分钟） 服从指数分布，其概率密度为
0 f ( x) 1 x / 5 ,x 0 5 e
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等 到服务而离开的次数。写出Y的分布律，并求P （Y>=1）
0.5e f ( x) 0
2
0 . 5 x
x0 x 0,
(1)P { X 2 } 0 . 5 e
0.5x
d x e 0.37
1
(2) P{ X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}
0.5e
1 P{Xt 0 } 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t 0 t0
3. 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
x
e
t 2 2
dx
标准正态分布
4.标准正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
( x)
1 e 2
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2
x
e
t2 2
概率与统计
第八讲 几个常用的连续型分布
均匀分布：
设连续随机变量X的一切可能值充满某个有限区间[a，b]， 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即概率密度f （x）在区间[a，b]上为常量，这种分布为均匀分布（等 概率分布）
f (x)
。
0
。
b
a
x
分布函数
F ( x)
由X的一切可能值充满某个有限区间[a，b] 按归一性
x 110 则 1 0.05 12 x 110 0.95 12
x 110 查表得 1.645 12
x 129.74
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
两个参数的意义
EX 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分
布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元 件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内 无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) ( 0.67) 0.2514 15
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
作业
1、设K在（0，5）服从均匀分布，求x的方程 4 x2 4Kx K 2 0 有实根的概率。 2、设X服从正态分布N（3，22） 求（1）P（2<X<=5）,P(X>2) （2）确定c，使得P（X>c）=P(X<c) （3）设d满足P（X>d）>=0.9,问d至多为多少 3、由机器生产的螺栓的长度（cm）服从（10.05， 0.062）的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为 合格产品，求一螺栓为不合格产品的概率。
X ~ f ( x)
1 e 2
x 2
2 2
x
x 2
2 2
F ( x)
x
1 e 2
dx
0 我们发现 当 1
F ( x)
x 1 e 2
x 2
2 2
dx
( x)
1 2
第7讲 作业：
1、设随机变量X的概率密度为下式，求X的分布函 数F（X） 0 f ( x) 2(1 1/ x 2 ),1 x 2
2、某种型号的零件寿命X（小时）具有以下的概率密度， 现有一大批零件（各零件损坏与否相互对立），任取5只， 问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
第6讲 课后练习
一袋中装有5只球，编号为1、2、3、4、5。在袋 中同时取3只，以X表示取得的3只球中的最大号 码，写出随机变量X的分布律。 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取 3次，每次取1只，做不放回的抽样。以X表示取 出的次品的只数。求X的分布律 设事件A在每次实验中发生的概率为0.3。当A发 生不少于3次时，指示灯发出信号。进行5次重复 独立实验，求指示灯发出信号的概率。进行7次重 复独立实验，求指示灯发出信号的概率。
x 2
2 2
x
置换变量
x
1 e 2
x 2
2 2
dx
t
x 2 u t2 2
1 P( x1 X x2) dt x1u e 2 t 2 x 1 ( x) e 2 dt 2
x2 u x1 u P( x1 X x 2) ( ) ( )
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934
(2)令P{X x} 0.05
注:X~N(110,122).
1
Cdx
C 1 ba
x
Cdx
a
b
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
1. 均匀分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
f (x)
。
0
。
b
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
若随机变量
1 X ~ f ( x) e 2
x 2
2 2 x 源自其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
例：用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒 为时间的计量单位，则小数点后第2位数字是按四 舍五入的原则求得的，求使用电子表计时产生的随 机误差X的概率密度；并计算误差的绝对值不超过 0.002秒的概率。
1 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?
2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
EX2的结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为 P{|X- |≤3} ≈1，忽略{|X- |>3}的值.
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条
线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发 出警报.表明生产出现异常.
例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
105 110 解：（）P{ X 105} 1 0.42 1 0.6628 0.3371 12
0
x
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
1/ (0.005 (0.005)) 100, x 0.005 f ( x) 0, x 0.005
p( x 0.002)
0.002
0.002
100dx 0.4
f ( x)
F ( x)
1 ba
a
b
x
a
b
x
f (x)
2. 指数分布
e x , x 0 若 X～ f ( x )＝ 0, x 0
0.5x
dx e
1
3.5
0.37
0.5e
0.5x
dx
1.5
例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，
设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从
参数为t的泊松分布，求T的概率密度。 解 F(t) P{T t} F(t) 0 当t ≤0时，
当t >0时， F(t) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
1 . 2
(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布
X ~ f ( x)
现在我们计算服从正态分布的随机变量X落在区间 （x1，x2）内的概率
P ( x1 X x 2)
x2 x1
1 e 2
X
标准正态分布
1
x
Z
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。(P218附表1)如，若 X~N（0，12）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066
正态分布表
0 f ( x) 1000 / x 2 , x 1000
3、设某顾客在银行的窗口等待服务的时间X（分钟） 服从指数分布，其概率密度为
0 f ( x) 1 x / 5 ,x 0 5 e
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等 到服务而离开的次数。写出Y的分布律，并求P （Y>=1）
0.5e f ( x) 0
2
0 . 5 x
x0 x 0,
(1)P { X 2 } 0 . 5 e
0.5x
d x e 0.37
1
(2) P{ X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}
0.5e
1 P{Xt 0 } 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t 0 t0
3. 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
x
e
t 2 2
dx
标准正态分布
4.标准正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
( x)
1 e 2
x2 2
, x .
分布函数表示为
( x ) P { X x }
1 2
x
e
t2 2
概率与统计
第八讲 几个常用的连续型分布
均匀分布：
设连续随机变量X的一切可能值充满某个有限区间[a，b]， 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即概率密度f （x）在区间[a，b]上为常量，这种分布为均匀分布（等 概率分布）
f (x)
。
0
。
b
a
x
分布函数
F ( x)
由X的一切可能值充满某个有限区间[a，b] 按归一性
x 110 则 1 0.05 12 x 110 0.95 12
x 110 查表得 1.645 12
x 129.74
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
两个参数的意义
EX 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分
布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元 件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内 无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) ( 0.67) 0.2514 15
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
作业
1、设K在（0，5）服从均匀分布，求x的方程 4 x2 4Kx K 2 0 有实根的概率。 2、设X服从正态分布N（3，22） 求（1）P（2<X<=5）,P(X>2) （2）确定c，使得P（X>c）=P(X<c) （3）设d满足P（X>d）>=0.9,问d至多为多少 3、由机器生产的螺栓的长度（cm）服从（10.05， 0.062）的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为 合格产品，求一螺栓为不合格产品的概率。
X ~ f ( x)
1 e 2
x 2
2 2
x
x 2
2 2
F ( x)
x
1 e 2
dx
0 我们发现 当 1
F ( x)
x 1 e 2
x 2
2 2
dx
( x)
1 2
第7讲 作业：
1、设随机变量X的概率密度为下式，求X的分布函 数F（X） 0 f ( x) 2(1 1/ x 2 ),1 x 2
2、某种型号的零件寿命X（小时）具有以下的概率密度， 现有一大批零件（各零件损坏与否相互对立），任取5只， 问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
第6讲 课后练习
一袋中装有5只球，编号为1、2、3、4、5。在袋 中同时取3只，以X表示取得的3只球中的最大号 码，写出随机变量X的分布律。 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取 3次，每次取1只，做不放回的抽样。以X表示取 出的次品的只数。求X的分布律 设事件A在每次实验中发生的概率为0.3。当A发 生不少于3次时，指示灯发出信号。进行5次重复 独立实验，求指示灯发出信号的概率。进行7次重 复独立实验，求指示灯发出信号的概率。
x 2
2 2
x
置换变量
x
1 e 2
x 2
2 2
dx
t
x 2 u t2 2
1 P( x1 X x2) dt x1u e 2 t 2 x 1 ( x) e 2 dt 2
x2 u x1 u P( x1 X x 2) ( ) ( )
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934
(2)令P{X x} 0.05
注:X~N(110,122).
1
Cdx
C 1 ba
x
Cdx
a
b
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
1. 均匀分布
1 ,a x b 若X～f(x)＝ b a 0，其它
f (x)
。
0
。
b
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
若随机变量
1 X ~ f ( x) e 2
x 2
2 2 x 源自其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
例：用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒 为时间的计量单位，则小数点后第2位数字是按四 舍五入的原则求得的，求使用电子表计时产生的随 机误差X的概率密度；并计算误差的绝对值不超过 0.002秒的概率。
1 设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?
2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
EX2的结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为 P{|X- |≤3} ≈1，忽略{|X- |>3}的值.
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条
线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发 出警报.表明生产出现异常.
例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
105 110 解：（）P{ X 105} 1 0.42 1 0.6628 0.3371 12
0
x
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为