广义鞅变换算子的p-Amemiya范数不等式及其应用
非局部p-Laplace方程Neumann问题的非平凡解
非局部p-Laplace方程Neumann问题的非平凡解孙旸;张申贵【摘要】研究一类非局部p-Laplace方程Neumann问题的可解性.当非线性项满足广义p-次线性条件时,利用变分方法和临界点理论,得到了该问题非平凡解存在的充分条件.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)007【总页数】5页(P13-17)【关键词】非局部p-Laplace方程;Neumann边值问题;临界点【作者】孙旸;张申贵【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院, 甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.25本文研究p-Kirchhoff方程Neumann边值问题(1)其中，ν(x)为外法向量，u，有界区域Ω是RN中带有光滑的边界.令Δpu=div(|u|p-2u)为p-Laplacian算子.设f(x,u)∈C(Ω×R,R)及M(t)∈C(R+,R+).令存在常数m0>0，θ≥1，满足：M(t)≥m0，∀t≥0,(2)∀t≥0.(3)问题 (1) 的特点是带有非局部系数这导致问题(1)中的微分方程不是逐点成立的恒等式,此类问题被称为非局部问题.带有非局部系数的微分方程有着广泛的应用,例如一些描述热能辐射过程，种群增长规律或电流分布和运动的数学模型可以归结为此类方程.近年来，临界点理论已用于研究带有非局部系数的微分方程的可解性，见文献 [1-8].本文中，首先将问题的(弱)解转化为索伯列夫空间W1,p(Ω)上能量泛函的临界点，当非线性项满足一类广义p-次线性条件时，然后将利用文献 [9]建立的零点局部环绕定理证明能量泛函至少两个非平凡临界点，从而得到问题(1)至少存在两个非平凡解的充分条件.1 准备知识记W1,p(Ω)为索伯列夫空间，定义范数为根据索伯列夫嵌入定理，存在常数C>0，使得(4)(5)及(6)对所有u∈W1,p(Ω)成立.记那么⊕R，且存在η>0，使得(7)在W1,p(Ω)上定义能量泛函其中 F(x,u)=f(x,s)ds，则u是泛函Φ的临界点当且仅当u∈W1,p(Ω)是问题⑴的解.且Φ连续可微，及u∀v∈W1,p(Ω).文献[9]中给出了下面临界点定理：引理1[9] 设E是巴拿赫空间,E=E1⊕E2，dimE2<+.若以下两个条件成立：(i) 设泛函Φ∈C1(E,R)下方有界且满足(PS)条件，即{un}是E中的序列，使得{Φ(un)}有界且Φ′(un)→0，(n→)，蕴含{un}在E中有收敛子列.(ii) 设泛函Φ在零点处满足局部环绕条件,即存在常数δ>0,使得Φ(u)≥0,∀u∈E1,‖u‖≤δ；Φ(u)≤0,∀u∈E2,‖u‖≤δ.若infEΦ<0，则Φ至少有两个非平凡临界点.2 主要结果假设控制函数H(u):[0,+)→[0,+)连续，存在Ki>0，i=1,2,3，使得(H1) H(t)≤H(s)，∀t≤s，t,s∈[0,+);(H2) H(t+s)≤K0[H(t)+H(s)]，∀t,s∈[0,+);(H3) 0≤H(t)≤K1sα+K2，0<α<p-1，∀t,s∈[0,+);.定理1 假设(2)，(3)成立，存在常数L1>0，L2>0，有|f(x,u)|≤L1H(|u|)+L2，(8)对所有u∈R和x∈Ω成立.且,(9)其中及(10)对所有x∈Ω一致成立.设存在δ1>0，使得F(x,u)≥0,(11)对所有u∈R，|u|≤δ1和x∈Ω成立.则问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)至少有两个非平凡解. 证明记验证问题(1)对应的能量泛函Φ满足引理1的所有条件. 第1步验证 (i) 成立.利用(2)式和(4)式，得(12)由条件(H1)-(H3)，对s∈[0,1]，有(13)由(13)式，(5)式，(6)式，及Young不等式，得(14)由(12)式，(14)式，得(15)注意到‖u‖→+⟹，及当时，有，则当‖u‖→+时，有Φ(u)→+，(16)即泛函Φ是强制且下方有界的.现在验证泛函Φ满足(PS)条件，即{un}是W1,p(Ω)中的序列，使得{Φ(un)}有界且Φ′(un)→0，(n→)，蕴含{un}在W1,p(Ω)中有收敛子列.首先，证明{un}在W1,p(Ω)中有界，反设{un}在W1,p(Ω)中无界，由(16)式，当‖u‖→+时，有Φ(u)→+，这与{Φ(un)}有界矛盾！故{un}在W1,p(Ω)中有界，取{un}的子列仍记为{un}，则存在u∈W1,p(Ω)，使得{un}弱收敛于u.利用索伯列夫嵌入定理，有(n→).由于Φ′(un)(un-u)→0，(n→)，可得un(un-u)dx→0，(n→)，利用(2)式，有un(un-u)dx→0，(n→).定义uvdx，∀u,v∈W1,p(Ω)，则A:W1,p(Ω)→W1,p(Ω)*连续.由文献[4]知,映射A具有性质(S+)，所以{un}在W1,p(Ω)中有强收敛子列.第2步验证 (ii) 成立，令则E=E1⊕E2.由(H3)，(8)式和(10)式，对∀ε>0，存在常数C1>0，有|F(x,u)|≤ε|u|p+C1|u|α+1，(17)对所有u∈R和x∈Ω成立.由(4)式，(6)式，(10)式和(12)式，对有令‖u‖充分小，注意到0<α<p-1，存在常数δ1>0，对∀当时，有对∀存在常数δ1>0，当时，有则存在常数0<δ<min{δ1,δ2},使得泛函Φ在零点处满足局部环绕条件,即Φ(u)≥0,∀u∈E1,‖u‖≤δ;Φ(u)≤0,∀u∈E2,‖u‖≤δ.(18)第3步若infEΦ<0，由引理1知，Φ至少有两个非平凡临界点，从而问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)至少有两个非平凡解.若infEΦ≥0，结合(18)式，有infE2Φ=0，∀u∈E2=R,‖u‖≤δ成立.由此可知,对∀u∈E2=R,‖u‖≤δ均为Φ的临界点.则问题(1)在索伯列夫空间W1,p(Ω)有无穷多个解.证完.注1 令M(t)=a+bpt，其中a>0,b>0.取m0=a，θ=p，则满足(2)式，(3)式.注2 当H(u)=|u|α，条件(7)可退化为经典的次线性条件，即|f(x,u)|≤L1|u|α+L2，令则F满足定理1中条件(7)，但不满足经典的次线性条件.参考文献:Nontrivial Solutions for Nonlocal p-Laplace Equation with Neumann Boundary ValueSUN Yang，ZHANG Shengui(College of Mathematics and Computer Science，Northwest University for Nationalities,Lanzhou Gansu 730030)Abstract In this paper,we investigate the solvability of a class of nonlocal p-Laplacian equation with Neumann boundary value.If the nonlinear term satisfies generalized p-sublinear growth condition,some sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions for this problem are proved by variational methods and critical point theory.Key words Nonlocal p-Laplacian equation；Neumann boundary value problem；Critical point.【相关文献】[1] Zhang Yongyang,Ji Hui.Existence results for a class of nonlocal problems involving p-Laplacian [J].Boundary value problems,2011，(1)：1-8.[2] Dai Guowei,Ma Ruyun.Solutions for a p(x)-Kirchhoff type equation with Neumann boundary data [J].Nonlinear Analysis.RWA,2011,12(1):2666-2680.[3] Chung N T.Multiple solutions for a class of p(x)-Kirchhoff type problems with Neumann boundary conditions[J].Advances in Pure and Applied Mathematics,2013,4(2)：165-177.[4] Molica G,Rădulescu V. Applications of local linking to nonlocal Neumann problems [J].Communications in Contemporary Mathematics,2015,17(1)：1-17.[5] Cabanillas L,Barahona M.Existence of Solutions for Semilinear Integro-differentialEquations of p-Kirchhoff Type [J].Armenian Journal of Mathematics,2015,6(2)：53-63. [6] Bisci G，Radulescu V.Mountain pass solutions for nonlocal equations[J].Ann.Acad.Sci.Fenn,2014,39(1)：579-592.[7] Wang Fanglei,Ru Yuanfang,An Tianqing.Nontrivial solutions for a fourth-order elliptic equation of Kirchhoff type via Galerkin method [J].Journal of Fixed Point Theory and Applications,2018，20(2):71-90.[8] 张申贵.一类Kirchhoff方程Neumann边值问题的可解性[J].宁夏师范学院学报,2015,36(6):13-18.[9] Brezis H,Nirenberg L,Remarks on finding critical points[J].Commun.PureAppl.Math,1991,44(1)：939-963.。
广义Laplace积分算子不等式
２ （，） ｐｐ 型算子不等式
定 理 ２１ 设 Ｋ是 （， 上非负可测 函数 ，≤ ． ０∞） １
Ｊ ，（ｙ ｙ） Ｋ ｆｄ ｙ
０
（） １ ． ２
（． １） ３
研 究在什 么条 件下 ． 成立算 子不 等式
ｐ∞１ ＝ ， ｑ， 亦。 ≤）＋ ｌｌ 约 反 然 ，｝ ， 时 定 ∞之 ｐ
ｌ ∈ｏ ｒ∞ ｝ ，
证明 １ ）设 １ ＜ ＿ ≤ｐ ∞，令 ｕ ｘ ，并 用 广 义 ＝ｙ
（．） ２ ２
式 Ｉｌ：ｆ Ｉ 脚 中Ｉｌ （ ｆ ∞ ，） ∞＝
Ｉ Ｉ，． Ｓ Ｄ ． ∈（， ） Ｉ － Ｓ ｛ Ｊ ｆｌ ．Ｓ Ｕ Ｉ ￣ Ｓ ０Ｏ ｝ ０
算 子 的范 数 Ｉ Ｉ 由（．） 表 示 ， 且 是使 Ｉ Ｉ ＝ ２１式 并
（ ．） ２２ 式成立 的最 佳 常数 。 （．） 中仅 当 ０时 ２２ 式 等号成立 。
往 不够用 ，需 要作 数值 计算 ，称 为数 值 Ｌ ｐａ ｅ ａｌ ｃ
变换。 或者 对 Ｌ ｐａｅ变换作 渐近估 计【 】 ａ ｌ ｃ ２ 。于是 ， Ｉ ３
ａ ｌｃ Ｌ ｐａｅ变 换 不 等 式 就 越 来 越 显 示 出其 重 要 作
用。
式． 并且 其 中的常 数 因子是最 佳 的 。 ３中建立 在§
ｌ ≥
得 Ｉ Ｉ 。 Ｉ Ｉ ＝
｛ 一
令 ， 得
到 ｌ ｌ≥ ， （．） 成立 。 由（．） （．） ｌ ｌ 即 ２５ 式 ２ 与 ２５ ４
２设 ｐ ∞， ） ＝ 仍令 ｕ ｘ ，于是 ＝ｙ
ｌｆｌ＝ｓ ｓｐ Ｉ ｓｕ ｌ Ｉ ｅ ｛ Ｔ
≤ ｅｓｓ ｐ ｓ ｕ
（． ２１ ）
ｌ ｌ≤ ｌ ｌ Ｉ ｆ
鞅不等式证明
鞅不等式证明鞅（martingale）是概率论和统计学中一个重要的概念，用于描述随机过程的性质。
鞅不等式（martingale inequality）是关于鞅序列的一个重要不等式，它在概率论和数学统计中有广泛的应用。
鞅不等式是由数学家以及统计学家于20世纪初提出的，具体说明了鞅序列的性质。
它在描述随机变量的发展过程中的不确定性方面发挥了重要作用。
鞅理论是概率论和统计学中非常重要的一个分支，通过对鞅序列的研究，我们可以了解和描述随机过程中的随机变量的动态变化过程。
鞅不等式的证明是基于条件期望的性质和性质的推导。
首先，我们需要了解条件期望的定义和性质。
条件期望是对随机变量的期望进行的条件化，即在给定某些条件的情况下进行的期望计算。
条件期望的性质包括线性性、无偏性、塔区性、蒙特卡洛性质等，这些性质是证明鞅不等式的基础。
设{Xn}是一个鞅序列，即对于任意的n，E(Xn|X1,X2,...,Xn-1)=Xn-1。
鞅不等式的基本形式为：P(max{X1,X2,...,Xn}≥a)≤E(1/(a-X0)), a>X0证明鞅不等式时，我们需要先证明涉及的条件期望E(Xn|X1,X2,...,Xn-1)=Xn-1的性质，这是鞅序列的基本性质。
然后，我们通过引入指示函数和条件期望性质，对不等式的左侧和右侧分别进行研究和推导。
首先，我们对左侧进行研究，利用条件期望的线性性和塔区性质，得到：P(Xn≥a,Xk=a)=E(1_{Xn≥a}Xn)=E(E(1_{Xn≥a}Xn|X1,X2,...,Xn-1))≤E(E(1_{Xn≥a}Xn|X1,X2,...,Xn-1)=E(1_{Xn≥a}E(Xn|X1,X2,...,Xn-1))=E(1_{Xn≥a}Xn-1)我们进一步进行推导，使用条件期望的蒙特卡洛性质，得到：E(1_{Xn≥a}Xn-1)=E(E(1_{Xn≥a}Xn-1|X1,X2,...,Xn-2))≤E(1_{Xn≥a}E(Xn-1|X1,X2,...,Xn-2))=E(1_{Xn≥a}Xn-2)我们继续类似的推理，得到：E(1_{Xn≥a}Xn-2)≤E(1_{Xn≥a}Xn-3)≤...≤E(1_{Xn≥a}X0)将这些推导的结果汇总，可以得到：P(Xn≥a,Xk=a)≤E(1_{Xn≥a}Xn-1)≤E(1_{Xn≥a}Xn-2)≤...≤E(1_{Xn≥a}X0)左侧的最大值不大于右侧的期望值，由此得到鞅不等式的最终结果：P(max{X1,X2,...,Xn}≥a)≤E(1/(a-X0))这就是鞅不等式的证明过程。
P-laplacian算子型奇异边值条件的上下解方法
P-laplacian算子型奇异边值条件的上下解方法
李洪梅;李静
【期刊名称】《泰山学院学报》
【年(卷),期】2016(038)006
【摘要】本文利用上下解方法,讨论一类具p-laplacian算子型奇异边值问题解的存在性.
【总页数】5页(P42-46)
【作者】李洪梅;李静
【作者单位】泰山学院数学与统计学院,山东泰安271000;泰山学院数学与统计学院,山东泰安271000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一维p-Laplacian算子型奇异边值问题可数多正解的存在性 [J], 姜燕君;张才仙;胡凤珠
2.p-Laplacian算子型奇异边值问题的正解 [J], 白定勇;马如云
3.p-Laplacian算子型奇异方程组边值问题强正解存在性 [J], 柴国庆
4.具P-Laplacian算子型奇异边值问题正解的存在性 [J], 王智勇;张吉慧
5.具p-Laplacian算子型奇异边值问题的正解 [J], 宋常修; 翁佩萱
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赋φ-Amemiya范数的Orlicz空间包含序渐进等距c0复本
赋φ-Amemiya范数的Orlicz空间包含序渐进等距c0复本引言赋φ-Amemiya范数是针对Orlicz空间的一种重要范数，它在函数空间理论中起着重要的作用。
序渐进等距c0空间是一种重要的函数空间，在很多领域中都有着重要的应用。
本文将探讨赋φ-Amemiya范数的Orlicz空间包含序渐进等距c0复本的相关结果和证明。
赋φ-Amemiya范数是由Amemiya引入的，在函数空间中有着重要的作用。
给定一个测度空间(X,Σ,μ)，一个阶概括凸函数φ: [0,∞)→[0,∞)，将自变量x映射到φ(x)。
赋φ-Amemiya范数是由φ引入的，定义为：‖f‖φ = inf{λ > 0 : ∫X φ(|f(x)/λ|)dμ(x) ≤ 1}其中f是定义在X上的可测函数。
基于赋φ-Amemiya范数，可以定义Orlicz空间为：Lφ(X,Σ,μ) = {f : X → R : ‖f‖φ < ∞}其中X是测度空间，Σ是σ-代数，μ是测度。
Orlicz空间是一种特殊的函数空间，具有许多重要的性质和应用。
序渐进等距c0空间序渐进等距c0空间是一种特殊的序列空间，具有重要的性质和应用。
给定一个序列空间l∞，定义序渐进等距c0空间为：c0 = {x = (xn) : limn→∞ xn = 0}c0空间中的序列具有序渐进趋向于零的性质，是一种重要的函数空间。
复本是指包含在一个集合中的一组对象，这些对象按照某种规则排列在一起。
在函数空间中，复本可以理解为一组函数集合，这些函数按照一定的规则排列在一起。
现在我们来证明赋φ-Amemiya范数的Orlicz空间包含序渐进等距c0复本。
给定一个序列{xn}属于c0空间，我们定义函数序列{fn}为：fn(x) = xn首先我们计算fn的赋φ-Amemiya范数：由于{xn}属于c0空间，即limn→∞ xn = 0，所以对于任意ε > 0，存在N使得对于所有n > N，|xn| < ε。
赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz函数空间的复凸性
赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz函数空间的复凸性崔云安;牛金玲;陈丽丽【摘要】主要研究了赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz函数空间,当1≤p＜∞且p是奇数时,给出了该空间中单位球的复端点和复强端点的充要条件,进而可得出该空间是复严格凸和复中点局部一致凸的判别准则.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(029)002【总页数】4页(P7-10)【关键词】复端点;复强端点;Musielak-Orlicz函数空间【作者】崔云安;牛金玲;陈丽丽【作者单位】哈尔滨理工大学;哈尔滨理工大学;哈尔滨理工大学【正文语种】中文0 引言1967 年，Thorp E 与 Whitley R［1］首次引入复端点的概念，1987年，吴从炘、孙慧颖［2-4］讨论了矢值Musielak-Orlicz函数空间的复端点的刻画问题，并给出该空间中复严格凸性和复一致凸性的充要判据.2008年，崔云安等［5］在Orlicz空间中引入了p-Amemiya范数的定义，证明了它与经典的Orlicz范数和Luxemburg范数是等价的，并给出赋p-Amemiya范数的Orlicz空间中端点的刻画.2009年，崔云安，Hudzik H 等［6］继续研究了赋p-Amemiya范数的Orlicz空间的强端点的充要判据问题.1 预备知识(X，‖·‖X)表示定义在复数域C上的复Banach空间，B(X)和S(X)分别表示该空间的闭单位球和单位球面.定义1.1［7］ (T，∑，μ)表示非原子完备的测度空间，μ(T)＜∞.Φ是Musielak-Orlicz函数是指Φ:T×［0，+∞)→［0，+∞］满足:(1)对μ-a.e.t∈T，Φ(t，u)是μ-可测函数，对任意的u∈［0，+∞);(2)对μ -a.e.t∈T，Φ(t，u)=0u)=∞，且存在ut＞0使得Φ(t，u1)＜∞;(3)Φ(t，u)关于 u是［0，∞)上的凸函数.令e(t)=sup{u ≥0:Φ(t，u)=0}，E(t)=sup{u ≥0;Φ(t，u)＜∞}则e(t)和E(t)都是μ-可测函数.定义1.2［7］ (X，‖·‖)表示复Banach空间，记XT表示所有从T到X的μ-可测函数的全体，对任意的x∈XT，定义如下模函数:由它生成相应的Musielak-Orlicz函数空间对Musielak-Orlicz函数空间LΦ赋予如下范数p-Amemiya范数即为一个 Banach 空间，记为LΦ，p=(LΦ，‖·‖Φ，p).定义1.3x∈S(X)为B(X)的复端点是指对∀y∈X\{0}，有定义1.4［8］设(X，‖·‖X)是复Banach空间，x∈S(X)是B(X)的复强端点是指对任意的ε ＞ 0，Δc(x，ε)＞ 0，其中引理1.5［7］对任意的ε ＞ 0，存在δ∈使得若 u，v∈ C，且则其中2 主要结果定理2.1 设1≤ p＜∞，p是奇数，x∈S(LΦ，p)，则如下结论等价:(i)x是B(LΦ，p)的复强端点;(ii)x是B(LΦ，p)的复端点;(iii)对∀k∈Kp(x)，有μ{t∈T:k|x(t)|＜e(t)}=0.证明 (i)⇒(ii)是显然的.(ii)⇒(iii)设x∈S(LΦ，p)是B(LΦ，P)的复端点，且存在∀k0∈Kp(x)使得μ{t∈T:k0|x(t)|＜e(t)}＞0.易知可找到公共的d＞0及T0∈∑满足μ(T0)＞0且使得令，则y≠0.对任意的λ∈C，|λ|≤1，有这与假设的x是B(LΦ，p)的复端点矛盾.(iii)⇒(i)假设 x0不是B(LΦ，p)的复强端点，由定义1.4知存在ε0＞0使得即存在λn∈ C，| λn|→ 1，yn∈ LΦ，p，满足‖yn‖Φ，p≥ ε0 使得‖λnx0 ± yn‖Φ，p≤1，‖λnx0 ± iyn‖Φ，p≤1由此可知令，则有对上述的ε0＞0，由引理1.5知，存在，使得若 u，v∈ C，则对每个n∈N，令由于|λn|→1(n→∞)，可知对充分大的n有下式成立:这说明An≠∅.从而，对任意t∈An，有为完成证明，考虑如下两种情形:(Ⅰ)kn→∞(n→∞)，这里则对每个n∈N，注意到由于kn→∞(n→∞)，可知对充分大的n，有考虑到p是奇数，可推出如下矛盾:(Ⅱ)kn→k0(n→∞)，这里则对每个n∈N，有令n→∞，可知利用(Ⅰ)，知因为kn→k0(n→∞)，故对充分大的n有如下不等式成立：则由于可知又因p是奇数，得到如下矛盾:定理证毕.3 结束语通过该文的研究，得到了赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz函数空间中1≤p＜∞且p是奇数时，该空间中单位球的复端点和复强端点的判别准则.但是，当p为偶数的情况下，该空间中单位球的复端点和复强端点的判别准则尚未得出，这部分结果正在研究当中.参考文献［1］ Thorp E，Whitley R.The Strong Maximum Modulus Theorem for Analytic Functions into a Banach Space［J］.Proc Amer Math Soc，1967，18(4):640-646.［2］吴从炘，孙慧颖.关于Musielak-Orlicz空间的复端点与复严格凸［J］.系统科学与数学，1987，7:7-13.［3］吴从炘，孙慧颖.Musielak-Orlicz空间的复一致凸性［J］.东北数学，1988，4:389–396.［4］ Wu C，Sun H.On the Complex Convexity of Musielak-Orlicz Spaces ［J］.Comment.Math，1989，28:397-408.［5］ Cui Y，Duan L，Hudzik H，et al.Basic Theory of p-Amemiya Norm in Orlicz Sp aces(1≤p≤∞):Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Equipped with These Norms［J］.Nonlinear Anal，2008，69(5-6):1796-1816.［6］ Cui Y，Hudzik H，Li J，et al.Strongly Extreme Points in Orlicz Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm［J］.Nonlinear Anal，2009，71(12):6343-6364.［7］ Chen S T.Geometry of Orlicz spaces，Dissertations Math.Warszawa，1996.［8］ Chen Lili，Cui Yunan，Hudzik Henrik.Criteria for Complex Strongly Extreme Points of Musielak-Orlicz Function Spaces［J］.Nonlinear Anal，2009，70(6):2270-2276.。
含广义p-Laplace算子的非线性边值问题在L^2(Ω)中解的存在性
含广义p-Laplace算子的非线性边值问题在L^2(Ω)中解的
存在性
魏利
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2008(32)6
【摘要】利用非线性增生映射值域之和的扰动理论,研究了与广义p-Laplace算子相关的具有Neumann边值的非线性椭圆问题在L2(Ω)空间中解的存在性,其中
2≤p<+∞.推广和补充了笔者以往的一些研究工作.
【总页数】4页(P723-726)
【关键词】增生映射;单调算子;demi连续映射;广义p-Laplace算子
【作者】魏利
【作者单位】河北经贸大学数学与统计学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.含有广义p-Laplace算子的非线性边值问题解的存在性的研究 [J], 魏利;Ravi P Agarwal
2.与广义p-Laplace算子相关的非线性边值问题在Ls(Ω)空间中解的存在性 [J], 魏利
3.广义p-Laplace算子相关的非线性边值问题解的存在性 [J], 魏利;周海云
4.与广义P-Laplace算子相关的非线性边值问题在一族空间中解的存在性 [J], 魏利
5.与广义p-Laplace算子相关的非线性Neumann边值问题解的存在性 [J], 魏利;侯文宇
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随机过程的鞅不等式应用
随机过程的鞅不等式应用在概率论和随机过程中，鞅是一类特殊的随机过程，具有许多重要的性质和应用。
其中，鞅不等式是鞅理论中的一个重要结论，它在概率论和统计学中有着广泛的应用和意义。
本文将介绍随机过程的鞅不等式及其应用。
什么是鞅在概率论中，鞅是一类特殊的随机过程，通常用来描述随机过程中的平稳性质。
具体来说，一个离散时间的鞅是一个随机过程，对于每个固定的时刻，其数学期望都是已知的，而且在未来的任意时刻，这个数学期望仍然是已知的。
鞅的名称来自法语“鞅”，意为系在工作畜身上防止其逃跑的绳索，表示鞅在一定程度上控制了过程的行为。
鞅不等式随机过程的鞅不等式是鞅理论中的一个重要结果，它给出了随机过程中随机变量的上界和下界的概率估计。
具体来说，设M t是一个鞅，T是一个停时，那么对于任意$t \\geq 0$，下面的不等式成立：$P(\\max_{0 \\leq s \\leq t}M_s \\geq x) \\leq \\frac{E[M_t]}{x}$这个不等式说明了M t的取值超过给定阈值x的概率受到了E[M t]的控制，即鞅的数学期望。
随机过程的鞅不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，特别是在随机过程的极限理论、随机分析和风险管理等领域中。
鞅不等式的应用在金融领域中的应用在金融领域中，随机过程的鞅不等式被广泛应用于风险管理和金融工程中。
例如，通过对金融资产价格的鞅不等式估计，可以对金融市场的波动性和收益率进行预测和控制，从而有效地降低投资组合的风险。
在统计学中的应用在统计学中，随机过程的鞅不等式被用来推导统计量的渐近性质，比如极限定理和大数定律等。
通过鞅不等式的应用，可以更好地理解和分析随机过程中的波动性和收敛性，为统计推断和模型选择提供理论基础。
在信号处理中的应用在信号处理领域中，随机过程的鞅不等式常常用于分析和处理信号的随机性和稳定性。
通过鞅不等式的应用，可以设计出更有效和稳定的信号处理算法，提高信号处理的准确性和性能。
Hilbert空间中关于松弛协强制映射的广义变分不等式组
Ｈｉ ｅ ｔｓ ａ ｅａ ｅｉ ｔｏ ｕ ｅ ．Ｂｙｕ ｉ ｇｔ ｅｐ ｏ ｔ ｎｍｅ ｈ ｄ，ｔ ｅｅ ｉｔ ｎ ｅａ ｄｕ ｉｕ ｎ ｓ ｆｓ ｌｔｏ ｓｆ ｒ ｌ ｒ ｐ ｃ ｒ ｒ ｄ ｃ ｄ ｂ ｎ ｓｎ ｈ ｒ ｊｃｉ ｔ ｏ ｅ ｏ ｈ ｘｓｅ ｃ ｎ ｎ ｑ ｅ ｅ ｓｏ ｏ ｕ ｉｎ ｏ
Ｅ－ ｉ；ｈ ｎ ｙ ｍｉ １ ７ ＠ ｙ ｈ ｏ ｃ ｍ． ｎ ｍａｌｚ ａ ｇ ｕ ｎ ９ ４ ａ ｏ ． ｏ ｃ
河 北 大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ２卷
设 Ｈ１ Ｈ ， Ｃ Ｈ 是 ２个实 Ｈｉ ｅｔ 间 ， Ｈ Ｋ。 Ｈ 是 ２ 非 空闭 凸子集 ， Ｋ１ Ｃ Ｈ２ ｌ ｒ空 ｂ ＫＣ ， Ｃ 个 Ｔ ： ×Ｋ。 Ｈ 一 ， Ｔ ： ×Ｋｚ Ｈｚ ２个 双变 量 映射 ， －Ｋ Ｋ ｇ ： 一 Ｋ 是 ２个 单 变量 映 射 ， ｚＫ — 是 ｇ： 一 ， ｚＫ 考虑 下 面 的非线 性 广 义 变 分不 等式 ￣ （ ＧＶＩ ， （ ， ） ×Ｋ２ｇ （ ） ｇ （ ） 使 得 Ｓ ） 求 ｚ ｙ ＥＫ ， ｚ ＥＫ ， 。 ＥＫ
Ｓ ｓ ｅ ｆ ｇ ｎｅ ａ ｉ ｅ ａ ｉ ｔｏ ａ ｎｅ ａ ｉｉ ｓ ｆ ｒ ｒ ｌ ｘ ｄ ｙ ｔ ｍ ｏ ｅ ｒ ｌｚ ｄ ｖ ｒ ａ ｉ ｎ ｌｉ ｑｕ ｌｔｅ ｏ ｅ ａ ｅ
ｃ ｃ ｅ ｃ ｖ ａ ｉ ｇ ｎ Ｈ ｉｂ ｒ ｐ ｃ ｓ ｏ ｏ ｒ ｉ ｅ ｍ ｐｐ ｎ ｓ ｉ ｌ ｅ ｔｓ ａ ｅ
其 中 ｐ ，＞０是 ２个 常数． ＞ｏ 下 面考 虑 Ｓ ＧＶＩ 问题 （ ） （ ） １ 和 ２ 的一些特 殊形 式 ：
（） ３ （） ４
１ 如 果 Ｔ 一Ｔ ， ｚ 那么 Ｓ ＶＩ ） ２ｇ 一ｇ ， Ｇ 问题 （ ） （ ） １ 和 ２ 成为下 面 的变分不 等式 问题 ： （ ， ） 求 ｚ ｙ ∈Ｋ ×Ｋ。 ， ｇ（ ） １ ＥＫ１ 得 使
广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式
． ｌ ｌ ｄ（） （ ｊ ｌｓ－ ｃａ； 。 ， Ｑ ， 一ｆ ｌ 一 Ｉｌ ＜。 ／ （） Ｓ ） Ｑ ， ｌｌ 薷一 ．
ｎ一 １ 一
因此 由文 献 ［ 的结果 知， ６ 】
： ｐ— Ｌ 以及 Ｌ ｑ 一 Ｌ 一 ．
∑ （ Ｒ一。 （ 一 （ ｌｍ Ｃ ２ ） ・ ） ‘ Ｒ ． 一 ） ２
Ｔｔ １ Ｙ￣ ，
称核 ∈风 ， ， 。 若将 上面条 件 中的 ｌ １ ～ ｍ 。 ｌ ＿ ２ Ｒ改 为 ｌ 一， ２ Ｒ １ ． ｍ 定义 １２ 称 核 ‰ ∈娥 ． ， 存 在 ｃ １ ＞ ０ 使 得 ． ｏ 若 。 ， Ｃ ， （ ） （ ｚ一 一 丽 ， ＞ｃ ｌ
其核 （） ｚ＝ 那末 ∈Ｌ （ 蕴涵 着 Ｑ∈ Ｅｓ 一 ） （ ， １． 用关于 ， 的 Ｈ １ｅ 不等 式得 Ｓｕ ｇ函数使得 （ ＝ （ ） ｏｎ ￡ ） 也是 一个 Ｙ ｕ ｇ函数 ， ｏｎ
一
＝
，
√ ． ）ｗｘ ｘ ／ ｆ 厂 ｆ （） （ ｄ ｚ
Ｒ ｎ
√Ｒ ｎ
／
， （ （ｄ， ｆ ． ｗｘ ｘ ∈ ，） ）
（２ １） ．
设 ｂ ＭＯ， ≥０ ∈Ｂ ， 与 ｂ 构成 的 阶 交换子 定 义为
－（ ＝ ／ （ 一ｂ ） Ｋ （—ｙ （ ｄ． ６ ，） ６ ） （） ａｘ ） ｙ ｙ （ ｆ）
注 １２ 若 ｖ（ ． ｔ ｔ则 ｓ １ （ ）＝ ， ， ）＝ ０ ｓ＞ １ （ ； ， ∞．还 注意到 不是 Ｙ ｕ ｇ ）＝ ｏｎ 函数 ，但 口＝ ｏ．另外在 广义意 义下 （ 三 １ 并 且在 上面 的 Ｈ １ｅ 不 等式 中，三 个 ｏ ） ， ６ｄ ｒ Ｙ ｕ ｇ函数 ， Ｃ的一个换为 ， 等式仍成 立． ｏｎ ， 不 注 １３ 对任 意 Ｙ ｕ ｇ函数 ， ． ｏｎ 利用 的 凸性 ，可知 ￣（／ 是 单增 的，因此 ｔ ｌ时， ４ｔ ｔ ） 有ｔ （ ， 而得 ｝ ｌ ￣ ＣＩ ｌ ，． 从 ） ＩＩ ， ＩＬ Ｂ Ｉ Ｉ 日 ｆＡ 最后 我 们给 出 Ｍｕ ｋｎ ｏ ｐ ｃｅ ｈ ｕ ｔ权 函数 类 的定义 ． 称 ∈Ａ ， ｐ １＜ Ｐ ＜ ｏ ， 指 存在 常数 ｏ是 ＞０ 使得 对任意 球 口， ， 有
赋p-Amemiya范数Musielak-Orlicz序列空间的Kadec-klee性质
赋p-Amemiya范数Musielak-Orlicz序列空间的Kadec-klee性质作者：赵丽崔云安来源：《哈尔滨理工大学学报》2021年第05期摘要：Kadec-klee性質是Banach空间理论一个重要的性质，其与空间的逼近紧及非扩张映射的不动点性质密切相关。
基于此给出了赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz序列空间在单位球面上是H点的充分必要条件，又给出了赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz序列空间具有Kadec-Klee性质，一致Kadec-klee性，接近一致凸的充分必要条件。
关键词：Musielak-Orlicz序列空间;p-Amemiya范数;Kadec-klee性质;接近一致凸性;一致Kadec-klee性DOI：10.15938/].jhust.2021.05.020中图分类号：0177.3 文献标志码：A 文章编号：1007-2683（2021）05-0157-080 引言Kadec-Klee性质是Banach空间几何学的重要概念。
有关Musielak-Orlicz空间的Kadec-Klee性质已有很多讨论。
1995年[4]崔云安给出了Musielak-Orlicz序列空间的Kadec-Klee性质的判别条件。
1997年[14]，王廷辅，崔云安等给出了赋Luxemburg范数Musielak-Orlicz函数空间的Kadec-Klee性质的判别条件。
2003年崔云安[1]，左明霞等给出了对赋Orlicz和赋Luxemburg范数在Musielak-Orlicz序列空间的H点的刻画。
2000年崔云安[15]等研究了Musielak-Orlicz序列空间的几何性质。
给出了一般Orlicz序列空间中具有Orlicz范数的点为H-点的一个判据。
同时，给出了具有Orlicz范数的Orlicz序列空间具有Kadec-Klee性质、一致Kadec-Klee性质且几乎一致凸的充要条件。
P拟鞅变换算子及其应用
（ ＋ ４ ）Ｉ厂 Ｉ ； ４ ｐ Ｉ ｆ ＿
（） ∑ ， ２ｇ 一 存在非负适应的递增序列
一
１
第 ３期
翟富菊 ： Ｐ拟 鞅 变 换 算 子及 其 应 用
摘 要 ：给 出 了有 关 Ｐ 拟 鞅 变 换 算 子 不 等 式 的 几 个 充 分 必 要 条 件 ， 利 用 所 得 结 论 把 有 并 关鞅 的 几 个 不 等 式 推 广 到 了 Ｐ 拟 鞅 。
关键 词 ：Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空间 ； 时 ； 停 Ｐ拟 鞅 变换 算子
中 图分 类 号 ： ７ ． ２ Ｏ １ ７ ９ 文献标 志码 ： Ａ
１ ｋ １ ＝
≤
ｌ ）ｌ ＜ Ｃ， １≤ Ｐ≤ ｃ） 称 ｆ一 ∑ Ｉ Ｐ Ｘ （ Ｄ ｏ，
（ ） 。 Ｐ 拟鞅 。 为 ＿ ≥
定 义 ２ 设 Ｂ 、 均 为 Ｂ ｎ ｃ 空 间 ， 一 ＩＢ ａ ａｈ ｆ
收 稿 日期 ： ０ ０ １ － ８ ２ １ — Ｏ２ 作 者 简 介 ： 富 菊 பைடு நூலகம் ９ ８ ） 女 ， 师 翟 １ ７～ ， 讲
。
对 Ｐ 拟 鞅 ， 定 义 如 下 算 子 ： 厂 一 ＿ Ｒ（）
Ｉ （ ）ｌ， 厂 ｌ Ｅ ｌ Ｒ（ ）一 ｓ ｐ 厂 。 ｕ Ｒ （ ）
＝０ ｕ
１ 预 备知 识
引理 ｌ ［
（ ｏ Ｄｏ ｂ分 解 ）设 厂为 Ｂ 值 Ｐ 一拟
设（ ， ，） Ｑ ∑ Ｐ 是完备的概率空间，∑ 。 （ ） ≥
Ｖ １３ ｏ ３ ｏ．２Ｎ ．
Ｊ ｎ ２ １ ｕ．０１
文 章 编 号 ：６ ２ ６ ８ （ ０ １ ０ — ３ ００ １ ７ － ９ ７ ２ １ ） ３０ ２ — ３
【国家自然科学基金】_orlicz函数空间_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2011年 科研热词 推荐指数 非交换弱orlicz空间 1 极大函数 1 有界性 1 广义orlicz范数 1 加权orlicz-morrey空间 1 一致凸 1 τ -可测算子 1 yon neumann代数 1 orlicz函数空间 1 hardy-littlewood极大函数 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
科研热词 推荐指数 orlicz空间 3 k-泛函 2 非方性 1 逼近 1 端点 1 序列空间 1 广义orlicz范数 1 广义orlicz空间 1 广义orlicz序列空间 1 多项式 1 加权光滑模 1 倒数逼近 1 严格凸性 1 一致λ 性质 1 λ 点 1 λ 性质 1 p-amemiya范数 1 orlicz范数 1 orlicz序列空间 1 orlicz函数空间 1 orlicz函数 1 orlicz-函数 1 n-函数 1 musielak-orlicz-函数 1 luxemburg范数 1 luxember范数 1 k一致凸 1 gamma算子 1 bernstein-durrmeyer多项式 1
推荐指数 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 范数可达 支撑泛函 一致δ 2-条件 δ 2-条件 young不等式 orlicz范数 orlicz-lorentz空间 luxemburg范数
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
广义鞅变换算子的Orlicz范数不等式及其应用
第 ３ ５卷 第 ２期 ２０ ０ ７年 ５月
河 南师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊｏ ｒ ａ ｆ Ｈｅ ａ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ Ｓ
设 （ Ｐ） 完 备 的概 率 空间 ， ｘ，ｌ １ 是 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ｆ一 ｛ ） 。 ， 是 （ ｌ・ｌ） ａ ａ ｈ空 设 是关 于 的某个 递增 子ｃ ≥ ｒ － 代 数 序列 ｛ ） 适应 的 ｘ 值 鞅 ， ｄ 记 ｆ一 ｛
０ ＝ ｛ ） ０＜ Ｐ＜ 。 定 义 ： ， ， ．ＶＰ： 。，
维普资讯
１ ０
河南师范大学学报（ 自然 科 学 版 ）
解 ｆ— ｇ＋ ｈ， 中 ｇ＝ ｛ 其 ｇ ） ，ｈ一 ｛ ｔ ≥ ｈ ｝ 为鞅 ， ≥ 且满 足 ：
（ ｌ ｌ三 ｄ ） （ Ｅ （ ｌｈ ｌ］ ｃＥ （ 厂）． １ 始 ｌ 三 ２（ ；２ ［ ∑ ｌ １ ［ ｄ （） ）ｌ 三４ ＿厂 ） ） ｄ ］
摘 要 ： 证明了由算子值乘子序列所生成的广义鞅变换算子的 Ｏ ｌｚ ｒｅ 范数不等式， ｉ 作为应用 ， 给出了证明
Ｂ ｎ ｃ 空 间值 鞅 的 极 大 函数 与 Ｐ阶 均 方 函数 的 Ｏ ｌｚ范 数 不 等 式 的一 种 新 方 法 ， 结 果 刻 画 了 Ｂ ｎ ｅ 间 的 一 致 ａ ａｈ ｒｃ ｉ 其 ａ ａｈ空
给 出 了一种 证 明 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间值鞅 的极 大 函数 厂 与 Ｐ阶均方 函数 Ｓ Ｐ（ ）的 Ｏｒ ｃ 范 数 不等式 的一种 新方 ㈤ 厂 ｌｚ ｉ 法 ， 结果 与 Ｂ ｎ ｃ 其 ａ ａｈ空间 的 Ｐ一 致 光滑性 和 ｑ一致 凸性 具有 密切 联 系．
鞅不等式证明
鞅不等式证明鞅不等式是概率论中常用的一种不等式，用于描述随机变量序列的平均性质。
鞅不等式有时也被称为鞍点不等式。
假设我们有一个鞅序列 {X_n}，它满足以下条件：1. 随机变量 X_n 是关于一个概率空间的函数。
2. 对于任意的 n，期望 E(X_n) 存在。
鞅不等式的主要思想是通过引入一个超鞅序列来构造一个上界或下界，从而得到一个关于鞅序列的不等式。
具体证明步骤如下：1. 定义一个超鞅序列 {Y_n}，满足以下条件：- Y_0 = 0（常数）- 对于任意的 n，有E(Y_n) < +∞- 对于任意的 n，有E(Y_{n+1} | X_1, X_2, ..., X_n) ≥ X_n（即给定前面的随机变量，下一个超鞅的条件期望大于等于当前鞅）2. 利用超鞅序列的性质，可以得到下面的不等式：E(Y_{n+1}) = E(E(Y_{n+1} | X_1, X_2, ..., X_n)) ≥ E(X_n)这是因为E(Y_{n+1} | X_1, X_2, ..., X_n) ≥ X_n，所以取期望后不等式仍然成立。
3. 对不等式进行迭代，得到：E(Y_{n+1}) ≥ E(X_n) ≥ E(X_{n-1}) ≥ ... ≥ E(X_1)4. 最后，将不等式中的超鞅序列改为其相反数序列 {-Y_n}，同样进行上述证明过程，可以得到：E(-Y_{n+1}) ≤ E(-X_n) ≤ E(-X_{n-1}) ≤ ... ≤ E(-X_1) 综合上述两个不等式，得到：E(X_1) ≤ E(X_2) ≤ ... ≤ E(X_n) ≤ ... ≤ E(X)和E(X_1) ≥ E(X_2) ≥ ... ≥ E(X_n) ≥ ... ≥ E(X)这就是鞅不等式的证明思路。
需要注意的是，具体证明过程可能更为复杂，需要运用到概率论和测度论的相关知识。
向量值Lipschitz空间上鞅变换算子的有界性
年 ５月 第 １ 鲞 第 ２期
向量值 Ｌｐｃｉ 间上鞅 变换 算 子 的 有界 性 ｉｓｈｔ ｚ空
王 田 ， 于 林， 张 永
（ 三峡大学 理学 院， 湖北 宜昌 ￣３ ２ ０ ） 摘 要： 通过研究鞅空间理论 中的一个基本 问题—— 鞅变换算子的有界性 ， 得到 了一些好 的结论 ， 并推广 了 Ｍａ ｒ －
。 ＿ ＿ ＿
的有界性 ．
１ 主 要 结 论
设 （ Ｆ Ｐ 是完备的概率空间 ， ｌ Ｉ 是 Ｂ ｎｃ 空间 ， 力， ， ） （ ｌ・Ｉ ， ） ａａｈ 设ｆ＝ ｛ ｝ 是关于 Ｆ的某个递增 ｏ ｒ
一
代数序列（ 适应 Ｂ值鞅 ， ｄ Ｆ） 记 ｆ＝ ｛ ｝ ， 的鞅差序列， 中， ＝厂 — ｎ≥ １ ｄ 是厂 其 ｄ ｎ Ｌ ． 令ｆ ；０ Ｆ ｏ ，ｏ＝ ｛ ， ， ｐ Ｏ＜Ｐ ＜∞， 力｝ Ｖ ： 定义鞅 的极大函数和鞅空间
一
类广义的鞅变换算子并研究 了这类广义的算子在 Ｂ Ｏ鞅空间上的有界性． Ｍ 在鞅论中，ｉ ｃｉ 空间 。 Ｌｓ ｔ ｐ ｈｚ Ａ
和 最早是由 Ｈ ｒ Ｃ Ｓ 引进的． ｅ ．． ｚ 这是一类 重要 的空间 ， 通常作为某些空间的共 轭而出现． 鞅空 间 。 Ａ
和 作为 Ｂ Ｏ 和 Ｂ Ｏ Ｍ ， Ｍ ；的推广， 一个 自然的问题是这类广义的鞅变换算子在 Ｌ ｓｈｚ ｉ ｃｉ 空间， 上 ｐ ｔ Ａ 和，
鞅变换 自 Ｂ ｒ ｏ ｅ 于 １６ 年引入以来已经有了一段很长 的历史 ， ｕ ｈｌ ｒ ９６ ｋ ｄ 而将鞅变换视为作用于不 同鞅 空间的算子 ， 其有界性是鞅空间理论研究 中的一个基本问题 ， 关于实值 和 Ｂ值的鞅变换算子有界性 已经 得 到 比较 好 的发展 ， 比如 Ｒ ｉｎＬｎ… 、 ｉ 】刘 培德 ［ 、 ｕｌ ｏ ｇ Ｗｅｓ 、 ｉ ｚ ３ 于林 等． 近 Ｍａｔ ｅ Ｔｒ ａ５ 】 最 ｒｎｚ和 ｏｒ ［ 引进 了 ｉ ｅ 。
广义向量p范数
广义向量p范数广义向量p范数是一种常用的向量范数，也被称为Lp范数。
它在数学和工程领域中广泛应用于向量的度量和正则化等问题。
在本文中，我们将介绍广义向量p范数的定义、性质以及在实际问题中的应用。
广义向量p范数被定义为向量中各个元素的绝对值的p次幂之和的p次方根。
即对于一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)，其p范数记为∥x∥p，计算公式如下：∥x∥p = (|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^(1/p)其中p是一个大于等于1的实数。
当p=2时，广义向量p范数即为欧氏范数，也是最常见的一种范数。
当p=1时，广义向量p范数即为曼哈顿范数，也被称为L1范数。
当p趋向于无穷大时，广义向量p范数即为无穷范数，也被称为L∞范数。
广义向量p范数具有以下性质：1. 非负性：∥x∥p >= 0，对于所有的向量x成立。
2. 齐次性：∥ax∥p = |a| * ∥x∥p，其中a是一个实数。
3. 三角不等式：∥x+y∥p <= ∥x∥p + ∥y∥p，对于任意的向量x和y成立。
广义向量p范数在实际问题中有着广泛的应用。
首先，它可以用于度量向量的大小。
当p=2时，广义向量p范数可以衡量向量的长度，常用于计算欧氏距离。
当p=1时，广义向量p范数可以衡量向量的曼哈顿距离，常用于城市街区的距离计算。
广义向量p范数可以用于正则化问题。
在机器学习和优化领域中，正则化是一种常用的方法，用于控制模型的复杂度和防止过拟合。
通过在优化目标函数中加入广义向量p范数的惩罚项，可以实现对模型参数的稀疏性约束，从而得到更简洁的模型。
广义向量p范数还可以用于解决稀疏信号重建问题。
在信号处理和图像处理领域，稀疏信号重建是一个重要的问题。
通过最小化信号的广义向量p范数，并结合一些先验信息，可以有效地恢复出原始信号。
广义向量p范数是一种重要的向量范数，具有良好的性质和广泛的应用。
在实际问题中，我们可以根据具体的需求选择合适的p值，从而得到满足要求的结果。
带脉冲的p-Laplacian系统的周期解研究(英文)
带脉冲的p-Laplacian系统的周期解研究(英文)
韩西志;张浩;李志祥
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2010()1
【摘要】本文用变分法研究了一类带脉冲的p-Laplacian周期解的存在性问题.其中特别强调了脉冲效应,得到了由脉冲生成的解.特别地,非线性项可以取为零,当
p=2时,我们的结果可以用来研究差分方程的周期解的存在性.
【总页数】6页(P213-218)
【关键词】脉冲微分方程;周期解;临界点
【作者】韩西志;张浩;李志祥
【作者单位】国防科技大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具多个偏差变元Rayleigh型p-Laplacian方程周期解（英文） [J], 汪小明
2.脉冲-扩散周期竞争系统解的渐近行为(英文) [J], 窦家维;李开泰
3.一类具非线性密度制约的时滞周期脉冲Logistic系统正周期解的存在性(英文) [J], 梁志清;冯瑜
4.一类具变参数的p-Laplacian中立型泛函微分方程反周期解的存在性(英文) [J], 梁峰;鲁世平
5.有脉冲影响的中立型时滞Lotka-Volterra系统的正周期解的存在性(英文) [J], 邵远夫
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具P-Laplacian的三阶边值问题正解的存在性
具P-Laplacian的三阶边值问题正解的存在性王峰;贾宝瑞;官飞【摘要】利用Guo-Krasnoselskii不动点定理,讨论了一类具P-Laplacian的边值问题正解的存在性,得到一些充分条件,扩充了以往文献的结果.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)002【总页数】5页(P125-129)【关键词】P-Laplacian;BVP;Guo-krasnoselskii不动点定理【作者】王峰;贾宝瑞;官飞【作者单位】安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039【正文语种】中文【中图分类】O175.8考虑如下BVP:正解的存在性.其中:具P-Laplacian算子的微分方程的边值问题在诸多领域如非牛顿力学、弹性理论等中有广泛的应用.近年来，许多学者对此类BVP正解的存在性与多重性做了一系列的研究，并取得了一些成果，参见文献［1－6］.文献［2］中，作者借助Guo-krasnoselskii不动点定理及Avery-Peterson不动点定理研究了BVP:至少一个、两个或三个正解的存在性.文献［3］与文献［4］中，作者利用Avery-Peterson不动点定理分别研究了:在多点边界条件:下多重正解的存在性.文献［5］中，在方程（3）自治的情况下研究了其在边界条件:下三个正解的存在性.显然，上述文献及相关文献中讨论的往往是二阶情况，而对三阶的情况文献还比较少，尤其是对于方程（1）中允许a（t），f（t，u，v）在t=0，t=1及u=0处奇异的情况还未有涉及.此处就是利用Guo-Krasnoselskii不动点定理讨论了式（1）（2）在上述情况下正解的存在性问题.文中总假设以下条件成立:1 预备知识定义1 设E是一个实Banach空间，如果P是E中某个非空凸闭子集，并且满足下面两个条件:（1）若x∈P，λ≥0，则λx∈P;（2）x∈P，－x∈P，则 x=0.则称P 是 E 中的一个锥.定理1 设X是一个Banach空间，P⊂X是一个锥.假设Ω1，Ω2是X中的两个有界开集，且是全连续算子，使得（i）‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω2或（ii）‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω2，则 T 在中至少有一个不动点.2 基本引理令Ε=C1（0，1），定义范数，则Ε按上述范数构成Banach空间.在Ε上定义锥Ρ={u（t）:u（t）≥0，u（t）在（0，1）上是凹的}.引理1 设u∈Ρ，且满足式（2），则存在常数γ＞0，使得引理 2 在条件（Η1）下，若 h（t）∈L1［0，1］，则 BVP:有唯一解其中:易知Ρ（t）为t的函数，q（s）为s的函数.引理3 设条件（Η1）－（Η3）成立，则u（t）∈C［0，1］∩C3（0，1）是式（1）（2）的一个解，当且仅当u（t）∈Ε是积分方程:的一个解.以上三个引理的证明从略.对任意u∈Ρ，定义算子Τ:Ρ→Ε引理4 设条件（Η1）－（Η3）满足，则Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.证明对∀u∈Ρ，由条件（Η1）－（Η3）及式（8）可知Τu∈Ε，（Τu）（t）≥0，t∈［0，1］，且经过计算可知（Τu）″（t）≤0，故Τu在区间［0，1］上是凹函数，故Τ（Ρ）⊂Ρ.下证算子Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.设D是Ρ的任一有界集，则∃Μ＞0，使得D⊂{u∈Ρ:u≤Μ}.则可取u，v），从而对∀u∈D，有:可知Τ（Ρ）是等度连续的，从而由Ascoli-Arzela定理可知Τ（Ρ）为列紧的.再由Lebesgue控制收敛定理知，Τ是连续的.因此Τ:Ρ→Ρ是全连续的.证毕.3 主要结论定理2 在条件（H1）－（H3）下，当f∞ ＞0，f0＜∞时，如果λ∈（a，b），那么式（1）（2）至少存在一个正解，其中:证明（I）由λ∈（a，b）可知，∃ε ＞0，使得aε≤λ≤bε，其中从而根据Guo-Krasnoselskii不动点定理，Τ至少存在一个不动点u*∈Ρ∩（\Ω1），且据（Τu*）″（t）≤0及定义的Ρ，Ω1，Ω2可知，u*（t）是式（1）（2）的一个正解.证毕参考文献:【相关文献】［1］SUN B，GE W G.Existence and iteration of positive solutions for some p-Laplacian boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2007（67）:1820-1830［2］WANG Z F，ZHANG J H.Positive solutions for one-dimensional p-Laplacianboundary valve problems with dependence on the first order derivative［J］.J Math Anal Appl，2006（314）:618-630［3］JI D H，GE W G.Multiple positive solutions for some p-Laplacian boundary valve problems［J］.Appl Math Compu，2007（187）:1315-1325［4］WANG Y Y，GE W G.Multiple positive solutions for multipoint boundary valve problems with one-dimensional p-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2007（327）:1381-1395［5］LI X F.Multiple positive solutions for some four-point boundary valve problems with P-Laplacian［J］.Appl Math Compu，2008（202）:413-426［6］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南:山东科学技术出版社，2001。
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ｎ １ ≥
这 里 １≤ Ｐ ＜ 。 ． 。
定 义 ４ 设 ｘ， ｙ是 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ａ ａｈ空 ｆ一 （ ， ≥ Ｏ 是 Ｘ值 鞅 ， ＝ （ ） 随机算 子序 列 ， 满足 以 Ｂ， ） ＝ 是 ： 若 下 条件 ， 则称 一 （ｎ 是 一个乘 子序列 ： １ 任 意 的 ≥ ２ Ｖ 关 于 Ｂ， 可测 ， 关 于 Ｂ Ｖ） （） ，ｎ 卜 可测 ； ２ （ ）任意 的
２１ ０ ０年 ９月
文章编 号 ：０ ７ ９ ５ ２ １ ） ５ ０ ４ ５ １ ０ —２ ８ （０ ０ ０ —０ １ —０
广 义鞅 变换算 子 的 ｐＡ ｍｉａ范数不等 式及 其应 用 － ｍｅ ｙ
崔 云安 ， 于丽梅
（ 哈尔 滨 理 工 大 学 应 用 科 学 学 院 ， 龙 江 哈 尔 滨 １ ０ ８ ） 黑 ５０ ０
定 义 ３ 记 ｆ： （ ， ｒ Ｏ ， Ｂ ， ≥ ） 简记 ｆ一 （ ） Ｘ值 鞅 ， 差 为 ｄ ｌ 为 鞅 ｆ＝ （ｆ ） 其 中 ｄ 一 一 ｄ ， ｆ
Ｂ 。： ｛ ， ． 厂的极 大 函数和 Ｐ 阶均 方 函数分别 为 ： 一 三）记 ＝ ｓ ｐ 】 ｝， 一 ｓ ｐ ； （ ）一 （ ｕ Ｉ Ｊ 厂 ｕ ｓ ，
ｌ ＾一 １
， ， 为 厂关 于乘 子序 称
列 的鞅变换 ， 丁为 由 生成 的鞅 变换 算 子． 称 引理 １妇 设 满足 △ 条 件 ， ， ［ “ 是非 负 随机 变量 ， 足 Ｅ （ ＜ Ｃ ， ｕ （ ） 满 ） Ｘ Ｅ ￣ ｕ ＜ Ｄ ｏ
≤ ＥＰ（ ． ｃ ）
（ ， ＥＰ ） ） 则 ＜（
引理２ 【
设 满 足 △ 条件 ， 对任 意 的 ｘ值 鞅 ，＝ （ ） 分解 ｆ— ｇ ｚ 则 ＝ 有 ＝ ＋ ， 中 ｇ一 （ ， 其 ｇ ） ｈ一 （ ）
摘 要 ： 明 了 一 类 广 义鞅 变换 算 子 的 ｐＡ ｍｉａ范数 不等 式 ． 为 其 应 用 又给 出 了证 明 Ｂ值 鞅 的极 大 函数 与 ｐ阶 均 证 － ｍｅ ｙ 作
方 函数 的 一 ｍｅ ｙ Ａ ｍｉａ范数 不等 式 的 一 种 新 方 法 ， 结 果 刻 画 了 Ｂ ｎ ｃ 其 ａ ａｈ空 间 的 Ｐ －ｔ 凸性 和 口一 致 光 滑 性。 ｔ
光 滑性 ．
１ 基础 知识
文 中 的 是 Ｎ 函数 ， 即 满 足 ： １ 是 非负 的偶 的连续 凸 函数 ； ２ （ ）： ０ （ ）ｌ （） （） Ｏ ；３ ｉ ｍ
ｌ ｉ ｍ
—
一 ０ ，
＝＝＝ Ｏ ＜ Ｄ
ｏ
。
ｕ Ｐ 一 ｓ
。 。
ｐ ，一。等， 一 ， ） ）若 函 满 警 ％ 。 ％ 其 （一 … ．Ｎ 数 还 足 ｉ ｎ ｆ 警 中乱 （
＊
Байду номын сангаас
收 稿 日期 ：００一Ｏ —２ ２１ ５ ４
基 金 项 目 ： 龙 江 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ９ ２ 黑 Ａ２０ ０ ）
作 者 简 介 ： 云 安 （９ １ ） 男 ， 龙 江 海 伦人 ， 授 ， 士 生 导 师 ， 崔 １６ 一 ， 黑 教 博 主要 从 事 泛 函分 析 研 究 ．
等 提 出 的 ， 。 他们 给 出了这类 广义鞅 变换算 子 的 Ｌ 范 数不 等式 ， 者将 进一 步 研究 这 类广 义鞅 变 换算 子 笔
的 ｐ Ａｍｅ ｙ 范数不 等式 ， － ｍｉａ 这样 不仅推 广 了文献 Ｅ －中的部分 结果 ， ２ １ 而且 给 出了证 明 Ｂ值鞅 的极大 函数 与 Ｐ阶均方 函数 的 Ｐ Ａｍｅ ｙ 范数 不等 式 的一 种新方 法 ， — ｍｉａ 其结果 刻 画了 Ｂ ｎ ｃ 间的 Ｐ一致 凸性 和 ｑ一 致 ａ ａｈ空
第３ １卷
第 ５ 期
吉 首 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＪｓ ｏ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ） ｏ ｒ ａ ｉｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ｏ ｏ
Ｖｏ ．３ ＮＯ １ １ ．５
Ｓｅ ｔ ２ １ ｐ． ０ ０
关 键 词 ： 变换 ； － 鞅 ｐ Ａｍｅ ｙ ｍｉ ａ范数 ； Ｐ一致 凸性 ； 致 光 滑 性 ｑ一 中图 分 类 号 ： ７ ． ０１ ４ ０ 文献标志码 ： Ａ
鞅变 换算 子是 由 Ｂ ｒ ｈ ｌｅ ［ 最早 提 出的 ， 者在文 中讨 论 的广 义鞅 变换 算 子是 由 Ｍａｔ ｅ ｕｋ ｏｄ ｒＤ Ｌ 笔 ｒ ｎ ｓＴ ｉ
１≤ Ｐ＜ ｏ ， 。
Ｐ一 。 ． 。
Ｉ Ｊ 一＿ Ｊ ，Ｊ ｛ 【 。
ｉｆ ｍａ ｛ ， （ ｌ （ １ ） ｎ ｋ ｘ １ ｌ ）ｌ 厂 ）
’
定 义 ２ Ｎ 函数 满 足 △ 条 件是 指存 在 Ｋ ＞ ０和 Ｕ ≥ ０ 得 ｚ 。 使
（ ）≤ Ｋ （ ２ ） Ｕ≥ Ｕ ． ｏ
第 ５ 期
崔 云 安 ， ： 义 鞅 变 换 算 子 的 Ｐ Ａ ｍｉａ范 数 不 等 式 及 其 应 用 等 广 — ｍｅ ｙ
１ ５
≥ １ ∈ Ｌ（ ｙ） （ ） ， Ｘ， ；３ 是一 致 有界 的 ， ￣ ｕ Ｉ ｌ。 １ 定 义 （ ， 一 Ｈｓｐ Ｉ ｌ ≤ ． 。 Ｔ）
＞ １ 则称 是 严格 凸 的 Ｎ 函数 ． ，
定 义 １ 设 ｘ是 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， 考虑测 度空 间 （ ， ｎ， ）上定义 的 Ｘ值 可测 函数全 体 Ｌ ， （ Ｘ）＝ ，： ＝ ＝｛
Ｊ ＜ 。 ） 其 中 Ｊ Ｊ ，ｌ 。，
ｆ ｆ （ ＋ ｌ（ ｌ ｃ １ ） ’ ｉ １ ０ 愚ｌ ｃ ）“ ｎｋ 皋 ，（， ）ｌ