16 第十六次课、球面波干涉和分波面双光束干涉

P(x, y, z)
d2 d1
k0 (20 10 ) 2m
(32)
S2
0 m0 ( 20 10 ) (33) 2
S1
O z
-l/2
l/2
x
I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos 2m
可见，条纹的强度沿x方向按余弦规律变化； 在此平面上的等强度线(也即等光程差线)就是
d2 S2 O y0 P(x, y, z) d1 S1
等 x 值线；
干涉条纹应该是平行于z坐标轴的等间距直条 纹。
-l/2
l/2
x
z nl ˆx (38) 该组条纹也只有在x方向上的空间频率：f e 0 y0 1/2 2 ˆx是轴上的单位矢量 条纹的反衬度仍为： (24) e V | cos | 1
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3
2、光程和光程差
y
P(x, y, z)
d2 d1
在距离这两点足够远的考察点P 处，两球面波的振动方向近似 相同，所以以下用标量波近似 进行讨论。
S2
S1
O
-l/2
z
l/2
x
E1
E10 exp[ j (kd1 t 10 )] d1 E20 exp[ j (kd2 t 20 )] d2
其中I1(P)和I2(P)分是S1和S2单独在P点产生的强度。
2
2
(20 10 ) 是初始位相差，它是常量。
( L2 L1 )
是P点对S1和S2的光程差。
(29)
余弦函数的宗量是P点相对于光源点S1和S2的位相差。
8
y
2、干涉场的分析
(1)、等强度面与等光程差面
S2 d2 O z
(25a) (25b)
E2
E10、E20分别是点光源S1、S2的源强度；
10、20是从点光源S1、S2出射时的初始位相
4
E10 E1 exp[ j (kd1 t 10 )] d1 E20 E2 exp[ j (kd2 t 20 )] d2
k=k0n
(25a)
2
7
E E E E I ( P) 10 20 2 10 20 cos k0 ( L2 L1 ) (20 10 ) d1 d 2 d1 d2 I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos k0 (20 10 ) (28)
最大强度面与整数 m 相对应，
最小强度面与半整数 m 相对应。
(28)式仍表明干涉场的强度分布近似是光程差Δ或干涉级 m 的周期函数； 但是因为Δ和 m 不再与考察点位置坐标成正比，所以干涉场强度分布不具 有空间周期性。 11
空间频率
对于两束球面波干涉场的强度分布，
可以用极限形式定义其局部空间频 率 f： f· dr=dm (34) z y
(29)
y
(30)
y
P(x, y, z)
Δ<0
S2
Δ=0 S2 O
x y z 1 2 l 2 2 ( ) ( ) ( ) 2n 2 2n
2 2 2
d2
Δ>0
d1 S1
(31)
S1
z
-l/2 z
l/2
xx
_______等光程差面的方程。
根据三角形PS1S2的几何关系有：l2≥(d1-d2)2，所以：l2≥(Δ/n)2。 由此判断(31)式是一个旋转双曲面的方程，旋转对称轴是x轴。
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条纹间距(空间周期)为：P =
我们回看上次课的(21)式：
0 y0 y0 1 |f| nl l
y0
(39)
y
1 P= | f | sin( ) 2
(21)
P(x, y, z) d1

S2
d2 O z
——两束平面波干涉条纹的间距 如果取
S1
-l/2
l/2
x
l sin( ) tg( ) 2 2 2 y0
则同样得到(39)式。


可见观察屏沿着y轴并垂直于y轴放置时，在y轴附近的干涉条纹 与两平面波的干涉条纹基本上是一样的。
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(2)、观察屏垂沿着x轴并直于x轴放置
y P(x, y, z) d2 S2 O z d1 S1
Π' x
x2 y2 z2 1 2 l 2 2 ( ) ( ) ( ) 2n 2 2n
P(x, y, z) d1 S1 x
-l/2
l/2
I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos k0 (20 10 ) (28)
等强度面 等位相面 =等光程差面
因为I1(P)、I2(P)和Δ都是P点位置的函数，所以干涉场中的等强度面 具有复杂的形状。 但是，在远离S1和S2的区域内，I1(P)和I2(P)的变化要比式中余弦项 的变化慢得多。 因此，等强度面与等光程差面十分接近； 以致近似地可以用等光程差面代替等强度面。 9
S2 d2
y P(x, y, z) d1 S1 O z x
-l/2
l/2
所以光程的意义是：光波在真空中传播距离L1所需的时间与它在媒质中 传播距离d1所需的时间相同。
6
光程差
E10 E1 exp[ j (k0 nd1 t 10 )] d1 E20 E2 exp[ j (k0 nd 2 t 20 )] d2
在t时刻P(r)点的合电场为：
E(r, t)=E1(r, t)+E2(r, t) 干涉场强度为： I(r)=<E· E*>=<(E1+E2)· (E1*+E2*)> (5) (4) (25a') (25b')
d2 S2
y P(x, y, z) d1 S1 O z x
-l/2
l/2
I ( P)
E10 E20 exp[ j (k0 nd1 t 10 )] exp[ j (k0nd 2 t 20 )] d1 d2
(40)
可见这是一组圆心位在x轴上的同心圆。
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如果观察屏离原点很远且考察范围很小，则：x0>>l，y，z，
n(d 2 d1 )
2 2 l l 2 2 2 2 n x y z x y z 2 2
I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos k0 (20 10 ) (28)
( L2 L1 )
n(d 2 d1 )
2 2 l l 2 2 2 2 n x y z x y z 2 2
-l/2
l/2
(30)
2 2 ( x l / 2) 2 z 2 ( x l / 2) z nl n y0 1 y 1 x 0 2 2 2 y 2 y y 0 0 0
(37)
14
I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos k0 (20 10 ) (28)
(25b)
y P(x, y, z) d2 d1 S1 O z x
式中，k是媒质中的空间角频率(波数)： (26)
S2
k0为真空中波数，n为媒质折射率。
E10 E1 exp[ j (k0 nd1 t 10 )] d1 E20 E2 exp[ j (k0 nd 2 t 20 )] d2 E1 E10 exp[ j (k0 L1 t 10 )] d1 E20 E2 exp[ j (k0 L2 t 20 )] d2
2
1、概述
同平面波一样，球面波也是最基本的简单光波，而且在 实际中，球面波比平面波更加普遍，因此了解球面波的 干涉也是极其必要的。 两束球面波在空间相遇叠加，如果要产生稳定的干涉现 象，它们也要满足前面讲述的三个基本条件，即在相遇 点波振动方向不垂直，两束球面光波的频率相同，初始 位相差恒定，满足这种条件的球面波称为相干球面波。 我们知道点光源发射球面波，如果两个点光源发射的球 面波叠加时能够产生干涉现象，可以称这两个点光源为 相干点光源。
第十六次课、球面波干涉和分波面 双光束干涉 内容
一、球面波干涉 二、杨氏干涉 三、杨氏干涉的改良——菲涅耳型干涉 四、瑞利干涉仪
1
一、两束球面波的干涉
内容



1、概述 2、光程和光程差 3、干涉场的分析 (1)、等强度面与等光程差面 (2)、干涉级、极值强度面和局部空间频率 4、二维观察屏面上干涉条纹的性质 (1)、观察屏沿着y轴并垂直于y轴放置 (2)、观察屏沿着x轴并垂直于x轴放置
质。
(1)、观察屏沿着y轴并垂直于y轴放置 假定观察屏放置在‚y=y0=常数‛的平面上；
d2 S2 y0
y P(x, y, z) d1 S1 O z x
并假设考察范围集中在y轴附近，使得：
x、z、 l<<y0
n(d 2 d1 )
2 2 l l 2 2 2 2 n x y z x y z 2 2
2 2 ( x l / 2) 2 z 2 ( x l / 2) z nl n y0 1 y 1 x 0 2 2 2 y0 2 y0 y0
(37)
k0 nl I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos x (20 10 ) (28') y0 y
12
f
grad
0
(35)
沿坐标轴的三个方向的空间频 率分别为：
y Δ<0
Δ=0 S2 O
| f x |
0 x
Δ>0
(36a)
S1
| f y | 0 y | f z | 0 z
x
(36b)
z
(36c)
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4、二维观察屏面上干涉条纹的性质
两束干涉球面波形成干涉场是复杂的，鉴于此，我们只考察两个特殊位置即沿 着y轴并直于y轴放置和沿着x轴并直于x轴放置的二维观察屏面上干涉条纹的性
直观上就可见到，等光程差面(近似代表等强度面)不再具有周期性。
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(2)、干涉级、极值强度面和局部空间频率
I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos k0 (20 10 ) (28)
y
仿照两束平面波干涉的情形也引入干涉级m。
-l/2 (25a') (25b')
l/2
通常把nd1和nd2分别称为P到S1和S2之间的光程，分别用L1和L2来表示。 (25a'')
(25b'')
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光程的意义
光波在P点的位相比在S1点的位相落后kd1=k0L1。 而 Δt= d1/(c/n)=L1/c c为真空中光速。 所以，这个位相落后量还等于光波圆频率ω与 光波自S1 传播到 P 所需时间 Δt 的乘积。 可见位相落后量不仅与d1有关，还与n有关； 但可以说只与L1有关。 (27)
(31)
-l/2
l/2
x=x0=常数
此时等光程差面与Π'平面的交线为：
2 2 2 x l y 2 z 2 0 2 1 2 2 n 2 n
Δ<0
S1
Δ=0 S2 O
Δ>0
x
0 m0 ( 20 10 ) (33) 2
f dr = d
0

1
0
(grad dr )
f
grad
0
(35)
(34)和(35)表明：干涉场中任一点的 f 方向与Δ在该点附近变化最快 的方向一致[(35)式]，而 f 的大小则等于 m 在上述方向上随空间位 置的变化率[(34)式]。 (34)式可以认为是双光束干涉场强度分布空间频率的一般定义； 而(35)式则是 f 的一般计算公式。