34基本不等式(人教A版必修5)精品PPT课件

面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2
b
2B
>
2ab
(a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2 当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
“=”成立条件
a=b
a=b
注意从不同角度认识基本不等式
例2. 若 0<x12< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
1 2
∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[ 2x+(21-2x)
Hale Waihona Puke ]2=1 8.当且仅当
2x=(1-2x),
即
x=
1 4
时,
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
D a OC b B
E
例1. 求函数 f(x)=xx+1+1 (x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ x＞-1, ∴x+1>0.
∴
f(x)=x
+
1 x+1
=(x +1)+
1 x+1
-1
≥2
(x+1)∙
1 x+1
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
xy≤
x
2
y
S 2
xy≤
1 4
S2
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
解 : f (x) x 1 2 x • 1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时函数 x
取到最小值2.
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
小结：
1. 两个重要的不等式
(1)a, b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
取“=”号.
∴当 x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时， 当且仅当x=y时， x+y有最小值___2__P__.
x y≥2 xy 2 P
• 若x、y皆为正数，
• 则当x+y的值是常数S时 ，
• 当且仅当x=y时， • xy有最大值___14_S_2__
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab
(a 0,b 0)
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
证明不等式：a b ≥ ab (a 0,b 0) 2
分析法
证明：要证 a b≥ ab
只要证 2 a b≥_2___a_b__
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
ab 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
探究１：
1、正方形ABCD的
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab
求函数的最小值．
解：f ( x) x 3 2 x • 3
x2
x2
当且仅当 xx
2 x
3
即x 2
3时，函数
的最小值是6。
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
①
要证①，只要证 a b _2__a_b_≥0
②
(a 0,b 0, a ( a )2,b ( b)2 )
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2