关于实数完备性的6个基本定理

) | n Z },
n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在有理数域没有聚点。
5.1 致密性定理：
在实数系中，有界数列必含有收敛子列。
反例： { x n } {( 1 ) n }是有理数系中的有界无
n 1 穷数列 ,
其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。
令 H {( x r x , x r x ) | x [ 1 , 2 ]Q }, 则 H 是 [ 1 , 2 ]Q 的一个开覆盖，
任取 H 的有限个元素，构成集 H
*
合H ,
*
{( x 1 r1 , x 1 r1 ), ( x 2 r2 , x 2 r2 ) ( x n rn , x n rn )}
n n
, 使 [an , bn ], n 1,2,
反例：取单调递增有理数列
取单调递减有理数列
{ a n }, 使 a n { b n }, 使 b n
2, 2,
则
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有理数域内构成闭区间
套 [ a n , b n ]Q ，
2 Q.
其在实数系内唯一的公
共点为
所以区间套定理在有理数系不成立。
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套 定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限 复盖定理 区间套定理 .
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理；
2. 单调有界定理 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
；
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集 必有上（下）确界。
反例 ：S { x | x 2 , x Q }, sup S
6. 柯西收敛准则
在实数系中， {an }收敛 0, N , m , n N , 有 an am .
反例： {( 1 1 ) n }是满足 Cauchy 条件的有理数列，
n
但其极限是无理数 e.
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 下三条路线进行: 证明按以
4. 有限覆盖定理 在实数系中，闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必 可从H中选出有限个开区间覆盖[a, b]。 2 反例： 设 [1 , 2 ]Q 表示 [1， ]中所有有理数的集合，
x [ 1 , 2 ]Q , 有理数 r x , 使 2 x r x , x r x ), （
*
由于 H 中的开区间都不含 设这 2 n 个有理数中与
则在 r 与
2，且 2 n 个端点都是有理数， 2 最靠近的数为 r,
述 n 个区间之外。
2 之间所有有理数都在上
即 H 的任意有限覆盖不能盖
住 [ 1 , 2 ]Q .
5. 聚点定理
实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
1 n
反例：
S {( 1
2
2,
inf S
2,
即 S 在有理数集没有确界。
确界原理在有理数域不
成立。
2. 单调有界定理
；
在实数系中，单调有界数列必有极限。
反例： 1 {( 1 n ) }是单调有界有理数列，
n
但其极限是无理数e .
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ a , b ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点