概率论答案第六册
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1Fra Baidu bibliotek(1) P (ξ ≥ 2) = 1 − P(ξ = 0) − P(ξ = 1) = 1 − (0.98) 40 − C40 (0.02)(0.98)39 ≈ 0.1905 .
(2)利用二项分布的泊松定理近似,得 λ = np = 40 × 0.02 = 0.8 ,
P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ = 0) − P(ξ = 1) ≈ 1 − e −0.8 − 0.8e−0.8 ≈ 0.1912 .
2.
已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布 P (0.2) ， 求这本
书印刷错误总数不多于 70 个的概率。 解: 设 ξ i 是第 i 页印刷错误的个数，已知 ξ i ～ P (0.2) ， i = 1, 2, L ,300 ，它们相互 独立，由普阿松分布的可加性可知，300 页书的错误总数 η = ∑ ξ i ～ P(60) 。
2
2 ， −∞ 0 3 1 2 1 4 1 。 Dξ i = E (ξ i2 ) − ( Eξ i ) 2 = ∫ 2 x 3 dx − ( ) 2 = − = 0 3 2 9 18 Eξ i = ∫ xϕ ( x)dx = ∫ 2 x 2 dx =
+∞ 1
由中心极限定理可知， 这时近似有 η = ∑ ξ i ～ N (nμ , nσ 2 ) ， 其中，n = 20 ，
即如果整个系统可靠性要达到 0.99 ，它至少需要由 1218 个部件组成。 2. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有 100000 人参加这项保险，每人每年需付保险费 20 元，在此类保险者里，每个人 死亡的概率是 0.002 ， 死亡后家属立即向保险公司领得 8000 元。 若不计保险公司 支出的管理费，试求： （1）保险公司在此项保险中亏本的概率； （2）保险公司在此项保险中获益 80000 元以上的概率。
n − 0.9n 0.09n
) − Φ(
0.88n − 0.9n 0.09n
) = Φ(
n n ) − Φ (− ) 3 15
≈ 1 − Φ (−
n n ) = Φ( ) 15 15
（ 因为本题中 n 很大，
n n 的值远远超过了 4 ，所以可以认为 Φ ( ) ≈ 1 ） 。 3 3
要 Φ(
n n ) ≥ 0.99 ，查表可得 ≥ 2.3263 ，即 n ≥ (2.3263 × 15) 2 ≈ 1218 ， 15 15
P{ξ > 250} ≈ 1 − Φ (
250 − 200 199.6
) ≈ 1 − Φ (3.539) ≈ 0.0002 .
（2）若要 20 × 100000 − 8000ξ > 80000 ，必须有 ξ < 240 ，这时，概率为
5
P{ξ < 240} ≈ Φ (
240 − 200 199.6
i =1
n
1 = 100 。 12
所以，取整误差总和的绝对值超过 12 的概率为
⎡ 12 − nμ − 12 − nμ ⎤ ) − Φ( )⎥ P{ η > 12 } = 1 − P{− 12 ≤ η ≤ 12 }≈ 1 − ⎢Φ ( nσ 2 nσ 2 ⎦ ⎣ ⎡ 12 − 0 − 12 − 0 ⎤ = 1 − ⎢Φ ( ) − Φ( )⎥ = 1 − Φ(1.2) + Φ(−1.2) 100 100 ⎦ ⎣ = 2 [1 − Φ (1.2)] = 2 × (1 − 0.8849) = 0.2302 。
5.
设有 30 个相互独立的电子器件 D1 , D2 ,L , D30 ，它们的使用情况如下： D1 损
坏， D2 立即使用； D2 损坏， D3 立即使用，…。设器件 Di ( i = 1, 2,L ,30 ) 的寿命 服从参数为 λ = 0.1 （1/小时）的指数分布，令 T 为 30 个器件使用的总计时间。 问 T 超过 350 小时的概率是多少？ 解: 设 ξ i 是第 i 个电子器件的寿命，已知 ξ i ～ E (0.1) ， i = 1, 2, L,30 ，它们独立
以 μ = Eξ i =
(0.5 + 0.5) 2 1 − 0.5 + 0.5 = 0 ， σ 2 = Dξ i = = （ i = 1, 2,L ,1200 ） 。 12 12 2
n
设取整误差的总和为 η = ∑ ξ i ，因为 n = 1200 数值很大，由定理知，这时近
i =1
似有 η = ∑ ξ i ～ N (nμ , nσ 2 ) ， 其中， nμ = 1200 × 0 = 0 ， nσ 2 = 1200 ×
i =1
20
nμ = nEξ i = 20 ×
所以，
2 40 1 10 ， nσ 2 = nDξ i = 20 × = 。 = 3 3 18 9 10 −
40 10 − nμ 3 ) ≈ Φ(−3.16) = 1 − Φ (3.16) ≈ 0.008 。 P{η ≤ 10} ≈ Φ( ) = Φ( 2 10 9 nσ
4.
设 ξ 1 , ξ 2 , L, ξ 20 是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度
ϕ ( x) = ⎨
⎧2 x 0 ≤ x ≤ 1 。 0 其他 ⎩
令 η = ξ 1 +ξ 2+ L + ξ 20 ，用中心极限定理求 P{η ≤ 10} 的近似值。 解:
⎧2 x 0 ≤ x ≤ 1 因为 ξ i （ i = 1, 2, L, 20 ）的概率密度为 ϕ ( x) = ⎨ ，所以 其他 ⎩0
P{792 ≤ ξ ≤ 900} ≈ Φ (
900 − 810 81
) − Φ(
792 − 810 81
) = Φ(10) − Φ (−2) ≈ 0.9772 .
（2）设至少需要 n 个部件， np = 0.9n ， npq = 0.09n 。 这时系统能可靠地工作的概率等于
P{0.88n ≤ ξ ≤ n} ≈ Φ (
b ≈ 9487.5 .
7. 某单位设置一台电话总机，共有 200 个分机。设每个分机在任一时刻要使用 外线通话的概率为 5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少 外线，才能以 90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解: 设 ξ 是 要 使 用 外 线 的 分 机 数 ， ξ ～ b(n, p) ， n = 200 ， p = 0.05 ，
q = 1 − p = 0.95 。 近 似 有
ξ ～ N (np, npq) ， 其 中
np = 200 × 0.05 = 10 ，
npq = 10 × 0.95 = 9.5 。设 k 是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有
足够的外线可供使用，即 ξ ≤ k 的概率要大于 90％，即要有
P{ξ ≤ k} ≈ Φ ( k − 10 9.5
k − 10 9.5
) ≥ 0.9 。
查表可得
≥ 1.2816 ， 解得 k ≥ 10 + 1.2816 × 9.5 ≈ 13.95 ， 大于它的最小整
数是 14 ，所以，需要设置 14 条外线。
第十七次作业
一．计算题： 1. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏 的概率都是 0.1 ，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有 88%的部件起作 用。 （1）已知系统中共有 900 个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地 工作的概率） 。 （2） 为了使整个系统的可靠性达到 0.99 ， 整个系统至少需要由多少个部件组成？
ξ ～ b(n, p) ，n = 100000 ，p = 0.002 ，q = 1 − p = 0.998 。 解： 设 ξ 是死亡的人数，
近似有 ξ ～ N (np, npq) ， np = 100000 × 0.002 = 200 ， npq = 200 × 0.998 = 199.6 。 保险公司的净获益为 20 × 100000 − 8000ξ 。 （1）当 20 × 100000 − 8000ξ < 0 ，即 ξ > 250 时，保险公司在此项保险中亏本， 其概率为
) ≈ Φ (2.831) ≈ 0.9977 。
3
证能够发放奖金？ 解: 设需要资金总额为 b,设 ξi 表示第 i 个奖金额,其中 i = 1, 2,L,300 ,其期望和
方 差 分 别 为 Eξi = 29, Dξi = 764 , 利 用 独 立 分 布 中 心 极 限 定 理 近 似 , 得
300 b − 300 × 29 ⎛ b − 300 × 29 ⎞ P (∑ ξi ≤ b) = 0.95 , Φ ⎜ = 1.6449 , 即 ⎟ = 0.95 , 查 表 得 300 × 764 i =1 ⎝ 300 × 764 ⎠
所以
P{T > 350} = 1 − P{T ≤ 350} ≈ 1 − Φ (
350 − 300 3000
) = 1 − Φ(
50 3000
)
≈ 1 − Φ (0.913) ≈ 1 − 0.8186 = 0.1814 。
6.
某种福利彩票的奖金额 ξ 由摇奖决定，其分布列为
若一年中要开出 300 个奖，问需要准备多少奖金总额，才有 95%的把握，保
ξ ～ b(n, p) ， 当 n 比较大时， 近似有 ξ ～ N (np, npq) 。 解: 设 ξ 是起作用的部件数 ，
（1） n = 900 ， p = 0.9 ， q = 1 − p = 0.1 , np = 810 ， npq = 81 。
4
整个系统要能可靠地工作，至少要有 n × 88% = 900 × 88% = 792 个部件起作用， 所以，这时系统能可靠地工作的概率等于
同分布， Eξ i =
1
λ
=
1 1 1 = 10 ， Dξ i = 2 = = 100 ， i = 1, 2, L,30 。 0.1 0.12 λ
30
根 据 独 立 同 分 布 中 心 极 限 定 理 ， 可 认 为 T = ∑ξ i 近 似 服 从 正 态 分 布
i =1
N (nμ , nσ 2 ) ，其中 nμ = nEξ i = 30 × 10 = 300 , nσ 2 = nDξ i = 30 × 100 = 3000 。
i =1 300
1
分布 N (nμ , nσ 2 ) ,其中 nμ = nEξ i = 300 × 0.2 = 60 , nσ 2 = nDξ i = 300 × 0.2 = 60 。 所以 P{0 ≤ η ≤ 70} ≈ Φ ( 70 − 60 60 ) − Φ( 0 − 60 60 ) = Φ( 10 60 ) − Φ( − 60 60 )
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第六册）
学 学 院 号 ____________专 ____________姓 业 名 ____________班 级 ____________ ____________任课教师____________
第十六次作业
一． 计算题： 1. 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率： （1）用二 项分别作精确计算； （2）用泊松分布作近似计算。 解: 设不合格得产品数为 ξ .
i =1 300
直接用普阿松分布计算，则有
60k −60 P {0 ≤ η ≤ 70} = ∑ P {η = k} = ∑ e ≈ 0.909813 。 k =0 k =0 k !
70 70
下面用独立同分布中心极限定理近似计算。
i = 1, 2, L,300 ， 因为 ξ i ～ P (0.2) ， 独立同分布，Eξ i = λ = 0.2 ，Dξ i = λ = 0.2 ， i = 1, 2, L,300 ，根据独立同分布中心极限定理，可认为 η = ∑ ξ i 近似服从正态
≈ Φ (1.29) − Φ (−7.75) ≈ 0.9015 − 0 = 0.9015 。 3. 作加法时， 对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互
独立的，都服从 (−0.5 , 0.5) 上的均匀分布。现在有 1200 个数相加，问取整误差总 和的绝对值超过 12 的概率是多少？ 解: 设各个加数的取整误差为 ξ i （ i = 1, 2,L ,1200 ） 。因为 ξ i ～ U (−0.5 , 0.5) ，所
(2)利用二项分布的泊松定理近似,得 λ = np = 40 × 0.02 = 0.8 ,
P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ = 0) − P(ξ = 1) ≈ 1 − e −0.8 − 0.8e−0.8 ≈ 0.1912 .
2.
已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布 P (0.2) ， 求这本
书印刷错误总数不多于 70 个的概率。 解: 设 ξ i 是第 i 页印刷错误的个数，已知 ξ i ～ P (0.2) ， i = 1, 2, L ,300 ，它们相互 独立，由普阿松分布的可加性可知，300 页书的错误总数 η = ∑ ξ i ～ P(60) 。
2
2 ， −∞ 0 3 1 2 1 4 1 。 Dξ i = E (ξ i2 ) − ( Eξ i ) 2 = ∫ 2 x 3 dx − ( ) 2 = − = 0 3 2 9 18 Eξ i = ∫ xϕ ( x)dx = ∫ 2 x 2 dx =
+∞ 1
由中心极限定理可知， 这时近似有 η = ∑ ξ i ～ N (nμ , nσ 2 ) ， 其中，n = 20 ，
即如果整个系统可靠性要达到 0.99 ，它至少需要由 1218 个部件组成。 2. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有 100000 人参加这项保险，每人每年需付保险费 20 元，在此类保险者里，每个人 死亡的概率是 0.002 ， 死亡后家属立即向保险公司领得 8000 元。 若不计保险公司 支出的管理费，试求： （1）保险公司在此项保险中亏本的概率； （2）保险公司在此项保险中获益 80000 元以上的概率。
n − 0.9n 0.09n
) − Φ(
0.88n − 0.9n 0.09n
) = Φ(
n n ) − Φ (− ) 3 15
≈ 1 − Φ (−
n n ) = Φ( ) 15 15
（ 因为本题中 n 很大，
n n 的值远远超过了 4 ，所以可以认为 Φ ( ) ≈ 1 ） 。 3 3
要 Φ(
n n ) ≥ 0.99 ，查表可得 ≥ 2.3263 ，即 n ≥ (2.3263 × 15) 2 ≈ 1218 ， 15 15
P{ξ > 250} ≈ 1 − Φ (
250 − 200 199.6
) ≈ 1 − Φ (3.539) ≈ 0.0002 .
（2）若要 20 × 100000 − 8000ξ > 80000 ，必须有 ξ < 240 ，这时，概率为
5
P{ξ < 240} ≈ Φ (
240 − 200 199.6
i =1
n
1 = 100 。 12
所以，取整误差总和的绝对值超过 12 的概率为
⎡ 12 − nμ − 12 − nμ ⎤ ) − Φ( )⎥ P{ η > 12 } = 1 − P{− 12 ≤ η ≤ 12 }≈ 1 − ⎢Φ ( nσ 2 nσ 2 ⎦ ⎣ ⎡ 12 − 0 − 12 − 0 ⎤ = 1 − ⎢Φ ( ) − Φ( )⎥ = 1 − Φ(1.2) + Φ(−1.2) 100 100 ⎦ ⎣ = 2 [1 − Φ (1.2)] = 2 × (1 − 0.8849) = 0.2302 。
5.
设有 30 个相互独立的电子器件 D1 , D2 ,L , D30 ，它们的使用情况如下： D1 损
坏， D2 立即使用； D2 损坏， D3 立即使用，…。设器件 Di ( i = 1, 2,L ,30 ) 的寿命 服从参数为 λ = 0.1 （1/小时）的指数分布，令 T 为 30 个器件使用的总计时间。 问 T 超过 350 小时的概率是多少？ 解: 设 ξ i 是第 i 个电子器件的寿命，已知 ξ i ～ E (0.1) ， i = 1, 2, L,30 ，它们独立
以 μ = Eξ i =
(0.5 + 0.5) 2 1 − 0.5 + 0.5 = 0 ， σ 2 = Dξ i = = （ i = 1, 2,L ,1200 ） 。 12 12 2
n
设取整误差的总和为 η = ∑ ξ i ，因为 n = 1200 数值很大，由定理知，这时近
i =1
似有 η = ∑ ξ i ～ N (nμ , nσ 2 ) ， 其中， nμ = 1200 × 0 = 0 ， nσ 2 = 1200 ×
i =1
20
nμ = nEξ i = 20 ×
所以，
2 40 1 10 ， nσ 2 = nDξ i = 20 × = 。 = 3 3 18 9 10 −
40 10 − nμ 3 ) ≈ Φ(−3.16) = 1 − Φ (3.16) ≈ 0.008 。 P{η ≤ 10} ≈ Φ( ) = Φ( 2 10 9 nσ
4.
设 ξ 1 , ξ 2 , L, ξ 20 是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度
ϕ ( x) = ⎨
⎧2 x 0 ≤ x ≤ 1 。 0 其他 ⎩
令 η = ξ 1 +ξ 2+ L + ξ 20 ，用中心极限定理求 P{η ≤ 10} 的近似值。 解:
⎧2 x 0 ≤ x ≤ 1 因为 ξ i （ i = 1, 2, L, 20 ）的概率密度为 ϕ ( x) = ⎨ ，所以 其他 ⎩0
P{792 ≤ ξ ≤ 900} ≈ Φ (
900 − 810 81
) − Φ(
792 − 810 81
) = Φ(10) − Φ (−2) ≈ 0.9772 .
（2）设至少需要 n 个部件， np = 0.9n ， npq = 0.09n 。 这时系统能可靠地工作的概率等于
P{0.88n ≤ ξ ≤ n} ≈ Φ (
b ≈ 9487.5 .
7. 某单位设置一台电话总机，共有 200 个分机。设每个分机在任一时刻要使用 外线通话的概率为 5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少 外线，才能以 90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解: 设 ξ 是 要 使 用 外 线 的 分 机 数 ， ξ ～ b(n, p) ， n = 200 ， p = 0.05 ，
q = 1 − p = 0.95 。 近 似 有
ξ ～ N (np, npq) ， 其 中
np = 200 × 0.05 = 10 ，
npq = 10 × 0.95 = 9.5 。设 k 是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有
足够的外线可供使用，即 ξ ≤ k 的概率要大于 90％，即要有
P{ξ ≤ k} ≈ Φ ( k − 10 9.5
k − 10 9.5
) ≥ 0.9 。
查表可得
≥ 1.2816 ， 解得 k ≥ 10 + 1.2816 × 9.5 ≈ 13.95 ， 大于它的最小整
数是 14 ，所以，需要设置 14 条外线。
第十七次作业
一．计算题： 1. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏 的概率都是 0.1 ，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有 88%的部件起作 用。 （1）已知系统中共有 900 个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地 工作的概率） 。 （2） 为了使整个系统的可靠性达到 0.99 ， 整个系统至少需要由多少个部件组成？
ξ ～ b(n, p) ，n = 100000 ，p = 0.002 ，q = 1 − p = 0.998 。 解： 设 ξ 是死亡的人数，
近似有 ξ ～ N (np, npq) ， np = 100000 × 0.002 = 200 ， npq = 200 × 0.998 = 199.6 。 保险公司的净获益为 20 × 100000 − 8000ξ 。 （1）当 20 × 100000 − 8000ξ < 0 ，即 ξ > 250 时，保险公司在此项保险中亏本， 其概率为
) ≈ Φ (2.831) ≈ 0.9977 。
3
证能够发放奖金？ 解: 设需要资金总额为 b,设 ξi 表示第 i 个奖金额,其中 i = 1, 2,L,300 ,其期望和
方 差 分 别 为 Eξi = 29, Dξi = 764 , 利 用 独 立 分 布 中 心 极 限 定 理 近 似 , 得
300 b − 300 × 29 ⎛ b − 300 × 29 ⎞ P (∑ ξi ≤ b) = 0.95 , Φ ⎜ = 1.6449 , 即 ⎟ = 0.95 , 查 表 得 300 × 764 i =1 ⎝ 300 × 764 ⎠
所以
P{T > 350} = 1 − P{T ≤ 350} ≈ 1 − Φ (
350 − 300 3000
) = 1 − Φ(
50 3000
)
≈ 1 − Φ (0.913) ≈ 1 − 0.8186 = 0.1814 。
6.
某种福利彩票的奖金额 ξ 由摇奖决定，其分布列为
若一年中要开出 300 个奖，问需要准备多少奖金总额，才有 95%的把握，保
ξ ～ b(n, p) ， 当 n 比较大时， 近似有 ξ ～ N (np, npq) 。 解: 设 ξ 是起作用的部件数 ，
（1） n = 900 ， p = 0.9 ， q = 1 − p = 0.1 , np = 810 ， npq = 81 。
4
整个系统要能可靠地工作，至少要有 n × 88% = 900 × 88% = 792 个部件起作用， 所以，这时系统能可靠地工作的概率等于
同分布， Eξ i =
1
λ
=
1 1 1 = 10 ， Dξ i = 2 = = 100 ， i = 1, 2, L,30 。 0.1 0.12 λ
30
根 据 独 立 同 分 布 中 心 极 限 定 理 ， 可 认 为 T = ∑ξ i 近 似 服 从 正 态 分 布
i =1
N (nμ , nσ 2 ) ，其中 nμ = nEξ i = 30 × 10 = 300 , nσ 2 = nDξ i = 30 × 100 = 3000 。
i =1 300
1
分布 N (nμ , nσ 2 ) ,其中 nμ = nEξ i = 300 × 0.2 = 60 , nσ 2 = nDξ i = 300 × 0.2 = 60 。 所以 P{0 ≤ η ≤ 70} ≈ Φ ( 70 − 60 60 ) − Φ( 0 − 60 60 ) = Φ( 10 60 ) − Φ( − 60 60 )
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第六册）
学 学 院 号 ____________专 ____________姓 业 名 ____________班 级 ____________ ____________任课教师____________
第十六次作业
一． 计算题： 1. 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 只进行检查，若发现两只或两 只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率： （1）用二 项分别作精确计算； （2）用泊松分布作近似计算。 解: 设不合格得产品数为 ξ .
i =1 300
直接用普阿松分布计算，则有
60k −60 P {0 ≤ η ≤ 70} = ∑ P {η = k} = ∑ e ≈ 0.909813 。 k =0 k =0 k !
70 70
下面用独立同分布中心极限定理近似计算。
i = 1, 2, L,300 ， 因为 ξ i ～ P (0.2) ， 独立同分布，Eξ i = λ = 0.2 ，Dξ i = λ = 0.2 ， i = 1, 2, L,300 ，根据独立同分布中心极限定理，可认为 η = ∑ ξ i 近似服从正态
≈ Φ (1.29) − Φ (−7.75) ≈ 0.9015 − 0 = 0.9015 。 3. 作加法时， 对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互
独立的，都服从 (−0.5 , 0.5) 上的均匀分布。现在有 1200 个数相加，问取整误差总 和的绝对值超过 12 的概率是多少？ 解: 设各个加数的取整误差为 ξ i （ i = 1, 2,L ,1200 ） 。因为 ξ i ～ U (−0.5 , 0.5) ，所