力学7连续体力学(固体的弹性)
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
第五章连续体力学
l2
O
dM
r d
f
2mg
l2
r
2
d
r
r
dr
0
f
(选z方向为正）
dM
M 0
dM
M
l 0
2mg
l2
r
2
d
r
2 mgl
3
3）由角动量原理：
t
0 M d t J J0
则
2 3
mglt
0
1 2
ml
20
t 3l0 4g
作业：5 – 1, 5--5, 5--7
§5-3 刚体的定轴转动定律
对于作定轴转动的刚体，满足：
第五章 连续体力学
连续体包括刚体、弹性固体、流体（液体和气体） 本章重点介绍刚体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动： 1、刚体 ─ 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体 上的任两点间的距离 始终保持不变。刚体是一种理想模型。
2、平动 ─ 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种 运动称为刚体的平动。
mi Rivi
zLioLiz来自Lzori
mi
o Ri
均匀细棒对OZ轴的角动量：
Lz mivi Ri cos miviri
miri2 ( miri2)
Lz J
定义：刚体转动惯量： J miri2
2、转动惯量的计算： 若质量离散分布：（质点，质点系）
J＝ miri2
i
若质量连续分布：
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v
r
o r
v
[例1]一半径为R = 0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的
第1章连续体力学知识讲解
第1章连续体力学第一章 连续体力学思考题1-1 在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。
杨氏模量的物理意义是什么？答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比。
在拉伸应变中l l Y∆＝拉σ 其中，比例系数Y 称为杨氏模量。
弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。
在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。
1-2 生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不同？ 答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。
当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。
1-3 液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。
1-4 图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。
已知 上、下液面的曲率半径分别为A R 和B R (B R >A R )，水的表面张力系数为γ，密度为ρ。
问悬着水高度h 为多大？解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。
对上液面应用拉普拉斯公式，得AA R p p γ20=- 对下液面使用拉普拉斯公式，得 BB 02R p p γ=- 图1-1 土壤中的悬着水 又因为gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 112R R g h ργ1-5 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。
试解释这种现象的成因。
答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。
第力学、赵凯华、五章 连续体力学-1
例：（a）一块厚为 ：（ ）一块厚为0.3m的冰块漂浮在水 的冰块漂浮在水 上。试问如果要这块冰能支撑住一辆重 的汽车， 为1100kg的汽车，则冰块的最小面积应 的汽车 为多大？（ ？（b） 为多大？（ ）与汽车放在冰块上的位置 是否有关？ 是否有关？
解 ： （ a） 设汽车放在冰块重心的正 ） 上方， 冰厚为L， 面积A， 上方 ， 冰厚为 ， 面积 ， 汽车质量 m，当冰块完全浸没在水中时，浮力 ，当冰块完全浸没在水中时， 为:
一、静止流体内某点的压强
在静止流体内任意一点， 在静止流体内任意一点，设想作的任意方向 面上受的应力总垂直作用在该 面上 ，而且 应力数值与面的方向无关， 应力数值与面的方向无关，这种应力称为流 体在该点的“静流体压强” 体在该点的“静流体压强”，简称压强
dF P= dS
n
dS
A
·
二、静止流体内任意两点的压强关系
∆d ∆l =σ d l
∆d σ= d ∆l l
泊松比
3、（剪）切应变，切变模量G 、（剪 切应变，切变模量
物体在切向应力作用下产生切应变。 物体在切向应力作用下产生切应变。切变只 改变形状， 改变形状，应变 dy
微小应变 胡克定律
dx = tgθ = θ dy dx τ = G = Gθ dy
P = P − ρB gh B D
∵ρA < ρB ∴PA > P B
拦洪水坝长为L, 水深为H时 例 拦洪水坝长为 水深为 时，求水对 水坝作用的水平总作用力以及对水坝底线 （x轴）作用的总力矩。 轴 作用的总力矩。
解：
dF = ρg(H − y)L⋅ dy
dM = ydF
1 2 F = ∫ ρg(H − y)Ldy = ρgLH o 2 H 1 3 M = ∫ ρgL(H − y) ydy = ρgLH o 6
连续介质力学(固体力学)讲解
连续介质力学 连续介质力学（Continuum mechanics）是物
理学（特别的，是力学）当中的一个分支，是处 理包括固体和流体的在内的所谓“连续介质”宏
观 性质的力学。
3
固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的 刚体 和可变形固体。刚体在 一般力学 中的 刚体力学 研究；连续介 质力学中的 固体力学 则研究可变形固体，在应力，应变等外在因素 作用下的变化规律，主要包括 弹性 和 塑性 问题。
9
二、现代力学的发展及其特点
1、现代力学的发展
材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。
尺 度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。
实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。
10
应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电 子技术等。
使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术； 广泛应用至各工程领域。
材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)
13
智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪 的、具有“活”的功能的智能结构。
塑性 ：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。 弹性 ：应力作用后，可恢复到原来的形状。 流体 ：流体包括 液体 和 气体 ，无确定形状，可流动。流体最重 要的性质是 粘性 （viscosity，流体对由剪切力引起的形状的抵抗 力，无粘性的 理想气体 ，不属于流体力学的研究范围）。从理论研 究的角度，流体常被分为 牛顿流体 和 非牛顿流体 牛顿流体 ：满足 牛顿粘性定律 的流体，比如水和空气。 非牛顿流体 ：不满足 牛顿粘性定律 的流体，介乎于固体和牛顿 流体之间砄物质形态。
第一章-连续体力学
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大 基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三 大基本规律推导出来。
二、 应变与应力
1. 应变（strain)
在外力作用下，固体要产生形变。固体的 形变包括拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲四种。 在四种形变中，拉伸压缩和剪切为基本形变， 扭转和弯曲可视为前两种形变的组合。
P 1 V 2 gh 常数
2
其中： P — 压强能密度
1 v 2— 动能密度
2
gh — 重力势能密度
∴能量密度之和不变
证毕！
材料
铝 黄铜 铜 金 电解铁 铅 镁 铂 银 不绣钢 聚苯乙烯
一些固体的弹性模量
E/1010Pa
G/1010Pa
7.8
2.5
13.9
3.8
16.1
4.6
16.9
2.85
16.7
8.2
3.6
0.54
3.6
1.62
14.2
6.4
10.4
2.7
16.4
7.57
0.41
0.133
Y/1010Pa
6.8 10.5 12.6 8.1 21 1.51 4.23 16.8 7.5 19.7 0.36
几种动物股骨的力学性质
种类
人（20～ 29岁）
马 牛 猪
拉伸弹性 模量/GPa
17.6
25.5 25.0 14.9
压缩弹性 拉伸强度 压缩强度 模量/GPa 极限/MPa 极限/MPa
----- 124±1.1 170±4.3
9.4±0.4 8.7 4.9
121±1.8 113±2.1 88±1.5
力学7.连续体力学(固体的弹性)
1.1 外力、内力、应力和应变 外力、内力、
㈠外力与内力
• 外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内 外界对弹性体的作用力称为外力； 部各部分间的相互作用力 • 为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它 为研究内力， 把弹性体分为两部分， 把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截 上的内力， 面 S 上的内力，内力总是成对出现的 • 在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截 在一般情况下，取不同的截面，内力不同； 面的不同点处， 面的不同点处，内力也不相同
Y 2(1+σ )
㈢剪切形变的势能密度： E p = 1 Gψ 2 剪切形变的势能密度： 0 2
0 2 与拉、 与拉、压形变的势能密度 E p = 1 Yε 具有相同的形式 2
10
1.4 弯曲和扭转
㈠梁的纯弯曲
o'
R b h F F
θ o
y
o x
y dx
x 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲 上层被 压缩, 下层被拉长， 轴所在的中间层，既不被压缩， 压缩 下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被压缩，也不被 拉长,保持原长 称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的 保持原长， 拉长,保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的 压形变组成。 拉、压形变组成。
z φ
L ψ
τ'
R
r
dθ
⒉扭转角与力偶矩的关系
r dr dF
Gϕ τ = Gψ = r L
τ 取图示体元，作用在上表面的内力 及 对 轴的力矩 轴的力矩： 取图示体元，作用在上表面的内力dF及dF对z轴的力矩： Gϕ Gϕ 2 Gϕ 3
弹性力学
1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁动力学，非连续体力学包括原子级、波动方程、量子力学。
2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。
3、弹性力学的基本假定为：假设物体是连续的、假设物体是匀质的和各项同性的、假设物体是完全弹性的、假设物体的变形是很少的、和假设物体内无初应力。
4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。
5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数弹性模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。
6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，压缩时为负，与正应力的正负号规定相适应。
10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9 个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。
13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立 6个方程。
14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和μ分别表示材料的弹性模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。
第二章 固体弹性力学基础
应力定义为：单位面积上所受的内力，是在面力或 体力作用下，物体内部假想面上单位面积上的一对 大小相等、方向相反的力，是作用在该面上力的大 小的度量。
应力也称为胁强(力的强度)：应力并不是一个 “力”，因为它的量纲不是力而是单位面积上的力。
应力的方向与作用力的方向相反。
6
2.1 应力分析
16
2、非均匀变形 用物体内部变形 单元体（应变椭 圆）表示非均匀 变形 ——褶皱
17
2.2.3 应变分类
应变---当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形 状的变化，即应变。
体积形变----指物体只发生体积变化而无形状变化的 应变。它是受正应力作用的结果。 形状形变-----物体只发生形状的变化。它是剪切应力 作用的结果。 理论力学是研究物体的整体运动。把物体作为一种刚 体，在外力作用下只能产生整体平移和转动。 弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物 体内部各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必 要条件。
设N为M 邻近点，其向径 为 r dr 。受力后N点位移 到 N ，它的位移向量记 为 u(r dr) 。 N点对M点的相对位移是
z
N (x+dx,y+dy,z+dz)
dr
M （x,y,z)
u (r )
u( r )
u (r dr)
N
u(r dr) u(r)
dx 1。由 （1-9） ds
u e e xx x
同理可求得沿y和z轴上单位长度得伸长值
e e yy
e e zz
v y w z
28
（2）切应变：变形体不仅在三个坐标方向上有相对伸长(或 压缩)，而且还会产生旋转，即夹角也会发生变化。(见下图) 假设两个正交线元素 MN和MP。受力后， 相对位移分别是du1 和du2。假设： dx=|MN|=|dr1| dy=|MP|=|dr2| MN、MP的相对位移 du1和du2对可由（11）式求出。
《大学物理学》习岗主编农科教材课件pdf-01连续体力学
第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium)
海 纳 百 川
应变是描述固体形变程度的 物理量，它是指物体在外力 作用下发生的相对形变。 拉伸应变
l0
l
大 道
Δl ε= l0
x d
致 远
剪切应变
体应变
x γ = d ΔV θ= V
海 南 大 学
γ
第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium)
海 大 纳 道 百 致 川 远
听到对美充满深深祈望的 莫扎特的《第４０号交响 曲》的水，其结晶也竭尽 全力展现出一种华丽的美.
听到恶毒咒语的水结 晶显得杂乱而丑陋
海 南 大 学
第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium)
（2）微观上分子呈有序排列（远程有序），
海 南 大 学
第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium)
（1）宏观上具有规则对称的外形
海 纳 道 百 致 川 远
（a）单晶体（monocrystal）：规则外形且各向异 性的单个大晶体。如水晶、金刚石、石英等。
大
水 晶
巴西蓝色黄宝石晶体
海 南 大 学
第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium)
海 南 大 学
第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium)
海 大 纳 道 百 致 川 远
听到美好祝词的 水结晶
听了贝多芬田园交响曲的水 呈现的结晶就像明快、清爽 的曲子一样美丽而工整
海 南 大 学
大学物理知识总结习题答案(第一章)
第一章 连续体力学本章提要1．固体的弹性· 在常温常压下，固体分为晶体和非晶体。
晶体在宏观上具有规则对称的外形，在微观上具有远程有序的特点，在物理性质上呈现各向异性，并且加热熔化时具有确定的熔点。
· 固体的形变包括拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲四种。
拉伸压缩和剪切形变为基本形变。
· 物体在外力作用下发生的相对形变称应变，拉伸应变为l l ∆=ε 剪切应变通过剪切角来表示，剪切角为dx =γ 若在压力作用下，体积发生变化而形态不变，体应变为 0V V ∆=θ ·作用在物体内部单位面积上的作用力称应力，某截面S ∆上的应力为Sf ∆∆=σ 在拉伸应变中l l E ∆σ＝拉 在体应变中V V K∆＝体σ 在剪切应变中 dx G＝剪σ 其中，E 称杨氏模量，K 称体积模量，G 称切变模量。
2．静止液体的性质·液体基本特征是易于流动而难以压缩，在物理性质上呈现各向同性。
·液体可以分为极性液体、非极性液体、金属液体和量子液体。
·对于液体中的任一点而言，来自任何方向的压强均相同。
·液面下任一点的压强为A 0p p gh ρ=+·液体表面上还存在着一种额外的切向力—表面张力，表面张力的基本规律为f l γ∆=∆其中，γ为表面张力系数，它是表征液体表面张力大小的特征量。
表面张力系数与液体的种类、温度和掺杂的某些物质（表面活性物质和表面非活性物质）有关。
·对于弯曲液面，其液面内外的压强不相等，压强差满足拉普拉斯公式。
凸形液面的拉普拉斯公式为Rp p γ=2外内－ 凹形液面的拉普拉斯公式为Rp p γ-=2外内－3．液体的流动性质·连续性原理为S ν = 常量它体现了不可压缩的液体在流动过程中质量守恒。
Sv 为单位时间内通过截面S 的流体体积，称为流量。
·伯努利方程给出了同一流线上各点的压强、高度和流速三者之间的关系，即221112221122p v gh p v gh ρρρρ++=++ ·连续性方程和伯努利方程适用于理想流体的稳定流动。
工程物理 第三章连续体力学
在（SI）中，J 的单位：kgm2 质量为线分布 dm dl 其中、、分 别为质量的线密 质量为面分布 dm ds 度、面密度和体 质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例 1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
A
A
二、定轴转动的角量描述
P P X
参考 方向
X X
Q
参考平面
转轴
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。
描述刚体整体的运动用角量最方便。
常规定：逆时针方向为正。
刚体运动学中所用的角量关系： d d 2 d dt dt 2 dt 定轴转动角速度方向规定为沿轴 方向，指向用右手螺旋法则确定。 只有两个方向，用标量处理。
1 J dJ 2lr dr R 4 l 0 2 m 1 J mR 2 R 2 l 2
R 3
R
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量也是mR2/2。
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不 同轴的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=dx λ=m / L
则角动量定理表示为
其中
M M i | ri Fi |
i i
dL M dt
L mi ri mi ri
2 i i
2
再定义转动惯量
J mi ri
i
2
则
d L J, M J dt
M＝Jα 与 F ma 地位相当 ＝
连续体力学.
解:(1)棒做变加速运动
O
d 3g cos , dt 2 L d 又 d
B
3g d cosd 2L
A
0 d 0
2
3
3g cos d 2L
3g 3 3 sin g L 3 2L
由：
v r
3 3g 2L
解:已知
自转角速度
R1 6.96108
2 1 T1
T1 25.3 24 3600 2.2 106 ( s)
转动惯量
2 J 1 mR12 5
J2 2 2 mR2 5
设缩后的角速度为 ，转动惯量为 2 由角动量守恒得
J 1 1 J 2 2
2 1 1 J 2 R2 11 T2 T1 11.22 105 ( s ) 2 5.1 10 2 2 J 1 R1
2
l 4 3 l 4
M 7 x dx Ml 2 (也可由平行轴定理求J) l 48
2
l
(2) 碰前棒作平动，对O点的角动量按质心处理。故有
(3)设碰后的角速度为 。碰撞中外力矩为零,角动量守恒， 12 所以 1 v Mlv J 7l 4
l 1 L Mv Mlv 4 4
第五章
连续体力学
连续体包括弹性固体、流体（液体和气体） 理想模型：刚体、弹性体、理想流体 本章重点介绍刚体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动
1. 刚体── 忽略形变的理想模型。无论受多大的力，刚体 不发生形变，即刚体上的任两点间的距离不会 改变。 2. 平动── 刚体上任意两点连线在运动中保持平行。 平动特点： 各个质点的位移、速度、加速度相等。可以用一 点 代表刚体的运动。由质点的力学规律解决刚体的平动问题。 例： 黑板擦、电梯、活塞的运动 注意： 刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。
连续力学线弹性固体
第三章 线性弹性固体到目前为止，我们已经讲述了有关连续介质的几何学、运动学和动力学的基本概念及基本关系式。
所有这些关系对各种连续介质都适用，因为在推导过程中并没有考虑是什么物质。
然而，这些方程还不足以描述特定物质在给定的荷载作用下的反响。
在同样荷载条件下，钢的反响和水的反响是不同的。
另外，对于给定的同一物质，随着荷载条件的变化，其反响也是不同的。
例如，低碳钢在适度荷载下将发生变形，去掉荷载后变形消失，物质的这种性质称为弹性。
若荷载继续增加，低碳钢将产生永久变形，甚至断裂。
造成这些不同反响的原因是由于物质的特性，而不是共性，即物质内部本构是造成这些反响的原因。
在连续介质力学中，我们不涉及物质的原子结构，而只研究物质的宏观性质。
为此，我们要建立反映物质结构差异的总体效应的方程，即本构方程(constitutive equation)。
在本章中，我们只研究线性弹性固体这种理想化的物质的本构方程，并给出这类固体的若干简单情形的静力和动力问题的解。
在本章最后，对线性弹性固体的变分原理作一简要的阐述。
3.1 线性弹性固体的力学性质为了建立线性弹性固体的本构方程，首先需要对该物质的力学性质做一些了解。
1.简单拉伸实验取一根长为l ，横截面面积为A 的细长圆柱试件。
此试件在轴向荷载P 的作用下伸长∆l ，如图3.1所示。
在线性范围内(图中OA 段)，如果把荷载卸掉，则线OA 可逆，此时试件表现出弹性。
如果再继续加载到B 然后卸载，则得到典型的OABC 线，并且将有一“永久变形”量OC 。
在一般的工程结构设计中常采用线性弹性理论。
在线性弹性范围内，我们可以假定，逐级加载不影响线性弹性性状。
为了表示加载与变形的这种线性关系，我们希望有一种与试件尺寸和由于实验装置引进的任何变量无关的材料性状的表示法，于是我们引用应力σ=P A，而应力ε=∆l l /。
在OA 段应力与应变之比为常数 E =σε(3.1.01) E 称为杨氏模量，或弹性模量。
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体应变定义为
体
V V
应变无量纲！
K体
K
V V
K——体弹性模量
6
a
1.2 弹性体的拉伸和压缩
F'
o
s
F"
x
㈠直杆内的正应力
F'
o
F
s
x
据牛顿第二定律：F F' ( sx)a, F F' sax
根据正应力定义： F / s F '/ s ax ,若 a 0,则 F '/ s
㈡直杆的线应变
为面元ΔS的外法线单位矢量和切向单 位矢量,ΔF为作用在ΔS上的内力.
• 平应均力应就力是 ：单p位面F积 /上S受, 到对的应内有力限面元 应力：p dF / dS , 对应无穷小面元,点
正应力: 应力在面元外法线方向的投影 p nˆ pn dFn / ds
切应力: 应力在面元切向方向上的投影 p ˆ p dF / ds
㈡ 杆的扭转
z
τ'
把杆用假想截面切割成许多近 似长方体的体元
φ
ψ
R
r
施加力偶矩后，各个小长方体
L
都发生切变，r 坐标相同的长
方体切变相同,r 越大,切变越大
• 为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它 把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截 面 S 上的内力，内力总是成对出现的
• 在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截 面的不同点处，内力也不相同
F1
F4
F1
F
F2 F3
F5
F2
F6
F3
S
4
㈡应力
• 在o点附近取有向面元 Snˆ, nˆ,ˆ 分别
㈠切应力与切应变
⒈剪切形变：
SF
F"
b a F'
B B'
F"'
cψ A
C C' D
在力偶作用下, 两平行截面发生相对移动的形变
⒉切应变：平行截面相对滑动距离BB'与垂直距离AB之比
tg
BB ' AB
,ψ称为切变角
⒊切应力：若截面S受力均匀，则切应力 F / S
⒋切应力互等定律：作用于两个互相垂直截面,且垂直于
ds
Y R
x bdx
x
dF对z轴的力矩：
dM
'
dFx
Yb R
x2dx
整个面上的内力对z轴的力矩：
M
'
h/2
2
0
Yb R
x2dx
2Yb R
1 3
x3
|0h/ 2
Ybh3 12R
在平衡状态下，外力矩M与内力矩M'大小相等
M
Ybh3k 12
,
k
12M Ybh3
显然，相对于增大b， 增大h，能更好地减小曲率 12
两截面交线的切应力相等，τ=τ'
证明：由于平衡， Fb F" a ,acb ' bca, '
9
㈡剪切形变的胡克定律：
在切应变较小的情况下，切应力与切应变成正比，即
τ=GΨ，G是由材料本身决定的切变弹性模量
通过理论推导可知，材料的杨氏模量、切变模量和泊
松系数有如下关系： G
Y 2(1 )
㈢剪形变的势能密度：Ep0
l
l0
Ep(l)
YS l0
(x
l0 )d( x
l0 )
YS 2l0
(x
l0 )2
|l
l0
1 2
Y
(
l
l0 l0
)2
l0
S
1 2
Y
2V0
l0
若杆的形变是均匀的，则形变势能均匀地分布于整个直
杆中，用V0去除上式，得拉压形变的势能密度：E0p
1 2
Y
2
表示单位体积的形变势能与应变平方成正比
8
1.3 弹性体的剪切形变
1 2
G
2
与拉、压形变的势能密度
E
0 p
1 2
Y
2具有相同的形式
10
o'
1.4
Rθ
弯曲和扭转 b F
h
o
F y
dx
o
y
㈠梁的纯弯曲
x
x
梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被
压缩, 下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被压缩，也不被
拉长,保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的
若应力、应变分布均匀，则 Fn / S Yl / l0
7
㈣拉压形变的势能密度
o
F l0
lx
杆的左端点固定，l0 为杆原长，规定Ep(l0)=0，我们求当杆
的右端点移到
x
=
l
时，杆所具有的形变势能
l
Ep(l)
Ep (l) Ep (l0 ) Fdx,
F S
Y
xl0 l0
,F
YS l0
(
x
l0
)
拉、压形变组成。
⒈应变、应力分布规律
• x 处取一厚度为 dx 薄层, 其线应变
水泥预制板
( R x) R x
R
R
•
根据胡克定律，正应力：
Y
x R
铁路钢轨
钢管
11
⒉曲率与力偶矩的关系
梁弯曲的曲率k=1/R，求它与 τ
外力偶矩M的关系：
在坐标x处取一面元: dS=bdx，
b
oh
dF dx
作用其上的内力： dF
连续体力学 （连续介质力学）
1
连续体包括弹性固体、流体（液体和气体）
特点：内部质点之间可以有相对运动（形变或非均匀 流动）
连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：
即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充
满全空间的介质（质元：宏观足够小，微观足够大）
组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。
ˆ dΔFF o nˆ
dΔSS
• 在一般情况下, 取不同点, 不同方向, 对应的应力亦不同
应力单位：帕斯卡（pascal）
5
（三） 应 变
固体的应变有两种基本形式：体应变（对应于正应力） （剪）切应变 （对应于切应力）
液体：只有各项同性的正压力（正应力）——静水压 力。液体不能抗剪切！
对弹性体施加各项同性的静水压力，其体积V发 生变化 V
这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体
微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一
组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，速度，
压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（本
构方程constitutive equations）和基本的物理定律，
如质量守恒定律，动量守恒定律等。
2
1. 固体的弹性
• 任何物体，在外力作用下都会发生或多或少的 形变，如果撤消外力后，物体的形变能够完全 消失，那么这种物体就是弹性体，弹性体也是 一种理想模型
• 弹性体力学研究的是力与形变的规律 • 弹性体的形变种类有：拉伸、压缩形变，剪切
形变，扭转形变，弯曲形变 • 拉压形变与剪切形变是最基本的形变，扭转形
变和弯曲形变可以看作由这两种形变组成
3
1.1 外力、内力、应力和应变
㈠外力与内力
• 外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内 部各部分间的相互作用力
线应变就是相对线变 ，即单位长度上的线变， l / l0
纵
l
l0 l0
, 横
b
b0 b0
泊松系数： | 横 / 纵 |
dl
l0 b0
b l
一般情况下，
( x)，
dl dx dx
㈢拉压形变的胡克定律
o
dx
x
在弹性形变中，当应变较小时，应力与应变成正比。
对于拉伸和压缩形变 Y ，Y 称为杨氏弹性模量。