第三章 单因素方差分析
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
单因素方差分析
当 H 0 不真时，
SE 2 而不管 H 0 是否为真， E n s
当 H 0 为真时:
S A ( s 1) F 不能过大 S E (n s)
当 H0
S A ( s 1) ~ F ( s 1, n s ) 为真时: F S E (n s)
(i 1,2,, s;
j 1,2,, ni )
i 为第 i 个总体的均值 ， ij 为相应的试验误差。
记
1 s ni i ，称为总平均， n i 1
i i 称为水平 Ai 的效应。
从而模型可以写为：
yij i ij 2 ~ N ( 0 , ) ij ni i 0 i
因此，给定检验水平 时，拒绝域为：
F F ( s 1, n s )
表2 方差分析表
来源 因子 平方和 自由度 均方
2 i 2
F
S A ( s 1) S E (n s)
S A ni y ny
i 1
s
s 1
SA s1
SE n s
误差
总和
S E ST S A
2、方差分析的基本思想： 从所有观测值的总变差中分析出系统变差和随机误差， 通过比较二者的大小关系， 说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小。 即若两个变差差别不大， 各个水平差异不大； 若两个变差差别较大，则不同水平存在显著差异。
3、平方和的分解 记
1 y yij n i 1 j 1
由因素A的各个不同的水平引起的差异。
4、 S A 和 S E 的统计特性
1 y ij y i ni 1 j 1
ni
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素方差分析
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
第三节单因素方差分析
第三节单因素⽅差分析试验中要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素（分类变量），因素所处的状态称为⽔平，若试验中只有⼀个因素改变则称为单因素试验，若有两个因素改变则称为双因素试验，若有多个因素改变则称为多因素试验。
⽅差分析就是对试验数据进⾏分析，检验⽅差相等的多个正态总体均值是否相等，进⽽判断各因素对试验指标的影响是否显著，根据影响试验指标条件的个数可以区分为单因素⽅差分析、双因素⽅差分析和多因素⽅差分析。
如果有4组的均数需要⽐较，如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，那需要进⾏6次。
⽽每次t检验不犯第⼀类错误的概率为0.95，6次都不犯的概率即是0.95的6次⽅，所以如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，6次t检验⾄少有⼀次犯第⼀类错误的概率为0.2469，将被放⼤。
如果仍然要使⽤两两的t 检验，就需要控制总的犯第⼀类错误的概率各组内部变异（组内变异）：反映个体差异（随机变异）的⼤⼩各组均数差异（组间变异）：反映了个体差异（随机效⽤）的影响与可能存在的处理因素的影响之和总变异=组内变异+组间变异F检验统计量： F=(SSA/(k-1))/(SSE/(n-k))=MSA/MSE前提条件：独⽴性，正态性，⽅差齐性（）如果得出的结论是多组均数间存在差异，则需要进⾏事后的两两⽐较两两⽐较中会遇到的⼀类错误CER：⽐较误差，即每做⼀次⽐较犯⼀类错误的概率EERC：在完全⽆效假设下的试验误差率，即在H0成⽴时做完全⽐较所犯的⼀类错误的概率，⽅差分析检验/卡⽅检验本⾝控制的就是EERCMEER：最⼤试验误差率，即在任何完全或者部分⽆效假设下，做完全部⽐较所犯的⼀类错误的最⼤概率值，适⽤范围更⼴控制⼀类错误 直接校正P值： sidak校正，当⽆效假设实际成⽴，即各组均数⽆差别时，完全两两⽐较犯第⼀类错误的概率为1-0.95^(k(k-1)/2)，次即EERC，通过控制总的EERC=0.05反向推导没⼀个检验犯第⼀类错误的概率，统计软件直接往往将每个检验的屁p值放⼤（最⼤放⼤为1），⽽固定每个⽐较的α⽔准仍为0.05⽅便阅读 bonferroni校正：⼤多数实际问题中，都是有些组均数相同，有些不同，因此使⽤MEER更合适，通过控制CER，使得MEER被控制在所设定的⽔准内，计算公式为CER=α/c(需要进⾏⽐较的次数) 直接校正的缺陷：将两两⽐较分别进⾏，不仅使⽤⿇烦，也增加了误差的影响，因为每次两两⽐较只会⽤到这⼀组的数据⽽利⽤不到所有的数据，联合检验可解决此类问题，⽽且对⼀类错误的控制太严格，结果往往是偏保守的 联合检验：LSD-t检验，LSD最⼩显著差异，t检验的⼀个变形，在标准误和⾃由度的计算上利⽤了全部样本信息，使得结果更为准确，t 检验的标准误和⾃由度的计算只利⽤了相应的两组的信息。
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式方差分析公式计算单因素和多因素方差分析的方法是统计学中常用的数据分析技术。
方差分析可以用来比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
在本文中，将介绍单因素方差分析和多因素方差分析的计算公式和步骤。
一、单因素方差分析的计算公式单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异。
在进行单因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和表示各组数据与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SST = Σ(xi - x)²其中，xi为每个观察值，x为所有观察值的均值。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和表示各组数据与各组均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSW = Σ(xi - x i)²其中，xi为每个观察值，x i为各组观察值的均值。
3. 组间平方和（SSB）：组间平方和表示各组均值与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSB = Σ(ni * (x i - x)²)其中，ni为每个组的观察次数，x i为各组观察值的均值，x为所有观察值的均值。
4. 平均平方和（MSW和MSB）：平均平方和表示各组之间的平均差异程度。
其计算公式如下：MSW = SSW / (n - k)MSB = SSB / (k - 1)其中，n为总观察次数，k为组的个数。
5. F统计量：F统计量用于检验组间均值是否存在显著差异。
其计算公式如下：F = MSB / MSW二、多因素方差分析的计算公式多因素方差分析适用于两个或更多个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异，并确定各因素之间的交互影响。
在进行多因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
31单因素方差分析-文档资料
② 从 Yi 中抽取的样本 yi1, yi2 ,, yini 相互独立．
则 yij ~ N(i , 2 ) 且相互独立， j 1, 2,, ni 令 ij yij i ~N(0,2)
则 yij i ij ---均值 i 与随机误差 ij 迭加
ST SSA SSE S
总离差 回归平 平方和 方和
残差平 方和
总平方 因素平 偏差平
和
方和
方和
变量•• 自回（变归定定计量分性量量：析变非量不随取）机可值量可化量(化因计 计回素数 量归)用给变 变分语变量 量析言量 或赋不连代值••连续自方号(续变取赋差标量取值分予明(（析因值(代定属 身素(码性,次性 高)标(：变性温数,量明 非人别度）,随一数,机)品,二)种等))
11 , 12 ,, 1n1
ni
1 1 j / n1 j 1
Ai N (i , 2 )
……
yi1, yi2 ,, yin1i
ni
yi yij / ni j 1
i1, i2 ,, ini
ni
i ij / ni j 1
Aa N (a , 2 )
则 i i
表明第 i 个总体均值是一般平均
与效应的迭加，总效应为 0．
5
因素 A 各水平下 的水平 总体
因变量 Y 各水平下样本
表 3.1
因变量 Y 各水平下均值
各水平下 随机误差
各水平下 随机误差均值
A1 N (1, 2 )
……
y11, y12 ,, y1n1
n1
y1 y1 j / n1 j 1
Y的 总变化
单因素方差分析-PPT课件
单因素方差分析的假设检验的步骤：
（1）提出统计假设 H 0 ： μ 1μ2 μs
H1： μ1， μ2， ， μs 不全相等.
（2）编制单因素试验数据表
s nj
（3）根据数据表计算 T ，
x
2 ij
，
ST,SA,SE
j1 i1
（4）填制单因素方差分析表
单因素方差分析表
一、基本概念
我们将要考察的对象的某种特征称为指标， 影响指标的各种因素称为因子，一般将因子控 制在几个不同的状态上，每一个状态称为因子 的一个水平.
若一项试验中只有一个因子在改变，而其 它的因子保持不变，称这样的试验为单因素试 验.多于一个因子在改变的的试验为多因素试验. 这里，我们只讨论单因素试验.
否则接受H0 ，认为因子A对指标没有显著影响.
例1. 在显著性水平α=0.01下，用单因素方差分析法判断
实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著 差异？
解：提出统计假设
H0： μ1μ2μ3
H1： μ1， μ2， μ3 不全相等.
编制单因素试验数据表
部分 总体
A1
A2 A3
37
样 47 本 40 值 60
6444
S A
s j1
1 nj
T2j
n1T2
1 12 81 442 91 826 27 192 49
4
6
3
13
4284
SESTSA644 44 28 24 160
单因素方差分析表
方差来源 平方和 自由度
因子A 4284 2
随机误差 2160 10 总和 6444 12
ST σ2
~
单因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
第三章多组均数间比较的方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析在统计学中，方差分析是一种用来比较两个或更多组之间均数差异的方法之一、它可以用于分析实验设计或观察研究中的多组数据，并确定这些组之间的差异是否显著。
本文将重点介绍第三章多组均数间的方差分析。
方差分析有两种类型：单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（自变量）在不同组之间的均数差异，而多因素方差分析则用于比较多个因素对组间均数的影响。
在多组均数间的方差分析中，我们首先要确定所要比较的多个组是否具有显著的差异，这可以通过计算组间差异的方差来实现。
如果组间差异显著，则说明这些组有明显的均数差异，可以进一步进行事后的比较。
进行多组均数间的方差分析时，首先需要建立一个原假设和备择假设。
原假设通常是假定多个组之间没有均数差异，而备择假设则认为至少有一组与其他组有显著的均数差异。
在进行方差分析之前，还需要进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验，以确保数据符合进行方差分析的假设。
接下来，可以使用各种统计软件进行方差分析的计算。
常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析和重复测量方差分析等。
这些方法的具体计算过程和统计指标略有不同，但都可以提供组间差异的显著性水平。
在进行多组均数间的方差分析时，还需要注意事后比较的问题。
如果方差分析结果显示组之间有显著差异，那么需要进一步比较各个组之间的均数差异。
常用的事后比较方法包括Tukey HSD法、Duncan法和Bonferroni法等。
这些方法可以提供详细的组间均数差异情况，帮助研究者更好地理解结果。
总之，多组均数间的方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组之间的均数差异。
通过进行方差分析，我们可以确定这些组之间是否存在显著差异，并进行事后的比较分析。
研究者在进行多组均数间分析时，需要注意数据的前提检验以及使用合适的方法和指标进行分析。
SAS 单因素方差分析
• 例2. 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板. 取样，测量薄板的厚度精确至 • 千分之一厘米. 得结果如表所示. • 问不同机器对生产的铝合金板的厚度有无影响 • 请看分别用菜单系统和程序进行讨论 • 程序名data lb给出了单因素方差分析的典型解法,进行 了方差分析同时又在各水平组间 • 进行了均值的比较,作了直方图,菜单系统和程序中均有 选项”Dunnett”进行某一水平和其余水平的均值差异 比较和检验,选项”snk”则进行所有水平间均值差异的 比较和检验.
自由度公式 总自由度ft=试验次数n-1; 误差自由度fe=总自由度ft-模型自由度f模型 方差分析中 (单因素模型)因素A (即模型)的自由度fA=水平数-1 (A,B双因素考虑交互效应模型) 因素A的自由度fA=水平数-1 因素B的自由度fB=水平数-1 交互效应A*B的自由度fA*B= fA* fB 模型自由度f模型= fA +fB +fA*B 回归分析中 项自由度=1 模型自由度f模型=项自由度之和
方差分析单因素方差分析3篇
方差分析单因素方差分析第一篇：方差分析基础知识什么是方差分析？方差分析（ANOVA）是一种常用的数据分析方法，用于确定多个组或处理之间差异的检验方法。
方差分析的目的是比较各组之间的均值是否有显著差异，从而确定某种变量是否能够对观测结果产生统计显著影响。
方差分析的原理方差分析的基本原理是将总差异拆分为各个来源的差异，比较相对大小，进而确定各组均值之间是否存在显著差异。
方差分析原理中的总差异由于组内差异和组间差异组成，在计算统计检验时，需要根据样本数据计算出相应的方差分量。
方差分析的应用范围方差分析适用于多组数据的比较分析，通常用于以下场景：1. 不同处理方式对结果的影响是否显著；2. 产品的性能比较；3. 不同采样机构采样结果的差异性比较；4. 不同肥料对植物生长的影响比较等。
在研究中，方差分析也被广泛应用于实验设计和因子分析中，通过分析方差来确定影响观察结果的因素，以减少实验的时间和成本。
第二篇：单因素方差分析的步骤单因素方差分析是指数据来自同一总体下的不同组或处理之间的差异，其中只有一个因素起到决定性作用的方差分析。
对于一般的数据处理，单因素方差分析一般包括以下步骤。
1. 设定假设并确定显著性水平假设总体均值相等，等价于各组均值相等。
如果拒绝了该假设，则表明不同组之间均值存在显著差异。
同时，还需要确定显著性水平，通常为α=0.05或α=0.01。
2. 构建方差分析表构建方差分析表，并计算相关的方差分量，包括组内偏差平方和、组间偏差平方和、总偏差平方和和平均平方值。
3. 计算F值通过总偏差平方和、组内偏差平方和，以及各组样本容量计算F值。
4. 进行假设检验通过比较计算出的F值与参考F分布表中的临界值，以判断不同组之间差异是否显著。
5. 发现组之间差异的原因如果不同组之间均值存在显著差异，则需要通过多重比较或方差分析的分解来确定差异来源，以便进一步研究各组之间差异的原因。
第三篇：常用的单因素方差分析方法1. 单因素方差分析（One-way ANOVA）单因素方差分析是一种常见的数据分析方法，通常用于比较三个或三个以上组之间的差异。
第三章_单因素方差分析与多重比较精品
第三章_单因素方差分析与多重比较精品单因素方差分析是统计学中用于比较不同组之间差异的一种方法。
通过对多个组进行方差分析，可以确定是否有统计上显著的差异存在。
然而，在进行多组比较时，会面临多个比较中出现误差增加的问题。
因此，多重比较技术被提出，用于解决这个问题。
首先，我们来了解单因素方差分析。
单因素方差分析是通过比较不同组之间的方差差异来确定是否存在显著的组间差异。
在进行单因素方差分析时，我们需要计算组内的平均平方差（MSW）和组间的平均平方差（MSB），然后计算F值，再通过比较F值与临界F值来确定差异是否显著。
然而，当进行多组比较时，会遇到一种被称为多重比较问题的情况。
多重比较问题是指在进行多次比较时，由于进行多个比较而增加了整体犯错的可能性。
举例来说，如果我们进行了十次不同组的比较，每次比较的显著性水平设定为0.05，那么整体犯错的概率就会增加到0.50，即有一半的可能性会发生错误。
为了解决多重比较问题，研究人员引入了多重比较技术。
多重比较技术有多种方法，其中一种常用的方法是泰基法（Tukey's method）。
泰基法通过比较不同组之间的均值差异来确定哪些组之间存在显著差异。
具体而言，泰基法计算了每对组之间的均值差异，并利用一个修正的显著水平来设置显著性门限。
只有当两组之间的均值差异超过这个门限时，才被认为是显著的。
除了泰基法外，还有其他多重比较方法，例如邓肯多重范围检验（Duncan's multiple range test）和奥内尔法（Bonferroni method）。
这些方法各有优点和局限性，研究人员可以根据实际情况选择最适合的方法。
在使用多重比较技术时，需要注意以下几点。
首先，选择适当的显著性水平是非常重要的。
不同的显著性水平会对结果产生不同的影响。
其次，在进行多次比较时，应该考虑调整显著性水平，以控制整体的犯错率。
此外，还需要根据实际问题选择合适的多重比较方法，以便获得可靠的结果。
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析，也称单因子方差分析或单变量方差分析，是一种统计方法，用于比较两个或多个组间的均值是否存在显著差异。
在此文章中，我们将介绍单因素方差分析的基本概念、假设检验以及分析步骤等内容。
一、基本概念单因素方差分析是通过比较不同组的均值差异来进行统计推断的方法。
在该分析中，有一个自变量（也称为因素）和一个因变量。
自变量是分类变量，将数据分为不同的组别；因变量是连续变量，表示我们希望比较的具体测量结果。
二、假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要先建立假设，并进行假设检验。
常用的假设为：- 零假设（H0）：不同组间的均值没有显著差异；- 备择假设（H1）：不同组间的均值存在显著差异。
三、分析步骤进行单因素方差分析的一般步骤如下：1. 收集数据：收集各组的观测值数据。
2. 计算总体均值：计算每组数据的均值，并计算总体均值。
3. 计算组内平方和（SSw）：计算每组数据与其组内均值之差的平方和。
4. 计算组间平方和（SSb）：计算每组均值与总体均值之差的平方和。
5. 计算均方：分别计算组内均方（MSw）和组间均方（MSb），即将组内平方和与组内自由度相除，将组间平方和与组间自由度相除。
6. 计算F值：计算F值，即组间均方除以组内均方。
7. 假设检验：根据给定的显著性水平，查找F分布表以比较计算得到的F值与临界值的大小关系。
8. 结果解释：根据假设检验的结果，判断不同组间的均值是否存在显著差异。
四、例子和应用单因素方差分析可以用于各种研究领域，如教育、医学、社会科学等。
以教育领域为例，我们可以通过单因素方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响。
在进行该分析时，我们可以将学生分为两组，一组采用传统教学方法，另一组采用现代教学方法。
然后，我们收集每组学生的考试成绩，并对数据进行单因素方差分析。
通过比较组间的均值差异，我们可以判断不同教学方法对学生成绩是否存在显著影响。
五、总结单因素方差分析是比较不同组间均值差异的常用统计方法。
第三章_单因素方差分析与多重比较
第三章_单因素方差分析与多重比较1.引言在统计学中，方差分析是一种用于比较不同组之间差异的方法。
它可以帮助我们确定不同因素之间是否存在显著差异，以及哪些因素对结果有重要影响。
在实际应用中，我们常常需要使用单因素方差分析，即只考虑一种因素对结果的影响。
本章将介绍单因素方差分析的基本原理和方法，以及如何进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。
2.单因素方差分析的基本原理在单因素方差分析中，我们假设只有一个因素对结果有影响，而其他因素对结果没有影响。
我们通过计算组内变异和组间变异来判断不同组之间是否存在显著差异。
组内变异表示同一组内部个体之间的差异，而组间变异表示不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，则可以认为不同组之间存在显著差异。
为了进行单因素方差分析，我们需要满足以下几个前提条件：1）样本来自正态分布总体；2）各个组的方差相等；3）各个组的观测值之间相互独立。
3.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤通常包括以下几个步骤：1）建立假设：根据实际问题，我们需要建立相应的零假设和备择假设。
零假设通常表示不同组之间没有显著差异，而备择假设表示不同组之间存在显著差异。
2）计算统计量：根据计算公式，计算组内平方和和组间平方和，进而计算F值。
3）判断显著性：根据给定的显著性水平，查表或计算P值，判断F 值是否显著。
4）做出结论：根据显著性检验的结果，决定是否接受零假设，进而得到结论。
4.多重比较在单因素方差分析中，如果我们得到了显著的F值，说明不同组之间存在差异，但是并不能告诉我们具体是哪些组之间存在差异。
这时候，我们可以进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些组之间存在显著差异，以及差异的大小。
常用的多重比较方法包括Bonferroni法、Tukey法和Duncan法等。
这些方法都可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。
多重比较的步骤通常包括以下几个步骤：1）计算均值差异：首先计算不同组之间的均值差异，可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。
《单因素方差分析》课件
五、应用实例
样本数据
提供一个实际应用方差分析的样本数据。
方差分析的数据处理过程
步骤展示方差分析的数据处理过程和计算方法。
F检验统计量的计算和解释
具体计算方差分析中的F检验统计量，并解释结果。
六、注意事项与实用工具
实验设计的要求
列举方差分析实验设计的要 求和注意事项。
方差分析的局限性
讨论方差分析的局限性和需 要注意的问题。
讲解方差分析中的假设检验过程和步骤。
二、数据处理
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数据准备
解释如何准备数据以进行方差分析。
统计量计算
2
介绍用于方差分析的统计量的计算方
法。
3
差异性分析
讨论如何分析和解释不同组别之间的 差异性。
三、方差分析的基本模型
模型的形式和基本假设
描述方差分析的基本模型形式 和基本假设。
算法原理
解释方差分析的算法原理和计 算方法。
SS的计算方法
讨论如何计算方差分析中的 Sum of Squares（平方和）。
四、方差分析的假设检验和效应量测度
1
F检验统计量的计算
详细介绍如何计算方差分析中的F检验
水平间差异可视化呈现
2
统计量。
展示如何使用可视化工具将方差分析
中的水平间差异呈现出来。
3
效应量ETA的计算和解释
讨论如何计算和解释方差分析中的效 应量ETA。
《单因素方差分析》PPT 课件
欢迎来到《单因素方差分析》PPT课件！在本课程中，您将了解单因素方差分 析的概念、数据处理、基本模型、假设检验和效应量测度等关键内容。
一、概念
单因素分析的定义
介绍单因素分析的基本概念和用途。
第三章方差分析（11.18）
第三章⽅差分析（11.18）第三章⽅差分析在⽣产、研究等⼯作中经常要对在不同条件下进⾏观察或试验得到的数据进⾏分析，以判断不同条件对结果有⽆影响。
这时，就需要进⾏⽅差分析。
第⼀节⽅差分析的基本问题⼀、⽅差分析研究的问题⽅差分析是检验若⼲个具有相同⽅差的正态总体的均值是否相等的⼀种假设检验⽅法。
例如，我们要研究不同化肥品种（甲种、⼄种）与某农作物的关系，测定是否不同化肥的增产效果也不同。
则通过⽐较不同品种组的平均数的差异来反映分组变量（如化肥）对因变量（如农作物产量）的影响和作⽤，这就是⽅差分析要解决的内容。
在⽅差分析中，常常⽤到以下术语：响应，是指观察指标的结果或试验结果为响应。
如农作物的产量为响应。
因⼦（因素），是指在观察中或在试验中改变其状态时对响应产⽣影响的因素，也称为因⼦。
如⽤来进⾏分组研究的变量化肥就是因素或因⼦。
⽔平，是指因⼦（因素）在观察或试验中所取的状态称为因⼦（因素）的⽔平。
如化肥的种类甲种、⼄种就是因素的⽔平。
⽅差分析主要有两种。
如果⽅差分析只针对⼀个因素进⾏，称为单因素⽅差分析。
如果同时对多个因素进⾏，称为多因素分析。
在⽅差分析中，通常假定在同⼀条件下的试验结果是来⾃正态总体的⼀个样本；不同条件下的正态总体是相互独⽴的，它们的期望可能不同，但⽅差相同。
要判断不同条件对响应有⽆影响就是要检验各个正态总体的均值是否相等。
在实际应⽤时，⼀般应近似地符合上述要求。
⼆、⽅差分析的基本思想从⽅差分析的⽬的看，是要检验各个正态总体的均值是否相等，⽽实现这个⽬的的⼿段是通过⽅差的⽐较。
我们知道，观察值之间存在着差异，差异的产⽣来⾃于两个⽅⾯，⼀⽅⾯是由因素中的不同⽔平造成的，称为系统性差异；另⼀个⽅⾯是由于抽选样本的随机性⽽产⽣的差异。
两个⽅⾯产⽣的差异可以⽤两个⽅差来计量，⼀个称为⽔平之间的⽅差，⼀个称为⽔平内部的⽅差。
前者既包括系统性因素，也包括随机性因素。
后者仅包括随机性因素。
如果不同⽔平对结果没有影响，那么在⽔平之间的⽅差中，就仅仅有随机因素的差异，⽽没有系统性差异，它与⽔平内部⽅差就应该近似，两个⽅差的⽐值就会接近于1；反之，如果不同的⽔平对结果产⽣影响，在⽔平之间的⽅差中就不仅包括了随机性差异，也包括了系统性差异。
单因素方差分析课程设计
单因素方差分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解单因素方差分析的基本概念，掌握其适用条件及原理。
2. 学生能够正确运用方差分析进行数据分析和解决实际问题。
3. 学生掌握如何设置假设检验，并解释方差分析的结果。
技能目标：1. 学生能够独立进行单因素方差分析的运算和数据处理。
2. 学生能够运用统计软件或计算器进行方差分析，并解读输出结果。
3. 学生通过案例分析和小组讨论，提高解决实际问题的能力和团队合作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到数据分析和统计学在科学研究和社会生活中的重要性，培养对数据分析的兴趣。
2. 学生通过解决实际问题，培养科学态度和批判性思维。
3. 学生在小组合作中学会尊重他人意见，提高沟通能力和团队协作精神。
课程性质：本课程为高年级统计学课程，旨在通过单因素方差分析的教学，使学生掌握数据分析的基本方法，并应用于实际问题的解决。
学生特点：学生具备一定的统计学基础，具有较强的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调学生的主动参与和动手实践，培养其独立分析和解决问题的能力。
通过具体案例的引导，使学生能够将所学知识内化为实际操作技能，并在实践中培养科学态度和价值观。
教学过程中，关注学生的个别差异，提供个性化指导，确保每位学生都能达到预定的学习成果。
二、教学内容1. 引言：介绍方差分析的基本概念和在实际研究中的应用。
- 教材章节：第三章“方差分析”2. 单因素方差分析的理论基础：- 总体均值与样本均值的比较- 假设检验：原假设与备择假设的设定- 方差分析的基本原理3. 单因素方差分析的计算步骤：- 数据检查与预处理- 计算组内平均数与总平均数- 构建方差分析表：SS（离差平方和）、DF（自由度）、MS（均方）- 计算F值与p值- 结果解释4. 单因素方差分析在实际案例中的应用：- 选择合适案例进行分析- 数据收集与整理- 应用统计软件进行方差分析操作- 结果分析与讨论5. 教学进度安排：- 引言与理论基础：2课时- 计算步骤与案例解析：4课时- 统计软件操作与应用：2课时- 结果分析与讨论：2课时6. 教学内容补充：- 线性回归与方差分析的关系- 单因素方差分析的局限性与其他高级统计方法的介绍教学内容的选择和组织以确保学生能够系统地掌握单因素方差分析的理论和实际应用。
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i 1
j 1
i 1
i 1
a
r
2
a
ri• ( yij / ri• ) 2Ny ri• yi• / N Ny 2
i 1
j 1
i 1
a
Ti • 2
i 1
/ ri•
Ny 2
a
Ti • 2
i 1
/ ri•
T2 N
ar
a
Se ST SA
yij2 Ti•2 / ri•
5
i1 j1
i1
合成物产出量数据表
水平
次数
A1 A2 A3
1
2
3
4
74
69
73
67
79
81
75
78
82
85
80
79
试判断:在显著水平a=0.05下触煤用量对合成物产出量有无显著影响?
8
解: a=3 , r1=r2=r3=r=4, N=ar=12 (1) 方差齐性。由极差均值法：
R1=7 ，R2=6, R3=6
R R1 R2 R3 6.33 3
A
121.5833
Ve
Se
e
8.055556
FA
VA Ve
15.0931
10
(4) 判断.对a=0.05, 查F分布分位数表得:
F0.05( A, e ) F0.05(2,9) 4.26
而
FA
VA Ve
15.0931
所以 FA Fa (2,9).
推断因素A是显著的,即三种触煤用量水平对合成物产出量的影响 是有显著差异的
yij2 71156
i1 j1
a Ti2 71083.5
r i1 i•
T 2 70840 N
ST 315.6667
S A
a i 1
Ti • 2 ri•
T2
N
243.1667
Se ST SA 72.5
A a 1 3 1 2 e a(r 1) 3(4 1) 9
VA
SA
例3.1 的方差分析表
方差来源 平方和S 自由度
均方V F值
显著性
因素A 243.17
2
121.58 15.08
＊
误差e
72.5
9
8.06
总和
ST
11
11
(5) 多重比较T法检验
k=a=3， m=r=4 ，Ve=8.06
Ta qa (k, e )
Ve m
q0.05(3,9)
8.06 3.951.42 5.61 4
FA F ( , e ) 接受原假设,即因素各水平数据没有显著差异
即: 1 2 a
6
表3.2
单因素方差分析表
方差来源 平方和S 自由度
均方V F值
因素A
SA
误差e
Se
总和
ST
a-1 N-a
VA Ve
FA
N-1
显著性
7
三、实例分析
例3.1 某厂进行合成物反应试验,欲考察某种触媒用量对合成物产出量 的影响。现选取三种触煤用量A1 ,A2 ,A3.各做4次实验,实验数据如下:
( yij y)2
i1 j1
条件偏差 试验偏差
自由度
ar
SA
( yi• y)2
i1 j1
ar
Se
( yij yi• )2
i1 j1
T N 1 A a 1
T A e
e N a
3
二、平方和及自由度的分解
总偏差
ar
ST
( yij y)2
i1 j1
ar
T yij i1 j1
ar
( yij2 2 yyij y 2 )
i1 j1
ar
ar
yij2 2 y
yij Ny 2
i1 j1
i1 j1
ar
ar
yij2 2Ny
yij / N Ny2
i1 j1
i1 j1
ar
yij2 2Nyy Ny2
i1 j1
a r
yij2 Ny 2
i1 j1
a i 1
95% Confidence Interval for Mean
Lower Bound Upper Bound
65.4925
76.0075
74.2719
82.2281
77.2900
85.7100
73.4297
80.2370
Minimum 67.00 75.00 79.00 67.00
Maximum 74.00 81.00 85.00 85.00
查系数表，D3=0 ， D4 =2.282
D3R 0 D4R 2.282 6.33 14.45
经查任意的Ri (1≤i≤3 都满足
0 Ri 14.45
所以可认为三个总体的方差是均一的
9
(2) 建立原假设
H0 : 1 2 3
H1 : 1, 2, 3不全相等
(3) 计算统计量FA
a ri
第三章 单因素方差分析
1
一、数据描述
表3.1
次数 水平
A1 A2 …
单因素等重复实验的典型数据
1
2
…
j
…
r
y11
y12
…
y1j
…
y1r
y21
y22
…
y2j
…
y2r
…
…
…
…
…
…
Ai
yi1
yi2
…
yij
…
yir
…
…
…
…
…
…
…
Aa
ya1
ya2
…
yaj
…
yar
2
二、平方和及自由度的分解
总偏差
ar
ST
ST
a i 1
r j 1
yij 2
T2 N
S A
a i 1
Ti• 2 ri•
T2 N
Se
Hale Waihona Puke a i 1r j 1
yij 2
a i 1
Ti• 2 ri•
VA
SA
A
Ve
Se
e
FA
VA Ve
FA与临界值F（ a , e )比较
FA F ( , e ) 拒绝原假设,即因素各水平数据存在显著差异
Test of Homogeneity of Variances
产出 量
Levene
Stati sti c
df1
df2
Si g.
.696
r j 1
yij 2
T2 N
4
二、平方和及自由度的分解
总偏差
ar
SA
( yi• y)2
i1 j1 a
ri• ( yi•2 2 yi• y y 2 )
i 1
a
a
a
ri• yi•2 2 y ri• yi• y 2 ri•
i 1
i 1
i 1
a
r
2
a
a
ri• ( yij / ri• ) 2 y ri• yi• y 2 ri•
产出量
1.00 2.00 3.00 Total
Descriptiv es
N 4 4 4 12
Mean 70.7500 78.2500 81.5000 76.8333
Std. Deviation 3.30404 2.50000 2.64575 5.35696
Std. Error 1.65202 1.25000 1.32288 1.54642
T1.2
y1 y2
1 4
283 313
7.5 Ta
1 T1.3 y1 y3 4 283 326 10.8 Ta
T2.3
y2 y3
1 4
313 326
3.2 Ta
故由T法检验知，水平A1与水平A2水平A3之间存在显著差异，而 水平A2与水平A3之间并无显著差异。
12
13
例3.1 SPSS的输出结果