群的等价的定义及证明

群的等价的定义及证明

摘要：本文给出了群的几种等价定义，采用循环方式证明了它们的等价性，利用例题加深了对群的理解及应用。

关键词：群 集合 代数运算

一．引言

群是一个具有一种代数运算的代数系统，它有定义方法很多，比

如：在不同问题的讨论中为了方便人们采用乘法，除法等不同运算形式来定义群，而这些定义是彼此等价的，下面给出采用乘法运算形式的群的定义。

二．正文

1、定义

定义1.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足

Ⅰ,封闭性,,.G c G b a ∈∃∈∀使c

ab = Ⅱ.结合性c ab bc a G c b a )()(,,,=∈∀

Ⅲ.可解性G b a ∈∀,方程b ya b ax ==,在G 中有解

定义2群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ.

左单位元a ea G a G e =∈∀∈∃,,Ⅳ.左逆元e a a G a G a =∈∃∈∀--11,,

定义3群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ

右单位元G e ∈∃，a ae G a =∈∀,，Ⅳ.右逆元e aa G a G a =∈∃∈∀--11,,

定义4.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ

左单位元a ea G a G e =∈∀∈∃,,，Ⅳ右逆元e aa G a G a =∈∃∈∀--11,,，Ⅴ.右消去律G c b a ∈∀,,，若cb ab =则c a =

定义5.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ

右单位元a ae G a G e =∈∀∈∃,,，Ⅳ.左逆元e a a G a G a =∈∃∈∀--11,,，Ⅴ.左消去律G c b a ∈∀,,，若ac ab =则c b =

定义6.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ单位元a ea G a G e =∈∀∈∃,,，Ⅳ右逆元e aa G a G a =∈∃∈∀--11,,，Ⅴ右商不变性

b b a a G b a 11,,--=∈∀

定义7.群G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算且满足封闭性，结合性，Ⅲ单位

元a ae ea G a G e ==∈∀∈∃,,，Ⅳ.逆元e a a aa G a

G a ==∈∃∈∀---111,,

2.证明

定义1⇒定义 2 Ⅲ由定义1中的ⅣG 中有无a 使得e aa =-1所以11111)()())((-----===aa a ea aa e aa aa 但

e aa ea a a a a a aa aa ====------111111)(])[())((则e aa =-1取b a x 1-=，由ⅠG

b a ∈-1又b eb b aa b a a ===--)()(11所以b ax =的解。同理1-ba 是b ya =的解。

定义3⇒定义4ⅢG a ∈∀由ⅣG a G a ∈'∈∃-,1，使e a a e aa ='=--11,所以

1

11111111)()())(()(---------=='='='='==aa e a a a e a a aa a a a a a e a a a a 于是a ae a a a a aa ea ====--)()(11，e 是G 的左单位元。Ⅴ若e bb G b cb ab =∈∃=--11,,从

而c a bb c bb a b cb b ab ===----),()(,)()(1111右消去律成立。

定义4⇒定义5Ⅲe a ea a aa a a a ae G a ,)()(,11====∈∀--是G 的右单位元。

ⅣG a a G a ∈∃∈∀-,,1使

e

e e a a a e a a aa a a a a a e a a e a a e aa ⋅=='='='='=='=---------111111111)()())(()(,,由定义4的Ⅴ，得e a a =-1所以1-a 是a 的左逆元。Ⅴ.G c b a ∈∀,,若ac ab ∈则

c a a b a a )()(11--=即c b ec eb ==,左消去律成立

定义5⇒定义6Ⅲ，Ⅳ在定义5的条件下可证明，11--==aa e a a 即1

-a 是a 的右逆元a

ae ea ==即e 是G 的左单位元。Ⅴ.b

be aa b a ba b eb b a a ab a G b a ======∈∀----)()()()(,,1111即1111111)]([])[()()(-------=====bb b ab a b ab a a a ba b ab a 上式对G b a ∈∀,均成立，

因此有1111,----==aa a a bb b b 从而有11--=bb a a

定义6⇒定义7Ⅲe a ea a aa a a a ae G a ,)()(,11====∈∀--是G 中的单位元

Ⅳ.G a ∈∀有e aa =-1且e e a a 11--=所以

1111111111111111)()()()())(()()(----------------========aa a aa a ea ae a e e a a a a a aa aa aa aa e e a a ，即对G a G a ∈∃∈∀-1,有,11e aa a a ==--1-a 是a 的逆元

定义7⇒定义1显然成立

3.例题

例1.G 是全体整数的集合。G 对于普通假发来说做成一个群。

证明：Ⅰ.两个整数相加还是一个整数；

Ⅱ.c b a c b a ++=++)()(；

Ⅲ.b a ,是整数的时候，b a y b x a =+=+,有整数解。

例2.G 是所有不等于零的整数的集合。G 对于普通乘法来说不作成一个群。

证明：Ⅰ.整数乘整数还是整数；

Ⅱ.c ab bc a )()(=，但23=x 没有整数解；

Ⅲ.不能被满足。

但G 若是全体不等于零的有理数的集合，那么G 对于普通乘法来说作成一个群。

现在假定G 是一个群。我们证明G 有以下性质。

Ⅳ.G 里至少存在一个元e ,叫做G 的一个左单位元，能让a ea =对于G 的任何元a

都成立。

证明：由Ⅲ，对于一个固定的元b ，b yb =在G 里有解。

我们任意取一个解，叫它作e ：

b eb = )1(

我们说，对于G 的一个任意元a ，a ea =成立。

由Ⅲ，a bx =有解c ：

a bc = )2(

由)2(),1(，Ⅱ，a bc c eb bc e ea ====)()(这样，我们证明了e 的存在。证

完。

例3.全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a 逆元是a -。

证明：当n 是正整数时，我们已经规定多符号n

a 的意义，并且我们很容易算出