空间中的平行关系
空间里的平行关系
空间里的平行关系介绍在空间中，存在着许多平行关系。
平行关系是指两条直线在空间中不相交，并且它们在无限远处也不相交。
平行关系是几何学中的一个基本概念，它不仅是空间内直线之间的一种关系，还是平面内直线之间的一种关系。
平行线的性质平行线具有一些重要的性质，下面介绍其中的几个。
平行线的夹角在同一平面内，直线AB与直线CD平行，则:•直线AB与直线CD有相交点时，它们组成同向交角和异向交角。
同向交角相等，异向交角互补。
•直线AB与直线CD没有相交点时，它们组成平行线。
平行线的长度和位置关系在同一平面内，直线AB与直线CD平行，则它们之间的任意一对相交线段的长度比相等，即AB = PQ且CD = RS，则AP = QR，BP = PR，CQ = ST，DQ = TR。
平面图形中的平行线在平面图形中，如果两条直线平行，它们不会相交，我们也可以将它们用符号|| 表示。
空间图形中的平行线在三维空间中，如果两个平面平行，则这两个平面上的任意一对平行线互相平行。
此外，我们可以将两条空间直线的平行关系表示为它们的方向向量的比例相同，即两个向量的比例相等。
平行线的应用平行线在我们的日常生活中有着广泛的应用和影响。
地理学中的平行线黄道和赤道是两条天球上的特殊平行线。
黄道是太阳在一年中的运动轨迹，它在天球上呈现为一条看起来像个圆的曲线，不断地绕着天球移动。
赤道是天球上与黄道相交的大圆。
建筑学中的平行线在建筑设计中，平行线的概念起着非常关键的作用。
建筑师在设计建筑物的时候，需要考虑许多平行线的问题，如水平线、垂直线等，在建筑物的结构和形状上都起着非常重要的作用。
艺术中的平行线平行线在艺术创作中也有着非常广泛的应用。
在绘画中，平行线可以被用来描绘建筑物的构成和形状，而在设计中，平行线则可以被用来构建各种几何图形和图案。
结论平行线是几何学中的一个基本概念，它可以被用来描述空间中不同直线之间的关系。
平行线有着许多重要的性质和应用，它不仅仅是几何学中的一个概念，还被广泛应用于各个领域中。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。
平行线、平面和空间中的平行物体之间的关系在很多数学和物理问题中都有着重要的应用。
本文将对空间几何中的平行关系进行讨论和说明。
1. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
在空间几何中，平行线有以下重要性质：1.1 平行线之间的距离始终相等。
1.2 平行线的夹角始终相等。
1.3 平行线与平面之间的关系：平面内的一条直线与该平面内与之平行的另一条直线平行。
1.4 平行线与空间中的平行立体之间的关系：空间中的一条直线与该空间中与之平行的另一条直线平行。
2. 平面的平行关系在空间几何中，平面也可以存在平行关系。
平行平面是指永远不相交的两个平面。
平行平面的性质如下：2.1 平行平面之间的距离始终相等。
2.2 平行平面的夹角始终相等。
2.3 平行平面与平行线之间的关系：平行与同一个平面的两条直线将同时平行于该平面内的任一平行线。
2.4 平行平面与空间中的平行立体之间的关系：空间中的一个平面与该空间中与之平行的另一个平面平行。
3. 空间中的平行关系除了平行线和平行平面外，空间中的其他物体也可以存在平行关系。
例如，空间中的两个平行四边形、两个平行正方体等物体之间也可以存在平行关系。
3.1 平行四边形的特点：两对相对边分别平行且长度相等。
3.2 平行四边形的性质：对角线相交于它们的交点，并且对角线长度相等。
3.3 平行四边形与平行平面之间的关系：平行平面将同时平行于其内包含的平行四边形。
3.4 平行正方体的特点：六个面都是正方形，相邻面之间平行。
3.5 平行正方体的性质：相邻面之间的距离始终相等。
3.6 平行正方体与平行线之间的关系：平行线将同时平行于平行正方体的两个相邻面。
3.7 平行正方体与平行平面之间的关系：平行平面将同时平行于其中的两个相邻面。
4. 应用举例平行关系在实际问题中有广泛应用。
例如：4.1 建筑学中的平行关系应用：在设计建筑时，需要考虑平行线和平行平面的关系，以确保建筑结构的稳定性。
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理
理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理在空间几何中，平行和垂直关系是非常重要的概念。
理解这些关系及其相关定理对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。
本文将深入探讨空间几何中的平行和垂直关系及其相关定理，帮助读者更好地理解和应用。
一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交。
平行线和平行面之间的关系可通过以下两个定理来判断。
1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线之间也是平行的。
证明：设有两条平行线l和m，且直线n与l相交于点A，与m相交于点B。
若线段AB垂直于l，由垂直定理可知线段AB也垂直于m。
假设线段AB不平行于m，那么它必定与m相交于某一点C，这样线段AB将会与直线n有两个交点A和C，这与两条平行线的性质相悖。
因此，线段AB必定是与直线m平行的。
2. 平行面定理：如果两个平面都与另一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。
证明：设有两个平面α和β，且平面γ与α平行且与β相交。
假设平面γ不平行于β，则它们必定会相交于一条直线。
然而，根据平行面的定义，平面γ与平面α平行，故直线与平面α相交于一点A。
由于直线与平面β相交于一点B，这意味着直线将与两个平面α和β都有交点，与平行面的定义相矛盾。
因此，平面γ与β平行。
二、垂直关系在空间几何中，垂直关系是指两条直线或两个平面之间的相互垂直关系。
垂直关系可以通过以下定理来判断。
1. 垂直定理：如果两条直线相交并且相交的角为直角，则这两条直线是垂直的。
证明：设有两条直线l和m，相交于点O，并且∠AOB为直角。
若直线l和m不是垂直的，即它们不相交于直角，那么它们必然会以某个角度相交，假设∠AOB为θ。
那么根据三角形的性质，我们可以得到∠AOB的余角为180°-θ。
如果直线l和m不垂直，它们的余角将不相等，与∠AOB为直角的前提相矛盾。
因此，直线l和m是垂直的。
2. 垂直平面定理：如果一条直线与一个平面垂直，并且这条直线在这个平面上的一个点，那么这个直线在这个平面上的所有点都垂直于这个平面。
空间中的平行关系
α
①②④
5.空间四边形ABCD，若M、N分别为对角线BD、AC 的中点，AB＝CD＝2，MN＝ 2，则AB与CD所成 的角等于( 90 0)
A
N B M C D
类型一:直线与平面平行的判定 类型一 直线与平面平行的判定 例1:如图所示,已知P,Q是正方体 ABCD --- A1B1C1D1的面 A1 B1 BA 和面 ABCD 的中心. 证明:PQ ∥ BCB1C1
例3:如图，在正方体ABCD－A’B’C’D’中，M是A’B’的中 点，求异面直线AC与BM所成角的余弦值。
D A C B
D' A' M
N B'
C'
小结． 小结 线线平行、线面平行、面面平行的转化
• 两平面平行问题常常转化为直线与平面平行， 而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关 系相互转化的示意图．
类型二:面面平行的判定 类型二 面面平行的判定 例2:如右图所示，正三棱柱 ABC _ A1 B1C1 各棱长为4，E、F、 G、H分别是AB、AC、 A1C1 、A1 B1 的中点，求证：(1)平 面 A1 EF ∥平面BCGH.(2)求三棱锥 A1 __ AEF 的体积
、
类型三:异面直线所成的角 类型三 异面)BC∥l. • 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD. ⊄ ⊂ • 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD. • 又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝ ⊂ l.∴BC∥l.
• • • • • • • • •
(2)MN∥平面PAD. 证明：取CD的中点E，连结ME、NE. ∵M、N分别为AB、PC的中点， ∴ME∥AD，NE∥PD. 又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD， ∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD， 又ME∩NE＝E， ∴平面MNE∥平面PAD. 而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间中的平行关系方法总结
空间平行方法总结
平行关系：线线平行、线面平行、面面平行
线线平行：两直线平行必定共面，所以线线平行问题在空间中只是作为证明线面平行或者面面平行的工具使用，不会直接考查。
常见的线线平行有：（1）平行四边形对边平行；（2）三角形的中位线平行对应边；（3）两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行（面面平行的性质定理）；（4）垂直于同一平面的两直线平行；（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这条直线相交，那么这条直线和交线平行（线面平行的性质定理）；（6）平行的传递性；
线面平行：线面平行判定定理为，平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
所以线面平行的核心归结为证明线线平行。
面面平行：面面平行的判定定理为，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
既证明两平面平行只需证明两条相交线与一个平面平行即可，所以面面垂直归结为线线垂直。
总结：在空间平行关系中主要为:线线平行、线面平行、面面平行，考查题目主要类型为线面平行和面面平行，面面平行通过证明两组线面平行，线面平行通过证明线线平行，所以要熟练掌握线线平行的证明，也是空间中平行的核心内容。
空间中的平行关系
4. 常见判定方法 关系 直线与直线平行 1．线段成比例； 重点：三角形中位线 2．平行四边形对边； 3．平行公理； 4．垂直同一平面的两直线 5．线面平行的性质； 6．面面平行的性质 2；
定义法 其它： 反证法
直线与平面平行 1．线面平行的判定； 2．面面平行的性质 1； 其它：定义法
反证法
平面与平面平行 1．面面平行判定； 2．面面平行判定的推论； 3．平行同一平面的两平面 4．垂直同一直线的两平面 其它： 定义法
求证： D1O // 平面 A BC1 1
A1 D1 B1 C1
D
O A B
C
【练习】
1 1．如图：梯形 ABCD 中 AB // DC , AD CD AB ， 2 P 且 O 为 AB 中点.
求证： BC // 平面 POD
A
O
B
C
D
2．如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P－ABCD 中，
空间中的平行关系
【基础知识】 1. 直线与直线平行 平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 2. 直线与平面平行 直线与平面平行的判定定理：线线平行则线面平行。 直线与平面平行的性质定理：线面平行则线交平行。
3. 平面与平面平行 平面与平面平行的判定定理：线面平行则面面平行。 平面与平面平行的判定推论：线线平行则面面平行。 平面与平面平行的性质定理：性质1：面面平行则线面平行。 性质2：面面平行则交线平行。 性质3：平行平面分线段成比例。
求证：l // 平面ABCD.
l
P
D A B
C
例2. 例 1. 如图四边形 ABCD 是平行四边形， Q 为
PA 的中点. 求证： PC ∥平面 QBD
P Q A B D C
空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要的几何关系，指的是两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
平行关系在几何学和实际应用中都具有广泛的应用价值。
一、直线的平行关系在空间几何中，两条直线间的平行关系具有以下特点：1. 定义：两条直线平行意味着它们在同一平面上，且不会相交。
即使无限延长，其距离也始终保持相等。
2. 判定方法：有多种方法可以判定两条直线的平行关系，其中常用的方法包括：a. 利用角度：如果两条直线被一条横直线割，且交角为180度，则这两条直线平行。
b. 利用距离：通过测量两条直线上的任意两点之间的距离，如果这些距离都相等，则这两条直线平行。
c. 利用斜率：对于平面直角坐标系中的直线，如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
斜率可以通过直线上两个点的坐标来计算。
二、平面的平行关系空间几何中，两个平面间的平行关系具有以下特点：1. 定义：两个平面平行意味着它们没有交点，且两个平面的法向量方向相同或相反。
2. 判定方法：通常使用以下方法判断两个平面的平行关系：a. 利用两个平面上的法向量：如果两个平面的法向量方向相同或相反，则这两个平面平行。
b. 利用平面与直线的关系：若一条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行。
c. 利用距离：通过测量两个平面上的任意一对平行线的距离，如果这些距离都相等，则这两个平面平行。
三、平行关系的实际应用平行关系在实际生活和工程中有着广泛的应用。
以下是一些实例：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行关系用于确定建筑物的结构和平面。
例如，平行的墙面可以使建筑物的立面更加美观。
2. 道路规划：平行关系可应用于道路规划和设计中，以确保道路与建筑物等结构物保持相对平行。
3. 电路布线：在电路设计中，平行关系可以用于布线，以减少不必要的干扰和电磁辐射。
4. 制图和制图艺术：平行线和平行面在制图和制图艺术中经常出现，通过运用平行线和平行面的原则，可以制作出美观且准确的图纸。
空间里的平行关系
空间里的平行关系引言在几何学中，平行是一个十分重要的概念。
在数学中，平行指的是两条线、平面或者其他几何体在没有交点的情况下保持在固定的距离上。
平行关系是几何学中的基础概念之一，不仅在几何学中有重要应用，也广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍空间中的平行关系，并探讨相关的性质和应用。
一、平行线的定义在平面几何中，平行线定义为永不相交的两条线。
这意味着平行线上的任意两点都不会重合。
可以通过以下几个方式来判断两条线是否平行：•相邻内角相等法则：若两条线被横截线所切，而相邻的内角相等，则两条线是平行的。
•同位角相等法则：若两条直线被一横截线所分，同位角相等，则两条线是平行的。
•钝角异侧法则：若两条线被横截线所切，其中一条直线上的钝角和另一条直线上的锐角在同侧，则两条线是平行的。
二、平行平面的定义在空间几何中，平行平面定义为永不相交的两个平面。
类似于平行线的定义，我们可以通过以下的性质来判断两个平面是否平行：•法向量平行法则：若两个平面的法向量平行，则这两个平面是平行的。
•截线平行法则：若两个平面分别与一条直线相交并且相交线平行，则这两个平面是平行的。
三、平行关系的性质在平行关系中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决实际问题十分有用。
以下是一些平行关系的性质：1.平行关系具有传递性，即如果线段A平行于线段B，而线段B又平行于线段C，则可以推断出线段A平行于线段C。
2.平行关系具有对称性，即如果线段A平行于线段B，则线段B也平行于线段A。
3.平行关系具有自反性，即一条线段和自身平行。
4.平行线与平行平面的交线也是平行于这两个平面的。
四、平行关系的应用平行关系在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计中，在制定建筑结构时，平行关系可以用来确保墙壁、天花板等构件的平行性，从而使建筑结构更加稳定。
2.机械工程中，平行关系可以用来设计零件的装配关系，确保零件之间的平行关系，保证机械设备的正常运行。
空间中的平行关系
【答案】 B 【解析】 如图所示，联结BE,BD. 因 为 点 N 为 正 方 形 ABCD的 中 心 ， △ ECD为 正 三 角 形 ， 平 面 ECD 平 面 ABCD， M 是 线 段 ED的 中 点 ， 所 以 BM 平 面 BDE， EN BDE 平 面 ， 因 为 BM 是 △ BDE中 DE边 上 的 中 线 ， EN 是 △ BDE中 BD边 上 的 中 线 ， 直 线 BM ， EN 是 相 交 直 线 ，
BM=EN,且直线BM、EN 是相交直线
已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
AE CF 同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则AC⊥BD,故A、B正确. 【 解 析 】 如 图 ,由 得 AC//EF. ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n; EB FB 因为D点为AB的中点,
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 选项B,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项C,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项D,由AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方 形,D为线段AC的中点.求证:直线AB1∥平面BC1D.
专题训练
1.已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n;
③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n.
A.①③
B.③④
C.②④
D.③
【答案】D 【解析】 ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α,β相交; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n或l∥n或l,n异面; ③正确; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n或m∥n或m,n异面.
空间几何中的平面平行关系
空间几何中的平面平行关系在空间几何学中，平面平行关系是一个重要的概念。
当两个平面永远不相交，无论它们延伸到无穷远，都不会相交，我们就可以说这两个平面是平行的。
平面平行关系有一些性质和判定方法，本文将对这些内容进行详细讨论。
一、定义和性质1. 定义：如果两个平面不相交，则它们是平行的。
2. 性质：a. 平行的平面在任意方向上的截线是平行线。
b. 平面平行关系是对称关系，即如果平面A与平面B平行，则平面B与平面A也平行。
c. 平面平行关系是传递关系，即如果平面A与平面B平行，平面B与平面C平行，则平面A与平面C也平行。
二、平面平行的判定方法1. 通过两个平面的法向量判定：如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2. 通过平面上的一组向量判定：如果两个平面上的相同向量比值相等，则这两个平面平行。
3. 通过平面上的直线与另一平面的交点判定：如果一条直线与一个平面平行于另一个平面，则这两个平面平行。
三、平行平面的性质和相关定理1. 平行平面的截距：平行平面的任意两个截距之比相等。
2. 平行平面的夹角：平行平面之间的夹角等于它们的法向量夹角的余角。
3. 平行线与平面的垂直关系：如果一条直线平行于一个平面，那么该直线上的任意一条直线都与该平面垂直。
4. 平行平面的平行线：平行平面上的平行线在空间中保持平行关系。
根据上述性质和判定方法，我们可以在空间几何中确定两个平面之间的平行关系。
在实际生活中，平面平行关系有广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域都需要考虑平面平行关系。
理解和掌握平行关系的概念和判定方法对于解决实际问题非常重要。
总结：空间几何中的平面平行关系是一种重要的关系概念，具有一定的性质和判定方法。
理解和应用平面平行关系对于解决各种实际问题以及在相关领域中的应用具有重要意义。
通过本文的介绍，希望读者能够对平面平行关系有更深入的理解，并能够灵活应用于实际问题中。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。
它涉及到线与线、面与面之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的应用。
本文将会介绍空间几何中的平行关系的定义、性质以及应用，并且结合具体的例子来说明。
1. 平行关系的定义在空间几何中，如果两个线（又称为直线）不相交，并且在同一个平面上，那么它们被称为平行线。
类似地，如果两个平面之间没有相交的情况，那么它们被称为平行平面。
2. 平行关系的性质平行关系具有以下性质：- 平行线之间的距离相等：如果一条线与另一条线平行，并且在同一个平面上，那么这两条线之间的距离是相等的。
- 平行线的倾斜角度相等：如果两条线平行，并且这两条线与另外一条直线相交，那么与第一条线相交的角度与与第二条线相交的角度是相等的。
- 平行平面之间的距离相等：如果两个平面之间平行，并且这两个平面分别与另一平面相交，那么与第一个平面相交的直线到与第二个平面相交的直线的距离是相等的。
3. 平行关系的应用空间几何中的平行关系在实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍一些应用的例子：- 建筑设计中的平行关系：在建筑设计过程中，设计师需要确保墙壁、天花板等构件是平行的，以保证建筑结构的稳定和美观。
- 航空航天中的平行关系：在飞机、火箭等交通工具的设计中，需要考虑平行关系来确保机翼、尾翼等部件的平行安装，以提高飞行性能和稳定性。
- GPS定位中的平行关系：全球定位系统（GPS）利用卫星进行定位，而卫星之间的轨道需要保持平行关系，以确保精确的定位和导航。
通过以上例子可以看出，平行关系在各个领域都有着重要的应用。
它不仅关乎到结构的稳定性和性能，还对人类的生活和发展产生着重要的影响。
总结起来，空间几何中的平行关系是指在同一平面内两条线不相交，或者两个平面没有交点的情况。
平行关系具有距离相等和角度相等的性质，这些性质在建筑设计、航空航天、GPS定位等领域都有着广泛的应用。
通过对平行关系的研究和应用，人们能够更好地理解和利用空间中的几何关系，为各个领域的发展做出贡献。
空间中的平行关系
r uur |n ⋅ AB| 为平面的法向量,则 d ④向量法 :设n为平面的法向量 则： = 设 为平面的法向量 r n
(3)直线与平面的距离： 直线与平面的距离： 直线与平面的距离 前提是直线与平面平行， 前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距 离都相等，转化为求点到平面的距离。 离都相等，转化为求点到平面的距离。 (4)两平行平面之间的距离： 两平行平面之间的距离 转化为求点到平面的距离. 转化为求点到平面的距离
知识归纳
一、直线与直线的平行： 直线与直线的平行： 直线与平面的平行： 二、直线与平面的平行： 1.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置个公共点，记作 ⊂α； 有无数个公共点， ⊂α； 直线在平面内 有无数个公共点 记作a⊂α (2)直线与平面相交 ------有且只有一个公共点 记作 ∩α＝Ａ； 有且只有一个公共点,记作 直线与平面相交 有且只有一个公共点 记作a ＝Ａ； (3)直线与平面平行 ------没有公共点，记作 ∥α . 没有公共点， 直线与平面平行 没有公共点 记作a a⊄α ⇔ a∩α=A或a∥α ⊄α 或 2.直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定 (1)定义法：若a∩α＝φ ，则a∥α . 定义法： 定义法 (2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理 的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行． 平行， 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号表示:若 ⊄ ⊂α ⊂α,a 符号表示 若a⊄α,b⊂α ∥b,则a∥α . 则 (3)若α∥β，a⊂ β,则a ∥α . 若 ⊂ 则 (4)若b⊄ α, b⊥a,a ⊥ α,则b∥α . 若 ⊄ ⊥ 则
空间中的平行关系
集合符号与几何元素：点是元素，线与面是集合用集合的语言描述点、直线和平面的关系点A 在(不在)直线l 上点A 在(不在)平面α内直线l 在(不在)平面α内直线l 与直线m 交于点A直线l 与平面α交于点A平面α与平面β交于直线l平面的三个公理：公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理二：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
推论一：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行公理四：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等空间中两条直线的位置关系：相交、平行、异面空间中直线与平面的位置关系：⑴直线在平面内⑵直线与平面相交⑶直线与平面平行直线与平面平行的判定：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行空间中的平行关系：集合符号与空间元素、平面公理与推论、空间中的平行关系【例1】如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面。
【例2】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B。
空间两个平面的位置关系：⑴两个平面平行⑵两个平面相交两个平面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行【例3】平行于平面α的a，b是两异面直线，且分别在平面α两侧，A，B∈a，C，D∈b，若AC 与α交于点M，BD与α交于点N。
空间中的平行关系
例 如图，在正方体
ABCD——A1B1C1D1中，
O是底面ABCD对角线的交点.
求证：C1O//平面AD1B1.
例:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1 证：面AB1D1∥面BDC1 证明：
BD∥B1D1 BD 面BDC1 B 1D 1 面BDC1
D1
返回
C1
B1
D
C B 面AB1D1∥ 面BDC1
(在同一平面内)
异面直线 ——没有公共点
(不同在任一平面内)
平行直线 没有公共点 异面直线 有且只有一个公ห้องสมุดไป่ตู้点 ——相交直线
二. 直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内: 有无数个公共点.
(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点. (3)直线与平面平行:没有公共点. 记作 a∥α a α
α
a
a
变形2:若O为BD上的点 E 变形1:如图，在正方 F 体ABCD-A1B1C1D1中， A1 求证：OC1 ∥面EFG E,F,G分别为 A1D1,A1B1,A1A的中点,G 证明： 求证：面EFG∥面BDC1 D
由上知面EFG∥面 BDC1 OC1 面BDC1
D1
C1 返回 B1
O
C
A
B
OC1 ∥面EFG
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4 (平行公理)：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
一、空间两条直线的位置关系是:
相交, 平行, 异面
相交直线 ——有且只有一个公共点 共面直线 平行直线 ——没有公共点
空间中的平行关系
空间中的平行关系一、基本知识点（Ⅰ）直线与平面平行 1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a αØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A α= ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø．3. 直线与平面平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒ Ø．（Ⅱ）平面与平面平行1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α//βα⇒． 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒ 刎刎．4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。
利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。
空间中的平行关系
c d
性质定理：如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线平行。
α β
a
b γ
例4.如图，三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是PA， PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。
证明：在 PAB中，
因为 D,E分别是PA,PB的中点, 所以 DE//AB, 又知 DE 平面ABC, 因此 DE//平面ABC, 同理 EF//平面ABC, 又因为 DE EF=E, 所以 平面DEF//平面ABC.
所以 BG//AD,GE//CF.
AB DG DG DE 于是，得 BC GC , GC EF .
l
m D
B
A
G
E
AB DE . 所以 BC EF
C
F
简述为：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
的中点
求证:EF//平面BCD. 证明：如图,连接BD,在△ABD中, A F D C
因为 E,F分别为AB，AD的中点， E 所以 EF ∥BD, 又因为BD 平面BCD, B EF 平面BCD,
所以 EF ∥平面BCD。
规律总结
1.要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定 线线平行 线面平行 定理；
推论1如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，一组边的方向 相同，而另一组边的方向相反，又 如何？
γ
α
β
，互补 , 互补
如果两条相交直线和另两条相交直 线分别平行，它们成的角有何关系？
γ
α
推论 2 如果两条相交直线和另两条
相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角（或直角）相等.
将线面平行转化为线线平行
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E
B
G
D
F
H
C
【变式 1】三棱柱 ABC A1B1C1 中，过 A1C1 与点 B 的平面
交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 A1C1 的关系，并给出证明.
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD中， ABCD是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN // 平面 PAD.
【例 3】如图，已知 ABC A1B1C1 是正三棱柱，棱长均为 5 ， E 、 F 分别
是 AC 、 A1C1 的中点．
（1）求证：平面 AB1F ∥平面 BEC1 ； （2）求点 A 到平面 BEC1 的距离．
A1
F
C1
B1
A
E
C
B
【解析】（1）∵ 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 、 F 分别是 AC 、 A1C1 的中点． ∴ AE FC1 ， AE ∥ FC1 ， ∴ AEC1F 为平行四边形，∴ AF ∥ EC1 ， ∵ EF AA1 ， BB1 AA1 ,∴ EF BB1 ， ∴ EFB1B 为平行四边形，∴ BE ∥ B1F ， ∵ AF B1F F ， C1E BE E ， ∴ 平面 AB1F ∥平面 BEC1 ．
D A
E
D1
A1
C
P
B
F
C1
B1
D A
E
D1
A1
C
B
F P
C1
B1
3.如 图， S 是 平 行四边 形 ABCD 平 面外 一点， M , N 分 别是 SA, BD 上的点，且 AM = BN ， 求证： MN // 平面 SCD
SM ND
S
M
D
PN
A
C B
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形，
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
M
A
B
N
D C
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
即：线线平行 线面平行；
②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行，
即：面面平行 线面平行．
2．证明平面和平面平行的关键：在一个已知平面内“找出” 两条相交直线与另一平面平行．
2．已知 m、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，
有下列命题：
①若 m α，n∥α，则 m∥n；
②若 m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则 m∥α且 m∥β；
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B． 1
C．2
D． 3
题型一：线线平行问题
【例 1】如图所示，四面体 ABCD被一平面所截， 截面 EFGH 为平行四边形.求证： CD // GH .
D
M
G
F
又 BF 平面 ACGD ， AM 平面 ACGD ，
∴ BF //平面 ACGD ．
（2）∵平面 ABC //平面 DEFG ，即 F 到平面 ABC 的距离为 AD ，
∴ VA BCF
VF ABC
1 3
SABC
AD
1 (1 1 2) 2 32
2． 3
考点3 平面和平面平行问题
（2）设点 A 到平面 BEC1 间的距离为 h ，则
∵在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC ，
BE 平面 ABC ，∴ CC1 BE ，
∵ E 是 AC 的中点，∴ BE AC ，
∵ AC C1C C ，∴ BE 平面 ECC1 ，
EC1 平面 ECC1 ，∴ BE EC1 ．
【答案】D
【变式】（2012 四川高考）下列命题正确的是（ ） A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】B
2．（2012 西城二模 ）设 m ， n 是不同的直线， ， 是不同的平面， 且 m, n ． 则“ ∥ ”是“ m ∥ 且 n ∥ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
典例剖析
考点1 平行的基本问题
【例 1】已知直线 a ， b 与平面 ，下列命题正确的是（ ） A．若 a ∥ ， b ，则 a ∥ b B．若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b C．若 a ∥ b ， b ，则 a ∥ D．若 a ∥ b ， b ，则 a ∥ 或 a
V ∵ ABEC1
VC1 ABE
，
1 3
SBEC1
h
1 3
SABE
CC1 ，
∴
1 2
BE
EC1
h
1 2
BE
ห้องสมุดไป่ตู้AE
CC1
，
∴
h AE CC1
5 2
5 1，
EC1
5
2
∴点 A 到平面 BEC1 间的距离为1．
归纳反思
1．证明直线和平面平行主要有两种方法： ①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行，
A
C
B
D
G
E
F
【解析】（1）取 DG 的中点 M ，连接 AM , FM ，
∵ EF 1 DG ，∴ EF DM ， 2
∵ EF ∥ DG ，∴ EF ∥ DM ，
A
C
B
∴四边形 DEFM 是平行四边形，∴ DE // MF ，
又∵ DE // AB ，∴ AB // MF ．
E
∴四边形 ABFM 是平行四边形，即 BF ∥ AM ，
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
A B
D C
基础自测
1．（2012 湛江一模）对两条不相交的空间直线 a 和b ，则（ ） A．必定存在平面 ，使得 a ,b B．必定存在平面 ，使得 a ， b ∥ C．必定存在直线 c ，使得 a ∥ c ， b ∥ c D．必定存在直线 c ，使得 a ∥ c ， b c
【答案】C 【解析】选项 A．两直线可能平行，相交，异面．
选项 B．两平面平行或相交． 选项 D．这两个平面平行或相交．
考点2 直线和平面平行问题
【例 2】（2012 北京师大附中）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 底面 ABCD ，且 PA 2 ， E 是侧棱 PA 上的中点．
性质
a
a
/
/b
线的任一平面与此
定律
b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
性质
面同 时和第三个
/ /
a
考纲要求
1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理．
知识梳理
1．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面 直线a在平面α相 直线a在平面α平
α内
交
行
公共点 有无数个公 有且只有一个公
共点
共点
没有公共点
符号表示
a
aA
a//
图形表示
2.空间中平面与平面的位置关系
∴ PC // 平面 BDE ．
A
D
（2）∵ PA 平面 ABCD ，
B
∴VP ABCD
1 3 S正方形ABCD
PA
1 12 3
2
2， 3
O C
∴四棱锥 P ABCD 的体积为 2 ． 3
【变式】（2012 梅州一模）如图，在多面体 ABCDEFG 中，平面 ABC //平面 DEFG ， AD 平面 DEFG ， AB AC ， ED DG ， EF ∥ DG ，且 AC EF 1 ， AB AD DE DG 2 ． （1）求证： BF //平面 ACGD ； （2）求三棱锥 A BCF 的体积．
P
S
D A
M
P
N
C
D
B
A
M
N
C
S
B
题型三：面面平行问题
例 3. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M , N , P 分 别 为 CC1, B1C1, C1D1的中点.求证：平面 MNP // 平面 A1BD .
D1 A1
P
C1
N
B1 M
D A
C B
如图，在正四棱锥 P ABCD 中，PA AB a ,
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P