平行四边形专项训练1

第18章平行四边形专项训练
专训1.判定平行四边形的五种常用方法
名师点金：
判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．
利用两组对边分别平行判定平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．
(第1题) 利用两组对边分别相等判定平行四边形
2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
(第2题) 利用一组对边平行且相等判定平行四边形
3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF ∥BE.
求证：四边形ABCD为平行四边形．
(第3题)
利用两组对角分别相等判定平行四边形
4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
(第4题)
利用对角线互相平分判定平行四边形
5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
(第5题)
专训2.构造中位线的方法
名师点金：
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．
连接两点构造三角形的中位线
1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．
(第1题)
利用角平分线＋垂直构造中位线
2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
(第2题) 3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC 的中点，求DE的长．
(第3题) 倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
M为AF的中点，求证：ME＝1
2 CF
(第4题)
已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若AB ＝10，CD ＝8，求MN 长度的取值范围．
(第5题)
6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE ＝CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE ＝2MN.
(第6题)
已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N ，求证：AN ＝1
3
AC.
(第7题)
答案
专训1
1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 綊BF. ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∴BE ∥DF.
同理，AF ∥CE.∴四边形FMEN 为平行四边形． 2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形， ∴BA ＝BD ，BC ＝BE ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°. ∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ， ∴∠ABC ＝∠DBE. ∴△ABC ≌△DBE. ∴AF ＝AC ＝DE.
同理，可证△ABC ≌△FEC ， ∴AD ＝AB ＝EF.
∴四边形ADEF 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. ∵BE ∥DF ，∴∠BEF ＝∠DFE. ∴∠AEB ＝∠CFD. 在△AEB 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，
∠AEB ＝∠CFD ， ∴△AEB ≌△CFD ， ∴AB ＝CD.
又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．
4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在▱ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C. ∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝1
2∠ADC.∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF.
∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED.∴四边形BFDE 是平行四边形．
5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，OA ＝OC ， ∴∠EAO ＝∠FCO. 在△OAE 与△OCF 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，
∠AOE ＝∠COF ，
∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF. 同理OG ＝OH ，
∴四边形EGFH 是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有▱GBCH ，▱ABFE ，▱EFCD ，▱EGFH. 专训2
1．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM 綊12CD ，PN 綊12AE.∵△ABD
和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC.
∴△ABE ≌△DBC ， ∴AE ＝DC.∴PM ＝PN.
(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H.由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.
∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠FHG ＝120°.
易证四边形PFHG 为平行四边形， ∴∠MPN ＝120°.
(第1题)
2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.
(第2题)
在△AND 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠NAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，
∠ADN ＝∠ADB ＝90°， ∴△AND ≌△ABD(ASA )．
∴DN ＝DB ，AN ＝AB.
∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝1
2(AB ＋AC)＝15.
3．解：如图，延长BD 交AC 于点F ，
(第3题)
∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.
∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ， 又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF(ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD.
∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线． ∴DE ＝12CF ＝1
2
×4＝2.
4．证明：如图，延长FE 至N ，使EN ＝EF ，连接BN ，AN.易得ME ＝12AN.
∵EF ＝EN ，∠BEF ＝90°，∴BE 垂直平分FN.∴BF ＝BN. ∴∠BNF ＝∠BFN.∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°， ∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°，
∴∠FBN ＝90°，即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABN.在△BCF 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪
⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ，
∴△BCF ≌△BAN.
∴CF ＝AN.∴ME ＝12AN ＝1
2
CF.
(第4题)
(第5题)
5．解：如图，取BD 的中点P ，连接PM ，PN. ∵M 是AD 的中点，P 是BD 的中点， ∴PM 是△ABD 的中位线，
∴PM ＝1
2AB ＝5.
同理可得PN ＝1
2CD ＝4.
在△PMN 中，
∵PM －PN<MN<PM ＋PN ， ∴1<MN<9.
6．证明：如图，取AB 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH ＝12BF ，NH ＝1
2AE.
∵CE ＝CF ，CA ＝CB ，∴AE ＝BF. ∴MH ＝NH.
∵点M ，H ，N 分别为AF ，AB ，BE 的中点， ∴MH ∥BF ，NH ∥AE.
∴∠AHM ＝∠ABC ，∠BHN ＝∠BAC.
∴∠MHN ＝180°－(∠AHM ＋∠BHN)＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)＝90°. ∴NH ＝
2
2
MN. ∴AE ＝2NH ＝2×
2
2
MN ＝2MN. (第6题)
(第7题)
7．证明：如图，取NC 的中点H ，连接DH ，过点H 作HE ∥AD ，交BN 的延长线于E.
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴D 为BC 的中点． 又∵H 为NC 的中点， ∴DH ∥BN.
又∵PD ∥EH ，∴四边形PDHE 是平行四边形． ∴HE ＝PD.又∵P 为AD 的中点， ∴AP ＝PD. ∴AP ＝EH ，
易证△APN ≌△HEN ，∴AN ＝NH. ∴AN ＝NH ＝HC ，∴AN ＝1
3
AC.。