数列求和之累加累乘-课件ppt
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A版必修5数列求和PPT课件
2n 1 2n 1
Hale Waihona Puke 1 (1 1 ) 2 2n 1
∵ (an an 1) 0
∴ (an an 1 2) 0
∴ an 2n 1
（2）当n=1时， a1 S1 1 (a1 1)2 4
得 a1=1
bn
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
Tn 1 (1 1 1 1 ... 1 1 )
2 335
Sn=
a1(1 qn) 1 q
尝试应用
1、有限数列A={a1,a2,a3…an}，Sn为其前 n项和，定义 S1 S2 ... Sn 为A的
n
“凯森和”，如有500项的数列，a1， a2…a500的“凯森和”为2004，则有501项 的 A数—列2020，2 a1，Ba22…00a4500的“C凯森20和06”为—D—2008
n(n 1)a
3、求和
Sn 1 3x 5 x2 7 x3 ... (2n 1) xn1, (x 0)
（1）x=1时，Sn=n2 （2）x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
a [n (q q2 ... qn)]
1 q
a [n q(1 qn) ]
1 q
1 q
na aq(1 qn) 1q 1q
反馈练习2答案
（1）当n≥2时， an Sn Sn 1 1 [(an 1)2 (an 1 1)2] 4
高中数学人教A版必修5数列数列求和(二)PPT课件
解得
，
或
，
舍 解得 ，即数列 的通项公式
；
，
数列 的前 n 项和
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
．Hale Waihona Puke 高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
练习：已知数列 的前 n 项和 Ⅰ 求 的通项公式；
．
Ⅱ记
，求数列 的前 n 项和．
解： Ⅰ 数列 的前 n 项和
通项是什么？
＝2(1－n＋1 1)＝n2＋n1.
高中数学人教A版必修5数列数列求和 （二）P PT课件
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
练习：在各项均为正数的等比数列
中，
求等比数列 的通项公式；
，且 ，
成等差数列．
若数列 满足
，求数列 的前 n 项和 ．
解： 设数列列
的公比为 q，
，可得
；
时，
上式对
也成立，则
，
Ⅱ
则数列 的前 n 项和为
．
高中数学 人教A版 必修5 数列数 列求和 （二）P PT课件
，
；
高中数学人教A版必修5数列数列求和 （二）P PT课件
裂项相消法求和法（拆项法）：
适用于分式的形式把一项拆成两个分式差的形式,然后再求和.
也就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的 抵消项，进而达到求和的目的。
归纳小结
(1)公式法.
(2)分组化归法.将该数列的通项变形后，每一项拆成两项或多项，重新分组，将一般数列
求和化为特殊数列求和.
(3)并项求和法.(4)错位相减法.(5)倒序相加法.
数列通项公式的求法——累加累乘
数列通项公式的求法之累加累乘概述：一般地，数列的通项公式需要根据递推关系确定，将递推关系式变形转化为等差数列或等比数列，但有时数列的递推关系还需要进一步探索出来。
1、递推公式满足：a n d = an g n型或a n j f (n) ( n_2)型思路：利用累加法，将a n-a n」=g( n-1)，a n」. - a n/=g( n-2)，，a2-a!=g(1)，各式相加，正负抵消，得a.，即a n - a i ' (a2 一印)(a3 - a2)…(a n - a n」)；n n用求和符号可以表示为：an=a^v (a -@_1)= ai八f(i)(n—2)0i =2 i=2例1:在数列ta n冲，a1= 0且a n彳=a n■ 2n -1，求数列、a n匚的通项公式。
■ 1例2:在数列”Gn :中，a1 = 3，a n d= a n - ，求数列：aj的通项公式n(n +1)例3:已知数列①:满足a n^a n 2 3n1，a^3，求数列①？的通项公式。
补充练习：1、已知数列ta n｝满足a1=1, a n Hr = a n+ n ( n亡N+)，则数列ia n｝的通项公式为 ____________ 02、已知数列◎ ｝满足內=1, a n+ = an+3n)(n ^N+),则数列l a j的通项公式为 _________ 03、已知数列£n ｝满足印=丄，a^=an+ —1 -------------------------- ( n EN+)，则数列^a j的通2 n2+3n + 2项公式为an 二 ________________________________________________________ 。
4、已知数列「aj 满足a n ^a n 8(工卫 2 , a —8，贝擞列 玄沖勺通项公式(2n +1)2(2 n+3)29 为 a n = _______________________________________________________________ 。
第6章 第4节 数列求和 课件(共76张PPT)
1234
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项
和为( )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
1234
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
当n≥2时，b1＋b22＋b33＋…＋nb－n－11＝an，②
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
①－②得：bnn＝an＋1－an＝2，
所以bn＝2n.
所以bn＝62n
n＝1 n≥2
.
(2)当n＝1时，S1＝a11b1＝4×1 6＝214.
第四节 数列求和
(1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝bb32＝93＝3， 所以b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n∈N*)．
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
3．Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于(
)
2n－n－1 A. 2n
B．2n＋1－2nn－2
2n－n＋1 C. 2n
数列求和求积累加累乘递推法
例10
#include "stdio.h" void main() { int n, i; double a, x, y; printf("Input x,n:"); scanf("%lf%d", &x, &n); printf("Input a0, a1,…,a%d\n", n); y=0; for( i=0; i<n; i++ ) { scanf("%lf", &a); y=y*x+a; } printf("y=%.2f\n", y); }
数列求和／求积
----- 累加／累乘／递推法 累加／累乘／
基本累加/累乘问题
s = 1 + 2 + 3 + ... + n = p = 1 × 2 × 3 × ... × n =
n
∑i
i =1 n
∏i
i =1
•
•
累加法：求和变量初值一般为0，每循环一次， 求和变量自加一个数据，这样循环结束后，求 和变量的值即为这些数据的和。 累乘法：累乘变量初值一般为1，每循环一次， 累乘变量自乘一个数据，这样当循环结束的时 候，累乘变量的值即为这些数据连乘的积。
例11: 求下列级数的近似值, x 的值由键盘输入， 约定求和精度为10-5
x3 x5 x7 s( x ) = x − + − + ... 3 * 1! 5 * 2! 7 * 3!
#include "stdio.h" #include "math.h" void main() { float s, m, x, f, f1, f2; int i, j; scanf("%f", &x); s=0; i=0; j=1; f=x; f1=1; f2=1; m=j*f/(f1*f2);
《数列累加累乘》课件
金融领域
01
02
03
金融分析
在金融分析中，数列累加 累乘用于计算股票价格、 收益率和风险等金融指标 。
保险
在保险中，数列累加累乘 用于计算风险概率和保险 费等统计量。
投资组合优化
在投资组合优化中，数列 累加累乘用于计算投资组 合的收益和风险等统计量 。
03
数列累加累乘的数学模型
等差数列的累加累乘模型
性质
数列累加累乘具有可交换性、结合性和有界性等性质， 这些性质在计算过程中具有重要的作用。
计算方法
01 逐项计算
将数列中的每个元素分别进行加法或乘法运算， 得到新的数列或数值。
02 公式法
对于一些特殊的数列，可以使用公式进行累加累 乘的计算，简化计算过程。
03 计算机编程
使用计算机编程语言，如Python、Matlab等， 可以快速、准确地计算大规模数列的累加累乘。
总结词
等差数列的累加累乘模型适用于等差数列， 通过公式可以快速计算出数列的和和积。
详细描述
等差数列是一种常见的数列，其特点是每两 个连续的项之间的差是常数。对于等差数列 ，可以使用等差数列求和公式和等差数列求 积公式来计算数列的和和积。求和公式为： S = n/2 * (a1 + an)，其中n是项数，a1是
06
数列累加累乘的案例分析
数学问题解决
数学问题解决
数列累加累乘在数学问题中有着广泛的应用，如求和、求积等。通过数列累加累乘的方法，可 以快速准确地计算出结果，提高解题效率。
数学归纳法
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，而数列累加累乘则是其中的关键步骤之一。通过数列 累加累乘，可以推导出数学归纳法的结论，从而证明数学命题的正确性。
数列累加累乘PPT课件
1 n 1
得
a2 a1 1 2
a3
a2
1 2
1 3
......
......
11
an1 an2 n 2 n 1
n1
11
an an1
累加得
n
an
1
a1
n
1
1 n
数列的通项公式是
第14页/共24页
an
2n 1 n
14
错位相减法
数 的
列 通
项a公n 满式足。
a1 1, an1 an ，n 2求n 数列
31
2
15. . 16 31
自我小结：
一个等差数列 的前n项和Sn，在 什么时候 有最大 值？ 什么时候有
由Sn
d 2
n2
(a1
d )n可知 2
当d<0时，Sn有最大值；
最小值？
当d>0时,Sn有最小值.
22
第22页/共24页
23
四、一般数列求和法
①倒序相加法求和，如an=3n+1
②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n
3、
4、
等差数列求和公式：
等比数列定义： an1
Sn
q
(a1
an )n 2
na1
(n
1)n 2
d
an
5、 等比数列通项： an a1qn-1
6、
等比数列求和公式：
Sn
a1
na1,当q 1时 (1 qn ) ,当q 1时 11
第1页/共24页
设数列an前 n 项的和 sn n2 n
数列的通项公式是an 2n 1
12
第12页/共24页
数列通项公式的求法第2课时-累加法累乘法ppt课件
.
四、总结并区分（灵丹妙药）
1、累加法的适用条件：已 a 1 且 知 a n-a n -1f(n )( 2 n) 2、累乘法的适用条件：已知 a1且aann-1 f(n)(n2) 3、倒数法的适用条件：已a知 1且 anpanan-1-11(n2)
.
五、过关斩将
1、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1.anan-1n n -1 1(n2)求其通项公
.
三、倒数法
1、倒数法适用题型：已a知 1且 anpanan-1-11(n2) 分式的形式
2、例题: 已知{a 数 n}满 列 a足 n3aa n-n1-11(n2)a ,11,求其通项公
解：将原式两边同时取倒数得：
1 1 (n -1) 3 3n - 2
1 3an-113 1
an
an
an-1
2、已知 {an}数 满列 a足 11,an1a2nan2,求其通项公式。 3、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1,anan-12（ n n2） ,求其通项
4、设{an数 }的列 n项 前和 sn,a1为 1｛ , snnna}为常数列， 求其通项公式。
.
五、过关斩将答案
1、 ann22n（提示：本 法题 的在 时用 候累 ， 算 乘 等 结式 果右 是边 保 前两项的分 项子 的与 分最 母后 ）两
有问题随时欢迎大家提问
.
.
.
.
2、an
2（提示：倒数同法时，取两倒边数） n1
3、 an2n1-（ 3 提示：累 右加 边法 是， 一等 个 前 n-1式 等 项比 的
4、 ann21n （提示：先 和 a1根 求{据 s出 nn常 na}的 数 通 列 项公 然后利 sn求 a用 n,最 由 后用累 . 乘法求得）
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
《数列的累加法》课件
例如，对于等差数列，可以使用求和公式$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
对于等比数列，可以使用求和公式$S_n = a_1 frac{1 - r^n}{1 - r}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比，$n$是项数。
总结词
等差数列的累加法是数列累加法的基本形式，通过逐项相加，可以求得数列的和。
详细描述
等差数列是一种常见的数列类型，其相邻两项之间的差是一个常数。对于等差数列，我们可以使用累加法来求和。具体来说，将数列的前n项依次相加，得到一个新的数列，这个数列的前n项和即为原数列的和。
等比数列的累加法适用于等比数列，通过逐项相加并适当调整项数和比例，可以求得数列的和。
迭代法是通过不断重复计算数列的每一项，并将每一项加到前一项上，直到最后一项为止。这种方法适用于没有公式的数列，或者公式较为复杂的情况。
例如，对于斐波那契数列，可以使用迭代法计算前$n$项和：$S_n = F_1 + F_2 + cdots + F_n$，其中$F_1 = 1, F_2 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。
在投资和储蓄中，等比数列被用来计算复利。这意味着本金和利息都会产生利息，这通常会导致资金随时间增加的速度更快。
股票价格的变化通常遵循某种模式，其中等比数列的概念被用来描述股票价格的波动。
股票价格波动
复利计算
这是一个经典的递归数列，它在计算机科学中被广泛应用。例如，在计算阶乘或排列组合时，斐波那契数列的概念被用来优化算法。
性质
03
解决实际生活问题
累加法在解决实际生活问题中也有广泛应用，如计算商品折扣、计算工资税等。
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
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21
Sn
a1
1 qn 1 q
an 2n 1
1.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n 1，求数列an的通项公式；
2.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n，求数列an的通项公式；
3.在数列an中，有a1
1,
an1 2n
an 2n
1，求数列an 的通项公式；
写成an1-an =f n 形式, f 1，f 2，L f n为可求和数列
3n，求数列an的通项公式；
累乘法练习3
a 3.在数列an中，有a1
2,
an1 an
3n，求数列an的通项公式；
a1
2, an1 an
3n
1 3 a
a2 a3 L an1 an 31 32 L 3n2 3n1
a1 a2
an2 an1
am an amn
an a1
31n13n2 2LL
数列通项公式 递推公式专题一
The general term formula of fibonacci number Fibonacci.
通数项列公式
a1, a2 , a3, a4 ,L , an1, an ,L
f n
an1 an d an1 q an
累加 an a1 n 1 d
累乘
an a1qn1
an an1 n 1
an1 an2 n 2
例1：数列an中，an1 an n, a1 1, 求数列an的通项公式；
M
a3 a2 2, a2 a1 1
an an1 an1 an2 L a3 a2 a2 a1
n 1 n 2 L 2 1
an a1 n 1
a2 a1 f 1
1 累加法
a3 a2 f 2
M
写成an1-an =f n形式,f 1，f 2，L f n为an可1 求a和n2数列f n 2
an an1 an1 an2 L a3 a2 a2 ana1 an1 f n 1
=f n 1 +f n 2 +L +f 2 +f 1
累加法练习2
2.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n，求数列an的通项公式；
a1 1, an1 an 2n an1 an 2n
a a 1
2
an an1 an1 an2 L a3 a2 a2 a1
2n1 2n2 L 22
an a1
2 1 2n1 1 2
nn 1
2
n 2 L 2 1
n n 1 n2 n
an
2
1 1 22
1.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n 1，求数列an的通项公式；
累加法练习1
1.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n 1，求数列an的通项公式；
a1 1, an1 an 2n 1
1 2
,
an1 =
n
n
2
an，
求数列an的通项公式；
求数列的通项
1.在数列an中，有a1 1, an1=2an 1； 1求证an +1是个等比数列； 2 求数列an 的通项公式.
2.在数列an中，有a1 1, an1=7an 24； 求数列an的通项公式.
a a 2 1
an1 an 2n 1
1
an an1 an1 an2 L a3 a2 a2 a1 2n 3 2n 5 L 3 1
an a1 2n 3 1 n 1
2
an n 12 1 n2 2n 2
1.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n 1，求数列an的通项公式； 2.在数列an中，有a1 1, an1 an 2n，求数列an的通项公式；
2 累乘法
写成 an1 =f n形式,f 1，f 2，L f n为可求和数列
an
a2 a3 L an1 an f 1 f 2L f n 2 f n 1
a1 a2
an2 an1
求数列的通项
1.在数列an中，有a1 1, an1=
1 n 1
n an，
求数列an的通项公式；
2.在数列an中，有a1
23n12
3n1
n ( n 1)
an 2 3 2
1.在数列an中，有a1
2,
an1 an
3，求数列an的通项公式；
2.在数列an中，有a1
2,
an1 an
n
n
1，求数列an
的通项公式；
3.在数列an中，有a1源自2,an1 an3n，求数列an的通项公式；
写成 an1 =f n 形式，
an
f 1，f 2，L f n为可求积数列
a1 a2
an2 aan11
1.在数列an中，有a1
2,
an1 an
3，求数列an的通项公式；
2.在数列an中，有a1
2,
an1 an
n
n
1，求数列an
的通项公式；
累乘法练习2
2.在数列an
中，有a1
2,
an1 an
n n
a1
2,
an1 an
n 1 n
1，求数列an的通项公式；
a 1
1
a
a2 a3 L an1 an 11 2 1 L n 2 1 n 11
a1 a2
an2 an1 1
2
n 2 n 1
an 2n 3 L n 1 n
a1 1 2
n 2 n 1
an 2n
1.在数列an中，有a1
2,
an1 an
3，求数列an的通项公式；
2.在数列an中，有a1
2,
an1 an
n
n
1，求数列an
的通项公式；
3.在数列an中，有a1
2,
an1 an
a2 a1 d
a3 a2 d
an an1 an1 an2
L
a4 a3 d a3 a2 a2 Ma1 =
nn11d项
an1 aann2aa1d1 n 1 d
例1：数列an中有an1 an n,aan1 1a,n1 d
an an求1 数 列an1ana的n2通 项L公式a；3 a2 a2 a1 = n 1 d
an1 an d an1 q an
累加 an a1 n 1 d
an a1qn1
an1 q an
a2 a1
a3 a2
L
an1 an an2 an1
q1 4q4L2 4 q43q
n1项
an a1qn1 an qn1 a1
an1 f n
an
a2 a3 L an1 aann f 1 f 2L f n 2 f n 1