变量间的相关关系、统计案例教案(绝对经典)

§11.3 变量间的相关关系与独立性检验

⎪⎪

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⎨⎧⎩⎨

⎧、不相关、非线性相关、线性相关、不确定的相关关系、确定的函数关系两个变量的关系32121 1．相关性

(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．从

散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．

(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线

叫回归直线．

若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．

如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． (4)相关系数

①r ＝

∑n

i ＝1 (x i －x )(y i －y )

∑n

i ＝1

(x i －x

)2∑n

i ＝1

(y i －y )2

或()()

12

2

1

1

n

i i i n n

i i i i x y

nx y

r x x y y ===-=--∑∑∑；

②当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．

r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当r 的绝对值>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。 2．线性回归方程 (1)最小二乘法

如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来

刻画这些点与直线ˆˆˆy

bx a =+的接近程度，使得上式达到最小值的直线ˆˆˆy bx a =+就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法（使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法）． (2)回归方程

方程ˆˆˆy

bx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中，是待定参数．

1

2

1

()()ˆ()n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--=-∑∑

[]

1

1

2

2

222

12()()()()...()()()()...()n

n

n

x x y y x x y y x x y

y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦

或者1

22

1

ˆn

i i

i n

i

i x y

nx y

b

x

nx ==-=-∑∑

[]11222

222

1

2

...,

...n n n

x y x y x y nx y x x x nx

++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦

ˆˆa

y bx =- 线性回归方程过样本点的中心（，）

3、回归分析

(1)y ＝bx ＋a ＋e 中，a 、b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差．

(2)随机误差e 的估计值e ˆ（a x b y y y e i

i i i i ˆˆˆˆ--=-=）叫做相对于点（x i ，y i ）的残差。 残差平方和越大，则拟合效果越好，否则反之。 (3)相关指数

用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝∑∑==---

n i i

n

i i i

y y

y

y

1

2

1

2)()ˆ(1 ，R 2的值越大，说明残

差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R 2

越接近于1，表示回归效果越好． 4．独立性检验

设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2；变量B ：B 1，B 2；其2×2列联表：

B

A

B 1 B 2 总计 A 1 a b a ＋b A 2

c

d

c ＋

d 总计 a ＋c b ＋d

n ＝a ＋b ＋c ＋d

构造一个随机变量K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

.

利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 通常当K 2<2.706时,认为没有充分依据显示两个变量有关，但也不能显示无关。 参考数据：

1．已知x 、y 的取值如下表：

x 0 1 3 4 y

2.2

4.3

4.8

6.7

从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________.

答案 2.6 解析 因为回归直线必过样本点的中心(x ，y )， 又x ＝2，y ＝4.5，代入y ＝0.95x ＋a ，得a ＝2.6.

2．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ＝0.254x ＋0.321.由线性回归方程可知，家庭

P (K 2

≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.455

0.708 1.323 2.072

2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828