指数的运算与指数函数
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指数的运算与指数函数
4.1指数的运算
【知识梳理】
1. 整数指数幂
1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。 在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。 2）整数指数幂的运算法则：
（1）n m a a = （2）=n m a )(
（3）=n m
a
a （4）=m a
b )(
3)此外，我们作如下规定：
零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1
+-∈≠=
N n a a a n
n
； 2. 根式：
1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。 注：
①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；
②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为
n
a ；
③0的任何次方根都是0，记作
00=n
。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。 当n
a 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
注：
当n 是奇数时，a a n
n =；
当n 是偶数时，
⎩⎨
⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n
n ；
3. 有理指数幂
1）我们进行如下规定： n n
a a
=1 （0>a ）
那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。 此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。 3)有理指数幂的运算性质：
（1）r a ·s
r r a
a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(
),,0(Q s r a ∈>；
（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：
（1）223223-++ （2）347246625-+--+
【例2】.计算下列各式的值： （1）()[
]
75
.03
4303
116
2)8
7
(064.0---+-+-- （2）()(
)(
)0
1
213
2232510002.0833-
+--+⎪
⎭
⎫
⎝⎛---
-
【例3】.化简下列各式：
（1）
()0,03
3
2
>>b a b a a
b b
a （2）2
1
2
121211
111a a a a a ++----
--
【过关练习】
1.求值：（1）335252-++ （2）
3
33
23323
13421248a a b a ab b b
a a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-
2.化简：（1）
1
1
11
13
13
13
13
13
2
---
+++
++-x x
x x x x x x
（2）()()
1
4214214433332
)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a
3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.
())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(43
43
3
43
162
2
1
>=>=<=>-=--
a a a a x x
x
y y y x x x
题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3
1
93=
⋅b
a
，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a
（2）若,12
3
-=++x x x 则28
27211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.
【例2】（1）已知,32
,21==
y x 求
y
x y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462
=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求b
a b
a +-的值.
【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x x
x
a --+=+
2.已知32
12
1
=+-a a ，求
2
12
1232
3-
---a
a a a 的值.
3. 已知122+=x
a ，求x
x x
x a
a a a --++33的值