一线三等角相似模型

一线三等角相似

一．一线三直角

1.如图，住平面直角系中，直线AB ：()4

40y x a a

=

+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥

x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC

⊥时

(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；

(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13

16

y x b =-

+，求tan BAC ∠的值．

2.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．

（1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；

（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．

E P

D

C

B

A

3.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E，

(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.

解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°

∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D

又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，

又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，

∴△ABP∽△DPE

∴，即

∴

(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得

∵，∵均符合题意，故AP=1或4.

4.（2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF ⊥AP，垂足分别是点E、F．

（1）求证：EF=AE-BE；

（2）联结BF，如果，求证：EF=EP．

【思路分析】（1）证∴△BEA与△AFD全等即可（2）运用相似得比例，从而得到△BFP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得．

【解答过程】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠DAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，

在△BEA与△AFD中，，∴△BEA≌△AFD，∴BE=AF，

∴EF=AE-AF=AE-BE

(2) 在△AFD与△PEB中

∵∠DAF=∠BPE, ∠BEP=∠DFA=90°，∴△AFD∽△PEB，∴

∵且AF=BE，∴即

∵，∴BF=PB

在等腰三角形BFP中，∵BE⊥FP，∴EF=EP

二．等腰三角形中底边上一线三等角

1.已知在等腰∆ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B, （1）求证：

DF

DE

CD BE =

（2）求证：∆BDE ∽∆DFE

2.已∆ABC是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，∠EOF=45°

（1）求证：∆AOE∽∆BFO

（2）若AB=4,求AE•BF

如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEF B

∠=∠，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

B

C (备用图)

3.已知：∆ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 在边AC 上，且∠ADE=∠B （1）如图1，若AB=AC ，求证：AC BD

CD CE =

（2）如图2，若AD=AE ，求证：AE

BD

CD CE =

如图，在菱形ABCD 中，∠D=60°,E 为AB 的中点、 (1)如图1,连接EC,求证：EC ⊥CD;

(2)如图2,连接ED,作∠BED 的角平分线交BC 于点F,求

CF

BF

的值。

二.等腰梯形中的一线三等角

1.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=BC=6,AD=3..点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.

(1)求证：∆MEF~∆BEM;

(2)若∆BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

(3)若EF⊥CD,求BE的长.

2.已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD

(1)如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.

①求证：△ABP∽DPC

②求AP的长.

(2)如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合）,

且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE=1时，写出AP的长（不必写出解题过程）.