锐角三角函数及其应用

A. 12 13
B. 5 12
C. 13 17
D. 12 5
3、如图，在 RtABC 中， B 90,C 30, AB 2 ，则 AC ____, BC _____ .
4 、 如 图 ， 在 ABC 中 ， B 30,C 45 ， 点 A 到 BC 的 距 离 为
2，则
AC ______, AB _____, BC _____ .
类型二：当已知 BC 长时，设公共直角边 AD x ，
利用上面的等量关系，列出方程：
x tan
x tan
BC
.
注：1、当已知角中有 30 和 45 或 45 和 60 这两组
角时，通常过第三个角的顶点作三角形的高，分割成
上述模型求解.
2.当已知 和 角的三角函数值时，通常过第三个角
的顶点作三角形的高，分割成上述模型求解.
cos15 sin 75 6 2 4
tan15 2 3, tan 75 2 3
典型应用：（2017 年·15·3 分）
一 副 三 角 板 按 如 图 方 式 摆 放 ， 得 到 ABD 和 BCD ， 其 中 ADB BCD 90 ，
A 60 , CBD 45 , E 为 AB 的中点，过点 E 作 EF CD 于点 F .若 AD 4cm ，则 EF 的长为
坐热气球从 C 地出发，垂直上升100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30 ，则 B, C 两地之间的距离为（ ）
A.100 3 m B.50 2 m
C.50 3 m
D.100 3 m 3
2、（2017.14.3 分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB ，其中一名
小组成员站在距离树 10 米的点 E 处，测的树顶 A 的仰角为 54 ，已知测角仪的架
锐角三角函数及其应用
知识点 1：锐角三角函数的定义
①如图，在 RtABC 中， C 90,A,B,C 的对边分别为 a,b, c ，则有： A 的正弦： sin A ____ ； A 的余弦： cos A ____ ； A 的正切： tan A ____ ；
②特殊角的三角函数值
30
sin
1
练习：1、如图，在 RtABC 中， C 90, AB 13, BC 12 ，则下列三角函数表示正确的是（ ）.
A. sin A 12 13
B. cos A 12 13
C. tan A 5 12
D. tan B 12 5
2、在 RtABC,C 90,sin A 5 ，则 tan B 的值为（ ） 13
3、如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为
格点，已知菱形的一个角（ O ）为 60, A, B, C 都在格点上，则 tan ABC
的值是___________.
补充：通过构造合适的图形，求15 和 75 的三角函数值（如下表所示）
角度
图形
三角函数值
15 和 75
sin15 cos 75 6 2 4
例题：（2018.19.8 分）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设 13 对
直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组把“测量斜拉索顶端到
桥面的距离”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间借助该桥完成了实地测量.测量结
_____________ cm .
知识识点 3：锐角函数的实际应用
考情总结：选择题考查 2 次，解题时均需要构造一个直角三角形即可解决问题，解答题中需作一条或
两条高线，构造出三个直角三角形或两个直角三角形和一个矩形，分别解两个或三个直角三角形，求得线
段长，再利用线段和差进行求解.
仰角、俯角、坡角、方向角
高 CE 1.5 米，则这棵树的高度为_________米.
（结果保留一位小数.参考数据：
sin 54 0.8090, cos 54 0.5878, tan 54 1.3764 ）
3、如图，小岛在港口 P 的北偏西 60 方向，距港口 56 n mile 的 A 处，
货船从港口 P 出发，沿北偏东 45 方向匀速驶离港口 P, 4 小时后货船在
小岛的正东方向，则货船的航行速度是（ ）
A.7 2 n mile / h C.7 6 n mile / h
B.7 3 n mile / h D.28 2 n mile / h
基本模型分析： 1.异侧型模型：
等量关系： BD CD BC . 类型一：当已知除 BC 外的任意一边时，可利用 和 的三角函数值求出其他任意一条边长；
中考真题：
1、（2015.10.3 分）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A, B, C 都
在格点上，则 ABC 的正切值是（ ）
A.2
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 1 2
2、（百校联考三·13 题）如图，在 5 5 的正方形网格中， ABC 的三个顶 点均在格点上，则 sin C 的值为_____.
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下
方的角叫俯角，如图 1.
坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫坡度（坡比），用字母 i 表示；坡面与水平
线的夹角 叫坡角.如图 2， i tan h . l
方向角
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方
2
cos
45
60
3
2
2
1
2
2
tan
3
3
3
知识点 2：直角三角形的边角关系
1、三边关系： a2 _____ c2 ；
2、三角关系： A ___ C ；
3、边角关系： sin A a cos B ； cos A b ______ ； tan A ______ 1 .
c
cபைடு நூலகம்
tan B
向所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西） 度，如图 3， A 点 位于 O 点的北偏东 30 方向， B 点位于 O 点南偏东 60 方向，C 点位于 O 点的北 偏西 45 方向（或西北方向）
中考真题：
1、（2013.10.2 分）如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座 隧道（ B, C 在同一水平面上），为了测量 B, C 两地之间的距离，某工程师乘