-晶体结构的几何理论.
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空间点阵中划分 平行六面体的 几种不同方式
⑴单位平行六面体的划分
第8章 晶体结构的几何理论
划分原则 ① 所选平行六面体的对称性与整个空间格子相同。 ② 在满足①的前提下， 棱与棱之间的直角最多。
③ 在满足①②的前提下，体积最小。
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
二维平面点阵中平行四边形的划分
第8章 晶体结构的几何理论
4 晶体结构的几何理论
主要教学内容 十四种空间格子* 空间格子中点的坐标、行列及面网符号* 晶胞* 晶体内部结构的对称要素* 空间群# 等效点系#
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
4.1 十四种布拉维空间格子
空间格子 是表示晶体结构中质点重复规律的立体几何图形。
四方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
③斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
Crystallography
c
βα b aγ
斜方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
④单斜晶系 a≠b≠c α=γ=90° β ≠ 90°
c
βα b aγ
单斜格子
Crystallography
1
2
4
5
3
6
Y X
四方(4mm)平面点阵
1 2 5
4 3
6
7
斜方(mm2)平面点阵
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
在三维空间做同样分析，可以从空间格子中划 分出一个最小的重复单位—单位平行六面体， 它由六个两两平行且相等的平面组成。
这样划分出来的单位平行六面体，其对称性与 相应空间格子相同。
无数个平行并置的单位平行六面体就构成整 个空间格子
Crystallography
单位平行六面体
Z
沿Z轴
第8章 晶体结构的几何理论
Y
沿Y轴
X
沿X轴
Crystallography
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的 行列，都要符合晶体所固有的对称性，而晶体宏观对称与内 部微观对称是统一的，所以选择的原则就是一致的。这就导 致了宏观形态上选出的晶轴（XYZ）恰好与内部结构空间格 子中选出的平行六面体三根棱（行列）相一致。
六方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
⑦三方晶系 a=b=c； α=β=γ≠90°、 60°、
109°28′16″
Crystallography
c
γ
a
b
βα
菱面体格子
三方菱面体格子
第8章 晶体结构的几何理论
α=90°时，可划分成立方原始格子。 α=109°28′16″时，可划分成立方体心格子。 α=60°时,可划分成立方面心格子。
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
第8章 晶体结构的几何理论
原始格子（P）底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F）
三 斜
C=I
I=F
F=P
单
斜
I=F
F=C
斜 方
Crystallography
空间格子要素 结点、行列、面网、单位平行六面体。
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。 无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
第8章 晶体结构的几何理论
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
①等轴晶系
a=b=c； α=β=γ=90°。
c βα b aγ
立方格子
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
②四方晶系 a=b≠c； α=β=γ=90°。
Crystallography
c
βα b aγ
有些格子类型与所在晶系的对称不符。 有些格子类型与空间格子的条件不符。 有些格子类型可以被改划为其它格子。
➢ 因此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravis于1848年最先推导出来的）
十四种空间格子
举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原 始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面 的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具 有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格 子。
90°
109°18′06″
60°
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑷单位平行六面体中的结点分布
原
底
始
心
格
格
子
子
P
C心格子
A心格子
B心格子
体
面
心
心
格
格ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子
子
I
F
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑷十四种布拉维空间格子 综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布，
十四种空间格子
空间格子的划分
➢ 划分7种平行六面体
对应于7个晶系 形状及参数？
4mm
⑵单位平行六面体参数
第8章 晶体结构的几何理论
单位平行六面体的棱长a，b，c和棱的交角α、 β、 γ称为单位平行六面体参数。
α：c ∧ b β：c ∧ a γ：a ∧ b
c
βα b aγ
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
⑤三斜晶系 a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
c
βα aγ b
Crystallography
三斜格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
⑥六方晶系 a=b≠c， α=β=90°；γ=120°
Crystallography
c
βα b aγ
空间格子共有14种。称为14种布拉维空间格 子。
Crystallography
违反空间格子规律 A-两对面不能同时存在附加点 B-底心格子和体心格子不能同时存在
十四种空间格子
以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：
4mm(L44P)
mm2(L22P)
十四种空间格子
4mm
十四种空间格子
mm2 引出问题：空间格子可以有带心的格子；
第8章 晶体结构的几何理论
四 方
C=P
F=I
三 方
与本晶系对称
不符
I=F
F=P
六
与本晶系对称 与空间格子 与空间格子
方
不符
条件不符
条件不符
等
与本晶系对称
轴
不符
Crystallography
十四种空间格子
➢ 七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体形状。 ➢ 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
⑴单位平行六面体的划分
第8章 晶体结构的几何理论
划分原则 ① 所选平行六面体的对称性与整个空间格子相同。 ② 在满足①的前提下， 棱与棱之间的直角最多。
③ 在满足①②的前提下，体积最小。
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
二维平面点阵中平行四边形的划分
第8章 晶体结构的几何理论
4 晶体结构的几何理论
主要教学内容 十四种空间格子* 空间格子中点的坐标、行列及面网符号* 晶胞* 晶体内部结构的对称要素* 空间群# 等效点系#
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
4.1 十四种布拉维空间格子
空间格子 是表示晶体结构中质点重复规律的立体几何图形。
四方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
③斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
Crystallography
c
βα b aγ
斜方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
④单斜晶系 a≠b≠c α=γ=90° β ≠ 90°
c
βα b aγ
单斜格子
Crystallography
1
2
4
5
3
6
Y X
四方(4mm)平面点阵
1 2 5
4 3
6
7
斜方(mm2)平面点阵
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
在三维空间做同样分析，可以从空间格子中划 分出一个最小的重复单位—单位平行六面体， 它由六个两两平行且相等的平面组成。
这样划分出来的单位平行六面体，其对称性与 相应空间格子相同。
无数个平行并置的单位平行六面体就构成整 个空间格子
Crystallography
单位平行六面体
Z
沿Z轴
第8章 晶体结构的几何理论
Y
沿Y轴
X
沿X轴
Crystallography
十四种空间格子
上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则 是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观 晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的 行列，都要符合晶体所固有的对称性，而晶体宏观对称与内 部微观对称是统一的，所以选择的原则就是一致的。这就导 致了宏观形态上选出的晶轴（XYZ）恰好与内部结构空间格 子中选出的平行六面体三根棱（行列）相一致。
六方格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
⑦三方晶系 a=b=c； α=β=γ≠90°、 60°、
109°28′16″
Crystallography
c
γ
a
b
βα
菱面体格子
三方菱面体格子
第8章 晶体结构的几何理论
α=90°时，可划分成立方原始格子。 α=109°28′16″时，可划分成立方体心格子。 α=60°时,可划分成立方面心格子。
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
第8章 晶体结构的几何理论
原始格子（P）底心格子（C） 体心格子（I） 面心格子（F）
三 斜
C=I
I=F
F=P
单
斜
I=F
F=C
斜 方
Crystallography
空间格子要素 结点、行列、面网、单位平行六面体。
单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。 无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
第8章 晶体结构的几何理论
Crystallography
⑴单位平行六面体的划分
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
①等轴晶系
a=b=c； α=β=γ=90°。
c βα b aγ
立方格子
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
②四方晶系 a=b≠c； α=β=γ=90°。
Crystallography
c
βα b aγ
有些格子类型与所在晶系的对称不符。 有些格子类型与空间格子的条件不符。 有些格子类型可以被改划为其它格子。
➢ 因此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravis于1848年最先推导出来的）
十四种空间格子
举例说明： 1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原 始格子 ； 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面 的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具 有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格 子。
90°
109°18′06″
60°
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑷单位平行六面体中的结点分布
原
底
始
心
格
格
子
子
P
C心格子
A心格子
B心格子
体
面
心
心
格
格ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子
子
I
F
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑷十四种布拉维空间格子 综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布，
十四种空间格子
空间格子的划分
➢ 划分7种平行六面体
对应于7个晶系 形状及参数？
4mm
⑵单位平行六面体参数
第8章 晶体结构的几何理论
单位平行六面体的棱长a，b，c和棱的交角α、 β、 γ称为单位平行六面体参数。
α：c ∧ b β：c ∧ a γ：a ∧ b
c
βα b aγ
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
⑤三斜晶系 a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
c
βα aγ b
Crystallography
三斜格子
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
⑥六方晶系 a=b≠c， α=β=90°；γ=120°
Crystallography
c
βα b aγ
空间格子共有14种。称为14种布拉维空间格 子。
Crystallography
违反空间格子规律 A-两对面不能同时存在附加点 B-底心格子和体心格子不能同时存在
十四种空间格子
以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：
4mm(L44P)
mm2(L22P)
十四种空间格子
4mm
十四种空间格子
mm2 引出问题：空间格子可以有带心的格子；
第8章 晶体结构的几何理论
四 方
C=P
F=I
三 方
与本晶系对称
不符
I=F
F=P
六
与本晶系对称 与空间格子 与空间格子
方
不符
条件不符
条件不符
等
与本晶系对称
轴
不符
Crystallography
十四种空间格子
➢ 七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体形状。 ➢ 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？