§37 特征函数

概率论
中南大学数学院 概率统计课程组
§3.6 条件分布与条件期望、 回归与第二类回归
在前一章中，对离散型随机变量，我 们曾经研究了ξ在已知发生的条件下的分布 问题，并称P(ξ =xi|η =yj)为条件分布，类似 的问题对连续型随机变量也存在。
设 ( ξ ,η ) 是二维连续型随机变量，由于
P{Y y} 0, 所以 P{ x | y}
其它.
当0 x 1,
f| ( y | x)
f (x, y) f (x)
1
2x
0,
,
x y x, 其它。
(3)
P{
1 |Y 2
0}
P{ 1 , 0}
2
P{ 0}
y
yx
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
2
1
0 1/2
x
y x
例25 设二维随机变量（，）服从二元正态分布：
~ (ξ,η) N(μ1,μ2,σ12,σ22,r)
[2] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统 计(3版).北京:高等教育出版社,2001,12.
[3] 梁之舜,邓集贤,杨维权,司徒荣,邓永录. 概率论与数理统计(2版).北京: 高等教育 出版社,1988,10.
[4] 韩旭里,王家宝,陈亚力,裘亚峥. 概率 论与数理统计.北京:科学出版社,2004.
f
( x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
试求：（1） f (x) ; f ( y) （2） f| (x | y) ; f| ( y | x)
(3) P{ 1 | 0}.
2
求：(1) f (x), f ( y); (2) f| (x | y), f| ( y | x)
(3) P{ 1 | 0}.
另一方面，由于随机现象错综复杂，一 个随机现象往往需要多个随机变量来描述， 甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的 收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用 分布函数和密度函数，求独立随机变量的 和的分布都是较麻烦的（要计算密度的卷 积），要解决复杂得多的问题，没有更优 越的数学工具是不行的.
1.特征函数的定义
又 1,2 相互独立，则 1 2 的C.f为
(t) 1 (t)2 (t )
性质(5): 设 r.v. 的n阶矩存在，则 的可 C.f微分n次，且对任意 k n ，有
k 0 i k k
即
k k 0
ik
第三章结束!
本章的参考文献
[1] 同济大学应用数学系.概率统计简明教 程.北京:高等教育出版社,2003,7.
(t) (0) 1 (t) (t) 这里（t）表示 (t )的共轭
性质 (2):特征函数 (t) 具有非负定性。
即有:
(tk t j )ak a j 0
k , j1
其中n为任意的正整数.
性质(3): a b的C.f,
t eibt at
性质(4): 设
1
,
的C.f分别为
2
1(t),2 (t，)
f (x, y) f (x)
称为随机变量ξ在η=x的条件下的条件密度函数.
条件密度函数的性质
性质1 对任意的 x，有 f| (x | y) 0
性质2
f| (x | y)dx 1
简言之， f| (x | y) 是密度函数．
对于条件密度函数 f| ( y | x) 也有类似的性质。
例24 设随机变量 ( ,)的概率密度为
y
)
y
y x
f
(u, v)dudv
x
f (u, y)du
.
f ( y)
f ( y)
F| (x | y)
x
f (u, y) du, f ( y)
称为在条件η= y下X的条件分布函数.
f| (x | y)
f (x, y) f ( y)
称为随机变量ξ在η=y的条件下的条件密度函数.
f| ( y | x)
f| (x | y)
f (x, y) f ( y)
当 | y | 1,
f| (x | y)
f (x, y) f ( y)
1 1 |
y
|
,
0,
| y | x 1 其它。
y yx
1, | y | x, 0 x 1
f (x, y) 0,
其它.
1
0
x
y x
2x, 0 x 1
f (x) 0,
则(ξη, )的联合密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 r 2
•
exp
2
1
1
r
2
x
1 2
2 1
2rx
1y
1 2
2
y
2 2
2 2
又随机变量η的边缘密度函数为
f y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
因此，对任意的 y，f y 0，
y
f
xy
f
x， f y
2
解：
f (x) f (x, y)dy
x
dy x 0,
2x,
0 x 1 其它
y yx
1
0
x
y x
1
dx 1 y,
y
f ( y)
f
(x,
y)dx
1
dx
1
y,
y yx
y
0,
0 y 1,
1 y 0, 其它.
1
0
x
y x
1 0,
|
y
|,
| y | 1 其它.
(2)当 | y | 1,
谢谢大家!
无意义，因此我们利用极限的方法来引入 条件分布函数的概念。
定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ，
P{ y- < η y + }>0, 若对于任意实数 x，极限
lim P{ x | y y } y y Py y
存在，则称为在条件η= y下ξ的条件分布函数，
定义 设ξ为一个随机变量, 称
(t) E(eit )(,)
为随机变量ξ的特征函数,记为c.f.
i 1
有
(t) E(eit )
离散随机变量的特征函数:
(t) eita j p( a j ) j 1
连续型随机变量的特征函数:
(t) e itx p(x)dx
2. 特征函数的性质
性质 (1) 在R =(-∞,∞)上一致连续,且
y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论：二元正态分布的条件分布是一元正态分布，
即N
1
r
1 2
(
y
2
),
2 1
(1
r2 )
§3.7 特征函数
1. 特征函数的定义 2. 特征函数的性质
通过前面的讨论,我们已经知 道如何去计算随机变量的数字特 征，数字特征一般由各阶矩决定， 随着阶数的增高，矩的计算总是 较麻烦的。
写成 P{ ξ x |η= y }，或记为 Fξ|η(x|y).
F(x, y ) F (x, y )
lim
0 F ( y ) F ( y )
lim [F(x, y ) F(x, y )]/ 2
0
lim
0
[
F
(
y
)
F
(
y
)
]
/
2
F (x, y)
y
d dy
F
(