杨辉三角与二项式系数的性质ppt

n 一般地，(a b 展开式的二项式系数 )
C , C , C
（1）C m
n
0 n
1 n
n 有如下基本性质： n
Cnnm （对称性）
（2）C
m n
C
m 1 n
C
m n 1
n 2 n
（3）当n为偶数时，C 最大
当n为奇数时， C
（ 4） C
0 n 1 n
n 1 2 n
=证： Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2
例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
n n n
在二项式定理中，令
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1 1 1 1 4 3 6
+
1 2 3
+
1 1
1 4 + 10 10 5 1 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1
C
2 n
3 n
4 n
C
C C
r r r r 1
C
C
r r 2
C
r n1

C
r 1 n
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和， 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到． n 图象的对称轴： r 2
（2）增减性与最大值
k C 由于： n
n k 1 1 所以C 相对于Ck 决定． n 的增减情况由 k n k 1 n 1 由： k 1 k 2
已知 (1 2 x)
a0 a1 x a2 x a7 x 求:(1) a1 a2 a7 ； - 2
7 2
7
(2)
a1 a3 a5 a7 ； 1094
a2 a4 a6
(3) a0
(4)| a0 | | a1 | | a7 | 2187 课外作业: 1.若（2 x 3)4 a0 a1 x a2 x2 a3 x 3 a4 x 4
k n
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 Cn k (k 1)! k
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
（2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
杨 辉
《详解九章算法》中记载的表
杨辉三角
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
n
T5 T41 C
4 18
x
18 4
1 4 4 3060 x 3 x
4
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
类型：求展开式中系数最大的项
例5： 求1 2x 的展开式中系数最大的 项
10
方法:利用通项公式建立不等式组
变式练习：
37 1 ; 2 1093
,
1 则 （a0 a2 a4 ) (a1 a3 ) 的值是____.
2 2
1 4 4.已知 x 的展开式中只有第 10 项系数最大 , 3 x 求第五项 n 解 依题意 , n为偶数 且 1 10, n 18. 2
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
①每行两端都是1 上的两个数的和
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩
C C
5
2 3
3 C 5 10 的系数是______.
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
斐波那契数列
斐波那契 （11701250）
意大利商人兼数学家,他 的著作《算盘书》中,首 先引入阿拉伯数字，将 “十进制”介绍给欧洲 人认识，对欧洲的数学 发展有深远的影响。
二项定理: 一般地，对于n ∈ N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
课前练习: 45 项. 1． 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 c5 有___ 2．展开 a b ，其中 a b
且最大
C C 2
n n
n
“斜线和”
…… ……… 2 r n 2 r 1 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 1 r n 1 2 1 … … 第 n行 1 C n C n Cn Cn …… … …
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第 7行
1 1
0 n
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
0 (C C ) (C C )
0 n 2 n 1 n 3 n
C C C C C C
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
在(3x -2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项. 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
C 3
r 20 r 20
20 r 20 r
2 C
r r
r 1 20 r 1 20
3 3
19 r 21 r
2 2
r 1 r 1
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
这就是说，
(a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于：2 n
m n
m 1 n
C
m n 1
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
C 3
即
2 C
3(r+1)>2(20-r) 解得 2(21-r)>3r
8 20 12 8
2 2 7 r8 5 5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
12 8
小 结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值.