2017年高考一轮复习教案—第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计 (1)

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计

教师:蓝春艳 最新考纲要求

(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化． (2)会判断三角函数值的符号．

(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 知识点一 角的有关概念

(1)从运动的角度看，可分为正角、 和 . (2)从终边位置来看，可分为 和轴线角．

(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为 ．

易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π

2

，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．

知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中

易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

知识点三 任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．

三角函数 正 弦 余 弦 正 切

定 义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么

叫作α的正弦，记作sin α 叫作α的余弦，记作cos α

叫作α的正切，

记作tan α

各象限符号

Ⅰ 正

Ⅱ

负 负 Ⅲ Ⅳ

正

负

口诀

一全正，二正弦，三正切，四余弦

三角函数线

有向线段 为正弦线

有向线段 为余弦线

有向线段 为正切线

易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝ν

u .

考点一 角的集合表示及象限角的判断 例1.给出下列四个命题：

①－3π4是第二象限角；②4π

3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限

角．其中正确的命题有 ( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

练习．设集合M ＝⎩

⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

x ＝k 2

·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k

4

·180°＋45°，k ∈Z ，那么 ( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅

解决终边相同的角的集合的两个方法

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．

考点二 三角函数的定义|

[典例](1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π

3，则角α的最小正值为 ( ) A.5π

6

B.2π3

C.5π3

D.11π

6

练习 (2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2

4

x ，则sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

2＝________. 用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． 考点三 扇形的弧长及面积公式

[典例]已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

练习.已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

弧度制应用的两个关注点

(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S

＝n πr 2

360

，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．

小结：今天你都学了什么？ 作业

1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π

2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( ) A ．MP

D ．OM

2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )

A ．2

B ．sin 2 C.2

sin 1

D ．2sin 1

4．若x ∈(0,2π)，则sin x >1

2的必要不充分条件是( )

A.π6

B.π

6

5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )

A.⎝⎛⎭⎫－12，32

B.⎝

⎛⎭⎫

－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32

D.⎝

⎛⎭

⎫－

32，12

6．如果角θ的终边经过点⎝

⎛⎭

⎫

－

32，12，那么tan θ的值是________．

7．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；

(2)求AB 所在弓形的面积．

8．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．