隐函数和参数方程求导

2
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
3
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
9
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数 则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
y
① ②
再求导, 得
e y y 2 (e y x) y 2 y 0
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y(0) 2 e
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作业
P111 1(1) , (4) ; 4 (2) , (4); 8 (2) ,(4) ; 2; 3 (3) , (4) ; 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 9 (2) ;
10
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率
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思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin d y dy sin cos d dx dx cos sin d 当 时对应点 M ( 0 , ) , 2 2
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4



1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习: P112 题8(1)
d2 y 1 f (t ) d x2
解:
dy 1 ; dx t
d y 2 dx
2
1 t
2
1 3 t t
12
例6. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
v1 (v2 gt )
2
2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则
dy dy d t dx dx dt
y

o
x
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抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y

在刚发射 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
1
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 y3 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
5
例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 y cos x ln x sin x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
6
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u u v ln u v vu v 1 u y
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 3 (t ) x
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注意 : 已知

?
x f (t ) d2 y 例5. 设 . , 且 f (t ) 0 , 求 2 y t f (t ) f (t ) dx
落地时刻 抛射最远距离
o
v2 t g 2v t g2
x
14
x t 2 2 t 例7. 设由方程 2 (0 1) t y sin y 1
确定函数 y y (x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
dy dy y的导数 , dx dx
x 0
.
解: 方程两边对x求导,
dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y , 解得 y dx x e
dy dx
x0
百度文库由原方程知 x 0, y 0,
1.
4
ex y xey
x0 y0
例3. 求椭圆
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者 以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
tan 500 提示: x
对 t 求导
500
d 500 dx sec 2 dt x dt
2

x
d dx . 已知 100m min , x 500 m , 求 dt dt
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
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例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 sec 2 1 tan 2 sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
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备用题
1. 设
解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
方程组两边同时对 t 求导, 得 解：
dy dx
t 0
25
按幂函数求导公式
7
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
t d y d y dx dt (t 1)(1 cos y ) dx dt
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三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
之间也有联系 称为相关变化率
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
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3. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y x y 0
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2
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2. 设 y (sin x)
tan x

x x
ln x
3
y2 提示: 分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y y1 y2