湘教版解读-1611从分数到分式

第十六章 分式 ** 分式** 从分数到分式 Ⅰ．核心知识扫描1．一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．2．分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．3．使分式值为零的条件是：（1）字母所取的值使分子的值为零；（2）字母所取的值使分母的值不为零．4．分式的值为正的条件是：分子、分母同号；分式的值为负的条件是：分子、分母异号；分式的值为1的条件是：分子等于分母且分母不为零Ⅱ．知识点全面突破知识点1：分式的定义（重点）定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，○C 并且B 中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．（1）分式是两个整式相除的商，即分式的分子和分母都是整式，分式的分子中可以含字母，也可以不含字母，即式子AB中，A 既可含字母，也可以不含字母，但分式中的分母必须含有字母，即式子AB中，B 中必须含有字母．整式可以有分母，但整式的分母不含有字母，这就是区别整式与分式的关键如代数式3x y +，11x +，2x －5，23，ca b +，s a a b ++中，2x －5没有分母或者说分母是1，3x y +、23的分母不含有字母，它们都是整式，11x +、c a b +、s a a b++分母中含有字母是分式．（2）分数线可以理解为除号，并具有括号的作用． 如a ÷b ＝a b ，221(1)(1)1x x x x --÷+=+，22()m m m n m n-÷-=--等，因分数线具有括号作用，故2()m m n -÷-的商写作2mm n--，而不必写成2()m m n --；221(1)(1)1x x x x -=-÷++，不能写成221111x x x x -=-÷++，意义就全不同了． （3）因为零不能作除数，所以无论是分数还是分式，分母都不能是零．由于分数的分母是具体数值，其值是否为零一目了然，而分式的分母中含有字母，其值是否为零就必须分析、讨论分母中所含字母的取值范围，以避免因分母的值为零而使分式失去意义．如在分式34x x -+中的字母x ，只有当x ≠－4时，分式才有意义．例：把下列各式填入相应的括号内.15，29x y -，31aπ--，24x x ，·b a a b，3x整式集合：{ …}； 分式集合：{ …} 解：整式集合：{15，29x y -，31aπ-- …}； 分式集合：{ 24x x ，·b aa b，3x …}点拨：（1）15是分数，但不是分式，是整式；（2）尽管这个式子含有字母，但由于分母不含字母，因此这是一个整式；（3）31aπ--是整式，而不是分式；（4）24x x 应看作分式，而不是整式；（5）·b aa b也应看作分式，尽管计算（化简）的结果是整式；（6）分母含有字母，因此也是一个分式，判断一个代数式是整式还是分式的依据是分式的定义，具体来说就说看这个代数式分母含不含有表示未知量的字母，如果有就是分式，如果没有就不是分式．知识点2：分式有无意义的条件（难点）定义：（1）分式有意义的条件：分式有意义的条件○C 是分母不等于零．由于分母是含有字母的整式，故这个整式的值是随着式中字母取值的不同而变化，因此要使分式有意义，就应排除是分母的值为零的字母的值． 如12a a +有意义的条件是2a ≠0即a ≠0，2135x x ++有意义的条件是35x +≠0即x ≠－53．（2）分式无意义的条件：分式无意义的条件是分母等于零．○C 12是分数，但不是分式，是整式；3a π-是整式，而不是分式；4xx应看作分式，而不是整式；·n mm n也应看作分式，尽管计算（化简）的结果是整式．如12a a +无意义的条件是2a ＝0即a ＝0，2135x x ++有意义的条件是35x +＝0即x ＝－53． 例：当x 取何值时，下列分式有意义？（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2623x x --．解：（1）由分母x －2≠0，得x ≠2． ∴当x ≠2时，原分式有意义．（2）由分母4x ＋1≠0，得x ≠－14． ∴x ≠－14时，原分式有意义．（3）∵不论x 取什么实数，都有21x +＞0，∴x 取一切实数，原分式都有意义．（4）由分母23x -＝0，得x ≠±32． ∴当x ≠±32时，原分式有意义． 点拨：要使分式有意义，也可以先假设分母等于零，求出相应的x 值，在x 取值范围内去掉这些值就为所求．知识点3：分式的值为零的条件（易错点）分式的值是○C 在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式AB的值为零的条件是：○C 0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【易错警示】准确确定分式的值为零的条件 例1：当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）2x x+；（2）33x x --；（3）2242x x x -+；（4）245x x ++解：（1）由200x x +=⎧⎨≠⎩，得2x =-所以当2x =-时，分式2x x+的值为零 （2）由3030x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，得3x =-所以当3x =-时，分式33x x --的值为零（3）由224020x x x ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，得2x =所以当2x =时，分式2242x x x-+的值为零（4）由24050x x ⎧+=⎨+≠⎩，得x 无解所以无论x 为何值，分式245x x ++的值都不为零点拨：（3）中由分子240x -=，得2x =±，可以把2x =±代入分母检验是否为零；（4）中2x 是非负数，即220,4x x ≥+得＞0，可得分式245x x ++的值都不为零知识点4：分式值的特殊情况分式AB 的值为正的条件是：○C 0000A A B B ⎧⎧⎨⎨⎩⎩＞＜或＞＜；分式的值为负的条件是：○C 0000A A B B ⎧⎧⎨⎨⎩⎩＞＜或＜＞；分式的值为1的条件是：○C 0A BB =⎧⎨≠⎩例：分式32x x -+的值为负数，求x 的取值范围 解：由题意得（1）30000x -⎧⎧⎨⎨⎩⎩＞x-3＜或(2)x+2＜x+2＞ ，解不等式（1）无解，解不等式（2）得2x -＜＜3，所以x 的取值范围为2x -＜＜3 点拨：分式32x x -+可以看成是(3)(2)x x -÷+，根据两数相除同号得正，异号得负 解决问题要善于总结，变复杂为简单，使问题变得易于求解Ⅲ．提升点全面突破提升点1：根据分式定义求字母的值例1：（2009年天津市）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．解：由题意，得：2(2)(1)0(1)0x x x -+=⎧⎨+≠⎩，解得：x ＝2． 点拨：先将22221x x x x --++化成2(2)(1)(1)x x x -++，然后令分子(2)(1)x x -+＝0，分母2(1)x +≠0，分式的值为零时，除了保证分子的值等于零，还要保证这个分式有意义，即分母不等于零．例2：（2010宜昌市）下列式子中，x 的取值范围为x≠3的是（ ）。

A. x-3B.13x -C. 13x + D.3x - 答案：B点拨：分式中分母不能为０，所以Ｂ中ｘ≠３，Ｃ中ｘ≠－３，Ｄ中ｘ≥３，本题属于基础题，主要考查分式的分母不能为０，以及偶次根式下的式子要大于等于０．初中阶段涉及有意义的地方有三处，一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，三是零指数的底数不能为零．提升点2：综合运用分式的条件求值例3：已知m=2时，分式2m am b+-无意义，m=4时分式的值为零，求a-b 的值解：由题意得20420b a -=⎧⎨+=⎩ 解得22a b =-⎧⎨=⎩4a b -=-点拨：当m=2时，m-b=0,则2-b=0，b=2；当m=4时，m+2a=0，则4+2a=0，a=-2，本题是根据分式的特征把陌生问题转化为熟悉的问题提升点3：分式在实际生活中的应用例4：（1）一种储蓄的年利率为%a ，存入本金一年后的本息和（本息和=本金+利息）为x 元，则存入本金_______元。

（2）学校运动会选购奖品时，其中第一名的奖品是两支铅笔和三本练习本，如果买两支铅笔需要a 元，买三本练习本需要b 元，那么100元可以买这样的奖品_____份。

（3）市政筑路队，修建一条长3200米的公路，计划m 天完成，后来为了迎接“五一黄金周”需要n 天完成（n m <） 。

那么现在平均每天应比计划多修______米。

解：（1）1%x a +；（2）100a b +；（3）32003200n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

点拨：（1）若存入本金为y 元，则有()1%y a x +=，所以就需要存入本金为1%xa +元；（2）买一份奖品共需()a b +元，那么用100元买奖品，就需要用100÷()a b +，即100a b+份；（3）原计划每天修公路3200m 米，现在每天修公路的长度为3200n米，所以现在每天比原计划多修32003200nm ⎛⎫-⎪⎝⎭米。

例5：为迎接奥运会，某校八年级学生开展了“迎奥运短跑比赛”。

甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B 地，途中都使用两种不同的速度V 1与V 2(V 1< V 2），甲前一半的路程使用速度V 1，另一半的路程使用速度V 2；乙前一半的时间用速度V 1，另一半的时间用速度V 2．甲、乙二人从A 地到达B 地的平均速度分别为V 甲、V 乙，则V 甲＝ ，V 乙＝ （用含V 1，V 2的式子表示） 解： V 甲12122VV V V =+ V 乙221V V +=点拨：第一个问题可以设总路程为2a ，分别求出时间，再用总路程除以总时间；第二个问题可以设总时间为2t ，求出路程，再用总路程除以总时间，用分式表示实际问题中的某些数量关系，是应用题中非常常见的。

Ⅳ．综合能力养成例1：（开放题）若31a +表示一个整数，则整数a 可以取哪些值？ 解：a 可取2，0，－2，－4 点拨：由分式31a +有意义得1a ≠-，则用列举法：a =0、1、2、3、-2、-3、-4、-5…，满足a ，31a +都是整数。

易错提醒：○C 列举法需要按照次序，不能遗漏。

例2：（探究题）给定下面一列分式：3578234x x x x y y y y--，，，，，（其中0x ≠） （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．解：（1）规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于2x y -；（2）第7个分式应该是157x y.点拨：主要考查学生的观察分析能力，对于此类题，根据告诉的数据找规律；而对于选择题，也可先通过表示出前几个后，直接代入答案中去检验。