第6章20静力学分析
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
第6章 扭转
观察变形
应变分布
应力分布
静力方程
应力公式 ①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面源自171、等直圆杆扭转实验观察
（1）实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 （2）实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
18
（3）实验结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、
的边缘各点处，即该轴最大切应力为 τmax=71.3MPa。
30
[例题6.3]
实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传
递功率，如图所示。已知轴的转速n＝100r／min，传递 的功率P＝7.5kW。实心圆轴的直径d1=45mm；空心圆轴 的内、外直径之比(d2／D2)＝0.5，D2=46mm。试确定实 心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。
9
5、
扭矩图的意义
① 反映出扭矩沿截面位置变化关系，较直观； ② 确定出最大扭矩的数值及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
10
[例6.1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮1输入功率
NK1=500kW，从动轮2、3、4输出 功率分别为NK2=150kW， NK3=150kW，NK4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
T2
T3
T1 n
T4
N K1 T1 9.55 n 2 3 1 500 9.55 15.93(kN m) 300 NK2 150 T2 T3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 NK4 200 T4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
4
工程中的扭转问题
第六章-扭转
Me
g
AD BC
Me
f
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明, 圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均 相同。因此, 在材料为均匀连续这个假设条件下, 圆 筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆 周上各点处必相等；至于此切应力的方向, 从相应的 切应变发生在圆筒的切向平面可知, 是沿外圆周的切 向。
M1 d
M3
M2
B
A
C
lAB
lAC
35
例题 8-2
M2
M1 d
M3
B
A
C
lAB
lAC
解: 由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为T Ⅰ=
955 N·m, T Ⅱ= 637 N·m 。先分别计算B ，C截
面对A之扭转角fAB， fAC , 则可以假想此时A不
动。
f AB
T l AB GIp
， fAC
T l AC GIp
17
取微段dx分析: 得半径为r的任意圆杆面上的切应
变。
gr
tan g r
r df
dx
r(df )
dx
(1)
式中: d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常 量。这样，等直圆杆受扭时， gr 与r 成线性关系。
18
2. 物理方面 由剪切胡克定律: tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1)
扭转变形演示
15
1. 几何方面 如下图，实验表明:
(1) 等直圆杆受扭时, 画在表面上的圆周线只是绕杆的 轴线转动, 其大小和形状都不改变；且在变形较小的 情况时, 圆周线间的相对纵向距离也不变。
16
(2) 平截面假设 等直圆杆受扭时, 它的横截面如同刚性的圆盘
动力学与静力学的比较分析
轨道交通系 统
优化列车行驶速 度，增强运输效
率
飞行器设计
预测飞行器飞行 轨迹，提高飞行
效率
静力学在工程中的应用
建筑物结构 设计
确保建筑物稳定 性和安全性
机械设计
优化机械结构设 计，提高工作效
率
桥梁支撑结 构分析
分析桥梁结构应 力，延长使用寿
命
工程实例分享
通过分享具体工程实 例，展示动力学与静 力学在实际工程项目 中的应用。例如，高 楼建筑结构设计中的 静力学分析可以确保 大楼稳定性，而动力 学分析则可以优化建 筑物的结构设计，实 现更高效的使用。运 动器械设计中的动力 学分析可以提高器械 的运动效率，静力学
动力学与静力学的应用
01 工程
研究机械运动、飞行器设计
02 物理
研究物体受力情况
03 航空航天
设计飞行器结构
动力学与静力学的学习意义
解决实际工程问题
培养工程师能力
通过学习动力学与静力学， 可以更好地理解物体在不 同状态下的受力情况，有 助于解决实际工程问题。
掌握动力学与静力学的知 识，有利于培养工程师的 分析问题、解决问题的能 力。
● 05
第5章 动力学与静力学在工 程中的应用
动力学在工程中的应用
动力学在工程中扮演着至关重要的角色，它涉及 机械运动分析、飞行器设计、轨道交通系统等广 泛领域。通过动力学分析，工程师可以预测物体 的运动轨迹、速度变化等情况，为工程设计提供 重要参考。
动力学在工程中的应用
机械运动分 析
通过分析物体的 运动规律，优化
● 06
第六章 总结与展望
动力学与静力学 的比较分析
在工程学中，动力学 和静力学是两个重要 的力学领域。动力学 研究物体的运动规律 和相互作用力，而静 力学则研究物体的平 衡状态和受力情况。 比较分析二者的特点 和作用有助于更好地 理解力学领域的知识。
工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
静力学第6章 摩擦
假设D处先达到临界滑动状态，分别取杆、轮为研究对象
北京交通大学力学系
考虑摩擦时的平衡问题
假设D处先达到临界滑动状态，分别取杆、轮为研究对象
第6章 摩擦
M A (F ) 0
FNC
M O (F ) 0
FC' r FD r 0
l FB l 0 2
FNC 100 N
0.15FND FD FC
F2 fs FN2
sin f s cos G cos f s sin
y
补充方程
Fmax
北京交通大学力学系
考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例2 鼓轮B重500N，放在墙角里。已知鼓轮与水平地板间的 摩擦系数为0.25，而铅直墙壁假定是绝对光滑的，鼓轮上的绳 索下端挂着重物。设半径R=200mm，r=100mm。求平衡时重 物A的最大重量P。
补充方程
Fmin
sin f s cos G cos f s sin
北京交通大学力学系
考虑摩擦时的平衡问题
第6章 摩擦
例1 已知 、f、块重G。求平衡时F力的作用范围。
解： (2)F 较大时,物块有上滑趋势,摩擦力向下
F F
x
0 Fmax cos G sin F2 0 0 Fmax sin G cos FN2 0
静摩擦与滑动摩擦
第6章 摩擦
2、静滑动摩擦定律
静滑动摩擦力与接触面积无关； 静滑动摩擦力由平衡方程给出 (摩擦定律仅给出极限数值的大小)
FSmax FN fs
滑动摩擦力的极值 静止状态 临界状态 运动状态 FS＝F F max；大小由平衡方程确定
静力学受力分析
约束力的方向：
与该约束所阻碍的位移方向相反
二、平面问题中的几种常见的约束 1、光滑接触面约束
光滑： 接触面之间无摩擦
约束力： 作用于接触点，沿二个接触面 的公法线方向（若为尖点和面 的接触，则沿该面的法线方向）
实例
光滑接触面约束: 约束力作用于接触点，沿二个接触
面的公法线方向（若为尖点和面的 接触，则沿该面的法线方向）。
（4）、画受力图（包括，主动力和约束反力） 特别注意：
判别：二力杆 判别：三力汇交平衡
2、明确研究对象 研究对象的选取，要根据解题的需要，合理选择。
研究对象可以是单个物体，可以是由几个物体构成的 子系统，也可以是整体。
3、画研究对象受力图时要画上 （1）作用在研究对象上的所有主动力 （2）作用在研究对象上的所有约束反力
F2
F1
F2 F1
FR F1 F2
F2
三角形法则
将各分力首尾相连，然后从
起点 → 终点，得到合力。
F2
FR F1 F2
正交分解：
F1
力的分解：
同样要根据平行四边形法则。
y Fy
A
F α Fx
显然，力的分解是不 确定的，欲得到唯一 的分解结果，必须附 加一定的条件。
x
Fx F cos
1.画出圆盘的受力图；
2.比较AB 杆与BC 杆
的受力。
W
FR2
FR1
圆盘的受力图
C
分 析 A、C 二 处 约 束 力
FBC ´
BC杆只有两端受力 →BC杆为二力杆
C FBC
二力杆( 二力构件)
FR1 ´
FB
FA
O
三 力平衡 汇 交
工程力学答案
工程力学习题答案第一章 静力学基础知识思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √习题一1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A 点的约束反力方向。
解：（a ）杆AB 在A 、B 、C 三处受力作用。
由于力p 和B R的作用线交于点O 。
如图（a ）所示，根据三力平衡汇交定理， 可以判断支座A 点的约束反力必沿 通过A 、O 两点的连线。
（b ）同上。
由于力p 和B R的作用线交于O 点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A 点的约束反力方向如 下图（b ）所示。
2．不计杆重，画出下列各图中AB解：（a ）取杆AB 为研究对象，杆除受力p外，在B 处受绳索作用的拉力B T ，在A和E 两处还受光滑接触面约束。
约束力A N 和E N的方向分别沿其接触表面的公法线，并指向杆。
其中力E N与杆垂直，力A N通过半圆槽的圆心O 。
AB 杆受力图见下图（a ）。
(b)由于不计杆重，曲杆BC 只在两端受铰销B 和C 对它作用的约束力B N 和C N，故曲杆BC 是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B 、C 两点的连线，且B N =两点受到约束反力A N 和B N，以及力偶m 的作用而平衡。
根据力偶的性质，A N 和B N(d)由于不计杆重，杆AB 在A 、C 两处受绳索作用的拉力A T 和C T ，在B 点受到支座反力B N 。
A T 和C T 相交于O 点，根据三力平衡汇交定理，可以判断B N必沿通过B、O两点的连线。
见图(d).第二章力系的简化与平衡思考题：1. √;2. ×;3. ×;4. ×;5. √;6. ×;7. ×;8. ×;9. √.1． 平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm ，求此力系向O 点简化的结果，并确定其合力位置。
压力与液体静力学
浸没条件
物体浸没条件
密度大于液体 受到液体压力 浮力小于物体重量
01 04
浸没深度计算
根据浸没原理 考虑液体密度 考虑物体体积
02
浸没实例分析
船舶沉没案例
03
建筑物沉陷案例
生物体浸没案例
浸没的影响
01 物体影响
浸没会改变物体密度
02 浸没现象应用
淹没预警系统使用
03 浸没与密度关系
01 液体的定义
液体是一种物质的状态
02 液体的流动特性
液体具有流动性
03 液体的密度和压缩性
液体具有一定密度和压缩性
液体的静力学
静态液体的特点
静态液体不具有流动性 液体内部压强相等
液体的位能和动能
位能是由液体的位置决定的能量 动能是由液体的运动决定的能量
01 04
液体压强和液体压 力
压强是垂直于单位面积的力 压力是液体对单位面积的压强
在不同领域中的压力表现
压力的计算
压力与力的关系
压力在液体中的应 用
力对压力的影响 液体静力学中压力的具体应用
压力的计算公式
如何计算压力值
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压力传递
压力在物体中的传递方式和传递规律是液 体静力学中重要的概念，液压系统是一个 典型的应用示例。
考研复习—工程力学——第6章 扭转
Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论： （1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未 发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应 力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但 对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303
【工程力学 课后习题及答案全解】第6章弹性静力学的基本概念习题解
— 31
—
习题6-1图 习题6-3图 习题6-4图 习题6-2图 工程力学（1）习题全解
第6章 弹性静力学的基本概念
6－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。
关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。
正确答案是 C 。
6－2 图示直杆ACB 在两端A 、B 处固定。
关于其两端的约束力有四种答案。
试分析哪一种答案最合理。
正确答案是 D 。
6－3 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M ，力偶作用面与杆的对称面一致。
关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（图中A-A 为变形前位置，A A ′−′和A A ′′−′′分别为截面左边和右边变形后的位置），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。
正确答案是 C 。
6－4 等截面直杆，其支承和受力如图所示。
关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。
正确答案是 C 。
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静力学力的平衡与受力分析
静力学力的平衡与受力分析在物理学中，力是物体之间相互作用的结果，是描述物体受到的外界作用的量。
静力学力的平衡与受力分析是力学中的重要概念和方法。
本文将通过对静力学平衡和受力分析的讨论，阐述力的平衡条件以及如何进行受力分析。
静力学平衡的概念使我们能够了解物体在静止状态下所受的力的关系。
在一个封闭的系统中，如果物体保持静止，则该物体的受力和力的矩之和为零。
这可以用以下公式表示：ΣF = 0其中，ΣF表示所有作用在物体上的力的矢量和。
这个方程称为力的平衡条件，它是静力学平衡的基础。
平衡条件的主要应用在于解决各种物体和结构的受力问题。
通过对平衡条件的分析，我们可以确定物体上受力的大小、方向和作用点的位置。
在进行受力分析时，我们首先需要明确物体所处的受力系统。
受力系统包括物体所受的所有外力和内力。
外力是由外界环境对物体施加的力，如重力、摩擦力等。
内力是物体内部不同部分之间相互作用的力，如张力、弹力等。
确定了受力系统后，我们可以使用受力分析方法来计算物体所受力的大小和方向。
下面介绍几种常见的受力分析方法：1. 自由体图法：将物体从整体中分离出来形成自由体，只考虑物体受到的力，不考虑周围物体的作用。
通过绘制自由体图，我们可以清楚地看到物体所受的各个力的大小和方向，从而计算出受力平衡的条件。
2. 悬挂点法：对于悬挂在一定点上的物体，我们可以通过设定悬挂点作为坐标原点，建立力的平衡方程来求解物体所受的力。
通过受力分析，我们可以确定物体所受力的大小、方向和作用点的位置。
3. 斜面分解法：对于放置在斜面上的物体，我们可以将受力分解为平行和垂直于斜面的分力，通过受力分析得到物体所受力的大小和方向。
受力分析在工程学和物理学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们解决各种实际问题，如桥梁的结构稳定性分析、机械装置的设计优化等。
除了上述介绍的受力分析方法，还有其他一些分析方法，如向量分解法、平衡方程法等。
不同的问题需要选择合适的受力分析方法，以便得到准确的结果。
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
理论力学分析静力学
2021年8月8日 35
理论力学CAI
2021年8月8日 36
理论力学CAI
2021年8月8日 37
理论力学CAI
2021年8月8日 38
理论力学CAI
求平衡结构的约束力
2021年8月8日 39
理论力学CAI
例 多跨静定梁，求支座A处反力。
2021年8月8日 40
理论力学CAI
解：将支座A除去，代入相应的约束反力F A 。
FEx
m L
46
理论力学CAI
图示平面平衡系统 ，已知AB＝ 1.5L，BD＝DE＝L，AB、DE 处 于 水平位置。F作用在DE中点，q为均
匀载荷，滑块E与接触面的摩擦系数
为0.7，不计所有刚体的重量。 求： 固定端A处的约束力。
2021年8月8日 47
理论力学CAI
1. 解除水平约束， 代之水平约束力。
fk (xi ) 0, i 1,2,,3n；k 1,2,, r(约束数) fk (xi，t) 0, i 1,2,,3n；k 1,2,, r (约束数)
2021年8月8日 8
理论力学CAI
双侧约束与单侧约束
y
x
O
B
yB 0(双侧约束)
y
O
B
x
yB 0(单侧约束)
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形 的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系 统的自由度数。
对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度 数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。
在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、 双侧、完整约束的情况。
2021年8月8日 15
结构力学第六版详解
结构力学第六版详解简介《结构力学第六版详解》是一本涵盖结构力学基本概念、原理、公式和应用的教材。
本书由专业的结构力学领域的权威人士编写，展示了该领域的最新研究和发展成果。
本文将全面介绍《结构力学第六版详解》的内容，从各个方面深入解读。
内容概述《结构力学第六版详解》的内容囊括了结构力学的基本理论和应用实例。
全书共分为六个章节，涵盖了从静力学到动力学的各个方面。
1.第一章：引言–介绍结构力学的基本概念和研究对象，阐述结构力学在工程学中的重要性。
–介绍结构力学的发展历程和研究方法。
2.第二章：力的作用效果–讨论力的概念、性质和叠加原理，介绍力的分解和合成。
–探讨不同力的作用效果对结构的影响。
3.第三章：静力学基本原理–介绍静力学的基本原理，包括静力学平衡方程和均衡条件。
–探讨在不同支撑条件下的结构受力分析。
4.第四章：材料力学–讲解材料力学中的基本概念，如应力、应变和弹性模量等。
–探讨不同材料在受力时的行为和性质。
5.第五章：梁的静力学–详细介绍梁的静力学理论，包括弯矩、剪力和轴力等概念。
–探讨梁在不同受力状态下的静力平衡和变形规律。
6.第六章：结构的静力学分析方法–介绍结构的静力学分析方法，包括支反力计算、弯矩图和剪力图的绘制等。
–探讨不同结构在外力作用下的静力平衡条件和受力分析方法。
内容亮点《结构力学第六版详解》在内容编排和呈现方式上有以下亮点：1.清晰的逻辑结构：本书章节之间有着清晰的逻辑关系和衔接，每一章节都有明确的目标和内容，使读者可以系统地学习结构力学的知识。
2.典型实例的应用：本书通过引入丰富的实例，将理论与实践相结合，帮助读者理解和应用结构力学的知识。
3.图文并茂的呈现方式：本书配有大量的图例和示意图，通过直观的图像展示结构的受力情况和变形规律，使读者更加容易理解和记忆。
4.精炼的表述和数学推理：本书在表述和推理过程中尽量精炼和清晰，避免冗长和复杂的表达方式，使读者可以更好地掌握结构力学的核心概念和原理。
工程力学-第六章
6.1.3 自然坐标法
例 6-1 已知点 M 的运动方程为 x 2t ， y t2 ，式中 x 和 y 的单位为 m，t 的单位为 s。试求动点的
运动轨迹，以及当 t 1s 时切向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径。 解：由题目中给出的点的运动方程，消去 t 即可得到点的运动轨迹方程为 x2 4 y (x 0 ，y 0)
等于 dv ，其方向与 Δt→0 时 Δv 的极限方向一致。在国际单位制中，加速度的单位是 m/s2。 dt
6.1.2 直角坐标法
1．点的运动方程
如图所示，设动点 M 相对于一参考直角坐标系 Oxyz 运动，点 M 在空间的位置由它的坐标值 x，y，z
x f1(t)
唯一确定。当点运动时，坐标值
6.1.1 矢量法
2．点的速度
位移 Δr 与对应时间间隔 Δt 的比值，表示点在 Δt 内运动的平均快慢和方向，称为点在该时间间
隔内的平均速度，用 v*表示，即 v* r t
平均速度是一个矢量，其大小等于 r ，方向与位移 r 的方向相同。当 Δt→0 时，点 M′趋近于 t
M，而平均速度 v*趋近于一个极限值，此极限值称为动点 M 在瞬时 t 的瞬时速度，简称速度，用 v 表
6.1.2 直角坐标法
2．点的速度
另一方面，以 vx，vy，vz 表示动点速度 v 在直角坐标轴上的投影，则 v 可表示为 v vxi vy j vzk
对比上述两式，有 vx x ，vy y ，vz z
所以，点的速度在直角坐标系中的投影等于动点对应的坐标对时间的一阶导数。
速度 v 的大小和方向可由它的这三个投影完全确定，速度 v 的大小为 v vx2 vy2 vZ2
第六章
点的运动学和刚体基本运动
机器人基础原理 第6章 静力学及动力学建模
2
q k
j 1 k 1 q j
• 连杆3的动能为:
T
3
3
T3
T3
1
3
3 T
K3 dK3 Trace
( rp rp dm) q j qk Nhomakorabea2
q
q
j 1 k 1 j link3
k
link3
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gT Ti i rdm gT Ti
link i
i
rdm
link i
g T Ti mi i ri mi g T Ti i ri
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13
动能和位能的计算
• 连杆i上位置ir 处的质点dm，其位能为：
dPi dmg r g Ti rdm
T0
T
i
• 机械手系统的总位能为：
I
q i q
k
j
Ti T TiT
Ti TiT
Ii
Ii
Trace
Trace
q j
qk
qk q j
n
i
Ti Ti T
L
Trace
Ii
q p i 1 k 1
qk q p
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机器人基础原理 第6章静力学及动力学建模
• 当不考虑机器人的柔性时，可将机器人视为多刚体
系统。
• 机器人动力学建模方法主要有两种：
• 一种是基于能量平衡的拉格朗日方程方法，
• 另一种是基于力平衡的牛顿-欧拉方程方法。
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4．载荷加载区域预处理
• 由于移动升降机的安装宽度为0.3m，所以需要在横梁中 部位置截取该部分宽度的加载区域，可以使用Imprint Faces完成载荷面的获取。如图所示，在横梁上表面建立 矩形草图，然后进行拉伸操作，将Operation设置为 Imprint Faces，单击Generate完成载荷面的烙印操作。
6.3.4 网格划分
• 在Mesh中创建网格单元，具体操作如下。 • （1）插入Body Sizing，设置单元大小为50mm。 • （2）插入单元生成方法，软件默认使用Automatic进行
网格划分。
6.3.5 载荷及约束设置
• 载荷的创建及约束设置步骤如下。 • （1）创建载荷。 • （2）边界约束施加。
• 本例将通过支架的静力学分析，帮助读者掌握基本的模型 简化和求解设置方法，通过详细操作步骤了解静力学分析 的一般思路。
6.2.1 问题描述
• 移动龙门支架是工厂车间常用的自动化装卸设备，其常见 结构如图所示。
• 根据基本的材料力学知识可知，当移动升降机运动至横梁 中间偏右位置时，整个机构的变形将最大，所以只需要计 算在中间位置时刻支架的受力及变形，就可以初步判断移 动升降机的整个过程中处于任意位置是否满足设计要求。
6.2.3 材料属性设置
• 本例静力分析涉及的材料属性有材料弹性模量、泊松比， 选用材料为Q235，查阅材料手册可知Q235的弹性模量 Ε=2.12e5MPa、泊松比μ=0.288、密度ρ=7.86e3kg/m3， 具体设置步骤如下。
• （1）双击Engineering Data进入材料属性设置界面。 • （2）单击Engineering Data Sources窗口，在General
6.3 线性静力学分析实例——口型梁静 力分析
• 本例以常见材料力学问题为对象，介绍如何使用梁单元在 WB 19.0中实现对静力学问题的求解，通过实例对梁单元 的建模、网格划分以及边界设置进行详细讲解，为读者对 梁单元的使用提供指导。
6.3.1 问题描述
• 梁结构是静力学分析中经常遇到的一类问题，本 例通过图6-17所示的外伸梁结构详细介绍在WB 19.0中如何进行梁结构问题的建模及单元使用， 材料属性与WB 19.0中Structure Steel默认一致。
6.3.2 分析模型建模
• 分析模型的几何建模直接在DM中完成，具体操作如下。 • （1）创建直线体。 • （2）创建梁截面。 • （3）槽型截面赋予直线体。
6.3.3 材料属性设置
• 双击进入Model设置界面，由于模型材质默认为 Structure Steel，所以无须进一步创建材料属性。在树形 窗口中选择Line Body，可以看到弹出的详细设置窗口中， 软件默认将Structure Steel赋予几何体。
第六章
静力学分析
6.1 基本理论介绍
• 静力学主要用于分析固定载荷作用下的结构响应，不考虑 系统的惯性及阻尼，其中线性静力学是静力学中最基础的 一类问题。
1．小变形
• 在线性静力分析中，系统发生的变形相对于系统整体尺寸 非常小，变形并不显著影响整个系统的刚度。
2．线性材料
• 线性静力学问题考虑的是材料在弹性变形阶段的行为，即 满足应力与应变呈正比关系。
6.2.5 载荷及约束设置
• 根据工况描述可知，载荷大小为30kg（G=294N）的重物， 装置立柱固定，具体操作如下。
• （1）施加外载荷。 • （2）施加重力。 • （3）边界约束加载。
6.2.6 模型求解
• 设定求解结果，提交计算机计算
6.2.7 结果后处理
• 进入后处理模块，选择分析结果参数，设置工具栏中的 Edges为No WireFrame，显示云图结果。其中应力云图 结果如图所示，最大值为23.44MPa，很显然最大应力值 小于Q235的屈服强度，结构强度是不存在问题的。
6.3.6 模型求解
• 设置求解结果输出参数，分别插入Total Deformation及 Directional Shear-Moment Diagram (VY-MZ-UY)，由于 剪切-弯矩图的设置需要定义路径Path，所以在提交计算 之前先创建所有曲线的路径。
6.2.2 分析模型建模
• 本模型已通过三维建模软件完成建模，因此只需通过WB 19.0的外部几何模型导入功能完成几何建模。但是单纯导 入模型并不能直接进行分析，所以需要对模型进行事先预 处理，完成几何设计模型到有限元分析模型的建模。具体 建模思路如下。
1．删减无关结构
• 将移动龙门支架的附件、螺栓、升降驱动机等与分析无关 的结构直接删除，删除之后，模型进一步简化为图所示。
2．几何特征删减
• 完成无关结构的删减之后，由于几何模型中存在诸多螺栓 孔、定位孔，如左图所示，这些螺栓孔、定位孔对分析结 果也不产生直接影响，且不是分析中关注的内容，所以要 再次对模型进行特征删减，去除支架及横梁结构中存在的 螺栓孔、定位孔，最终得到可以用于分析的模型，如右图 所示。
3．导入几何模型
Materials中创建Q235材料，定义密度、弹性模量和泊松 比三种属性，分别输入ρ=7.86e-9tonne/mm3， Ε=2.12e5MPa、μ=0.288。 • （3）完成材料定义后添加到分析模型中即可。
6.2.4 网格划分
• 进入Mesh划分步骤，插入Body Size，选择所有实体，然 后在Element Size中输入网格尺寸为25mm。同时插入网 格划分方法Method，选择四面体网格Tetrahedrons划分， 设置完成之后单击Mesh选择Generate Mesh生成网格， 如图所示。
3．固定载荷变化， 载荷的加载过程是一个非常均匀缓慢的过程。
• 只有满足上述3个基本假设才属于我们常见的线性静力学 问题，线性静力学比较关注系统的支反力、变形和应力大 小。下面我们将通过具体实例对线性静力学问题的具体操 作和分析进行详细介绍。
6.2 线性静力学分析实例——支架静力 分析