最小二乘估计_课件
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8.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件-人教A版选择性必修第三册
我们将 y
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
号
1
2
3
4
5
6
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8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
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-0.284
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8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
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1
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1921
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1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
《最小二乘估计》公开课教学PPT课件【高中数学必修3(北师大版)】
如果用 x 表示
x x x
1
2
n
n
则可以求得 b
x1 y1 x2 y2 x12 x22
,用 y 表示 y1 y2
xn yn nxy xn2 nx 2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
a
yn ,
y bx
这样得到的直线方程 y=a+bx称为线性回归方程, a, b是线性回归方程的系数
线性回归方程必有解_x____x__, _y___ y
y
x
随堂练习
例 下面是两个变量的一组数据:
x12345678 y 1 4 9 16 25 36 49 64
请用最小二乘法求出这两 个变量之间的线性回归方程
注意：在本题中, 从所给的数据中我们不难看出, 满足函数 y=x2, 是一条曲线, 而我们利
用最小二乘法进行估计时, 所求出的是一条直线, 因而估计也就失去了意义。
10
o 12345 6 7 8 9 x
随堂练习
（1）某研究小组在一项实验中获得一组关于y、t之间的数据,将其整理后 得到如图的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是 ( D ) A、y=2t B、y=2t2 C、y=t3 D、y=log2t
【解析】选D 结合对数函数图像的特点以及散点图 中样本点的分布规律可判断。
i
1
2
3
xi 32.2 31.1 32.9 yi 25.0 30.0 34.0
xiyi 805 933 1118.6
4 35.8 37.0 1324.6
5 37.1 39.0 1446.9
6 38.0 41.0 1558
7 39.0 42.0 1638
高中数学北师大版必修三《最小二乘估计》课件
息？
鞋码——身高
y
x4, y4
x2, y2
x1, y1
x3, y3
x5, y5
o
x
如果有 n个点 ( x1, y1) ，(x2 , y2 ) ，(xn , yn ) ，
，
可以用下面的表达式来刻画这些点与直线 y a bx
的接近程度：
y1 (a bx1)2 y2 (a bx2)2 yn (a bxn )2
n
n
这样得到的直线方程称为线性回归方程，a ，b 是线性回归方程的系数.
b
x1 y1 x2 y2 xn yn nx y
x12
x2 2
xn 2
2
nx
，
a y bx
序号i xi
1 2 … n
合计 平均数
yi
xi yi xi2
将鞋码 x 41代入刚才所求的线
性回归方程,计算得身高为多少？
北师大版 高中数学
最小二乘估计 （第二课时）
202X年3月5日8时20分，某校产生了一起班级财务失窃案件，据悉， 当时正值校内大型集会，除个别人员因故未到场，所有师生都在前广场集 合，盗窃者是翻窗入室的，警方勘察现场后，在靠窗边的课桌上提取了一 枚41码鞋印，同时警方对因故未参加集会的人员进行询问，初步锁定了三 个嫌疑人，下一步，警方将对这唯一的证据——“41码鞋印”仔细研究，真 正的盗窃者正在浮出水面……
使得上式到达最小值的直线 y a bx 就是我们所要求的直线，这
种方法称为最小二乘法.
y
y a bx
x4, y4
x2, y2
x1, y1
x3, y3
x5, y5
o
x
如果有n 个点 ( x1, y1 )，(x2 , y2 )，(xn , yn )，
鞋码——身高
y
x4, y4
x2, y2
x1, y1
x3, y3
x5, y5
o
x
如果有 n个点 ( x1, y1) ，(x2 , y2 ) ，(xn , yn ) ，
，
可以用下面的表达式来刻画这些点与直线 y a bx
的接近程度：
y1 (a bx1)2 y2 (a bx2)2 yn (a bxn )2
n
n
这样得到的直线方程称为线性回归方程，a ，b 是线性回归方程的系数.
b
x1 y1 x2 y2 xn yn nx y
x12
x2 2
xn 2
2
nx
，
a y bx
序号i xi
1 2 … n
合计 平均数
yi
xi yi xi2
将鞋码 x 41代入刚才所求的线
性回归方程,计算得身高为多少？
北师大版 高中数学
最小二乘估计 （第二课时）
202X年3月5日8时20分，某校产生了一起班级财务失窃案件，据悉， 当时正值校内大型集会，除个别人员因故未到场，所有师生都在前广场集 合，盗窃者是翻窗入室的，警方勘察现场后，在靠窗边的课桌上提取了一 枚41码鞋印，同时警方对因故未参加集会的人员进行询问，初步锁定了三 个嫌疑人，下一步，警方将对这唯一的证据——“41码鞋印”仔细研究，真 正的盗窃者正在浮出水面……
使得上式到达最小值的直线 y a bx 就是我们所要求的直线，这
种方法称为最小二乘法.
y
y a bx
x4, y4
x2, y2
x1, y1
x3, y3
x5, y5
o
x
如果有n 个点 ( x1, y1 )，(x2 , y2 )，(xn , yn )，
最小二乘估计PPT教学课件
• ②存在x0∈I，使f(＝x0) M. • 那么M是函数y＝f(x)的最大值．
• 若M是函数y＝f(x)的最小值又如何填写条
件？
－5
• (2)函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为 ， 最大值为5.
－3
5
－3
• (40)函数y＝x2－2x－3在[－－24,0]上的最小值0. 为
，最大值为 ；在[2,3]上的最小
气温 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
1）求线性回归方程
2）如果某天的气温是－30C，预测这天 能卖热茶多少杯？
i xi
1
1.4
2
1.5
3
1.6
4
1.7
5
1.8
6
1.9
7
2
8
2.1
x 1.75
y 1.9775
yi
xi 2
xi yi
1.7 1.79 1.88 1.95 2.03 2.1 2.16 2.21
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
1. 散点图；
2.回归方程：
y 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
例2：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（x） 之间是线性相关的
• 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)．
• 3．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
分步计算减 少出错
第十五页，共25页。
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x 2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃时，卖
出的热茶杯数为
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
第十六页，共25页。
1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点 图观察数据是否具有线性关系
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
第一页，共25页。
1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程； 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式
建立线性回归方程.
第二页，共25页。
上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系，用了 很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依 据. 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）.
程y=a+bx必经过点 (
（A）（2，2）
)D
（B）（1.5，0）
（C）（1，2）
（D）（1.5，4）
x0123 y1357
第十八页，共25页。
2、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）画出销售额和利润额的散点图； （2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的 线性回归方程.
4
49
28
5
81
45
17
200 112
利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好.但即使选取相同 的样本数，得到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成
的,样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系.
第二十一页，共25页。
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
栏目导航
[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
栏目导航
26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
栏目导航
8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
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y
1
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(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘估计(最新课件ppt)
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线 方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距 的估计值,往往因计算不准导致错误.
高中数学必修课件最小二乘估计
03
非线性回归模型与最小二乘估计
非线性回归模型概述
1 2
非线性回归模型定义
描述因变量与自变量之间非线性关系的回归模型 。
常见非线性回归模型
指数回归、对数回归、幂回归等。Βιβλιοθήκη 3非线性回归模型特点
模型参数估计复杂，但拟合效果可能更优于线性 回归。
最小二乘估计在非线性回归中应用
01
02
03
最小二乘法原理
参数估计性质与评价标准
参数估计性质
最小二乘估计具有线性性、无偏性、有效性等优良性质，是 实际应用中最常用的参数估计方法之一。
评价标准
评价最小二乘估计效果的标准包括残差图、均方误差、决定 系数等。其中，残差图用于直观判断模型拟合效果，均方误 差用于量化模型预测误差大小，决定系数用于衡量自变量对 因变量的解释程度。
通过介绍非线性回归模型的案例，如指数增长、周期性变化等，引 导学生理解最小二乘法在非线性回归中的推广和应用。
多重共线性问题
通过实际案例，让学生理解多重共线性对最小二乘估计的影响，以 及如何处理多重共线性问题。
实验设计与数据收集
实验设计
指导学生设计实验方案，明确实验目的、实验对象和实验 方法，确保数据的有效性和可靠性。
拓展应用
将最小二乘法应用于金融、生物、医学等领域的实际问题中，如股票价格预测、基因表达数据分析等。同时，可 以探索最小二乘法与其他数据分析方法的结合，如主成分分析、聚类分析等，以提高数据分析的准确性和效率。
THANKS
感谢观看
数据收集
教授学生如何收集和整理实验数据，包括直接观测、问卷 调查、实验测量等方法，强调数据的真实性和完整性。
预处理与探索性分析
引导学生对收集到的数据进行预处理，如数据清洗、缺失 值处理、异常值检测等，并进行探索性分析，初步了解数 据的分布和特征。
8.2.2一元线性回归模型的最小二乘估计课件(人教版)
ෝ =0.839x +28.957，令
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
这方面的工作称为残差分析.
问题3：儿子身高与父亲身高的关系，运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效
性吗？
残差图：作图时纵坐标 为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计
值等，这样作出的图形称为残差图．
从上面的残差图可以看出，残差有正有负，残差点比较均匀地散布在横轴的两边，可
以判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设。所以，通过视察残
i 1
当Q(a, b)取最小时，n[( y bx) a ]2 取最小值0，即a = y bx
n
此时，Q(a, b) [( yi y ) b( xi x)] =b
2
n
2
i 1
(x
i 1
i
n
n
i 1
i 1
x) 2b ( xi x)( yi y ) ( yi y ) 2
图（4）的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内.
所以，只有图(4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设。
随机误差的假定？
(1)
(2)
(3)
(4)
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为 的
随机变量的观测值.
图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；
图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部
分；
图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；
i 1
n
n
[( yi y ) b( xi x)] 2 [( yi y ) b( xi x)] [( y b x) a ] n[( y b x) a ]2
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a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
1＋2＋3＋4
＝5
1 ，y＝2
＋32 ＋2＋3＝7
，
4
2
4
4
4
xi2＝12＋22＋32＋42＝30，
i1
4
i1
x
i
yi＝1
1 2
＋2
3 2
＋3
2＋4
3＝43 2
，
4
b＝i14xxi yi2i44xx2y i1
＝
43－4 5 22 30－4 25
4
7 4
＝4 5
，
a＝y－bx＝7 －4 5＝－1 . y＝4 x－1 .
①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点
的直线的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否
可以用线性关系表示；
③化趋势.
其中正确的命题是( )
(A)①②
(B)①③
(C)②③
(D)①②③
【解析】选D.利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据 的点到直线的距离的平方和的最小值.利用线性回归方程， 可以进行预测.而从散点图的分布可以判断是否线性相关.
求线性回归方程
求线性回归方程的一般步骤
（1）计算平均数 x、y ；
n
（2）计算xi与yi的积，求 xiyi ; i 1
（3）计算 xi2 ;
（4）将上述有关结果代入公式
求b、a，写出线性回归方程. 求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，
由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行， 避免因计算产生失误.
2.应用线性回归方程的方法技巧 （1）求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性 相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据 作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系. （2）求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由 于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避 免因计算产生失误. （3）得到的实验数据不同，则a、b的结果也不尽相同.
4 52 4
54
【规范解答】（1)画出散点图如图：
【例】以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售 额和销售经验年数的关系表：
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
在线性回归方程中，b是线性回归方程的斜率，a是 截距；b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代 表x每增加一个单位，y平均增加的单位数为b个单位.
【例2】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下:
（1）画出散点图; （2）求线性回归方程. 【审题指导】先画散点图，判断其是否线性相关，再利用 最小二乘法求其回归方程.
2.有关线性回归的说法，不正确的是( ) (A)相关关系的两个变量是非确定关系 (B)散点图能直接地反映数据的相关程度 (C)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系 (D)散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 【解析】选D.散点图上的点大致分布在通过散点图中心的 那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系 越强.
10
则 yi =y1i 72 9.28. i1
（3）因为179.28＞170,故用最小二乘法求出的10 yi yˆi 2 i1
较小.
回归方程的应用
1.回归方程的应用体现在以下几个方面： (1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定 量的描述两个变量间的依赖关系. (2)利用回归方程可以进行预测,把预报因子(相当于随机变 量x)代入回归方程对预报量(相当于因变量y)进行估计,即 可得到个体y值的允许区间. (3)利用回归方程进行统计控制规定y值的变化,通过控制x 的范围来实现统计控制的目标.
【规范解答】（1）散点图如图所示. 由散点图知二者呈线性相关关系.
（2）设线性回归方程为y=bx+a. 列表并利用科学计算器进行有关计算.
所以b=55 950 10 5≈50.9616.78,
38 500 10 552
a=y -bx=91.7-0.668×55=54.96.
故所求线性回归方程为y=0.668x+54.96.
利用它的意义解答第（2）问.
4
【规范解答】(1) x=iyi3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5
i1
x=
3
4
4
=5 46.5
=
y 2.5=33.54 4.5
4
4 x=i232+42+52+62=86
i1
b6=6.5 4 4.5=3.5
86 4 4.52
66=.50.673
86 81
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
甲,乙,丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y 之间的三个线性回归方程①y=-x+2.8;②y=-x+3;③y= -1.2x+2.6,其中正确的是____; 【解析】把 x, 代y 入可知. 答案:①
5.已知变量x，y线性相关，x与y有下列对应数据： 求y对x的线性回归方程.
【解析】
x
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
【审题指导】解答本题的关键是最小二乘法求回归方程,再
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
【例1】（2011·中山模拟)某公司近年来科研费用支出x万 元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线 性回归方程y=bx+a.
参考公式：
【审题指导】解答本题的关键是明确公式中各量的意义,分 别计算出结果.