第二讲 有理数的形成

• 若b-a<1,假定(a,b)不含任何整数，否则定理为真。这样(a,b)就落在某 个区间[n,n+1]中；
• 由此，只需证明有理数在[0,1]中稠密就行了，因为加上一个整数n就 可以把这一结果推到任一区间[n,n+1]上去了。下证有理数在[0,1]内是 稠密的；
• 若b-a>0.1,则必有k／10∈(a,b),k为1,2,…,9中的一个； • 若b-a>0.01,则必有k／100∈(a,b),k为1,2,…,99中的一个；
第二讲 有理数的形式定义及其性质
授课提纲
• 有理数形式定义的基本概念工具——关系 • 有理数具有稠密性 • 有理数具有可数性 • 有理数具有不完备性
1、“关系”是定义有理数的基本概念工具
• 定义：如果R是集合A和集合B的直积A×B的一个 子集，则把集合R称为A和B的一个关系。
• 数学中的关系可分为：等价关系、顺序关系、大 小关系等。
1 2 3 4 5 6 7 2222222
12 33
3 4 5 6 7 33333
1 2 3 4 5 6 7 4444444
1 2 3 4 5 6 7 5555555 1 2 3 4 5 6 7 6666666

有理数具有不完备性
• 定义（完备性）：一个数集具有完备性是指，对于任意一
b
为
Q

a

b
a,b Z,b

0
。
有理数具有稠密性
• 定义（稠密）：一个数集在数轴上是稠密的是指，在数轴 上每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间(a,b) 中，都存在该数集中的点。
-5／3
-2
-1
5／16
3／2
0
1
2
3
定理：有理点在数轴上是稠密的。
• 证明：若b-a≥1,不管(a,b)位于数轴的什么位置，总有一个有理数落在 (a,b)中；
等价关系
• 如果一个关系满足下列三个条件，我们称它为等价关系：
即R A×A,如果满足条件：
（1）. 对于任意一个x∈A，恒有xRx(反身性）； （2）.对于任意两个x,y∈A,如果xRy,则yRx（对称性）； （3）.对于任意三个x,y,z∈A,如果xRy，yRz,则xRz（传递性） 则把R称为A中的一个等价关系。如果（x,y）∈A，即xRy，则说x和y 等价，记作x～y.
例、设A={(x,y) ∣0≤x≤1,0≤y≤1},则由“两点的横坐标相等”可确定A中的 一个等价关系。
等价类
• 设R为集合A×A中的一个等价关系，x为A中的任 意一个元素，我们把A中所有与x等价的元素所组 成的集合称为x的等价类，记作[x],即 [x]={y︱y∈A,y～x}.
• 整数的形式定义：
• 在N×N上定义一个二元关系(a,b) ～(c,d) a+d=b+c.
易知这是一个等价关系，记等价类 (a，b) a b • 则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ价类集合记为Z ={a-b︱a,b∈N}
有理数的形式定义
• 在Z×Z上定义关系(a,b) ～(c,d) ad=bc,b≠0,易知这是
一个等价关系，记等价类 (a，b) a，则等价类集合记
• …… • 一般地，把n取得足够大，使得1／n小于区间(a,b)的长度就可以了，
这时总有一个有理数m ／n落在该区间上。 证毕。
有理数集具有可数性
• 定义（可数性）：凡与自然数集建立一一对应关系的集合， 称其具有可数性。
1234 n
r1
r2
r3
r4
rn

正有理数的可数性
1234567
个该数集的序列 Sn ，如果Sn 有极限F，则F一定属于该
数集。
• 定理：有理数集是不完备的。