第二讲 有理数的形成
有理数的概念ppt课件
整数
−9
√
√
−2.35
√
0
√
√
+5
√
√
2
3
√
分数
正整数
√
负分数
自然数
√
√
√
√
√
linggy
探索二：有理数的分类
引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围.
正有理数
思考：你能对有理数进
有理数
零
行分类吗？
负有理数
linggy
思考：
学了有理数的分类后，聪明的你想过没有——是否有一些数
不是有理数呢？
负整数
分数 正分数
负分数
3.注意0的特殊性
正整数
正有理数
有
正分数
理
0
数
负整数
负有理数
负分数
0既不是正数，也不是负数.
正数和0统称为非负数.
linggy
那么还剩4只；下周打猎一无所获，找首领借了
2只，再次将6只野兔分给部落成员，此时野兔
的数量是0，但是还欠首领2只，也就是
-2只.晚上他们一起吃烤野兔，他掰下来半只给
1
儿子，儿子得到了 2 只野兔；忧心忡忡的他，一
4
边将上次存粮的 5 拿出来给部落家庭，一边祈
祷着明天打猎收获满满......
思考
这以上情景中出现了哪些数字，
负整数：
3
1
13，4.3，− ，8.5％，−30，−12％， ，−7.5，20，−60，1.2ሶ
8
9
1
ሶ
解：正有理数：13，4.3 ，8.5% ， ，20， 1. 2；
第二讲有理数的有关概念
第二讲 有理数的有关概念一. 知识要点1. 有理数的分类有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数0 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 2. 什么是数轴？ 数轴的三要素是 、 、 .3. 什么叫做相反数？有何特征？相反数等于本身的数是 .4. 什么叫做倒数？倒数具有什么性质？倒数等于本身的数是 .5.在数轴上比较大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数.(2)差值比较法：设a 、b 为两个任意数，-b 0,a b a 〉〉若则；-b 0,a b a 〈〈若则；-b=0,a=b a 若则；基础知识自测1、把下列各数填在相应额大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝； 负有理数集｛ …｝负整数集｛ …｝； 自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝ 负分数集｛ …｝2、画一条数轴，并画出表示下列各数的点－5， 0， 5， ＋3.5， －1.53、在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是4、－2的相反数是 ，0.5的相反数是 ，0的相反数是5、 如果3－m 与2m ＋1互为相反数，则m ＝ .6、如果 a 的相反数是最大的负整数,b 的相反数是最小的正整数,则a+b= .7、若m 、n 互为倒数，则mn= ，倒数等于113-的数是 。
典型例题精讲例1、青蛙落在数轴上表示2 004这个数的点上．它第一步往左跳1个单位，第二步往右跳2个单位，第三步往左跳3个单位，第四步往右跳4个单位，依此类推，当跳了100步时，青蛙恰好落在了K 点．你能求出点K 所表示的数吗？例2、 已知a+b ＝0，a ≠b ，则求a b (a+1)＋b a (b+1)的值．例3、,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m =4，且0m >，求20072()23a cd b m-+-的值。
有理数的概念
第二讲有理数的概念知识点一：负数大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的。
在我们实际生活中，还有很多不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示。
比如说：某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，我们能把它们区分清楚吗？我们说是不能的，它们是具有相反意义的两个量。
现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多。
例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．同学们能举例子吗？我们要怎样区别相反意义的量才好呢？待学生思考后，请学生回答、评议、补充。
教师小结现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了。
现在请同学们用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：高于海平面8848米，记作米；低于海平面155米，记作米；教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数(负数小于0)．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．正、负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．例1:下列哪些是正数？哪些是负数？-3.6，-4，0，9651，-0.1．练习1: 任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛…｝，负数集合：｛…｝．正、负数表示的意义是人为规定的，在使用时应联系生活实际，其表示的是两个具有相反意义的量。
例2：（1）在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示?（2）某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?（3）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?（4）如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应记作什么？若在原地不动又记作什么？练习2：（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示 ___________，物体原地不动记作________。
有理数教学ppt课件
详细描写
有理数是数学分析中函数和极限理论的基础，也是代数中方 程和不等式理论的基础。有理数的概念和性质是数学教育中 不可或缺的一部分，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具 有重要意义。
02
有理数的运算
加法运算
总结词
理解有理数的加法法则，掌握加法运算的步骤和技能。
详细描写
介绍有理数的加法法则，包括同号数相加、异号数相加以及整数与分数相加的情 况。通过例题演示加法运算的步骤，强调结果的符号和绝对值，并总结加法运算 的技能和注意事项。
详细描写
在气象、科学实验和工业生产等领域中，温 度测量是重要的环节之一。使用有理数来表 示温度，可以方便地记录和比较不同位置的 温度值。同时，通过将实际温度与标准单位 进行比较，可以得出有理数的数值，从而得
到准确的测量结果。
05
有理数的扩大知识
分数与小数的关系
1 2
分数与小数是可以相互转化的
任何一个分数都可以表示为小数，小数也可以表 示为分数。
同级运算从左到右
当运算式中存在同级的运 算（如乘除和加减）时， 应从左到右依次进行，确 保运算的正确性。
括号优先
在运算式中遇到括号时， 应优先进行括号内的运算 ，再继续进行其他运算。
运算技能
灵活运用交换律、结合律
在进行有理数的混合运算时，可以灵 活运用交换律和结合律，改变运算的 顺序或分组，简化计算进程。
除法运算
总结词
理解有理数的除法法则，掌握除法运算的步骤和技能。
详细描写
介绍有理数的除法法则，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。通过例题演示除法运算的步骤，强调 结果的符号和绝对值，并总结除法运算的技能和注意事项。
03
有理数的混合运算
第二讲：有理数概念
有理数基本概念1.有理数分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正整数自然数零整数负整数有理数(按定义分类)正分数分数负分数⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数(按符号分类)零负整数负有理数负分数⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式，是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数1. “四非”的概念⑴ 零和正数 统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；⑶ 正整数和零统称为非 负整数 ； ⑷ 负整数和零 统称为非正整数． 2. 数轴数轴的三要素 ① 原点 ② 正方向 ③ 单位长度.1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。
3. 相反数⑴ 若两个数a 与b 互为相反数，则 0a b += 若0a b +=则a 与b 互为相反数. ⑵ 正数的相反数是负数，0的相反数是0 ，负数的相反数是正数．一个数的相反数等于其本身，则这个数一定是 0 ． 4. 绝对值⑴ 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 相反数 ；0的绝对值是 0 ．⑵ 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点 到原点的 距离．数a 的绝对值记作a ．⑶①_____(0)___0__(0)_____(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a⎧=⎨-<⎩≥③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-⎩≤⑷①绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．②如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0 ．5.倒数（负倒数）乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数.1）a的倒数是1a（a≠0）；2）0没有倒数3）若a与b互为倒数，则ab=1.注意点:1分数与小数均有时，应先化为统一形式.2带分数可分为整数与分数两部分参与运算.3多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.4若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.5若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.6符号相同的数可以先结合在一起.3.有理数的运算律1) 加法交换律a+b=b+a2) 加法结合律a+b)+c=a+(b+c)3) 乘法交换律ab=ba4) 乘法结合律(ab)c=a(bc)5) 分配律a(b+c)=ab+ac有理数运算技巧一. 灵活运用运算律例1. 计算：。
有理数ppt课件
03
有理数的混合运算
运算顺序
先算乘方或开方，再 算乘除，最后算加减 。
同一级运算按从左到 右的顺序进行。
如果有括号，先算括 号里面的，再算括号 外面的。
运算律
加法交换律：a+b=b+a
分配律：a(b+c)=ab+ac 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba
几何应用
有理数在几何学中常被用于描述 长度、面积和体积等几何量。
借助有理数的运算，可以方便地 求解几何量之间的关系，如计算 两点之间的距离、三角形或四面
体的面积和体积等。
有理数在几何作图中的应用也十 分广泛，如绘制直线、圆、椭圆 等图形时，有理数可以提供重要
的数学依据。
实际应用
有理数在实际生活中有着广泛的应用 ，如物理学中的力学、热学、电磁学 等都离不开有理数的运算。
有理数ppt课件
目录
• 有理数的定义 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义
整数
整数的分类
整数可以分为正整数、负整数和 零。
整数的性质
整数具有封闭性、可数性等性质。
整数的运算
整数可以进行加、减、乘、除等运 算。
分数
01
02
03
分数的定义
在信息科学领域，有理数被用于计算 机编码、信息压缩、加密和纠错等技 术中。
在金融领域，有理数被用于计算利息 、汇率、投资回报等经济指标。
在统计学中，有理数被用于描述数据 分布特征、进行假设检验和回归分析 等。
05
有理数产生原因及应用
有理数产生原因及应用有理数的产生原因：有理数是最基本的数学概念之一，在人类发展数学的过程中逐渐被发现和建立。
有理数的产生可以追溯到人类最早开始计数的阶段，当人类开始用数字来表示物体的数量或大小时，有理数的概念应运而生。
有理数最基本的特征就是可以用分数的形式来表示。
有理数的应用：1. 日常生活中的度量与计算：在日常生活中，我们经常会遇到需要测量、度量或计算的情况。
例如，测量房间的面积、计算购物清单的总价格、计算工资的增长等等。
这些都是使用有理数进行测量、计算和比较的情景。
2. 金融和经济领域：有理数在金融和经济领域的应用非常广泛。
例如，在财务会计中，需要进行资产负债的计算和比较；在经济学中，需要对收入、成本、市场需求等进行量化和比较。
有理数的概念和运算能够帮助我们理解和处理这些经济和金融数据。
3. 科学领域：有理数在科学领域的应用也非常重要。
在物理学中，有理数常用于测量物体的质量、长度、速度等。
在化学中，有理数常用于计算摩尔质量和化学反应中的物质比例等。
在生物学中，有理数常用于计算种群数量、遗传比例等。
有理数为科学家提供了量化和比较物理和化学现象的工具。
4. 计算机科学：在计算机科学和信息技术领域中，有理数也有着广泛的应用。
在计算机编程中，有理数被用于字节计算、内存管理等方面。
在图形图像处理中，有理数被用于坐标计算和图像搜索等方面。
有理数的概念和运算为计算机科学家提供了处理各种数据和问题的基础。
5. 统计学：在统计学中，有理数被用于收集和分析数据。
例如，在调查中收集到的数据往往可以用有理数表示。
然后利用有理数的概念和运算对数据进行分析，得出平均值、方差、相关性等统计指标，以帮助我们理解数据背后的规律和趋势。
总结起来，有理数具有广泛的应用范围，几乎涵盖了人类的各个领域。
有理数的产生源于人类对于数量和大小的认知和需求，而其应用则体现了数学在现实生活和各个学科中的重要性。
七年级数学上册第一章有理数1.2有理数1.2.1有理数上课课件新版新人教版
练习1：同桌之间，一名同学说出几个有 理数，另一名同学指出每个数属于哪一类？
（1）下列说法正确的有几个？ 4 个
①零是整数；√ ②零是有理数；√ ③零是自然数；√ ④零是正数； × ⑤零是负数； × ⑥零是非负数. √
（2）下列说法错误的有几个？ 3 个
课堂小结 有理数
方法1：按定义分类：
整数 有理数
分数
正整数 零 负整数
正分数 负分数
方法2：按性质符号分类：
正整数 正有理数
正分数 有理数 零
负整数 负有理数
负分数
①负整数和负分数统称为负有理数； √ ②正整数，0和负整数统称为整数； √ ③正有理数与负有理数组成全体有理数；× ④存在最小的有理数； × ⑤存在最小的正整数； √ ⑥存在最小的正数. ×
练习2：（1）抢答：
① 0是不是整数？0是不是有理数？是 是
②－5是不是整数？－5是不是有理数？是 是
③－0.3是不是负分数？－0.3是不是有理数？
④π是不是有理数？ 是
是
不是
（2）下列数，也是有理数
B. 0既不是正数，也不是负数，但是整数
C. －2004既是负数，也是整数，但不是有理数
D. 0是非正数
是
拓展延伸 3.某中学对九年级男生进行引体向上的测试，
以能做10个为标准，超过的次数用正数表示，不 足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下： ＋2，－5，0，－2，＋4，－1，－1，＋3.（1） 达到标准的男生占百分之几?（2）他们共做了多 少个引体向上?
• R·七年级上册
1.2 有理数
1.2.1 有理数
新课导入
• 同学们在数学课上学习了很多种不同类型的数， 你能举几个例子吗？
1.1 有理数的引入 课件(共40张PPT)华东师大版(2024)数学七年级上册
2. 用正数、负数表示具有相反意义的量为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 .
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示.
B
感悟新知
知4－讲
知识点
有理数的分类
4
1. 有理数的分类(1) 按定义分类 有理数
感悟新知
知4－讲
(2)按性质分类有理数
知4－讲
感悟新知
特别警示1. 不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类：正整数、 0、负整数、正分数、负分数.2. 正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数.
感悟新知
3. 有理数 整数和分数统称为有理数 .4. 部分常用的数的名称(1) 正整数： 大于 0 的整数； 负整数： 小于 0 的整数 .(2) 正分数： 形如 的数； 负分数： 形如 － 的数 . (m， n 都是正整数， n 不能被 m 整除）(3) 非负数： 正数和 0； 非正数： 负数和 0.
－5，6，45，0
感悟新知知5－讲源自知识点数集51. 定义 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集 .2. 数集的两种常见形式
感悟新知
知5－讲
3. 拓展 两个数集的交叉部分即为两个数集的公共部分，如正数集和分数集的交叉部分为正分数集 .
知5－讲
感悟新知
特别解读若一个数的集合有无数个数，则表示这个数的集合时，除写题中给定的有限个数之外，必须加上省略号.
0 m
知1－练
感悟新知
(3)某地区的平均高度高于海平面 310 m，记作海拔高度+310 m，则海拔高度 －270 m 表示 __________________.
有理数课件ppt课件
有理数的乘法运算可以表示为 a × b = c，其中 a 和 b 是两个有 理数，c 是它们的积。在进行乘 法运算时，应将被乘数 a 和乘数 b 相乘，得到一个新的有理数 c 。
有理数的除法运算
总结词
有理数的除法运算是将一个有理数除以另一个有理数，得到一个新的有理数。
详细描述
有理数的除法运算可以表示为 a / b = c，其中 a 和 b 是两个有理数，c 是它们的商。在进行除法运 算时，应将被除数 a 除以除数 b，得到一个新的有理数 c。
有理数的减法运算
总结词
有理数的减法运算是两个有理数相减，得到一个新的有理数。
详细描述
有理数的减法运算可以表示为 a - b = c，其中 a 和 b 是两个有理数，c 是它们的差。在进行减法运算时，应将 被减数 a 放在减数 b 的上方，然后进行相减，得到一个新的有理数。
有理数的乘法运算
总结词
有理数的乘法运算是将两个或多 个有理数相乘，得到一个新的有 理数。
详细描述
距离是空间几何的基本概念之一，它可以通 过有理数进行测量和表示。在现实生活中， 我们经常需要测量和表示各种距离，例如公 路里程、航空里程等。这些距离的测量和表 示都需要用到有理数。
时间的测量与表示
总结词
有理数在时间的测量与表示中有着广泛的应 用。
详细描述
时间是有理数的一个重要应用领域。时间的 测量和表示需要用到日、时、分、秒等单位 ，这些单位都是基于有理数进行定义的。此 外，在金融领域，利息的计算也需要用到有
01
02
03
04
加法
有理数的加法运算满足交换律 和结合律。
减法
有理数的减法运算满足交换律 和结合律。
有理数ppt课件
链接中考
1.（2011.贵阳）如果“盈利10‰”记为+10‰，那么“亏损6‰”记为（ ） A. -16‰ B. -6‰ C.+6‰ D.+4‰ 2.（2011.湖北宜昌）如果用+0.02克表示一个乒乓球质量超出标准质量0.02克，那么一个乒乓球质量低于标准质量0.02克记作（ ） A. +0.02克 B. -0.02克 C. 0 克 D.+0.04克
支出6元
低于海平面789米
增加80千克
公元前20年
—15
— 4
向东
— 6 ％
4
— 2
练习2
2、若将28计为0，则可以将27计为－1，试猜想若将27计 为0，28应计为 。
1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考 了85分，记作+2分，得90分应记作______，得80分应 记作______ 。
珠穆朗玛峰的海拔高度为8 844.43 m
吐鲁番盆地的海拔高度为―155 m
上面图中的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？
思考
参考答案：左图中的正负数表示，A地高于海平面4 600米，B地低于海平面100米. 右图中的正负数分别表示，存入 2 300元，支出 800元.
地位和作用：
本章是九年制义务教育第三学段“数与代数”的起始内容，是初等数学的重要基础.
有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础.
有理数 概念 第二讲
数学教师辅导讲义讲义编号：学员姓名：宋春国年级：初一课时数：2 数学教师：宋老师课题有理数的认识授课日期及时段教学目标学习正数、负数、有理数的概念，会用正、负数表示具有相反意义的量，能正确地将有理数进行分类.〔重点难点〕正数、负数的概念对有理数的建立起关键性的作用，是本节课重点.正数、负数的概念的建立是学生从来未经历过的数学的抽象过程，是本节的难点.教学过程1.2.1 有理数一.教学过程1.创设情景,引入新课同学们你们还记不记上一节课老师请你们举了一些生活当中的例子，这些例子用自然数，分数，小数是不能解决的，当时我们都举了哪些例子啊？我记得同学们好象讲到了温度计当中零下的温度，还有地下室，还有欠银行的钱如何表示，还有路标向东向西，扣分如何表示等等等等.那么温度的零上、零下，路程的向东、向西，钱的收入和支出，得分和扣分这些量是不是相互对立的？因此我们称它们为具有相反意义的量，那么如何把这些具有相反意义的量表示出来呢？2.合作探索,寻求新知师：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，比如我们会把零上的温度规定为正，路程当中会把向东方向规定为正方向，钱的收入规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负，而这些规定为正的量一般比较容易表示，比如规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，而与之相反的量就不好表示，如果也记作22千米，别人一看就分不清是向东还是向西，所以我们必须引进新的数来表示这些相反意义的量.师：把过去学过的数（除零外）规定为正数，如123，15，2/3等，正数前面有时也可以放上“+”（读做正号）；在这些数的前面放上“-”（读做负号）就表示负数，如-123，-15，-2/3等.负数是在正数的前面加上“—”得到的，大家现在来举一队正数和负数？那下面老师来举一个例子：0是正数，-1是负数，对吗？那么1是正数，0是负数.正数里有没有包括0，负数会不会包括0，所以零既不是正数，也不是负数.（强调）有了负数，相反意义的量就好表示了，规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，向西走50米，就记作-50米.那现在我来问大家：如果上升8米，记作+8，那么下降5米，应该怎么记呢？做一做：第二题这样我们学过的数中，又增加了新的数，我们以前学的整数如1，2，3，4，更准确地说是正整数，那么-1，-2，-3，-4应该称为什么？1/2，3/2，5.4为正分数,则-1/2,-3/2,-5.4为 .正整数可以化成分数形式，负整数也可以化成分数形式，正小数、负小数化成分数形式，像这种能化成分数形式的数，正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
有理数ppt课件
汇报人：可编辑 2023-12-23
目录
• 有理数的定义与性质 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义与性质
有理数的定义
总结词
有理数是可以表示为两个整数之 比的数。
详细描述
有理数包括整数和分数，它们都 可以表示为两个整数之比。整数 可以看作分母为1的有理数。
乘方的性质
乘方运算具有一些基本性质，如 $a^{m+n}=a^mtimes a^n$， $(a^m)^n=a^{mn}$等。
有理数的开方运算
开方的定义
开方运算是指求一个数的平方根 或立方根等，表示为根式形式。
例如，$sqrt{16}=4$。
开方的性质
开方运算具有一些基本性质，如 $sqrt[n]{a^n}=a$，
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、对称性和稠密性等性质。
详细描述
有理数集是一个封闭的集合，即对于任何两个有理数，都可以通过加、减、乘、除等运算得到另一个有理数。有 理数集是有序的，可以比较大小并建立大小关系。有理数集具有对称性，即对于任意一个有理数，都存在一个相 反数。有理数集是稠密的，即在任意两个不相等的有理数之间，都存在另一个有理数。
02
有理数的运算
加法运算
总结词
有理数加法运算的基本规则
详细描述
有理数的加法运算可以通过将绝对值相加，然后根据同号或异号来决定结果的符 号。例如，两个正数相加，结果仍然是正数；两个负数相加，结果仍然是负数； 一个正数和一个负数相加，结果的正负取决于正数的数量。
减法运算
总结词
有理数减法运算的基本规则
有理数的由来
有理数的由来有理数的由来由来古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国?九章算术?中也载有分数的各种运算。
分数的使用是由于除法运算的需要。
除法运算可以看作求解方程px=q(p0)，如果p，q是整数，那么方程不一定有整数解。
为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。
在Z(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。
那么称(p1，q2)～(p2，q1)。
Z(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。
(p，q)所在的有理数，记为。
一切有理数所成之集记为Q。
令整数p对应一于，即(p，1)所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。
因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
有理数集合是一个数域。
任何数域必然包含有理数域。
即有理数集合是最小的数域。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。
幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。
有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。
这个空间也是完全不连通的。
有理数不构成完备的度量空间;实数是的完备集。
p进数除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p= p- n，这里pn 是p的最高次幂除a另外 | 0 | p= 0。
对任何有理数，设。
那么在上定义了一个度量。
度量空间不完备，它的完备集是p进数域。
一个困难的问题：有理数的边界在哪里? 根据定义，无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数)，统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。
小升初 第二讲 有理数
第二讲有理数一、基本知识点1、正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数；2、有理数：整数和分数统称为有理数；3.、有理数的分类：（1）按定义划分正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数（2）按符号“正”和“负”的分类正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数4、对有关数的集合的理解：（1）有理数集合：所有的整数和分数在一起组成的集合；（2）正整数集合：所有正整数组成的集合；（3）正分数集合：（4）负整数集合：（5）负分数集合：（6）正数集合：（7）负数集合：（8）整数集合：（9）分数集合：（10）正有理数集合：（11）负有理数集合：○注：0既不是正数也不是负数，是整数，非负数和整数集合里千万不能漏掉；二、基础篇□例1 （1）下列说法正确的是（）A．一个数不是正数就是负数B. 0是整数C. 0是最小的数D. 整数又叫自然数（2）下列说法正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数B．正整数、负整数和零统称为有理数C．正整数、负整数和零统称为整数D．整数和正分数统称为有理数（3）a是有理数，a-是（）A.正数B. 零C.负数D. 以上三种可能都有（4）把111,6, 5.3,0,7.9,,2,7,2000,3135-+----0.031,41,9%--填入下列相应的集合中：正数集合：{ }；整数集合：{ }；非负数集合：{ }；负分数集合：{ }；□例2 某化肥厂计划每月生产化肥500吨，一月份实际生产了450吨，二月份实际生产了500吨，三月份实际生产了600吨，请你设计一个表格用有理数表示每月超额完成的吨数。
三、提高篇□例 a一定是正数吗？b -一定是负数吗？为什么？四、练习1、（1）在1111,4,7.1,,,10,8.5,057---中负整数是_________________,分数是________________,非负整数是_________________；（2）把下列各数填在相应集合里：3,12,1,4..110.012,0.52,0,3,1,0.23,316---自然数集合：{ }；整数集合：{ }； 分数集合：{ }；非负数集合：{ }； 有理数集合：{ }； 2、所有大于-4的负整数是_________，所有小于三且不是负数的整数是_______； 3、某同学三次考试成绩分别为53分，72分，91分，以60分为及格，用正负数表示该同学的分数是____________；4. 下列各数是有理数的是 （ ） A.3πB.aC. 0.9D.2a -5、下列说法正确的个数是 （ ）（1）0是整数；（2）负分数一定时负有理数； （3）一个数不是正数就是负数；（4）-π为有理数； A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6、测量一座公路桥的长度，各次测得的数据分别为：853m ，872m ，865m ，868m ，857m 。
第02讲 认识有理数(教师版)
第二讲认识有理数【课程解读】————初中课程解读————【知识衔接】————初中知识与典例链接————一、正数和负数1．负数的概念：若把小学学过的数(0除外)叫做正数，则把在正数前面加上“－”号的数叫做负数．“－”号读作“负”．如“－5”读作“负五”．2．0的意义：0既不是正数，也不是负数．注：在小学里，0通常表示没有．当引入负数后，不能说0表示没有了．正整数、负整数、零统称为整数．正分数、负分数统称为分数．零是整数，也是偶数，非负数就是零和正数．【典例分析】例1．用正负数表示下列各题中具有相反意义的量．（1）如果用+15元表示收入15元，那么用去12元记作什么？（2）食堂购进100千克面粉记作+100千克，那么－20千克表示什么？【答案】（1）﹣12（2）用去20千克面粉【解析】用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量【变式】（1）如果－10t 表示运出10t ，那么+30t 表示 ； （2）负债100元也可以说成是拥有 元； （3）如果规定向东方向为正，那么－200米表示什么意义？ －（－200）米表示什么意义？ 【答案】（1）运进30t （2）﹣100（3）向西200米；向东200米例2．下列各数中,哪些是正数? 哪些是负数?（正负数的判断）+7；-9；-4.5；0；722；-3.14；998；-999 【答案】正数：+7；722；998； 负数：-9；-4.5；-3.14；-999【解析】所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数思路点拨：对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数”． 二、有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 把能够写成分数形式mn（m ，n 为整数，m≠0）的数叫做有理数2、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．小结：分数、有限小数、循环小数都是有理数。
有理数ppt课件
欧几里得与《几何原本》
古希腊数学家欧几里得在他的《几何 原本》中，系统地阐述了有理数和无 理数的概念，对数学的发展产生了深 远影响。
无理数与有理数的区别与联系
定义与表示
无理数是指无法表示为两个整数 之比的数，而有理数则是可以表 示为两个整数之比的数。无理数 在实数范围内稠密，而有理数则
不稠密。
运算性质
有理数ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-24
目录
• 有理数的定义与性质 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义与性质
有理数的定义
总结词
有理数是可以表示为两个整数之 比的数。
详细描述
有理数包括整数和分数，它们都 可以表示为两个整数之比，即形 如$frac{p}{q}$（$q neq 0$）的 数。
物理学中的许多公式和定律都涉 及到有理数的运算，如力学、电
磁学等。
有理数在解决物理问题中发挥着 重要的作用，如求解物理方程等
。
在日常生活中的应用
有理数在日常生活中有着广泛 的应用，如时间、长度、重量 等都可以用有理数表示。
许多日常生活中的问题都需要 用到有理数的知识，如购物时 计算找零、计算折扣等。
结合律与交换律
总结词
结合律和交换律是数学中重要的基本性质，它们在有理数的混合运算中起着重要的作用 。
详细描述
结合律是指几个数相加或相减时，加法或减法的组合方式不影响和或差的值。交换律则 是指加法或减法的位置互换，和或差的值不变。这些性质在有理数的混合运算中非常重 要，因为它们确保了运算的灵活性和可操作性，使得我们可以自由地重新组合和排列有
02
初一数学夏季班第2讲--王老师 (1)
第二讲：有理数一、知识要点探索板块三 绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.【例1】 ______5=-；______312=-；______31.2=-；______=+π． 【巩固】523-的绝对值是______；绝对值等于523的数是______，它们互为________． 【例2】在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为________．【巩固】如果3-=a ，则______=-a ，______=a ．【巩固】下列说法中正确的是……………………………〖 〗A ．a -一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若b a =则a 与b 互为相反数D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数【巩固】给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有………………………………………………………………………〖 〗A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【巩固】在数轴上表示下列各数： (1)212-； (2)0； (3)绝对值是2.5的负数； (4)绝对值是3的正数．【例3】如果a a 22-=-，则a 的取值范围是 ……………………………〖 〗A ．a ＞OB ．a ≥OC ．a ≤OD ．a ＜O【巩固】如果a> a,则a是什么数？【巩固】如果aa=1，那么a____0,如果aa=-1，那么a_____0【例4】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?【巩固】正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。
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易知这是一个等价关系，记等价类 (a，b) a b • 则等价类集合记为Z ={a-b︱a,b∈N}
有理数的形式定义
• 在Z×Z上定义关系(a,b) ～(c,d) ad=bc,b≠0,易知这是
一个等价关系，记等价类 (a，b) a，则等价类集合记
• 若b-a<1,假定(a,b)不含任何整数，否则定理为真。这样(a,b)就落在某 个区间[n,n+1]中；
• 由此，只需证明有理数在[0,1]中稠密就行了，因为加上一个整数n就 可以把这一结果推到任一区间[n,n+1]上去了。下证有理数在[0,1]内是 稠密的；
• 若b-a>0.1,则必有k／10∈(a,b),k为1,2,…,9中的一个； • 若b-a>0.01,则必有k／100∈(a,b),k为1,2,…,99中的一个；
个该数集的序列 Sn ，如果Sn 有极限F，则F一定属于该
数集。
• 定理：有理数集是不完备的。
1 2 3 4 5 6 7 2222222
12 33
3 4 5 6 7 33333
1 2 3 4 5 6 7 4444444
1 2 3 4 5 6 7 5555555 1 2 3 4 5 6 7 6666666
有理数具有不完备性
• 定义（完备性）：一个数集具有完备性是指，对于任意一
• …… • 一般地，把n取得足够大，使得1／n小于区间(a,b)的长度就可以了，
这时总有一个有理数m ／n落在该区间上。 证毕。
有理数集具有可数性
• 定义（可数性）：凡与自然数集建立一一对应关系的集合， 称其具有可数性。
1234 n
r1
r2
r3
r4
rn
正有理数的可数性
1234567
例、设A={(x,y) ∣0≤x≤1,0≤y≤1},则由“两点的横坐标相等”可确定A中的 一个等价关系。
等价类
• 设R为集合A×A中的一个等价关系，x为A中的任 意一个元素，我们把A中所有与x等价的元素所组 成的集合称为x的等价类，记作[x],即 [x]={y︱y∈A,y～x}.
• 整数的形式定义：
b
为
Q
a
b
a,b Z,b
0
。
有理数具有稠密性
• 定义（稠密）：一个数集在数轴上是稠密的是指，在数轴 上每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间(a,b) 中，都存在该数集中的点。
-5／3
-2
-1
5／16
3／2
0
1
2
3
定理：有理点在数轴上是稠密的。
• 证明：若b-a≥1,不管(a,b)位于数轴的什么位置，总有一个有理数落在 (a,b)中；
第二讲 有理数的形式定义及其性质
授课提纲
• 有理数形式定义的基本概念工具——关系 • 有理数具有稠密性 • 有理数具有可数性 • 有理数具有不完备性
1、“关系”是定义有理数的基本概念工具
• 定义：如果R是集合A和集合B的直积A×B的一个 子集，则把集合R称为A和B的一个关系。
• 数学中的关系可分为：等价关系、顺序关系、大 小关系等。
等价关系
• 如果一个关系满足下列三个条件，我们称它为等价关系：
即R A×A,如果满足条件：
（1）. 对于任意一个x∈A，恒有xRx(反身性）； （2）.对于任意两个x,y∈A,如果xRy,则yRx（对称性）； （3）.对于任意三个x,y,z∈A,如果xRy，yRz,则xRz（传递性） 则把R称为A中的一个等价关系。如果（x,y）∈A，即xRy，则说x和y 等价，记作x～y.